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4.2 一元一次方程及其解法（2个知识点+7种题型）
一、要点梳理
要点一、解一元一次方程的一般步骤
变形名称 具体做法 注意事项
去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 (1)不要漏乘不含分母的项 (2)分子是一个整体的，去分母后应加上括号
去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 (1)不要漏乘括号里的项 (2)不要弄错符号
移项 把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号) (1)移项要变号 (2)不要丢项
合并同类项 把方程化成ax＝b(a≠0)的形式 字母及其指数不变
系数化成“1” 在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解． 不要把分子、分母写颠倒
要点诠释：
（1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化．
(2) 去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行.
（3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆．
要点二、解特殊的一元一次方程
1.含绝对值的一元一次方程
解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是绝对值的意义．
要点诠释：此类问题一般先把方程化为的形式，再分类讨论：
(1)当时，无解；（2）当时，原方程化为：；（3）当时，原方程可化为：或.
2.含字母的一元一次方程
此类方程一般先化为最简形式ax＝b，再分三种情况分类讨论：
（1）当a≠0时，；（2）当a＝0，b＝0时，x为任意有理数；（3）当a＝0，b≠0时，方程无解．
二、典型例题
【题型1】解一元一次方程
例1.解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题考查了解一元一次方程．
（1）按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程即可得；
（2）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程即可得．
【详解】（1）解：，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得；
（2）解：，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
【变式1】解方程
(1)2（x+8）=3（x-1）
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）去括号，移项合并同类项，将x的系数化为1即可；
（2）先去分母，然后去括号，移项合并同类项，将x的系数化为1即可．
【详解】（1）解：去括号得，2x+16=3x-3，
移项得，2x-3x=-3-16，
合并同类项得，-x=-19，
系数化为1得，x=19；
（2）解：去分母得，2（x-1）=4-（2x-1），
去括号得，2x-2=4-2x+1，
移项得，2x+2x=4+1+2，
合并同类项得，4x=7，
系数化为1得，x=．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
【变式2】解方程
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)x＝5
【分析】（1）按去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可；
（2）按去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可．
【详解】（1）解：去括号，得，
移项，得4y＋3y－6y－7y＝－77＋60，
合并同类项，得－6y＝－17，
系数化为1得：；
（2）解：去分母，得，4（x＋1）－5（x＋1）＝－6，
去括号，得，4x＋4－5x－5＝－6，
移项，得4x－5x＝－6＋1，
合并同类项，得：－x＝－5，
系数化为1得：x＝5．
【点睛】本题考查解一元一次方程，掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键．
【题型2】已知一元一次方程的解，求参数值
例2.若关于x的方程的解和方程的解相同，则a的值为（　　）．
A．7 B．2 C．1 D．
【答案】C
【分析】求得方程的解，代入到方程中即可求解．
【详解】解：解方程可得，
将代入到方程可得，
解得
故选：C
【点睛】此题考查了方程的解，一元一次方程的求解，解题的关键是正确求得方程的解．
【变式】已知是关于x的方程的一个解，则a的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据是关于x的方程的一个解，可得，即可求解．
【详解】解：∵是关于x的方程的一个解，
∴，
解得：．
故选：C
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是解题的关键．
【题型3】同解方程
例3.已知方程与关于的方程的解相同，则的值为（ ）
A．－26 B．－2 C．2 D．26
【答案】C
【分析】本题考查一元一次方程的解与解一元一次方程、求代数式的值；首先求出的解，把解代入中，求得k的值，即可求得代数式的值．
【详解】解：解方程，得：
由于方程与方程解相同，
把代入中得：，
则；
故选：C．
【变式】方程的解与方程的解相同，求m值．
【答案】m的值是-．
【分析】因为两个方程的解相同，所以解出第一个方程后，把x的值代入第二个方程中，进行解答即可．
【详解】解：解方程2(1-x)=x+1得x=，
∵方程2(1-x)=x+1的解与方程的解相同，
把x=代入，
得：，
∴m=-．
故m的值是-．
【点睛】本题考查了同解方程，解一元一次方程和一元一次方程的解等知识点，能得出关于m的一元一次方程是解此题的关键．
【题型4】一元一次方程的整数解问题
例4.已知关于x的方程有非正整数解，则整数a的所有可能的取值的和为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】B
【分析】先根据解方程的一般步骤解方程，再根据非正整数的定义将的值算出，最后相加即可得出答案．
【详解】解：
去分母，得
去括号，得
移项、合并同类项，得
将系数化为1，得
是非正整数
或，1，6时，的解都是非正整数
则．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解方程的一般步骤是解题的关键．
【变式】若关于x的方程有负整数解，则整数m为（ ）
A．2或3 B．或2 C．0或 D．、0、2、3
【答案】C
【分析】本题考查了解一元一次方程，先把m当做已知数，按照去括号，去分母，移项，合并同类项，化系数为1的步骤求解该方程，再根据解为负整数，得出，即可求解．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
∵方程有负整数解，
∴或，
当时，，
当时，，
故选：C．
【题型5】一元一次方程的解与参数无关型问题
例5.已知a，b为定值，且无论k为何值，关于x的方程的解总是x＝2，则 ．
【答案】
【分析】根据一元一次方程的解法，去分母并把方程整理成关于a、b的形式，然后根据方程的解与k无关分别列出方程求解即可．
【详解】解：方程两边都乘6，去分母得2（kx-a）=6-3（2x+bk），
∴2kx-2a=6-6x-3bk，
整理得（2x+3b）k+6x=2a+6，
∵无论k为何值，方程的解总是2，
∴2a+6=6×2，2×2+3b=0，
解得a=3，，
∴．
故答案为：-4．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，根据方程的解与k无关，则k的系数为0列出方程是解题的关键．
【变式】已知m，n为定值，且无论k为何值，关于x的方程的解总是，则 ．
【答案】6
【分析】先去分母，把方程化为，然后根据方程的解与k无关分别列出方程求解即可．
【详解】解：，
方程两边都乘6，去分母得
，
整理得：，
∵无论k为何值，方程的解总是，
∴，，
解得：，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，根据方程的解与k无关，则k的系数为0列出方程是解题的关键．
【题型6】探究一元一次方程组解的情况
例6.已知：，．
(1)当取何值时，与的值相等？
(2)是否存在这样的值，使与的值互为相反数．如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由．
【答案】(1)当时，与的值相等
(2)故不存在这样的值，使与的值互为相反数，理由见解析
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，相反数的定义，根据题意列出方程是解题的关键．
（1）根据，列出关于的等式即可求出；
（2）根据与互为相反数，列出关于的等式即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
解得：，
故当时，；
（2）解：∵与互为相反数，
∴，
∴，
该方程无解，
故不存在这样的值，使与的值互为相反数．
【变式】定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．
(1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值；
(2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值；
(3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一元一次方程的解．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】本题考查了一元一次方程的解，利用“美好方程”的定义找到方程解的关系是解题的关键．
（1）先表示两个方程的解，再求解；
（2）根据条件建立关于n的方程，再求解；
（3）由题意，可求出的解为，再将
变形为，则，从而求解．
【详解】（1）解：，
，
，
，
∵关于x的方程与方程是“美好方程”，
，
；
（2）解：∵“美好方程”的两个解的和为1，其中一个解为n，
∴另一个方程的解为：，
∵两个解的差为8，
∴或，
∴或；
（3）解：∵，
，
∵关于x的一元一次方程和是“美好方程”，
∴关于x的一元一次方程的解为：，
关于y的一元一次方程可化为：，
，
．
【题型7】含绝对值的一元一次方程的解法
例7.根据绝对值定义，若有|x|＝4，则x＝4或﹣4，若|y|＝a，则y＝±a，我们可以根据这样的结论，解一些简单的绝对值方程，例如：|2x+4|＝5
解：方程|2x+4|＝5可化为：
2x+4＝5或2x+4＝﹣5
当2x+4＝5时，则有：2x＝1，所从x=0.5
当2x+4＝﹣5时，则有：2x＝﹣9；所以x=-4.5
故，方程|2x+4|＝5的解为x=0.5或x=-4.5
(1)解方程：|3x﹣2|＝4；
(2)已知|a+b+4|＝16，求|a+b|的值；
【答案】(1)或
(2)或
【分析】（1）根据绝对值的意义解方程即可；
（2）将看作一个整体，根据绝对值的意义先求出a+b的值，然后再求其绝对值即可．
【详解】（1）|3x 2|＝4
解：方程可化为：或，
当时，则有，所以，
当时，则有，所以，
故方程|3x 2|＝4的解为：或．
（2）|a＋b＋4|＝16，
方程可变为：a＋b＋4＝16或a＋b＋4＝ 16，
解得a＋b＝12或a＋b＝ 20，
所以|a＋b|＝12或20，
答：|a＋b|的值为12或20．
【点睛】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程、等式的性质，解决本题的关键是理解绝对值的含义．
【变式】阅读理解：在解形如这类含有绝对值的方程时，
解法一：我们可以运用整体思想来解．移项得，，
，，或．
解法二：运用分类讨论的思想，根据绝对值的意义分和两种情况讨论：
①当时，原方程可化为，解得，符合；
②当时，原方程可化为，解得，符合．
原方程的解为或．
解题回顾：本解法中2为的零点，它把数轴上的点所对应的数分成了和两部分，所以分和两种情况讨论．
问题：结合上面阅读材料，解下列方程：
(1)解方程：
(2)解方程：
【答案】(1)或
(2)或
【分析】（1）类比解法一即可求解；
（2）类比解法二，分，，三种情况进行讨论，脱去绝对值，解方程，舍去不合题意的方程的解，问题得解．
【详解】（1）解：移项得，
合并得，
两边同时除以得，
所以，
所以或；
（2）解：当时，原方程可化为，解得，符合；
当时,原方程可化为，解得，符合；
当时，原方程可化为，解得，不符合．
所以原方程的解为或．
【点睛】本题考查了绝对值方程、一元一次方程的解法，理解题意，能根据题意脱去绝对值是解题关键，注意第（2）问要根据题意分三类进行讨论．4.2 一元一次方程及其解法（2个知识点+7种题型）
一、要点梳理
要点一、解一元一次方程的一般步骤
变形名称 具体做法 注意事项
去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 (1)不要漏乘不含分母的项 (2)分子是一个整体的，去分母后应加上括号
去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 (1)不要漏乘括号里的项 (2)不要弄错符号
移项 把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号) (1)移项要变号 (2)不要丢项
合并同类项 把方程化成ax＝b(a≠0)的形式 字母及其指数不变
系数化成“1” 在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解． 不要把分子、分母写颠倒
要点诠释：
（1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化．
(2) 去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行.
（3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆．
要点二、解特殊的一元一次方程
1.含绝对值的一元一次方程
解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是绝对值的意义．
要点诠释：此类问题一般先把方程化为的形式，再分类讨论：
(1)当时，无解；（2）当时，原方程化为：；（3）当时，原方程可化为：或.
2.含字母的一元一次方程
此类方程一般先化为最简形式ax＝b，再分三种情况分类讨论：
（1）当a≠0时，；（2）当a＝0，b＝0时，x为任意有理数；（3）当a＝0，b≠0时，方程无解．
二、典型例题
【题型1】解一元一次方程
例1.解下列方程：
(1)； (2)．
【变式1】解方程
(1)2（x+8）=3（x-1）； (2)
【变式2】解方程
(1)； (2)．
【题型2】已知一元一次方程的解，求参数值
例2.若关于x的方程的解和方程的解相同，则a的值为（　　）．
A．7 B．2 C．1 D．
【变式】已知是关于x的方程的一个解，则a的值是（　　）
A． B． C． D．
【题型3】同解方程
例3.已知方程与关于的方程的解相同，则的值为（ ）
A．－26 B．－2 C．2 D．26
【变式】方程的解与方程的解相同，求m值．
【题型4】一元一次方程的整数解问题
例4.已知关于x的方程有非正整数解，则整数a的所有可能的取值的和为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【变式】若关于x的方程有负整数解，则整数m为（ ）
A．2或3 B．或2 C．0或 D．、0、2、3
【题型5】一元一次方程的解与参数无关型问题
例5.已知a，b为定值，且无论k为何值，关于x的方程的解总是x＝2，则 ．
【变式】已知m，n为定值，且无论k为何值，关于x的方程的解总是，则 ．
【题型6】探究一元一次方程组解的情况
例6.已知：，．
(1)当取何值时，与的值相等？
(2)是否存在这样的值，使与的值互为相反数．如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由．
【变式】定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．
(1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值；
(2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值；
(3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一元一次方程的解．
【题型7】含绝对值的一元一次方程的解法
例7.根据绝对值定义，若有|x|＝4，则x＝4或﹣4，若|y|＝a，则y＝±a，我们可以根据这样的结论，解一些简单的绝对值方程，例如：|2x+4|＝5
解：方程|2x+4|＝5可化为：
2x+4＝5或2x+4＝﹣5
当2x+4＝5时，则有：2x＝1，所从x=0.5
当2x+4＝﹣5时，则有：2x＝﹣9；所以x=-4.5
故，方程|2x+4|＝5的解为x=0.5或x=-4.5
(1)解方程：|3x﹣2|＝4；
(2)已知|a+b+4|＝16，求|a+b|的值；
【变式】阅读理解：在解形如这类含有绝对值的方程时，
解法一：我们可以运用整体思想来解．移项得，，
，，或．
解法二：运用分类讨论的思想，根据绝对值的意义分和两种情况讨论：
①当时，原方程可化为，解得，符合；
②当时，原方程可化为，解得，符合．
原方程的解为或．
解题回顾：本解法中2为的零点，它把数轴上的点所对应的数分成了和两部分，所以分和两种情况讨论．
问题：结合上面阅读材料，解下列方程：
(1)解方程：
(2)解方程：

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