资源简介

《空间向量基本定理》教学设计
一、教学内容分析:
本节教材选自北师大版高中数学选择性必修一第三章第三节课第一课时，本节内容在本章《空间向量与立体几何》这一章的学习中起着承上启下的作用，具有重要的意义与地位。本节课是在前面已学习了空间之间坐标系、空间向量与空间向量运算的基础作为学习的出发点，结合平面向量基本定理、向量共线的条件，通过操作确认(画图分析），证明归纳出空间向量基本定理。本节课的学习对培养学生直观想象素养与逻辑推理素养起到重要作用，特别是对后期引入空间向量的坐标奠定了理论依据。
二、学情分析：
任教的学生在为高二年级并且本班学生在我校属于较高层次，学生学习兴趣较高，学习能力强，课堂反应快。并且学生已经在高一学面向量，在本节课的学习中可以结合学生已经掌握的平面向量基本定理展开。但学生对于这一部分知识遗忘比较严重，只是回忆平面向量基本定理有一定困难。
三、设计思想
本节课的设计遵循从具体到抽象，从已知到未知的原则，适当运用多媒体辅助教学手段，借助作图，通过直观感知，操作确认，逻辑推理，得出空间向量基本定理，将所学平面向量基本定理与本节课要探究的内容有机结合，让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中，、理解空间向量基本定理，领会数学的思想方法，养成积极主动、勇于探索、自主学习的学习方式，发展学生的空间观念和空间想象力，提高学生的逻辑思维能力。
四、教学准备
教材与资料：确保每位学生都有本节课所需的教材或学习资料，北师大高中数学2019选择性必修第一册的高二数学同步练习册。
实验器材：准备尺子、量角器、坐标系模型等实验器材，以便进行实验操作。
多媒体教学设备：准备计算机和投影仪，用于展示动画和图表。
五、教学目标
1、通过实例分析、分组讨论和实验操作，培养学生的数学抽象、逻辑推理和数学运算能力。
2、使学生了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解方法，并能用三个不共面的向量作为基底表示空间中的任意向量。
3、通过空间向量基本定理的推导过程，体会由低维到高维，由简单到复杂的思维方法，培养类比的思想方法和空间想象能力．
六、教学重点与难点
重点：掌握空间向量基本定理．
难点：空间向量基本定理的证明．
七、教学过程
(一)、有效导入
探究一、空间向量基本定理
课前要求学生1在黑板上书写平面向量基本定理的内容。
平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，存在唯一的一对实数，，使
．
若，不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
问题1：平面向量基本定理的价值是什么？
学生2：这一节学完后我们研究了平面向量的坐标，为平面向量的坐标以及坐标运算奠定了理论基础。
教师总结：在平面内，任意给定两个不共线的向量，，根据平面向量基本定理，对于该平面内的任意一个向量，存在唯一的有序实数对，使得．特别地，当，为直角坐标平面内的向量时，向量就与坐标建立了一一对应关系，从而将向量运算用坐标表示，简化了向量运算，为研究问题带来了极大的方便．
那么，对于空间向量，有没有类似平面向量基本定理的结论呢？
设计意图：通过回顾平面向量基本定理的内容，引导学生进行思考，为讲解空间向量基本定理作铺垫．
(二)、研讨展示
问题2：为了表示空间中的任意向量，我们至少需要几个向量？两个不共线的向量还够用吗？
学生3：由向量共面的充要条件可知，空间任意两个非零向量，只能表示与其共面的任意一个向量，因此，至少需要三个向量．
追问：任给三个向量都可以表示空间中的任意向量吗？
学生4：当三个向量共面时，无法表示与其不共面的向量，因而必须要求所给的三个向量不共面．
问题3：设，，是空间三个不共面的向量，是空间任意一个向量，是否可以用向量，，来表示向量？
小组合作探究：
小组1：由于向量具有可平移性，我们令表示向量，，的有向线段都以空间任一点作为起点．
教师展示PPT：
如图，过点作，，，因为向量，，不共面，所以，，，四点不共面．
作．
难点：点P与直线OC 的位置关系无法确定，要引导学生分类讨论
教师引导分析：
（1）、当点不在直线上时，过点作与平行的直线交平面于点，则，故存在实数，使得．
在平面内，由平面向量基本定理可知：存在唯一的有序实数对，使得
．
从而，存在唯一的三元有序实数组，使得
．
（2）当点在直线上时，则，故存在唯一的实数，使得．从而也存在唯一的三元有序实数组，使得．
我们也可以进一步将图形补成一个长方体，将倍的向量平移至以为起点，则三个分向量分别对应从同一个顶点出发的长方体的三条棱，向量对应这个长方体从顶点出发的一条体对角线．
追问：你能验证这种表示方法的唯一性吗？
学生5：直接很难确定这个问题，正难则反，我们可以采用反证法尝试证明。
假设还有另一个三元有序实数组也满足，则
．
不妨设，则
．
也就是说，向量可以被向量，线性表示，不难得出，此时，向量应该与向量，共面，这与，，是空间三个不共面的向量矛盾．因此，，，．
因此，空间向量基本定理中三元有序实数组具有唯一性．
追问：请同学们尝试归纳出问题3所得结论
学生6：，，是空间三个不共面的向量，是空间任意一个向量，可以用向量，，唯一来表示向量。
教师PPT展示
空间向量基本定理：如果向量，，是空间三个不共面的向量，是空间任意一个向量，那么存在唯一的三元有序实数组，使得．
由上述定理可知，如果向量，，是空间三个不共面向量，那么所有的空间向量组成的集合就是，这个集合可以看成是由向量，，生成的，这时叫作空间的一组基，其中，，都叫作基向量．
问题4：空间的基有多少个，需要满足什么条件？（类比平面向量基本定理）
学生7：无数个，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一组基．
教师：如果向量中存在零向量，则不能作为基；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基．
问题5：平面向量基本定理与空间向量基本定理的联系与区别是什么？
平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，存在唯一的一对实数，，使． 空间向量基本定理：如果向量，，是空间三个不共面的向量，是空间任意一个向量，那么存在唯一的三元有序实数组，使得．
， 当且仅当． ， 当且仅当．
任意两个不共线的向量都可以作为平面的一组基，基不唯一． 任意三个不共面的向量都可以作为平面的一组基，基不唯一．
任意一个向量与有序实数对一一对应． 任意一个向量与有序实数对一一对应．
平面向量基本定理的模型是：平行四边形． 空间向量基本定理的模型是平行六面体．
设计意图：通过表格直观对比空间向量基本定理与平面向量基本定理，掌握清楚两个定理的应用条件。
探究二、空间向量共面判定
问题5：若，，三点不共线，已知，其中，，则，，三点共线．
类似地，设空间任意一点和不共线的三点，，，若点满足向量关系，其中，，则，，四点是否共面？
引导学生理解：
由，可得，
∴．
即，．
追问：由，可以得出什么结论？
学生8：可以用，唯一表示，根据平面向量基本定理的，，在同一平面内
从而可得，，四点共面．
设计意图：类比平面向量基本定理，得出空间向量基本定理，加强学生知识迁移的能力，进一步探究空间四点空面的条件．
(三)、拓展提高
例1：如图，在平行六面体中，点是的对角线的交点，点是棱的中点．如果，，，试用，，表示．
解：∵点是的对角线的交点，
∴．
又，，
所以．
设计意图：通过例题的解答深化学生对空间向量基本定理的理解，加强学生知识应用能力．
(四）、强化小结
先由学生口头总结，然后教师归纳总结（由多媒体幻灯片展示）：
设计意图：引导学生对本节课所学知识方法有一个全面的认识，培养学生的归纳总结能力，帮助学生深化对知识的理解与掌握，体会研究解决实际问题的思路、途径、方法，为进一步学习打下坚实基础．

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