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九下数学专题 相似三角形的判定与性质（12大题型）
题型一：选择或者补充条件使两个三角形相似
题型二：证明两三角形相似
题型三：尺规作图使两个三角形相似
题型四：重心的有关性质
题型五：利用相似三角形的性质求解
题型六：证明三角形的对应线段成比例
题型七：利用相似求坐标
题型八：运用相似三角形的性质解决折叠问题
题型九：运用相似三角形的性质解决三角板问题
题型十：运用相似三角形的性质解决裁剪问题
题型十一：运用相似三角形的性质解决最值问题
题型十二：运用相似三角形的性质解决多结论问题
题型一：选择或者补充条件使两个三角形相似
1．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，中，D、E分别在AB、AC边上，添加以下条件不能证明与相似的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在和中，，再添加条件 可以使．
5．如图，、和3张都标注一个条件的卡片．从这3张卡片中随机一次性抽取2张，根据这2张的条件，能判断的概率为 ．
题型二：证明两三角形相似
6．如图，已知D，E，F分别是三边的中点，则图中与相似的三角形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，平行四边形，交于点E，连接，F为上一点，且．求证：．
8．如图，点O是的边上一点，连接，点D，E，F分别是，，的中点，连接，．求证：
9．如图，在和中，,,,,，那么与相似吗？请说明理由．
10．如图，已知，，，，，．
(1)求的长；
(2)求证：．
11．如图，在四边形中，，，点E，F分别在上，且，，求证：．
12．如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为的小正方形的顶点上．
(1)填空：___________，___________；
(2)判断与是否相似？并证明你的结论．
题型三：尺规作图使两个三角形相似
13．如图，点D为的边上一点，，请用尺规作图法在边上求作一点E，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
14．如图，已知正方形，为延长线上一点，连接．请用尺规作图法，在上求作一点，使．（保留作图痕迹，不写作法）
15．在学习图形的相似过程中，有这样一个问题：如图，，．
(1)用直尺和圆规，作的平分线交于点．（只保留作图痕迹）
(2)在（1）所作的图中，试说明．请根据以下思路完成填空：
证明：，
①_____
平分，
②_____
③_____
④_____
16．如图，在等腰中，，为边上一点，连接，请你用尺规作图法在上作一点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
题型四：重心的有关性质
17．如图，点是的重心，是边上一点，，连接，连接并延长分别交于点、，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
18．点是的重心，过点作，交于点，，交于点，则 ．
19．已知在中，点、分别在边、上，，且经过的重心，那么 ．
20．在中，点是重心，过点作，交于点，那么 ．
21．如图，在中，点D、E分别在边上，，连接交于点G，连接．
(1)当时，求的值；
(2)当时，取边中点F，连接交于点H．已知，求的长．
题型五：利用相似三角形的性质求解
22．如图，已知，以下结论中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
23．如图，在中，点D，E分别在边，上，．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
24．如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，的面积为4，则的面积为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．25
25．在某一时刻，测得一根高为的竹竿在阳光下的影长为，同时测得一幢高楼在阳光下的影长为，则这幢高楼的高度是 ．
26．如图，在中，，点D是边上的一点，，点E是边上的一点．若与相似，则边的长为 ．
27．如图，E是上的一点，，且，，．
(1)求与的度数，
(2)写出与的对应边成比例的比例式，并求出相似比．
28．如图，已知，，，，，．
(1)求和的大小．
(2)求的长．
题型六：证明三角形的对应线段成比例
29．如图，，直线，相交于点，与这三条平行线分别相交于点，，和点，、、下列比例式中错误的是（　　）
A． B． C． D．
30．如图，在中，AC和BC上分别有一点E和点H，过点E和点H分别作BC和AC的平行线交于点D，DE交AB于点G，DH交AB于点F，则下列结论错误的是（ ）

A． B． C． D．
31．如图，在中，点D、E分别在AB、AC边上，，BE与CD相交于点F，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
32．如图，在中，，垂足为．
(1)这四条线段是否是成比例线段？请说明理由．
(2)在图中还能找出成比例的其他四条线段吗（线段可以重复）？若有，请写出一种情况，并说明理由．
33．如图，已知梯形中，．是边上一点，与对角线交于点，且．
求证：
(1)；
(2)．
题型七：利用相似求坐标
34．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，是轴上一点．

(1)在上求作点，使得∽要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；在
(2)在（1）的条件下，，是的中线，过点的直线交于点，交轴于点，当时，求点的坐标．
35．如图，直线与双曲线相交于和两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D．
(1)求双曲线的解析式；
(2)连接、，求的面积；
(3)在y轴上是否存在一点P，使与相似？若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
36．如图，一次函数与反比例函数的图像交于点和点，与y轴，x轴分别交于C，D两点，
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)点E为反比例函数（x>0）上一点（不与点A，B重合），过点E作轴，垂足为点F，当时，求点E坐标．
37．如图，在平面直角坐标系中，已知，点A的坐标为，点B的坐标为．若a，b的值是关于x的一元二次方程的两个根，且．
(1)直接写出___________，___________
(2)若点P在y轴上，且，求点P的坐标．
38．图，直线与反比例函数的图象相交于点，与轴交于点．
(1)求，，的值．
(2)是轴上一点，若，求点的坐标．
题型八：运用相似三角形的性质解决折叠问题
39．如图，四边形是矩形，E为边上一点，将矩形沿向上折叠，使点B落在边的点F处．若的周长为18，，则矩形的周长为（ ）
A．16 B．20 C．24 D．48
40．如图，矩形中，，，为中点，为上一点，将沿折叠后，点恰好落到上的点处，则折痕的长是（ ）．
A．8 B． C． D．
41．如图，已知M，N分别为锐角的边上的点，，把沿折叠，点O落在点C处，与交于点P，若，则 ．
42．如图，点在矩形的边上，沿折叠，顶点恰好落在边上．再将对折，点的对应点为点，折痕为．若，，则 ．

43．如图，在矩形中，，，把这个矩形纸片折叠一次，使点B和点D重合．
(1)请用直尺和圆规作出这条折痕（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)这条折痕交于点，交于点，直接写出的长．
44．如图矩形中，对角线，E为边上一点，，将矩形沿所在的直线折叠，B点恰好落在对角线上的处，求长．
题型九：运用相似三角形的性质解决三角板问题
45．将一副三角板如图叠放，则与的面积比是（　　）
A． B． C． D．
46．如图，边长为10的等边，点D在边上，且，将含角的直角三角板（）绕直角顶点D旋转，分别交边于P、Q，连接，当时，的长为（ ）
A．2 B．1 C． D．3
47．一块含角的直角三角板（如图），它的斜边，里面空心的各边与的对应边平行，且各对应边的距离都是，那么的周长是 ．
48．将含角且大小不等的两个三角板按如图摆放，使直角顶点重合，连接、，则
49．如图，等腰中，，，为的中点，将一块三角板的角顶点放在点处，让三角板的两边分别交两腰、于点、.
(1)求证：；
(2)连接，当时，求的面积.
题型十：运用相似三角形的性质解决裁剪问题
50．如图，在直角三角形纸片中裁剪出一个正方形纸片，其中D，E两点在边上，F，G两点分别在和边上，已知，则正方形纸片的面积为（ ）
A． B． C． D．
51．在学校选修课上，王强和同学一起准备利用面积为的正方形纸板，按照如图所示裁剪方法制作一个正方体纸盒，则这个正方体纸盒的体积是 ．
52．如图，一块四边形铁片中，，，在此四边形中裁剪出一个面积最大的圆形铁片，则该圆形铁片的半径为 ．
53．劳动课上，聂老师给每位同学发了一张等腰三角形彩纸，底边长，底边上的高为．圆圆沿底边依次从下往上裁剪出宽度均为的矩形纸条．
(1)直接写出剪下的第一张矩形纸片长为___________；
(2)从下往上剪第几张纸片是正方形纸片？请说明理由．
题型十一：运用相似三角形的性质解决最值问题
54．如图，在矩形中，，，点E是边上一动点，连结，将沿折叠得，连结，点M是线段的中点，连结，则的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．
55．如图，在中，，，以为边，在的下方作矩形，且使，连接，则的最大值为 ．
56．如图，在等边中，，点在中线上运动，连接，将绕点顺时针旋转，得到，连接，则的最小值为 ．
57．在矩形中，，，点为边上一动点（点与点、不重合），连接，过点作，垂足，交或的延长线于点．
(1)求证：；
(2)若，求的长；
(3)设，求关于的函数解析式．当取何值时，有最大值，并求出的最大值．
58．如图，在中，，，，在其内部作一个矩形，其中点D在边上，点B在边上，点C在边上，设矩形的一边．
(1)请用含x的代数式表示边的长度；
(2)设矩形的面积为，求当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？
59．如图，在矩形中，，，点P在线段上运动（含B、C两点），连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，求线段的最小值．
题型十二：运用相似三角形的性质解决多结论问题
60．如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点．若，，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
61．如图，在正方形中，边长为6，点，分别是，边上的点，且，平分，连接，分别交，于点，．点是的中点，连接．下列结论其中正确的有（ ）个．
①；
②；
③垂直平分；
④；
⑤的面积为．
A．2 B．3 C．4 D．5
62．如图，在中，E、F分别是、边上的点，连接、，它们相交于点G，延长交的延长线于点H，下列结论错误的是（ ）．
A． B．
C． D．
63．如图，在正方形中，点是的中点，点是上的一点，且，连接、、，下列结论：①，②，③，其中正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
64．如图，在四边形中，，点在上，，连接并延长交的延长线于点，连接，，给出下面三个结论：①是等腰直角三角形；②；③，上述结论中，所有正确结论的序号是 ．
65．如图，点在线段上，在的同侧作等腰直角三角形和等腰直角三角形，与、分别交于点、．对于下列结论：①；②；③．其中正确的结论是 ．
答案与解析
题型一：选择或者补充条件使两个三角形相似
1．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：，
，
A、添加，可用两边及其夹角法判定，故本选项不符合题意；
B、添加，无法判定，故本选项符合题意；
C、添加，可用两角法判定，故本选项不符合题意；
D、添加，可用两角法判定，故本选项不符合题意；
故选：B．
2．如图，中，D、E分别在AB、AC边上，添加以下条件不能证明与相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
【详解】解：A、∵，
∴∽，故该选项不合题意；
B、∵，，
∴∽，故该选项不合题意；
C、∵，，
∴∽，故该选项不合题意；
D、∵，而与不一定相等，不能证明相似，故该选项符合题意．
故选：D ．
3．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
【详解】解：∵，
∴，
∴，
A、∵，，
∴，故此选项不符合题意；
B、添加，无法判断，故此选项符合题意；
C、∵，，
∴，故此选项不符合题意；
D、∵，，
∴，故此选项不符合题意；
故选：B．
4．如图，在和中，，再添加条件 可以使．
【答案】（答案不唯一）
【详解】解：∵，
∴，即，
添加：，则，
添加：，则，
添加：，则，
故答案为：（答案不唯一）
5．如图，、和3张都标注一个条件的卡片．从这3张卡片中随机一次性抽取2张，根据这2张的条件，能判断的概率为 ．
【答案】
【详解】解：若，，则；
若，，则；
若，，则无法证明；
从这3张卡片中随机一次性抽取2张有3种等可能结果，其中能判断的有两种，
能判断的概率为，
故答案为：．
题型二：证明两三角形相似
6．如图，已知D，E，F分别是三边的中点，则图中与相似的三角形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】
【详解】解：∵D，E，F分别是三边的中点，
∴，
∴，，，
四边形是平行四边形，
∴，
∴，
故有4个，
故选：D．
7．如图，平行四边形，交于点E，连接，F为上一点，且．求证：．
【答案】详见解析
【分析】
【详解】证明：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，，
∵，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴．
8．如图，点O是的边上一点，连接，点D，E，F分别是，，的中点，连接，．求证：
【答案】见解析
【详解】证明：∵点D，E，F分别是，，的中点，
∴，，，
即，
∴．
9．如图，在和中，,,,,，那么与相似吗？请说明理由．
【答案】相似，理由见解析
【详解】解：与相似．理由如下：
∵,,,，
，，
，
，
与相似．
10．如图，已知，，，，，．
(1)求的长；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∴；
（2）证明：∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴．
11．如图，在四边形中，，，点E，F分别在上，且，，求证：．
【答案】见解析
【分析】
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
，
.
，
，
，
，
又，
．
12．如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为的小正方形的顶点上．
(1)填空：___________，___________；
(2)判断与是否相似？并证明你的结论．
【答案】(1)；
(2)．见解析
【分析】
【详解】（1）解：，
；
故答案为：；．
（2）解：．
证明：∵在的正方形方格中，
，，
∴．
∵，，，，
∴．
∴，
∴．
题型三：尺规作图使两个三角形相似
13．如图，点D为的边上一点，，请用尺规作图法在边上求作一点E，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见详解
【分析】
【详解】解：如图，点即为所求．
∵，
∴，
∴．
14．如图，已知正方形，为延长线上一点，连接．请用尺规作图法，在上求作一点，使．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见详解
【详解】解：依题意，过点B作，交于点，如图所示：
∵，，
∴．
15．在学习图形的相似过程中，有这样一个问题：如图，，．
(1)用直尺和圆规，作的平分线交于点．（只保留作图痕迹）
(2)在（1）所作的图中，试说明．请根据以下思路完成填空：
证明：，
①_____
平分，
②_____
③_____
④_____
【答案】(1)图见解析
(2)①；②；③；④
【分析】
【详解】（1）解：如图所示，即为所作的角平分线，
（2）证明：，
平分，
故答案为：①；②；③；．
16．如图，在等腰中，，为边上一点，连接，请你用尺规作图法在上作一点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】
【详解】解：如图所示，点即为所求．
∵，
∴．
∵，
∴．
题型四：重心的有关性质
17．如图，点是的重心，是边上一点，，连接，连接并延长分别交于点、，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【详解】解：取中点M，连接，
∵点G是的重心，
∴，E是中点，
∴是的中位线，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
18．点是的重心，过点作，交于点，，交于点，则 ．
【答案】
【详解】解：设的中点为，连接，则是的中线，
∵点是的重心，
∴．
∵，
∴，相似比为，
∴，即
∵，
∴，相似比为，
∴即，
∴
∴．
故答案为：．
19．已知在中，点、分别在边、上，，且经过的重心，那么 ．
【答案】/
【详解】解：设中线交于，则在上，如图所示：
∴，
∵，且在上，
∴在中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
故答案为．
20．在中，点是重心，过点作，交于点，那么 ．
【答案】
【详解】解：连接并延长交于点，则点为的中点，
且，
∴．
∵，
∴，
∴；
故答案为：．
21．如图，在中，点D、E分别在边上，，连接交于点G，连接．
(1)当时，求的值；
(2)当时，取边中点F，连接交于点H．已知，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）解：∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴．
（2）解：∵，
∴D、E分别为和边中点．
∴G为的重心．
∴．
∵，
∴．
∵E为边中点、F为边中点，
∴．
∴．
∵G为的重心．
∴．
∴．
∴．
题型五：利用相似三角形的性质求解
22．如图，已知，以下结论中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：A、∵，∴，故该选项不符合题意；
B、∵，∴，故该选项不符合题意；
C、∵，∴，，故该选项不符合题意；
D、∵，∴，故该选项符合题意；
故选：D．
23．如图，在中，点D，E分别在边，上，．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴设，，
∴．
故选：C．
24．如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，的面积为4，则的面积为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．25
【答案】C
【分析】
【详解】解：，
，
∵，
∴
，
和是以点为位似中心的位似图形，
，
．
的面积为4，
的面积为9．
故选C．
25．在某一时刻，测得一根高为的竹竿在阳光下的影长为，同时测得一幢高楼在阳光下的影长为，则这幢高楼的高度是 ．
【答案】
【详解】设高楼的高度为．
由题意，竹竿高度与影长的比等于高楼高度与影长的比，即：
解方程：
故高楼的高度为．
故答案为：．
26．如图，在中，，点D是边上的一点，，点E是边上的一点．若与相似，则边的长为 ．
【答案】2或
【详解】
解：∵与相似，
∴或，
∴，或，
∵，
∴或，
解得：或．
故答案为：2或．
27．如图，E是上的一点，，且，，．
(1)求与的度数，
(2)写出与的对应边成比例的比例式，并求出相似比．
【答案】(1)，
(2)，相似比为
【分析】
【详解】（1）
解：∵， ，
∴，
∴；
（2）
解：∵，，
∴，相似比为．
28．如图，已知，，，，，．
(1)求和的大小．
(2)求的长．
【答案】(1)，
(2)
【分析】
【详解】（1）解：∵，且，，
∴，
∵，
∴，；
（2）解：∵，，，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴．
题型六：证明三角形的对应线段成比例
29．如图，，直线，相交于点，与这三条平行线分别相交于点，，和点，、、下列比例式中错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
【详解】解：，
由平行线分线段成比例定理可知，
A选项是正确的，不符合题意；
，
．
，
，
，
B选项是正确的，不符合题意；
，
．
，
，
，即，
D选项是正确的，不符合题意，
C选项是错误的，符合题意；
故选：C．
30．如图，在中，AC和BC上分别有一点E和点H，过点E和点H分别作BC和AC的平行线交于点D，DE交AB于点G，DH交AB于点F，则下列结论错误的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：A选项：，
.
，
.
.
A选项正确，不符合题意.
B选项：，
，
，，
四边形为平行四边形.
.
.
B选项正确，不符合题意.
C选项：，，
C选项不正确，符合题意.
D选项：，，
，，
，
，
.
D选项正确，不符合题意.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键在于是否能熟练运用相似三角形的性质和判定.
31．如图，在中，点D、E分别在AB、AC边上，，BE与CD相交于点F，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：，
，，，
，
，
由，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形相似的判定及性质，考查学生对相似三角形对应边成比例知识点及等量代换技巧的掌握情况．
32．如图，在中，，垂足为．
(1)这四条线段是否是成比例线段？请说明理由．
(2)在图中还能找出成比例的其他四条线段吗（线段可以重复）？若有，请写出一种情况，并说明理由．
【答案】(1)这四条线段是成比例线段
(2)有，这四条线段是成比例线段．理由见解析
【分析】
【详解】解：这四条线段是成比例线段．
在Rt中，，
即这四条线段是成比例线段．
示例：这四条线段是成比例线段．
在Rt中，，
由勾股定理，得，
由（1）可知，
．
在Rt中，，
由勾股定理，得，
，
，
即这四条线段是成比例线段．
【点睛】本题考查了比例线段，解题的关键是掌握直角三角形面积的不同表达式及比例线段的概念.
33．如图，已知梯形中，．是边上一点，与对角线交于点，且．
求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】
【详解】（1）∵，
∴
∵，
∴
∴
∵，
∴
∴；
（2）∵，
∴
∵，
∴
∴
∴
∴．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，相似三角形判定方法是解题的关键．
题型七：利用相似求坐标
34．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，是轴上一点．

(1)在上求作点，使得∽要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；在
(2)在（1）的条件下，，是的中线，过点的直线交于点，交轴于点，当时，求点的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】
【详解】（1）如图，点即为所求；

（2）∽，
：：，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
直线的解析式为，
，
，
，
，
，
，
直线的解析式为，
由，解得，
【点睛】本题考查作图相似变换，一次函数的应用等知识，解题的关键是学会构建一次函数确定交点坐标．
35．如图，直线与双曲线相交于和两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D．
(1)求双曲线的解析式；
(2)连接、，求的面积；
(3)在y轴上是否存在一点P，使与相似？若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，或
【分析】
【详解】（1）解：将点代入得：，
则双曲线的解析式为．
（2）解：如图，连接、，
将点代入得：，即，
将点，代入得：，
解得，
则，
当时，，即，
当时，，解得，即，
则的面积为．
（3）解：，
是等腰直角三角形，，
①如图，过点作轴，交轴于点，
，符合题意，
，
；
②如图，过点作，交轴于点，
则是等腰直角三角形，
在和中，，
，符合题意，
又轴，轴轴，
，
，
，即，
综上，在轴上存在一点，使与相似，点的坐标为或．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合、相似三角形的判定等知识点，较难的是题（3），正确分两种情况讨论是解题关键．
36．如图，一次函数与反比例函数的图像交于点和点，与y轴，x轴分别交于C，D两点，
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)点E为反比例函数（x>0）上一点（不与点A，B重合），过点E作轴，垂足为点F，当时，求点E坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）解：∵反比例函数过点
∴且
将，带入直线
得：，
故一次函数为：．
（2）解：设点，则点，点
则，
当时
即：，解得：，（舍去）
∴点．
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的结合、相似三角形的性质等知识点，根据相似三角形的性质列出参数方程成为解答本题的关键．
37．如图，在平面直角坐标系中，已知，点A的坐标为，点B的坐标为．若a，b的值是关于x的一元二次方程的两个根，且．
(1)直接写出___________，___________
(2)若点P在y轴上，且，求点P的坐标．
【答案】(1)2，3
(2)
【分析】
【详解】（1）解：，
因式分解，得，
解得或，
的值是关于的一元二次方程的两个根，且，
，
故答案为：2，3．
（2）解：由（1）可知，，
，
，
，，
，
解得，
又，且点在轴上，
．
【点睛】本题考查了解一元二次方程、相似三角形的性质、点坐标，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．
38．图，直线与反比例函数的图象相交于点，与轴交于点．
(1)求，，的值．
(2)是轴上一点，若，求点的坐标．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】
【详解】（1）解：将代入，得，
∴点的坐标为．
将和代入，
得，
解得．
（2）：如图，过点作轴交轴于点，交轴于点．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
设点坐标为，则，，，
∴，
解得，
∴点的坐标为．
【点睛】本题属于反比例与一次函数综合题，解题的关键是读懂题意，设出坐标，应用相似三角形对应边成比例代入求解．
题型八：运用相似三角形的性质解决折叠问题
39．如图，四边形是矩形，E为边上一点，将矩形沿向上折叠，使点B落在边的点F处．若的周长为18，，则矩形的周长为（ ）
A．16 B．20 C．24 D．48
【答案】C
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴
由折叠可得，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，
∴
∴．
故选：C．
40．如图，矩形中，，，为中点，为上一点，将沿折叠后，点恰好落到上的点处，则折痕的长是（ ）．
A．8 B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，连接，
四边形为矩形，
，，，
为中点，
，
由翻折知，，
，，，
，
平分，
，
，，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
故选：C．
41．如图，已知M，N分别为锐角的边上的点，，把沿折叠，点O落在点C处，与交于点P，若，则 ．
【答案】
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
由折叠可得，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：．
42．如图，点在矩形的边上，沿折叠，顶点恰好落在边上．再将对折，点的对应点为点，折痕为．若，，则 ．

【答案】
【详解】解：如图：连接，，
由折叠可得，垂直平分，
∵四边形是矩形，
∴，，
在中，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
设，则，，
∵垂直平分，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
即，
解得，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠问题，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，垂直平分线的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
43．如图，在矩形中，，，把这个矩形纸片折叠一次，使点B和点D重合．
(1)请用直尺和圆规作出这条折痕（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)这条折痕交于点，交于点，直接写出的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】
【详解】（1）如图，连接，作的垂直平分线，交于，交于，交于点，即为折痕．
（2）矩形纸片沿直线折叠，使得点与点重合，
垂直平分，
，，
四边形为矩形，
，，，
，，
在和中，
，
，
，
由作法可知：，
∵，
∴，
∴，即：，
解得：，
∴．
44．如图矩形中，对角线，E为边上一点，，将矩形沿所在的直线折叠，B点恰好落在对角线上的处，求长．
【答案】
【详解】解：由折叠得：，，
，
，
，
，，
，
，即，
，
∵
∴．
题型九：运用相似三角形的性质解决三角板问题
45．将一副三角板如图叠放，则与的面积比是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：设．
∵ 在中，，，
∴ ．
∵ 在中，，，
∴ ，．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
故选：C．
46．如图，边长为10的等边，点D在边上，且，将含角的直角三角板（）绕直角顶点D旋转，分别交边于P、Q，连接，当时，的长为（ ）
A．2 B．1 C． D．3
【答案】A
【分析】
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴．
故选：A
47．一块含角的直角三角板（如图），它的斜边，里面空心的各边与的对应边平行，且各对应边的距离都是，那么的周长是 ．
【答案】
【分析】
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴周长是，
连接，过E作于M，过E作于H，延长交于，延长交于点，
由题意得，，
∴平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
延长交于点，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
故答案为：．
48．将含角且大小不等的两个三角板按如图摆放，使直角顶点重合，连接、，则
【答案】
【详解】解：由题意得，，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴．
故答案为：．
49．如图，等腰中，，，为的中点，将一块三角板的角顶点放在点处，让三角板的两边分别交两腰、于点、.
(1)求证：；
(2)连接，当时，求的面积.
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】
【详解】（1）证明：连接，如图所示：
∵在中，，
∴，
∵，
，
∵，且，
∴
∴
∴
∴，
∵
∴
∵
∴；
（2）∵，
∴，
∴中边上的高与中边上的高相等，
过点P作，连接，交于点H，如图所示：
∵，为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为：．
题型十：运用相似三角形的性质解决裁剪问题
50．如图，在直角三角形纸片中裁剪出一个正方形纸片，其中D，E两点在边上，F，G两点分别在和边上，已知，则正方形纸片的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：过点作，交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，即：，
∴，
∵正方形，
∴，，，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，
∴，
∴正方形纸片的面积为；
故选D．
51．在学校选修课上，王强和同学一起准备利用面积为的正方形纸板，按照如图所示裁剪方法制作一个正方体纸盒，则这个正方体纸盒的体积是 ．
【答案】
【分析】
【详解】解：如图，在正方形中，，
设，
由此裁剪可得：
和为等腰直角三角形，
∴，
∴，即，
解得：，
∴，
∴正方体纸盒的棱长为，
∴体积为，
故答案为：．
52．如图，一块四边形铁片中，，，在此四边形中裁剪出一个面积最大的圆形铁片，则该圆形铁片的半径为 ．
【答案】
【详解】解：如图，延长、交于点E，
，
，
，即，
解得：，
，
由勾股定理得：，
当裁剪的圆为的内切圆时，面积最大，设该圆形铁片的半径为x，
由题意得：，
解得：，
，，，
半径为符合题意，
故答案为：
53．劳动课上，聂老师给每位同学发了一张等腰三角形彩纸，底边长，底边上的高为．圆圆沿底边依次从下往上裁剪出宽度均为的矩形纸条．
(1)直接写出剪下的第一张矩形纸片长为___________；
(2)从下往上剪第几张纸片是正方形纸片？请说明理由．
【答案】(1)
(2)从下往上剪第张纸片是正方形纸片，理由见解析
【分析】
【详解】（1）解：如图，设第一张矩形纸片长为，过点作交于，
∵沿底边依次从下往上裁剪出宽度均为的矩形纸条，
∴，，
∴，
∴，即，
解得：，
故答案为：
（2）如图，设从下往上剪第张纸片是正方形纸片，则，
∵
∴，即，
解得：，
∴从下往上剪第张纸片是正方形纸片．
题型十一：运用相似三角形的性质解决最值问题
54．如图，在矩形中，，，点E是边上一动点，连结，将沿折叠得，连结，点M是线段的中点，连结，则的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【详解】解：在矩形中，，，，
由折叠可知，，
取中点，连接，，则，
∴，
又∵点是线段的中点，
∴是的中位线，
∴，
由三角形三边关系可知，，当在上时取等号，
∴的最小值为，
故选：D．
55．如图，在中，，，以为边，在的下方作矩形，且使，连接，则的最大值为 ．
【答案】/
【分析】
【详解】过点A作，且使得，连接，，，构造，利用相似三角形的性质求出，然后根据即可求解．
∵，，
∴，；
∵，
∴，
∴，
∵矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
因为，
当B，F，E三点共线时，的最大值为，
故答案为：．
56．如图，在等边中，，点在中线上运动，连接，将绕点顺时针旋转，得到，连接，则的最小值为 ．
【答案】1
【分析】
【详解】解：取的中点E，连接，
∵等边，将绕点顺时针旋转，得到，
∴，，
∴，
∵等边，
∴，
∵E是的中点，是中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵点P在中线上运动，点E为的中点，
∴当时，最短，即最短，
此时，即，
∴，
∴，
即，
∴．即，
故答案为：．
57．在矩形中，，，点为边上一动点（点与点、不重合），连接，过点作，垂足，交或的延长线于点．
(1)求证：；
(2)若，求的长；
(3)设，求关于的函数解析式．当取何值时，有最大值，并求出的最大值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)，当时，有最大值
【分析】
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
又，
∴．
（2）解：∵矩形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：∵，
∴．
∵，
∴
∴
当时，有最大值．
58．如图，在中，，，，在其内部作一个矩形，其中点D在边上，点B在边上，点C在边上，设矩形的一边．
(1)请用含x的代数式表示边的长度；
(2)设矩形的面积为，求当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？
【答案】(1)米
(2)当时，矩形面积y最大，最大面积为
【分析】
【详解】（1）解：∵四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴，即，
∵，，，
∴，
∴，
解得：；
（2）解：由（1）得：，，矩形的面积为，
∴，
∴当时，矩形面积y最大，最大面积为．
59．如图，在矩形中，，，点P在线段上运动（含B、C两点），连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，求线段的最小值．
【答案】
【详解】解：在上截取，连接，
由题意得，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，最小，如图：
∵,
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
题型十二：运用相似三角形的性质解决多结论问题
60．如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点．若，，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：由作图过程可知，为的平分线，
∴，
故A选项正确，不符合题意；
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，故选项B正确，不符合题意；
∵，
∴
∴，故选项C错误，符合题意；
∵，
∴,故选项D正确，不符合题意；
故选：C．
61．如图，在正方形中，边长为6，点，分别是，边上的点，且，平分，连接，分别交，于点，．点是的中点，连接．下列结论其中正确的有（ ）个．
①；
②；
③垂直平分；
④；
⑤的面积为．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【详解】解：∵四边形为正方形，
∴，，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵平分，
∴垂直平分，，故③正确；
∵点是的中点，
∴为的中位线，
∴，故①正确；
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，故④正确；
∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，故②正确；
如图，作于，
，
则为等腰直角三角形，
∴，
∴,
∵，
∴，
∵点是的中点，
∴，故⑤错误；
综上所述，正确的有①②③④，共个，
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
62．如图，在中，E、F分别是、边上的点，连接、，它们相交于点G，延长交的延长线于点H，下列结论错误的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴；
不能得到
综上：A，B，C选项正确，D选项错误；
故选D．
63．如图，在正方形中，点是的中点，点是上的一点，且，连接、、，下列结论：①，②，③，其中正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【详解】解：设正方形的边长为，则，
∵点是的中点，，
∴，
∴，
由正方形的性质可得，
∴，故①正确；
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，故②正确；
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
∵，
∴，故③正确，
故选：D．
64．如图，在四边形中，，点在上，，连接并延长交的延长线于点，连接，，给出下面三个结论：①是等腰直角三角形；②；③，上述结论中，所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②③
【详解】解：∵，
，，，
∴是等腰三角形，
，
，
，
，
∴是等腰直角三角形，
故①正确；
，且，
，
故②正确；
，，
∴，
，
，
∵
，
故③正确，
综上，正确的有①②③，
故答案为：①②③．
65．如图，点在线段上，在的同侧作等腰直角三角形和等腰直角三角形，与、分别交于点、．对于下列结论：①；②；③．其中正确的结论是 ．
【答案】①②③
【详解】解：，是等腰直角三角形，，
，，
．
∵，
∴，
∴，
所以①正确；
∵，
∴．
∵，
∴，
，
∴，
所以②正确；
设与相交于，
则，
∵，
∴，
∴．
是等腰直角三角形，
，
，
所以③正确；
综上分析可知，正确的有①②③，
故答案为：①②③．

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