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1.函数的概念是什么？
复习回顾
一般地，在某个变化过程中，如果有两个变量x，y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量。
2.函数有哪几种表示方法？
解析法
列表法
图象法
5.2 认识函数（2）——解析法
浙教版（2024） 八年级 上册
例2 等腰三角形ABC的周长为10，底边BC长为y，腰AB长为x。
（1）求y关于x的函数表达式。
（2）写出自变量x的取值范围。
典型例题
，
.
问题中有哪些量？这些量之间有什么数量关系？
底边长+腰长2=周长
是三角形的边长，
.
.
例2 等腰三角形ABC的周长为10，底边BC长为y，腰AB长为x。
（2）写出自变量x的取值范围。
典型例题
.
是三角形的边长，
.
.
（3）当腰长AB=3时，底边BC的长为多少
当AB=3,即x=3时,y=10-2×3=4。
所以当腰长AB=3时，底边BC的长为4。
当x=6时，y=10-2x的值是多少？对本例有意义吗？当x=2呢？
当x=6时，y=-2，无意义；当x=2，y=6，2xx可以取任意值吗？
(2) 。
巩固练习
（1）
（2）为任意实数
对于下列函数，x有取值范围要求吗？
1.求下列函数自变量的取值范围：
你能否归纳出，函数中自变量的取值范围有哪些考虑？
1.要使得函数表达式有意义
2.要符合问题的实际意义
3.注意隐含条件
例3 某游泳池在一次换水前存水936立方米，换水时打开排水孔，以每小时312立方米的速度将水放出。设放水时间为t小时，游泳池内的存水量为Q立方米。
（1）求Q关于t的函数表达式和自变量t的取值范围。
典型例题
，，
问题中有哪些量？这些量之间有什么数量关系？
剩余存水量+放水量=总水量
，
.
.
放水速度时间=放水量
例3 某游泳池在一次换水前存水936立方米，换水时打开排水孔，以每小时312立方米的速度将水放出。设放水时间为t小时，游泳池内的存水量为Q立方米。
（2）放水2小时20分后，游泳池内还剩多少立方米的水
典型例题
当时，立方米
.
.
（3）放完游泳池内全部水需要多少时间
当Q=0，即936-312t=0,解得t=3。
所以放完游泳池内全部水需要3小时。
利用函数表达式解决实际问题的步骤：
1.分析题目中的数量关系；
归纳总结
2.列出函数与自变量的等式；
3.变形，得到函数表达式；
4.根据实际意义，求出自变量取值范围；
5.已知自变量的值可求函数值，已知函数值可求自变量的值。
如图每个图形都是由若干枚棋子围成的正方形图案，图案的每条边(包括两个顶点)上都有n(n≥2)枚棋子，设每个图案的棋子总数为S。
棋子的排列有什么规律 S与n之间能用函数表达式表示吗 自变量n的取值范围是什么
探究活动
S=4n-4（n为整数，且n≥2）
函数式能表示变化规律
课堂小结
分析数量关系
实际问题
解析式
解决
数学问题
（发现规律）
实际问题
数学问题
（变化规律）
求自变量取值范围
不等式或不等式组
化归
1.已知直角三角形两锐角的度数分别为x，y，则y与x的函数关系式是 。
y=-x+90
巩固练习
2.一小汽车的油箱可装汽油50升，油箱中原有汽油10升。现在再加汽油x(升)，花费y(元)。已知每升汽油8.75元，求加油的费用y关于x的函数表达式，并求自变量x的取值范围。
y=8.75x（0≤x≤40）
3.如果1cm 的钢的质量是7.8g，求一个立方体钢块的质量y(g)关于棱长x(cm)的函数表达式。
4. 设 ( )表示周长比12cm小(cm)的正方形面积。
(1)求关于的函数表达式和自变量的取值范围。
(2) 当时，求函数的值。
(1)（）
(2)当x=8时，y=1.
5.已知一条钢筋长100cm，把它折弯成长方形(或正方形)框，其一条边长记为x(cm)，围成的面积记为 S( )。
(1)求S关于x的函数表达式和自变量x的取值范围。
(2)分别求当x=20,25,28时,函数S的值。
(1) ().
(2) 当x=20时，S=600；当x=25时，S=625；当x=28时，S=616.《5.2认识函数（2）》教学设计
课标要求 模型观念：能用函数解析式表示简单实际问题中的函数关系，理解自变量的取值范围受实际意义的约束。 应用意识：能运用函数解析式解决简单的实际问题，体会函数是描述现实世界中变化规律的重要工具。 推理能力：能根据具体情境归纳出自变量取值范围的确定方法，发展逻辑推理能力。
教学内容分析 前置：学生已理解函数概念，掌握函数的三种表示方法。 核心内容：解析法表示函数；求函数表达式；确定自变量的取值范围；运用函数表达式解决实际问题。 后续：为学习函数图象、一次函数、反比例函数等打下基础，进一步理解函数模型与实际问题的联系。
学习者分析 学生已初步理解函数概念，能识别函数关系，但对解析法表示函数、自变量取值范围的确定理解不深，尤其在实际问题中容易忽略隐含条件。需通过典型例题引导学生从实际背景中提取数量关系，理解自变量取值范围的现实意义。
教学目标 1.经历从简单实际问题中分析数量关系的过程，会列函数表达式，发展抽象能力和模型观念。 2.根据函数表达式，已知自变量的值，会求相应的函数值；或已知函数值，会求相应自变量的值，体会对应思想，发展运算能力。 3.会在简单情况下求一些函数自变量的取值范围，构建知识之间的关联。
教学重点 分析简单实际问题中变量之间的数量关系，列出函数表达式。
教学难点 求自变量的取值范围，需要正确分析题目中的数量关系，并化归为解不等式或不等式组，是本节课的教学难点。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：复习引入教师活动1： 1.函数的概念是什么？ 一般地，在某个变化过程中，如果有两个变量x，y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量。 2.函数有哪几种表示方法？ 解析法、列表法、图象法 学生活动1： 回忆并回答函数的三种表示方法，理解解析法的特点：便于计算与推理。活动意图说明：激活旧知，建立新旧知识联系，明确本节学习目标。环节二：典型例题教师活动2： 例2 等腰三角形ABC的周长为10，底边BC长为y，腰AB长为x。 问题中有哪些量？这些量之间有什么数量关系？底边长+腰长×2=周长 (1) 求y关于x的函数表达式。 (2) 写出自变量x的取值范围。 是三角形的边长， x可以取任意值吗？ (2) 写出自变量x的取值范围。 x, y 是三角形的边长， , , . . (3) 当腰长AB=3时，底边BC的长为多少？ 当AB=3, 即 时, 。 所以当腰长AB=3时，底边BC的长为4。 当 时， 的值是多少？ 对本例有意义吗？当 呢？ 当 时, , 无意义；当 , , , 无意义。 对于下列函数，x有取值范围要求吗？ 1.求下列函数自变量的取值范围： (1) ； (2) 。 (1) (2) x 为任意实数 你能否归纳出，函数中自变量的取值范围有哪些考虑 1.要使得函数表达式有意义 2.要符合问题的实际意义 3.注意隐含条件 学生活动2： 小组讨论，列出表达式，尝试写出x的取值范围，理解为何x不能取某些值。活动意图说明：通过几何背景理解函数表达式的建立，初步感知自变量取值受实际条件约束。环节三：实际问题建模教师活动3： 例3 某游泳池在一次换水前存水936立方米，换水时打开排水孔，以每小时312立方米的速度将水放出。设放水时间为t小时，游泳池内的存水量为Q立方米。 问题中有哪些量？这些量之间有什么数量关系？ 剩余存水量+放水量=总水量 放水速度×时间=放水量 （1）求Q关于t的函数表达式和自变量t的取值范围。 (2) 放水 2 小时 20 分后，游泳池内还剩多少立方米的水？ 当 时， 立方米 放水 2 小时 20 分后，游泳池内还剩 208 立方米的水. (3) 放完游泳池内全部水需要多少时间？ 当 ，即 936-312t=0，解得 t=3。 所以放完游泳池内全部水需要 3 小时. 归纳总结 利用函数表达式解决实际问题的步骤： 1.分析题目中的数量关系； 2.列出函数与自变量的等式； 3.变形，得到函数表达式； 4.根据实际意义，求出自变量取值范围； 5.已知自变量的值可求函数值，已知函数值可求自变量的值。 学生活动3： 独立或合作完成表达式建立，理解 t 的取值范围由“放水时间不能为负且不能超过水放完的时间”决定。 活动意图说明：强化从实际问题中提取函数关系的能力，理解自变量取值与问题背景的紧密联系。环节四：探究活动教师活动4： 探究活动 如图每个图形都是由若干枚棋子围成的正方形图案，图案的每条边（包括两个顶点）上都有 n（ ）枚棋子，设每个图案的棋子总数为 S。 棋子的排列有什么规律？S 与 n 之间能用函数表达式表示吗？自变量 n 的取值范围是什么？ （n 为整数， ） 函数式能表示变化规律 学生活动4： 独立完成练习，小组交流答案与思路。 活动意图说明：巩固解析法建模能力，提升综合应用与推理能力。环节五：巩固练习1.已知直角三角形两锐角的度数分别为x，y，则y与x的函数关系式是__________。 2.一小汽车的油箱可装汽油50升，油箱中原有汽油10升。现在再加汽油x（升），花费y（元）。已知每升汽油8.75元，求加油的费用y关于x的函数表达式，并求自变量x的取值范围。 3. 如果 的钢的质量是 7.8g，求一个立方体钢块的质量 y(g) 关于棱长 x(cm) 的函数表达式。 学生活动5： 独立完成练习，小组交流答案与思路。活动意图说明：巩固解析法建模能力，提升综合应用与推理能力。课堂小结 1. 解析法如何表示函数？
2. 自变量取值范围如何确定？
3. 函数表达式在实际问题中如何应用？
板书设计 5.2 认识函数（2）
一、解析法表示函数：y=10 2xy=10 2x
二、自变量取值范围：
1. 表达式有意义
2. 符合实际意义
3. 注意隐含条件
三、实际问题建模步骤：
1. 分析数量关系
2. 列出表达式
3. 确定取值范围
4. 解答问题
课堂练习 4. 设y(cm^2 ) 表示周长比12cm小 x(cm) 的正方形面积。 (1) 求 y 关于 x 的函数表达式和自变量 x 的取值范围。 (2) 当 x=8 时，求函数 y 的值。 5. 已知一条钢筋长 100cm，把它折弯成长方形（或正方形）框，其一条边长记为 x(cm)，围成的面积记为 S〖(cm〗^2)。 (1) 求 S 关于 x 的函数表达式和自变量 x 的取值范围。 (2) 分别求当 x=20,25,28 时，函数 S 的值。
作业设计 1. 配套作业本《5.2 认识函数（2）》 2. 从生活中找一个能用解析式表示的函数关系，写出表达式并说明自变量的取值范围。
教学反思 亮点： 1. 例题贴近实际，易于学生理解建模过程； 2. 强调“取值范围”的现实意义，增强应用意识。 问题与改进： 1. 部分学生对隐含条件理解不足，需加强几何与代数结合的练习； 2. 可增加函数取值范围的反例辨析，深化理解。 启示： 1. 函数教学应注重“模型建立→条件约束→问题解决”的完整过程； 2. 可结合实物或动画演示，增强情境感知。

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