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12.5分式方程的应用
（30分提至70分使用）
一、分式方程应用的步骤
审题：仔细阅读题目，理解题意，明确已知量、未知量以及它们之间的关系。
设未知数：根据题目要求，设出合适的未知数（通常用(x)表示）。
列分式方程：找出题目中的等量关系，根据等量关系列出分式方程。
解方程：按照分式方程的解法，将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解。
验根：把整式方程的解代入最简公分母中，若最简公分母不为(0)，则是原分式方程的解；若最简公分母为(0)，则是增根，原分式方程无解。同时，还需检验解是否符合实际意义。
作答：写出答案，回答题目提出的问题。
二、常见等量关系类型
行程问题：路程 = 速度×时间，即。常见形式有相遇问题、追及问题、顺逆流问题等，根据具体情况灵活运用公式。
工程问题：工作总量 = 工作效率×工作时间，即。常把工作总量看作单位“(1)”。
利润问题：利润 = 售价 - 成本，利润率。
浓度问题：溶质质量 = 溶液质量×浓度，溶液质量 = 溶质质量 + 溶剂质量。
比例问题：若甲、乙两数的比为(a:b)，可设甲数为(ax)，乙数为(bx)（）。
三、注意事项
单位统一：在列方程前，要确保所有已知量的单位统一。
等量关系准确：这是列对分式方程的关键，需反复审题，找出题目中隐含的等量关系。
必须验根：解分式方程时，去分母可能产生增根，所以验根是必不可少的步骤，且要保证解符合实际问题的情境。
设未知数要完整：设未知数时，要写明单位，例如“设(x)小时完成”。
行程问题
1．一艘轮船在静水中航行的速度是，顺水航行后返回，返回时用同样的时间只航行了．求水流的速度．
2．八年级（1）班的同学在体育课上进行长跑训练，小芳跑完1000m用了ts，小雯用相同的时间跑完了800m．这次训练，小芳的平均速度是小雯平均速度的多少倍？
3．已知某款电动汽车平均每公里的行驶费用比某款燃油车平均每公里的行驶费用少元．当两款车的行驶费用均为100元时，电动汽车可行驶的总里程是燃油车的4倍．
(1)求这款电动汽车平均每公里的行驶费用．
(2)电动汽车和燃油车每年的其他费用（含保险费、保养费等）分别为7500元和4500元．当两款车每年的行驶里程均为a公里时，电动汽车和燃油汽车的年度总费用之比为，求a的值．
4．小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是20千米，但交通比较拥堵；路线二的全程是27千米，平均车速比走路线一的平均车速能提高，因此比走路线一少用10分钟到达．求路线一的平均车速．
5．《九章算术》中记录有这样一道题：今有驿使乘快马、慢马行九百里．慢马较限期多一日，快马较限期少三日，且快马之速为慢马二倍．问限期几何？原题译成白话文：现在有驿使骑着快马和慢马行进九百里，慢马比规定时间多用1天，快马比规定时间少用3天，且快马的速度是慢马的2倍．问规定的时间是多少天？快马每天行进多少百里？
工程问题
6．某化工厂采用机器人和机器人搬运化工原料，机器人比机器人每小时少搬运10千克，机器人搬运900千克所用时间与机器人搬运1000千克所用时间相等．求机器人，每小时分别搬运多少千克化工原料．
7．某市对一段全长米的道路进行改造，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天修路比原计划提高效率，结果提前天完成了修路任务，求原计划每天修路多少米？
8．某电子元件厂准备生产4600个电子元件，甲车间独立生产了一半后，由于要尽快投入市场，乙车间也加入该电子元件的生产，若乙车间每天生产的电子元件是甲车间的倍，结果用33天完成任务，问甲车间每天生产电子元件多少个？
9．在改进生产工艺后，某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产480台机器所需时间与原计划生产330台机器所需时间相同，则现在平均每天生产多少台机器？
10．今年冬天哈尔滨遭遇50年不遇的大雪，我市启用了从荷兰引进的清雪机，一台清雪机的工作效率相当于一个环卫工人的200倍，用这台机器清雪80万立方米的雪比150个环卫工人清这些雪少用2小时，这台清雪机每小时清雪多少万立方米？
经济问题
11．某校积极响应国家“科教兴园”战略．开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A、B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多150元，用3500元购买A型机器人模型和用2100元购买B型机器人模型的数量相同．
(1)求A型、B型机器人模型的单价分别是多少元？
(2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型的数量不超过A型机器人模型数量的2倍，问购买A型机器人模型至少为多少台？
12．为庆祝中华人民共和国成立七十六周年，某校组织了大型的庆祝活动，需保证每位师生都拥有一面小五星红旗．已知该校学生人数比教师人数的8倍还多人，购买教师用小五星红旗和学生用小五星红旗分别花了元和元．
(1)求该校教师人数和学生人数；
(2)在庆祝活动期间，学校为每位教师和学生提供一瓶饮用水，且购买饮用水的费用不超过元，则每瓶饮用水的价格不超过多少元？
13．某学生用品超市准备购进A、B两种类型的文具袋进行销售，若每个A型文具袋比每个B型文具袋的进价少2元，且用元购进A型文具袋的数量与用元购进B型文具袋的数量相同．解答下列问题：
(1)每个A型、B型文具袋的进价分别是多少元
(2)设该超市购进B型文具袋m个．若购进A型文具袋的数量比B型文具袋的数量的3倍少个，且购进A型、B型文具袋的总数量不超过个，该超市最多购进B型文具袋多少个
14．五一假期将至，某商店看准商机用2000元和2400元分别购进A，B两种水果．已知A种水果每箱的进价比B种水果每箱的进价少20元，且购进A种水果的箱数是B种水果箱数的．
(1)求A，B两种水果每箱的进价分别为多少元；
(2)商店开始出售这些水果，已知A种水果的售价为60元/箱，出售完40箱后，对剩下部分打a折进行销售；B种水果每箱售价比进价多元，两种水果均全部售出．若要使销售这批水果的总利润率不低于40%，求a的最小值．
15．为支援贫困山区，某学校爱心活动小组准备用筹集的资金购买A、B两种型号的学习用品．已知B型学习用品的单价比A型学习用品的单价多10元，用180元购买B型学习用品与用120元购买A型学习用品的件数相同．
(1)求A，B两种学习用品的单价各是多少元；
(2)若购买A、B两种学习用品共1000件，且总费用不超过28000元，则最多购买B型学习用品多少件？
和差倍问题
16．为培养学生的动手能力，某校组织开展了手工制作比赛，甲、乙两名同学同时参加手工纸花制作比赛，已知甲每小时比乙每小时少制作20朵，甲制作120朵纸花的时间与乙制作160朵纸花的时间相同，求乙每小时制作多少朵纸花？
17．甲、乙两人加工同一种零件，甲比乙每小时多加工10个这种零件，甲加工150个这种零件所用的时间与乙加工120个这种零件所用的时间相等，求乙每小时加工多少个这种零件？
18．中国无人机是低空经济应用的主要载体之一，农业无人机是我国低空经济中发展成熟度高的领域．某县用甲，乙两种型号的无人机吊运某农作物到集中收货点，甲型机比乙型机平均每分钟多运送15公斤，甲型机运送1700公斤所用时间与乙型机运送1400公斤所用时间相等，两种无人机平均每分钟分别运送多少公斤农作物？
19．某公司员工积极参加爱心捐款活动．已知第一次捐款总额为48000元，第二次捐款总额为50000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额恰好相等．如果设第一次捐款人数为x人，那么x满足怎样的方程？列出方程并求解．
20．一只不透明的袋子中，装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外其它都相同．
(1)搅匀后从中摸出一个球，请求出不是白球的概率；
(2)搅匀后从中任意摸出一个球，要使摸出红球的概率为 应如何添加红球 请说明理由．
其它问题
21．如图，已知直线，点A，D和点B，C，E，F分别在直线，上，与的面积之比为，边比边长．求，的长．
22．在“阳光体育一小时”活动中，小明和小亮参加跳绳比赛．在某段相同时间内，小明跳了180次，小亮跳了210次．已知小明每分钟比小亮少跳20次，则小明和小亮平均每分钟各跳多少次？
23．新冠疫情期间戴口罩是有效减少人和人传播的一种方式．为了防控疫情的需要，我国自主研发高速口罩生产设备．某工厂现在一台机器日产口罩量比原来日产口罩量多100万片，现在生产30000万片所用的时间与原来生产10000万片的时间相同，求原来一台机器日产口罩多少万片？
24．七（3）班开展“诵读经典，点亮人生”读书活动，小智和小慧读了同一本480页的名著．根据下面两个人的对话，求小慧每天读这本名著的页数．
小智：我每天读的页数是你每天读的页数的倍．
小慧：我读完这本书比你多用了4天．
25．某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．若购买篮球的数量是足球的2倍，购买篮球用了6300元，购买足球用了2100元，篮球单价比足球单价贵30元．
(1)求篮球和足球的单价分别是多少元；
(2)学校计划采购篮球、足球共60个，并要求篮球多于40个，且总费用低于5000元．那么有哪几种购买方案？12.5分式方程的应用
（30分提至70分使用）
一、分式方程应用的步骤
审题：仔细阅读题目，理解题意，明确已知量、未知量以及它们之间的关系。
设未知数：根据题目要求，设出合适的未知数（通常用(x)表示）。
列分式方程：找出题目中的等量关系，根据等量关系列出分式方程。
解方程：按照分式方程的解法，将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解。
验根：把整式方程的解代入最简公分母中，若最简公分母不为(0)，则是原分式方程的解；若最简公分母为(0)，则是增根，原分式方程无解。同时，还需检验解是否符合实际意义。
作答：写出答案，回答题目提出的问题。
二、常见等量关系类型
行程问题：路程 = 速度×时间，即。常见形式有相遇问题、追及问题、顺逆流问题等，根据具体情况灵活运用公式。
工程问题：工作总量 = 工作效率×工作时间，即。常把工作总量看作单位“(1)”。
利润问题：利润 = 售价 - 成本，利润率。
浓度问题：溶质质量 = 溶液质量×浓度，溶液质量 = 溶质质量 + 溶剂质量。
比例问题：若甲、乙两数的比为(a:b)，可设甲数为(ax)，乙数为(bx)（）。
三、注意事项
单位统一：在列方程前，要确保所有已知量的单位统一。
等量关系准确：这是列对分式方程的关键，需反复审题，找出题目中隐含的等量关系。
必须验根：解分式方程时，去分母可能产生增根，所以验根是必不可少的步骤，且要保证解符合实际问题的情境。
设未知数要完整：设未知数时，要写明单位，例如“设(x)小时完成”。
行程问题
1．一艘轮船在静水中航行的速度是，顺水航行后返回，返回时用同样的时间只航行了．求水流的速度．
【答案】
【分析】本题主要考查了分式方程的应用（流水行船问题），熟练掌握“顺水速度静水速度水流速度、逆水速度静水速度水流速度”的关系，并根据时间相等的条件建立方程是解题的关键．
设水流速度为未知数，根据“顺水航行的时间与逆水航行的时间相等”，结合顺水、逆水速度与静水速度、水流速度的关系列方程求解．
【详解】解：设水流的速度为．则顺水速度为，逆水速度为，由题意可得
，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
答：水流的速度为．
2．八年级（1）班的同学在体育课上进行长跑训练，小芳跑完1000m用了ts，小雯用相同的时间跑完了800m．这次训练，小芳的平均速度是小雯平均速度的多少倍？
【答案】
【分析】本题考查了分式方程的行程问题，读懂题意，列出表达式是问题求解的关键．
根据题意分别列出小芳和小雯的平均速度，相除即可得到答案．
【详解】解：小芳的平均速度为，小雯的平均速度为，
，
答：小芳的平均速度是小雯平均速度的倍．
3．已知某款电动汽车平均每公里的行驶费用比某款燃油车平均每公里的行驶费用少元．当两款车的行驶费用均为100元时，电动汽车可行驶的总里程是燃油车的4倍．
(1)求这款电动汽车平均每公里的行驶费用．
(2)电动汽车和燃油车每年的其他费用（含保险费、保养费等）分别为7500元和4500元．当两款车每年的行驶里程均为a公里时，电动汽车和燃油汽车的年度总费用之比为，求a的值．
【答案】(1)这款电动汽车平均每公里的行驶费用为0.2元
(2)13500
【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．
（1）设电动汽车平均每公里的行驶费用为元，则燃油车平均每公里的行驶费用为元，根据题意列出方程，求出的值即可解答；
（2）由（1）得，燃油车平均每公里的行驶费用为（元），根据题意列出关于a的方程，求出a的值即可解答．
【详解】（1）解：设电动汽车平均每公里的行驶费用为元，则燃油车平均每公里的行驶费用为元，
由题意得，，
解得，
经检验，是方程的解，且符合题意，
答：这款电动汽车平均每公里的行驶费用为0.2元；
（2）解：由（1）得，燃油车平均每公里的行驶费用为（元），
由题意得，，
解得，
经检验，是方程的解，且符合题意，
∴a的值为13500．
4．小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是20千米，但交通比较拥堵；路线二的全程是27千米，平均车速比走路线一的平均车速能提高，因此比走路线一少用10分钟到达．求路线一的平均车速．
【答案】千米/小时
【分析】本题考查了分式方程的应用，根据路线二的全程是27千米，平均车速比走路线一的平均车速能提高，得路线二的平均车速为千米/小时，又因为路线二比走路线一少用10分钟到达，进行列式计算，即可作答．
【详解】解：设路线一的平均车速为千米/小时，
则路线二的平均车速为千米/小时，
依题意，，
∴，
∴，
解得，
经检验：当时，，
故是原分式方程的解．
∴路线一的平均车速是千米/小时
5．《九章算术》中记录有这样一道题：今有驿使乘快马、慢马行九百里．慢马较限期多一日，快马较限期少三日，且快马之速为慢马二倍．问限期几何？原题译成白话文：现在有驿使骑着快马和慢马行进九百里，慢马比规定时间多用1天，快马比规定时间少用3天，且快马的速度是慢马的2倍．问规定的时间是多少天？快马每天行进多少百里？
【答案】规定时间是7天，快马每天行进百里
【分析】本题考查分式方程的应用，设规定的时间为x天，根据“慢马比规定时间多用1天，快马比规定时间少用3天，且快马的速度是慢马的2倍”列方程即可．
【详解】解：设规定的时间是x天，
根据题意可列方程为：，
解得，
经检验，是原方程的解，
；
，
答：规定时间是7天，快马每天行进百里．
工程问题
6．某化工厂采用机器人和机器人搬运化工原料，机器人比机器人每小时少搬运10千克，机器人搬运900千克所用时间与机器人搬运1000千克所用时间相等．求机器人，每小时分别搬运多少千克化工原料．
【答案】机器人A每小时搬运90千克化工原料，机器人B每小时搬运100千克化工原料．
【分析】本题考查分式方程的实际应用，解题的关键是根据“工作时间相等”这一等量关系列出分式方程．
设机器人A每小时搬运的重量为未知数，结合机器人B与A的搬运量关系表示出B的速度，再根据时间相等的条件列方程求解．
【详解】解：设机器人A每小时搬运千克化工原料，则机器人B每小时搬运千克化工原料，
，
解得：，
检验：当时，，所以是原方程的解，
则机器人B每小时搬运：（千克）．
答：机器人A每小时搬运90千克，机器人B每小时搬运100千克．
7．某市对一段全长米的道路进行改造，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天修路比原计划提高效率，结果提前天完成了修路任务，求原计划每天修路多少米？
【答案】米
【分析】本题考查了分式方程的应用，设原计划每天修路米，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键．
【详解】解：设原计划每天修路米，
由题意得，，
解得，
经检验是原方程的解，且符合题意，
答：原计划每天修路米．
8．某电子元件厂准备生产4600个电子元件，甲车间独立生产了一半后，由于要尽快投入市场，乙车间也加入该电子元件的生产，若乙车间每天生产的电子元件是甲车间的倍，结果用33天完成任务，问甲车间每天生产电子元件多少个？
【答案】甲车间每天生产个电子元件
【分析】本题考查了分式方程的应用．
设甲车间每天生产电子元件个，则乙车间每天生产的电子元件个，根据用33天完成任务，列方程求解．
【详解】解：设甲车间每天生产电子元件个，则乙车间每天生产的电子元件个，
由题意得，，
解得：，
经检验：是分式方程的解，且符合题意．
答：甲车间每天生产电子元件100个．
9．在改进生产工艺后，某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产480台机器所需时间与原计划生产330台机器所需时间相同，则现在平均每天生产多少台机器？
【答案】现在平均每天生产160台机器
【分析】本题考查分式方程的实际应用，设现在平均每天生产台机器，根据现在生产480台机器所需时间与原计划生产330台机器所需时间相同，列出分式方程进行求解即可．
【详解】解：设现在平均每天生产台机器，由题意，得：
，
解得；
经检验，是原方程的解，且符合题意；
答：现在平均每天生产160台机器．
10．今年冬天哈尔滨遭遇50年不遇的大雪，我市启用了从荷兰引进的清雪机，一台清雪机的工作效率相当于一个环卫工人的200倍，用这台机器清雪80万立方米的雪比150个环卫工人清这些雪少用2小时，这台清雪机每小时清雪多少万立方米？
【答案】万立方米
【分析】本题考查了分式方程的求解，解决本题的关键是根据题意列出分式方程．
先设出未知数，然后根据工作效率、工作时间和工作量之间的关系列出方程，最后求解方程得到清雪机每小时清雪的量．
【详解】解：设一个环卫工人每小时清雪万立方米，
则这台清雪机每小时清雪200万立方米，
根据题意列方程如下：，
则，
∴，
解得 万立方米，
经检验，是原方程的根，
则这台清雪机每小时清雪： 万立方米．
答：这台清雪机每小时清雪万立方米．
经济问题
11．某校积极响应国家“科教兴园”战略．开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A、B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多150元，用3500元购买A型机器人模型和用2100元购买B型机器人模型的数量相同．
(1)求A型、B型机器人模型的单价分别是多少元？
(2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型的数量不超过A型机器人模型数量的2倍，问购买A型机器人模型至少为多少台？
【答案】(1)A型机器人模型的单价为是375元，B型机器人模型的单价为是225元
(2)购买A型机器人模型至少为14台
【分析】本题考查了分式方程的应用，解一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）理解题意，设B型机器人模型的单价为x元，则A型机器人模型的单价为元，结合用3500元购买A型机器人模型和用2100元购买B型机器人模型的数量相同，进行列方程，解方程，最后验根，即可作答．
（2）设购买A型机器人模型m台，则购买B型机器人模型台，根据购买B型机器人模型的数量不超过A型机器人模型数量的2倍，进行列不等式，即可作答．
【详解】（1）解：设B型机器人模型的单价为x元，则A型机器人模型的单价为元，
由题意可得
解得，
经检验，是原方程的解且符合题意，
．，
答：A型机器人模型的单价为是375元，B型机器人模型的单价为是225元；
（2）解：设购买A型机器人模型m台，则购买B型机器人模型台，
由题意可得：
解得
又∵m为正整数，
∴购买A型机器人模型至少为14台．
12．为庆祝中华人民共和国成立七十六周年，某校组织了大型的庆祝活动，需保证每位师生都拥有一面小五星红旗．已知该校学生人数比教师人数的8倍还多人，购买教师用小五星红旗和学生用小五星红旗分别花了元和元．
(1)求该校教师人数和学生人数；
(2)在庆祝活动期间，学校为每位教师和学生提供一瓶饮用水，且购买饮用水的费用不超过元，则每瓶饮用水的价格不超过多少元？
【答案】(1)教师人数为人，学生人数为人；
(2)每瓶饮用水的价格不超过元；
【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题关键；
（1）设该校教师人数为，则学生人数为；由题意得：，即可求解；
（2）设每瓶饮用水的价格为元，由题意得：，即可求解．
【详解】（1）解：设该校教师人数为，则学生人数为；
由题意得：，
解得：；
经检验，是原方程的解；
∴；
即：教师人数为人，学生人数为人；
（2）解：设每瓶饮用水的价格为元，由题意得：
，解得；
∴每瓶饮用水的价格不超过元．
13．某学生用品超市准备购进A、B两种类型的文具袋进行销售，若每个A型文具袋比每个B型文具袋的进价少2元，且用元购进A型文具袋的数量与用元购进B型文具袋的数量相同．解答下列问题：
(1)每个A型、B型文具袋的进价分别是多少元
(2)设该超市购进B型文具袋m个．若购进A型文具袋的数量比B型文具袋的数量的3倍少个，且购进A型、B型文具袋的总数量不超过个，该超市最多购进B型文具袋多少个
【答案】(1)A型文具袋进价为8元，B型文具袋进价为元；
(2)该超市最多购进B型文具袋个；
【分析】本题考查了分式方程、一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题关键；
（1）设每个A型的进价是元，则B型文具袋的进价为元，由题意得：，即可求解；
（2）由题意得：该超市购进型文具袋个．则，即可求解；
【详解】（1）解：设每个A型的进价是元，则B型文具袋的进价为元，
由题意得：，
解得：；
经检验，是原方程的解；
∴；
故：A型文具袋进价为8元，B型文具袋进价为元；
（2）解：由题意得：该超市购进型文具袋个．
则，解得；
故：该超市最多购进B型文具袋个；
14．五一假期将至，某商店看准商机用2000元和2400元分别购进A，B两种水果．已知A种水果每箱的进价比B种水果每箱的进价少20元，且购进A种水果的箱数是B种水果箱数的．
(1)求A，B两种水果每箱的进价分别为多少元；
(2)商店开始出售这些水果，已知A种水果的售价为60元/箱，出售完40箱后，对剩下部分打a折进行销售；B种水果每箱售价比进价多元，两种水果均全部售出．若要使销售这批水果的总利润率不低于40%，求a的最小值．
【答案】(1)A，B两种水果每箱的进价分别为40元，60元
(2)a的最小值为8
【分析】本题考查了分式方程与一元一次不等式的实际应用，解题的关键是根据题意找出等量关系和不等关系，建立方程与不等式求解．
（1）设A种水果每箱进价为元，根据A、B水果进价关系和购进箱数的关系列分式方程求解；
（2）先求出、水果的购进箱数，再根据总利润率不低于的条件列一元一次不等式，求解得出的最小值．
【详解】（1）解：设A种水果每箱进价为x元，则B种水果每箱进价为元，
据题意得：，
解得：，
经检验，为方程的根，
∴A，B两种水果每箱的进价分别为40元，60元；
（2）解：购进A种水果的箱数为：箱，
购进B种水果的箱数为：箱，
据题意得：，
解得：，
∴a的最小值为8．
15．为支援贫困山区，某学校爱心活动小组准备用筹集的资金购买A、B两种型号的学习用品．已知B型学习用品的单价比A型学习用品的单价多10元，用180元购买B型学习用品与用120元购买A型学习用品的件数相同．
(1)求A，B两种学习用品的单价各是多少元；
(2)若购买A、B两种学习用品共1000件，且总费用不超过28000元，则最多购买B型学习用品多少件？
【答案】(1)A型学习用品的单价是20元，B型学习用品的单价是30元
(2)800件
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程与不等式是解题的关键．
（1）设A型学习用品的单价是x元，则B型学习用品的单价是元，根据题意列出分式方程解方程即可求解；
（2）设购买B型学习用品m件，则购买A型学习用品件，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求解．
【详解】（1）解：设A型学习用品的单价是x元，则B型学习用品的单价是元，
依题意得，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：A型学习用品的单价是20元，B型学习用品的单价是30元．
（2）解：设购买B型学习用品m件，则购买A型学习用品件，
依题意得：，
解得：．
答：最多购买B型学习用品800件．
和差倍问题
16．为培养学生的动手能力，某校组织开展了手工制作比赛，甲、乙两名同学同时参加手工纸花制作比赛，已知甲每小时比乙每小时少制作20朵，甲制作120朵纸花的时间与乙制作160朵纸花的时间相同，求乙每小时制作多少朵纸花？
【答案】乙每小时制作80朵纸花
【分析】本题主要考查了，列分式方程解应用题，解题关键点：找出相等关系，列方程．设乙每小时制作x朵纸花，则甲每小时制作朵纸花，根据“甲制作120朵纸花的时间与乙制作160朵纸花的时间相同”得：，解分式方程可得.
【详解】解：设乙每小时制作x朵纸花，依题意得：
，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：乙每小时制作80朵纸花．
17．甲、乙两人加工同一种零件，甲比乙每小时多加工10个这种零件，甲加工150个这种零件所用的时间与乙加工120个这种零件所用的时间相等，求乙每小时加工多少个这种零件？
【答案】
【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意正确列方程是解题关键．设乙每小时加工个这种零件，根据“甲加工150个这种零件所用的时间与乙加工120个这种零件所用的时间相等”，列方程求解即可．
【详解】解：设乙每小时加工个这种零件，则甲每小时加工个这种零件，
则，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
答：乙每小时加工个这种零件．
18．中国无人机是低空经济应用的主要载体之一，农业无人机是我国低空经济中发展成熟度高的领域．某县用甲，乙两种型号的无人机吊运某农作物到集中收货点，甲型机比乙型机平均每分钟多运送15公斤，甲型机运送1700公斤所用时间与乙型机运送1400公斤所用时间相等，两种无人机平均每分钟分别运送多少公斤农作物？
【答案】甲种型号的无人机平均每分钟运送85公斤农作物，乙种型号的无人机平均每分钟运送70公斤农作物．
【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设乙种型号的无人机平均每分钟运送x公斤农作物，则甲种型号的无人机平均每分钟运送公斤农作物，利用工作时间工作总量工作效率，结合甲型机运送1700公斤所用时间与乙型机运送1400公斤所用时间相等，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值即乙种型号的无人机每分钟运送农作物的质量，再将其代入中，即可求出甲种型号的无人机每分钟运送农作物的质量．
【详解】解：设乙种型号的无人机平均每分钟运送x公斤农作物，则甲种型号的无人机平均每分钟运送公斤农作物，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴（公斤），
答：甲种型号的无人机平均每分钟运送85公斤农作物，乙种型号的无人机平均每分钟运送70公斤农作物．
19．某公司员工积极参加爱心捐款活动．已知第一次捐款总额为48000元，第二次捐款总额为50000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额恰好相等．如果设第一次捐款人数为x人，那么x满足怎样的方程？列出方程并求解．
【答案】见解析
【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意并正确列方程是解题关键．如果设第一次捐款人数为x人，则第二次捐款人数为人，根据“两次人均捐款额恰好相等”列分式方程求解即可．
【详解】解：如果设第一次捐款人数为x人，则第二次捐款人数为人，
根据题意，得，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
即第一次捐款人数为480人．
20．一只不透明的袋子中，装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外其它都相同．
(1)搅匀后从中摸出一个球，请求出不是白球的概率；
(2)搅匀后从中任意摸出一个球，要使摸出红球的概率为 应如何添加红球 请说明理由．
【答案】(1)
(2)应添加1个红球
【分析】题目主要考查利用概率公式求解及分式方程的实际应用，理解题意，熟练掌握这些基础知识点是解题关键
（1）根据概率公式直接求解即可；
（2）设应添加个红球，根据题意列出方程求解即可，同时进行检验
【详解】（1）解：∵有2个白球和1个红球，
∴不是白球的概率为：；
（2）设应添加个红球，
由题意得
解得
经检验是原方程的解
答：应添加1个红球．
其它问题
21．如图，已知直线，点A，D和点B，C，E，F分别在直线，上，与的面积之比为，边比边长．求，的长．
【答案】；
【分析】本题主要考查了三角形的面积分式方程的应用，解题的关键是得出和的长度之比，设，则，根据列出方程，解方程即可．
【详解】解：∵，与的面积之比为，
∴，
设，则，根据题意得：
，
解得：，
经检验是原方程的根，
∴，
∴．
22．在“阳光体育一小时”活动中，小明和小亮参加跳绳比赛．在某段相同时间内，小明跳了180次，小亮跳了210次．已知小明每分钟比小亮少跳20次，则小明和小亮平均每分钟各跳多少次？
【答案】小明平均每分钟跳120次，小亮平均每分钟跳140次
【分析】本题主要考查了分式方程的应用.列方程解应用题的关键是找相等关系，本题中的相等关系是小明跳的时间＝小亮跳的时间．
【详解】解：设小亮每分钟跳x下，则小明每分钟跳下，
根据题意可得：，
解方程得：，
经检验：是原方程的解，
∴，
答：小明平均每分钟跳120次，小亮平均每分钟跳140次．
23．新冠疫情期间戴口罩是有效减少人和人传播的一种方式．为了防控疫情的需要，我国自主研发高速口罩生产设备．某工厂现在一台机器日产口罩量比原来日产口罩量多100万片，现在生产30000万片所用的时间与原来生产10000万片的时间相同，求原来一台机器日产口罩多少万片？
【答案】50万片
【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
设原来一台机器日产口罩x万片，根据题意列出分式方程求解即可．
【详解】解：设原来一台机器日产口罩x万片，
根据题意，得
解得
经检验：原分式方程的解．
答：原来一台机器日产口罩50万片．
24．七（3）班开展“诵读经典，点亮人生”读书活动，小智和小慧读了同一本480页的名著．根据下面两个人的对话，求小慧每天读这本名著的页数．
小智：我每天读的页数是你每天读的页数的倍．
小慧：我读完这本书比你多用了4天．
【答案】小慧每天读这本名著20页
【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设小慧每天读这本名著页，则小智每天读这本名著页，根据小慧读完这本书比小智多用了4天列方程，解方程求出的值，再进行检验即可得．
【详解】解：设小慧每天读这本名著页，则小智每天读这本名著页，
由题意得：，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，
答：小慧每天读这本名著20页．
25．某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．若购买篮球的数量是足球的2倍，购买篮球用了6300元，购买足球用了2100元，篮球单价比足球单价贵30元．
(1)求篮球和足球的单价分别是多少元；
(2)学校计划采购篮球、足球共60个，并要求篮球多于40个，且总费用低于5000元．那么有哪几种购买方案？
【答案】(1)篮球的单价是90元，足球的单价是60元
(2)共有6种购买方案：①采购篮球41个，足球19个；②采购篮球42个，足球18个；③采购篮球43个，足球17个；④采购篮球44个，足球16个；⑤采购篮球45个，足球15个；⑥采购篮球46个，足球14个
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，弄清题意，正确找到各量间的关系是解决本题的关键．
（1）根据题意，由分式方程的概念列方程求解即可；
（2）设采购篮球个，则采购足球为个，结合题意列不等式组，求解即可．
【详解】（1）解：设篮球的单价是元，则足球的单价是元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：篮球的单价是90元，足球的单价是60元；
（2）解：设采购篮球个，则采购足球为个，
由题意得：，
解得：，
又为整数，
的值可为41，42，43，44，45，46，
共有6种购买方案：
①采购篮球41个，足球19个；
②采购篮球42个，足球18个；
③采购篮球43个，足球17个；
④采购篮球44个，足球16个；
⑤采购篮球45个，足球15个；
⑥采购篮球46个，足球14个．

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