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12.4分式方程
（30分提至70分使用）
一、分式方程的定义
定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
形式示例：，其中 (A)、(B)、(C) 是整式，且 (B) 中含有未知数，。
注意：判断是否为分式方程的关键是分母中是否含未知数，与分子是否含未知数无关。
二、分式方程的解法
1. 基本思路
通过去分母，将分式方程转化为整式方程求解，体现“转化”的数学思想。
2. 具体步骤
去分母：方程两边同乘各分式的最简公分母，约去分母，化为整式方程。
例：解方程，最简公分母为 (x)，两边同乘 (x) 得：。
解整式方程：按整式方程（如一元一次方程）的解法求解。
接例：解得 。
检验：
将整式方程的解代入最简公分母，若公分母不为 (0)，则是原分式方程的解；若公分母为 (0)，则是增根，原方程无解。
接例：将 代入公分母 (x)，得，故 是原方程的解。
三、分式方程的无解问题
整式方程无解：去分母后得到的整式方程本身无解（如 ）。
若分式方程（(B)、(D) 含未知数）无解，需分两步讨论：
去分母后得整式方程 ，若 且，整式方程无解，原方程无解；
若整式方程有解 ，令分母 或 ，求出增根 (m)，代入整式方程解得参数值，此时原方程无解。
分式方程的定义
1．下列关于x的方程中，不是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列方程是分式方程的是（ ）
A． B．
C． D．关于的方程
3．在下列方程中，关于的分式方程的个数有（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．下列方程中，是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
5．在解分式方程时，第一步去分母，方程两边乘上最简公分母，乘上的最简公分母正确的是（ ）
A． B． C． D．
列分式方程
6．某服装厂接到一学校的订单，生产一段时间后，还剩960套校服未生产，厂家因更换设备（所用时间忽略不计），生产效率比更换设备前提高了，结果刚好提前6天完成订单任务．设该厂家更换设备前每天生产x套校服，则可列分式方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．掀起了“人工智能”的热潮，某单位利用的和两个模型处理一批数据．已知两模型合作处理，需小时完成；单独处理这批数据，所需的时间比少2小时，设单独处理需要x个小时，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．某市为解决雨季时城市内涝的难题，计划改造一段长5400米的老街道地下管网．施工过程中，实际每天的施工效率比原计划提高了，按这样的进度可以比原计划提前15天完成任务，求实际施工时每天改造管网的长度．设原计划每天改造管网x米，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．为缓解城市地面交通压力，提高人们出行的效率，某地准备扩建一条地铁路线，现要对沿线的地下管道进行改迁，为尽量减少施工对周边居民生活造成的影响，实际施工时，每天比原计划多改迁，结果提前10天完成改迁任务．设实际每天改迁管道，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．“五一”节期间，几名同学在老师组织下包租一辆旅游中巴车前往七星关鸡鸣三省红色景区游览，租价为180元，出发时因特殊原因两名同学不能前往，结果每个同学比原来多摊了3元车费，设实际参加游览的同学共有x人，则所列方程为（　　）
A． B．
C． D．
分式方程无解问题
11．已知关于的分式方程，若这个方程无解，则的值是（ ）
A． B． C．或 D．或
12．若关于x的分式方程无解，则a的值为（ ）
A．0 B． C．1或 D．1
13．若关于的方程无解，则的取值为（ ）
A． B． C． D．3
14．若分式方程无解，则值为（ ）
A．1 B．0 C． D．
15．若关于x的方程无解，则a的值是( )
A．1 B．2 C．1或2 D．a不存在
根据分式方程解的情况求值
16．已知是分式方程的解，那么的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
17．已知关于的分式方程的解为负数，则的取值范围为（ ）
A． B．且
C． D．且
18．若关于的方程的解是1，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
19．关于的分式方程的解是．那么的值是（　　）
A．4 B．2 C． D．
20．已知关于的分式方程的解为，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．-1 D．-2
解分式方程
21．解分式方程：
(1)
(2)．
22．解下列方程：
(1)
(2)
23．解分式方程：．
24．解分式方程：
(1)
(2)
25．解下列方程：
(1)；
(2)．12.4分式方程
（30分提至70分使用）
一、分式方程的定义
定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
形式示例：，其中 (A)、(B)、(C) 是整式，且 (B) 中含有未知数，。
注意：判断是否为分式方程的关键是分母中是否含未知数，与分子是否含未知数无关。
二、分式方程的解法
1. 基本思路
通过去分母，将分式方程转化为整式方程求解，体现“转化”的数学思想。
2. 具体步骤
去分母：方程两边同乘各分式的最简公分母，约去分母，化为整式方程。
例：解方程，最简公分母为 (x)，两边同乘 (x) 得：。
解整式方程：按整式方程（如一元一次方程）的解法求解。
接例：解得 。
检验：
将整式方程的解代入最简公分母，若公分母不为 (0)，则是原分式方程的解；若公分母为 (0)，则是增根，原方程无解。
接例：将 代入公分母 (x)，得，故 是原方程的解。
三、分式方程的无解问题
整式方程无解：去分母后得到的整式方程本身无解（如 ）。
若分式方程（(B)、(D) 含未知数）无解，需分两步讨论：
去分母后得整式方程 ，若 且，整式方程无解，原方程无解；
若整式方程有解 ，令分母 或 ，求出增根 (m)，代入整式方程解得参数值，此时原方程无解。
分式方程的定义
1．下列关于x的方程中，不是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查分式方程的判断，熟练掌握分式方程的概念是解题的关键．
根据分母含有未知数的方程是分式方程，依次对各选项进行分析判断．
【详解】解：A、是分式方程，故本选项不符合题意；
B、不是分式方程，故本选项符合题意；
C、是分式方程，故本选项不符合题意；
D、是分式方程，故本选项不符合题意；
故选：B
2．下列方程是分式方程的是（ ）
A． B．
C． D．关于的方程
【答案】B
【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键；
根据分式方程的定义逐项判断即可．
【详解】A、是一元一次方程，不是分式方程，故本选项不符合题意；
B、是分式方程，故本选项符合题意；
C、的分母含未知数，但不是整式，不是分式方程，故本选项不符合题意；
D、关于的方程分母不含未知数，不是分式方程，故本选项不符合题意；
故选：B．
3．在下列方程中，关于的分式方程的个数有（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【分析】本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断．
【详解】解：①、⑤不是等式，故不符合题意；
②，⑥，是数字不是未知数，是一元一次方程，故不符合题意；
③，④是分式方程，故符合题意；
故选：A．
4．下列方程中，是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程判断．
【详解】A、方程分母中不含未知数，故不是分式方程；
B、方程分母中含未知数x，故是分式方程；
C、方程分母中不含未知数，故不是分式方程；
D、方程分母中不含未知数，故不是分式方程．
故选：B．
【点睛】判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数．
5．在解分式方程时，第一步去分母，方程两边乘上最简公分母，乘上的最简公分母正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】 首先找最简公分母，再化成整式方程，通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．
【详解】由4x2- 9= (2x+3)(2x-3)，另一个分母为2x+3，
故可得方程最简公分母为(2x+3)(2x-3)，
即4x2- 9
故选: C.
【点睛】本题考查的是解分式方程，最简公分母的确定时将分式方程转化为整式方程的第一步，因此要根据所给分母确定最简公分母.
列分式方程
6．某服装厂接到一学校的订单，生产一段时间后，还剩960套校服未生产，厂家因更换设备（所用时间忽略不计），生产效率比更换设备前提高了，结果刚好提前6天完成订单任务．设该厂家更换设备前每天生产x套校服，则可列分式方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了列分式方程．根据题意，原计划生产剩余校服的时间等于提高效率后生产时间加上提前的天数，据此列方程，即可作答．
【详解】解：设更换设备前每天生产套，
依题意，原计划生产剩余套，花费时间为天，
∵生产效率提高，
∴提高后每天生产套，生产时间为天，
∵提前6天完成，
∴，
故选：D．
7．掀起了“人工智能”的热潮，某单位利用的和两个模型处理一批数据．已知两模型合作处理，需小时完成；单独处理这批数据，所需的时间比少2小时，设单独处理需要x个小时，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，找出等量关系，是解题的关键．设单独处理需要x小时，则单独处理需要小时，合作效率为各自效率之和，即，合作时间小时完成整个工作（工作量为1），故效率之和等于，即可列出方程．
【详解】解：设单独处理需要x小时，则单独处理需要小时，根据题意得：
．
故选：B．
8．某市为解决雨季时城市内涝的难题，计划改造一段长5400米的老街道地下管网．施工过程中，实际每天的施工效率比原计划提高了，按这样的进度可以比原计划提前15天完成任务，求实际施工时每天改造管网的长度．设原计划每天改造管网x米，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了列分式方程．实际施工效率比原计划提高了，即实际每天施工长度为米．原计划施工天数为天，实际施工天数为天，实际比原计划提前15天完成，因此实际天数等于原计划天数减15天，由此列出方程．即可作答．
【详解】解：∵计划改造一段长5400米的老街道地下管网．施工过程中，实际每天的施工效率比原计划提高了，按这样的进度可以比原计划提前15天完成任务，且设原计划每天改造管网x米
∴，
故选：B
9．为缓解城市地面交通压力，提高人们出行的效率，某地准备扩建一条地铁路线，现要对沿线的地下管道进行改迁，为尽量减少施工对周边居民生活造成的影响，实际施工时，每天比原计划多改迁，结果提前10天完成改迁任务．设实际每天改迁管道，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查根据实际问题列分式方程，根据实际比原计划每天多改迁，提前10天完成，列出原计划天数与实际天数的差为10的方程．
【详解】解：设实际每天改迁管道，
由题意，得．
故选：A．
10．“五一”节期间，几名同学在老师组织下包租一辆旅游中巴车前往七星关鸡鸣三省红色景区游览，租价为180元，出发时因特殊原因两名同学不能前往，结果每个同学比原来多摊了3元车费，设实际参加游览的同学共有x人，则所列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意，找到等量关系并正确列出方程是关键；由题意知原来有人，根据等量关系：每个同学比原来多摊了3元车费，列出分式方程即可．
【详解】解：设实际参加游览的同学共有x人，
根据题意得：．
故选：A．
分式方程无解问题
11．已知关于的分式方程，若这个方程无解，则的值是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】本题考查的知识点是分式方程无解的情况，解题关键是熟练掌握解分式方程．
分式方程无解的情况有两种：一是化简后的整式方程矛盾（如非零常数），二是解出的根使原方程分母为零，先将方程化简为 ，再求解整式方程，并考虑分母不为零的条件．
【详解】解：原方程，
又，
，
方程化为，即，
两边同乘得，，
整理得，，
，
，
当时，，
方程无解的情况：
①当时，方程化为，即，矛盾，无解；
②当时，原方程分母为零，无解，即 ，解得，，
综上，或时方程无解．
故选：．
12．若关于x的分式方程无解，则a的值为（ ）
A．0 B． C．1或 D．1
【答案】D
【分析】本题考查了分式方程无解．先将分式方程化为整式方程，得到，当解使分母 时，即，代入得，此时原方程无解，其他情况下方程均有解，故，据此进行分析，即可作答．
【详解】解：∵原方程 ，
∴ 方程化为，
即
∴，
整理得 ，
∴ ，
即
当时，分母为零，方程无解，
代入得，解得
∴ 当时，方程无解．
故选：D
13．若关于的方程无解，则的取值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】B
【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程无解的条件是解题关键．
先解分式方程得，再由方程无解可得，然后把代入中，即可求出的取值．
【详解】解：方程两边同时乘以，得，
整理得，．
当，即时，该方程无解，
把代入中，解得．
故选：B．
14．若分式方程无解，则值为（ ）
A．1 B．0 C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，先去分母得到，再根据原方程无解可知方程有增根，据此求解即可．
【详解】解：
去分母得：，
∵分式方程无解，
∴分式方程有增根，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
15．若关于x的方程无解，则a的值是( )
A．1 B．2 C．1或2 D．a不存在
【答案】C
【分析】本题考查了分式方程的解，解题关键是掌握分式方程无解说明了其对应的整式方程无解或整式方程的解使分母为零．根据方程无解得出其对应的整式方程的解是或整式方程无解，即可求出．
【详解】解：，
去分母得：，
整理得：，
该分式方程无解，
或，
或2．
故选：C
根据分式方程解的情况求值
16．已知是分式方程的解，那么的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查的是分式方程的解的含义，将代入分式方程，直接求解m的值.
【详解】解：∵ 是方程的解，
∴ ，
即，
∴ ，
移项得： ，
∴.
故选：C
17．已知关于的分式方程的解为负数，则的取值范围为（ ）
A． B．且
C． D．且
【答案】B
【分析】此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为0，表示出分式方程的解是解本题的关键．
先求解分式方程，得到解，根据解为负数且分母不为零的条件，列出不等式和排除条件即可求解．
【详解】解：由题意得，
解得，
∴分母，
∴，
∵解为负数，
∴，即，
又∵，
∴，即，
∴且．
故选：B．
18．若关于的方程的解是1，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】本题考查分式方程的解，准确的计算是解决本题的关键．
将方程的解代入原方程，求解m的值．
【详解】解：∵是方程的解，
∴
，
，
解得．
故m的值为，
故选B．
19．关于的分式方程的解是．那么的值是（　　）
A．4 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了分式方程的解，将已知解代入分式方程求解即可．
【详解】∵关于的分式方程的解是，
∴代入得，
∴．
故选：D．
20．已知关于的分式方程的解为，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．-1 D．-2
【答案】A
【分析】本题主要考查了分式方程的解、解一元一次方程等知识点，掌握分式方程的解是使分式方程成立的未知数的值是解题的关键．
将代入得到关于a的方程求解即可．
【详解】解：将代入可得：，
解得：．
故选：A．
解分式方程
21．解分式方程：
(1)
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解分式方程（化为一元一次），解题关键是掌握解分式方程并能熟练运用求解．
（1）去分母，移项，合并同类项，即可求解，再检验根；
（2）去分母，移项，合并同类项，即可求解，再检验根．
【详解】（1）解：，
去分母，得，
移项，得，
合并同类项，得，
即，
经检验：是原分式方程的解；
（2），
去分母，得，
移项，得，
合并同类项，得，
经检验：是原分式方程的解．
22．解下列方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)无解
【分析】本题考查了解分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先把分式方程化为整式方程，再解得，最后验根，即可作答．
（2）先把分式方程化为整式方程，再解得，最后验根，即可作答．
【详解】（1）解：，
去分母得，
去括号得，
∴，
检验：当时，，
∴分式方程的解为．
（2）解：，
去分母得，
去括号得，
∴，
∴，
检验：当时，，
∴是原分式方程的增根，
此方程无解．
23．解分式方程：．
【答案】
【分析】本题主要考查解分式方程，掌握将分式方程转换为一元一次方程求解的方法是关键．
根据题意，先去分母，转换为一元一次方程，再根据解一元一次方程的方法计算，检验根是否符合题意即可．
【详解】解：，
整理得，，
等式两边同时乘以得，，
去括号得，，
移项、合并同类项得，，
系数化为1得，，
检验，当时，原分式方程有意义，
∴原分式方程的解为．
24．解分式方程：
(1)
(2)
【答案】(1)无解
(2)
【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般方法，是解题的关键．
（1）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可；
（2）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可．
【详解】（1）解：，
去分母得：，
解整式方程得：，
检验：把代入得：，
∴是原方程的增根，
∴原方程无解．
（2）解：
去分母得：，
去括号得：，
解整式方程得：，
检验：把代入得：，
∴是原方程的解．
25．解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)无解
【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般步骤，是解题的关键．
（1）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可；
（2）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可．
【详解】（1）解：，
去分母得：，
移项，合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验：把代入得：，
∴是原方程的解；
（2）解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
即，
检验：把代入得：，
∴是原方程的增根，
∴原方程无解．

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