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13.1命题与证明
（30分提至70分使用）
一、命题
定义：判断一件事情的语句，叫做命题。
组成：命题通常由题设（条件）和结论两部分组成。题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。数学中的命题常可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面接的部分是结论。
分类：
真命题：如果题设成立，那么结论一定成立的命题叫做真命题。
假命题：如果题设成立时，不能保证结论一定成立的命题叫做假命题。
二、逆命题
定义：对于两个命题，如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，那么这样的两个命题叫做互逆命题。其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做它的逆命题。
表示：若原命题为“如果( p )，那么( q )”，则其逆命题为“如果( q )，那么( p )”。
说明：每个命题都有逆命题，但原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题。
三、互逆命题
定义：见“逆命题”中的定义，即两个命题中，如果一个命题是另一个命题的逆命题，则这两个命题互为逆命题。
关系：互逆命题是成对出现的，不能单独说一个命题是互逆命题。
四、互逆定理
定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
说明：
逆定理一定是真命题。
并不是所有的定理都有逆定理，只有当一个定理的逆命题是真命题时，这个定理才有逆定理。
五、证明过程
证明的定义：根据题设、定义以及已经被确认的公理、定理等，经过逻辑推理，来判断一个命题是否正确的推理过程叫做证明。
证明真命题的一般步骤：
审题：分清命题的题设和结论。
根据题意画出图形：把文字语言转化为图形语言，有助于直观理解。
根据题设、结论，结合图形，写出“已知”和“求证”：“已知”是命题的题设部分，“求证”是命题的结论部分。
分析证明思路：从已知条件出发，运用所学的定义、公理、定理等，逐步推出求证的结论（可以从已知推向未知，也可以从结论反推已知）。
写出证明过程：要做到每一步推理都有依据，依据可以是已知、定义、公理、定理等，并把推理过程有条理地书写出来。
证明假命题的方法：只需举出一个反例即可，即举出一个符合命题题设，但不满足命题结论的例子。
写出命题的逆命题
1．下列命题的逆命题不成立的是（　　）
A．对顶角相等 B．直角三角形的两锐角互余
C．等边三角形的三条边相等 D．两直线平行，内错角相等
【答案】A
【分析】本题考查命题与逆命题的真假判断，熟练掌握逆命题的概念是解题的关键．
逆命题是将原命题的条件和结论互换，需判断互换后的命题是否成立即可．
【详解】解：选项A：原命题“对顶角相等”成立，逆命题“相等的角是对顶角”不成立，例如等腰三角形的底角相等但不是对顶角，故A逆命题不成立；
选项B：原命题“直角三角形的两锐角互余”成立，逆命题“两锐角互余的三角形是直角三角形”成立，根据三角形内角和是，两角互余则第三角为，故B逆命题成立；
选项C：原命题“等边三角形的三条边相等”成立，逆命题“三边相等的三角形是等边三角形”成立，符合等边三角形的定义，故C逆命题成立；
选项D：原命题“两直线平行，内错角相等”成立，逆命题“内错角相等，两直线平行”成立，为平行线判定定理，故D逆命题成立；
故选：A．
2．已知命题“如果，那么”，则该命题的逆命题是（ ）．
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
【答案】B
【分析】本题考查逆命题，将原命题的条件和结论互换即可．
【详解】解：∵原命题为“如果，那么”，
∴逆命题为如果 ，那么 ，
故选：B
3．下列各命题的逆命题不成立的是（　　）
A．两直线平行，内错角相等．
B．若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等
C．如果，那么
D．对顶角相等
【答案】D
【分析】本题考查逆命题的真假判断，准确分析判断是解题的关键．
需要写出每个原命题的逆命题，并运用初中数学知识判断其是否成立．
【详解】、原命题两直线平行，内错角相等的逆命题为内错角相等，两直线平行，
内错角相等是平行线的判定定理，
逆命题成立；
、原命题若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等的逆命题为若两个数相等，则这两个数的绝对值相等；
两数相等则绝对值必相等，
逆命题成立；
、原命题如果，那么的逆命题为如果，那么，
时，平方必然相等，
逆命题成立；
、原命题对顶角相等的逆命题为相等的角是对顶角，
相等的角不一定是对顶角，
逆命题不成立；
故选．
4．对于命题“若，则”下面四组关于的值中，能说明这个命题的逆命题是假命题的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查互逆命题，举反例．原命题的逆命题是“若，则”．要说明逆命题是假命题，需找到一组a、b的值，满足但不满足．逐项验证选项即可．
【详解】解：∵ 原命题的逆命题为“若，则”．
A、，，则，，逆命题成立，不合题意；
B、，则，，逆命题不成立，符合题意；
C、，则，，逆命题成立，不合题意；
D、，则，，逆命题成立，不合题意．
故选：B．
5．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．如果两个角是直角，那么这两个角相等
B．如果两个有理数相等，那么它们的平方相等
C．对顶角相等
D．两直线平行，同位角相等
【答案】D
【分析】本题主要考查了命题与定理、有理数的平方、对顶角、平行线的判定等知识点，熟练掌握相关性质定理成为解题的关键．
先写出逆命题，然后根据直角、有理数的平方、对顶角、平行线的判定逐项判断即可．
【详解】解：A、如果两个角是直角，那么这两个角相等，逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是直角，是假命题，不符合题意；
B、如果两个有理数相等，那么它们的平方相等，逆命题是如果两个有理数的平方相等，那么这两个有理数相等，是假命题，不符合题意；
C、对顶角相等，逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，是假命题，不符合题意；
D、两直线平行，同位角相等，逆命题是同位角相等，两直线平行，是真命题，符合题意．
故选：D．
互逆定理
6．下列说法错误的是（ ）
A．任何命题都有逆命题 B．任何定理都有逆定理
C．真命题的逆命题不一定是真命题 D．互逆定理中的两个命题都是真命题
【答案】B
【分析】本题考查命题与定理，逆定理、互逆定理、原命题、逆命题、互逆命题等知识．根据命题和定理的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、任何命题都有逆命题，正确，故本选项不符合题意；
B、任何定理不一定都有逆定理，故本选项符合题意；
C、真命题的逆命题不一定是真命题，正确，故本选项不符合题意；
D、互逆定理中的两个命题都是真命题，正确，本选项不符合题意；
故选：B．
7．下列说法正确的是（ ）
A．任何命题都有逆命题 B．任何定理都有逆定理
C．真命题的逆命题一定是真命题 D．定理的逆命题一定是真命题
【答案】A
【分析】本题考查了命题与定理，判断事物的语句叫命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题，经过推理论证的真命题叫定理，两个命题的题设与结论互换的命题互为逆命题．
利用逆命题、逆定理的知识对各项进行判断即可得到答案．
【详解】解：A、任何命题都有逆命题，正确，故本选项符合题意；
B、定理不一定有逆定理，原说法错误，故本选项不符合题意；
C、真命题的逆命题不一定是真命题，原说法错误，故本选项不符合题意；
D、定理的逆命题不一定是真命题，原说法错误，故本选项不符合题意；
故选：A
8．下列说法正确的个数是（ ）
①每个命题都有逆命题
②真命题的逆命题是真命题
③假命题的逆命题是真命题
④每个定理都有逆定理
⑤每个定理一定有逆命题
⑥命题“若，那么”的逆命题是假命题，可举反例．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题主要考查了逆命题，真假命题，逆定理，根据定义逐个判断即可.
【详解】解：因为每个命题都有逆命题，所以①正确；
因为真命题的逆命题不一定是真命题，所以②不正确；
因为假命题的逆命题不一定是真命题，所以③不正确；
因为每个定理都有逆命题，不一定是真命题，所以④不正确，⑤正确；
因为命题“若，那么”的逆命题是“若，那么”，可举反例当，则，所以⑥不正确.
所以正确的有2个.
故选：B.
9．下列定理中，没有逆定理的是（ ）
A．两直线平行，内错角相等 B．直角三角形两锐角互余
C．对顶角相等 D．同位角相等，两直线平行
【答案】C
【分析】本题考查命题与定理，分别写出四个命题的逆命题，逆命题是真命题的就是逆定理，不成立的就是假命题，就不是逆定理．
【详解】解：A，“两直线平行，内错角相等”的逆定理是“内错角相等，两直线平行”，不合题意；
B，“直角三角形两锐角互余”的逆定理是“两锐角互余的三角形是直角三角形”，不合题意；
C，“对顶角相等”的逆命题是“相等的两个角是对顶角”，该逆命题是假命题，因此“对顶角相等”没有逆定理，符合题意；
D，“同位角相等，两直线平行”的逆定理是“两直线平行，同位角相等”，不合题意；
故选C．
写出一个命题的已知、求证及证明过程
11．请将三角形内角和定理的推论补充完整并加以证明．
定理：三角形的外角等于_____________________的和．
已知：
求证：
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，三角形的外角等于与其不相邻的两个内角的和，据此补全定理，再写出对应的已知和求证，根据三角形内角和定理和平角的定义证明即可．
【详解】定理：三角形的外角等于与其不相邻的两个内角的和．
已知：是的一个外角．
求证：．
证明：如图所示，在中，，
∵，
∴．
12．证明三角形的内角和为．要求：根据题意画出图形，结合画出的图形写出已知和求证，并尝试证明．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了三角形内角和的证明，平行线的性质，利用平行线的性质，将三角形的三个内角集中到同一个顶点，再由平角为，证明即可．
【详解】解：已知：如图，，
求证：；
证明：过点作，如图，
∵，
，
，
，
三角形内角和．
13．命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行．
(1)请将此命题改写成“如果……那么……”的形式；
(2)证明该命题．（要求先画出图形，再写出已知和求证，最后写出证明过程）
【答案】(1)在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行
(2)见解析
【分析】本题考查了命题，命题的改写，命题的证明等知识，掌握这些基础知识是关键．
（1）分清命题的题设与结论，按照如果部分后面是题设，那么部分后面是结论的形式改写即可；
（2）画出图形，结合图形写出已知、求证，利用平行线的判定即可完成证明．
【详解】（1）解：改成“如果……那么……”的形式为：在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行．
（2）已知：如图，是同一平面内的三条直线，且．
求证：．
证明：．
．
又和是同位角，
∴．
14．写出“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题，判断真假并给出证明．
【答案】见解析
【分析】本题考查写逆命题，并证明命题的真假，将原命题的条件和结论互换，写出逆命题，根据命题写出已知，求证，进行证明即可．
【详解】解：有两个角互余的三角形是直角三角形．这个逆命题是真命题．
已知：在中，，
求证：是直角三角形，
证明：如图所示，在中，（三角形三个内角的和等于）．
（等式的性质）．
已知，
（等量代换），
是直角三角形．
15．命题：直角三角形的两锐角互余．

(1)将此命题写成“如果…，那么…”：______；
(2)请判断此命题的真假．若为假命题，请说明理由；若为真命题，请根据所给图形写出已知、求证和证明过程．
【答案】(1)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余
(2)该命题是真命题，详见解析
【分析】本题考查的是直角三角形的性质，逆命题的概念：
（1）根据逆命题的概念写出原命题的逆命题；
（2）根据三角形内角和定理计算，即可证明．
【详解】（1）解：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余；
故答案为：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余
（2）解：该命题是真命题
已知：如图，在中，
求证：
证明：
．
根据论断组命题并证明
16．求证：等腰三角形两底角的角平分线相等．
已知：
求证：
证明：
【答案】见解析
【分析】根据命题先设置出题目条件和所需证明的结论，再利用全等三角形的判定与性质作答即可．
【详解】已知：在中，，，分别是和的角平分线，
求证：．
证明：∵，
∴，
∵，分别是和的角平分线，
∴，，
∴，
在和中
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形两底角的角平分线相等的证明方法，掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
17．数学证明是一个严谨的过程，例如在证明命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”时，我们进行了分类讨论，使证明过程完整且正确．下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．
已知：如图，直线l为线段的垂直平分线，点P为l上一点．
求证：______________________．
请你补全求证，并写出证明过程．
【答案】，证明过程见解析
【分析】根据垂直的定义和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】求证：，
证明：如图，设直线与的交点为，
直线为线段的垂直平分线，
，，
，
在与中，
，
∴（SAS），
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
18．如图，有下列三个条件：①DE//BC；②；③．
(1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都写出来；
(2)你所写出的命题都是真命题吗？若是，请你就其中的一个真命题给出推理过程；若不是，请你对其中的假命题举出一个反例（温馨提示：）
【答案】(1)一共能组成三个命题，见解析
(2)都是真命题，推理见解析
【分析】（1）（1）根据两条件一结论组成命题，可得答案；
（2）根据平行线的性质，可判定①②，根据平行线的判定，可判定③，即可
【详解】（1）解：一共能组成三个命题：
①如果DE//BC，，那么；
②如果DE//BC，，那么；
③如果，，那么DE//BC ；
（2）解：都是真命题，
如果DE//BC，，那么，
理由如下：∵DE//BC，
∴，
∵，
∴．
如果DE//BC，，那么；
理由如下：∵DE//BC，
∴，，
∵，
∴；
如果，，那么DE//BC ；
理由如下：∵，
∴∠B+∠C=180°-∠BAC，
∵∠1+∠2+∠BAC=180°，
∴∠1+∠2=180°-∠BAC，
∴∠B+∠C=∠1+∠2，
∵，，
∴∠B=∠1，
∴DE//BC ．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，判断命题的真假，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
19．已知：如图，在中，D，E是边上的两点，G是边上的一点，连接并延长，交的延长线于点F．从以下三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明：①平分；②；③．
条件：_______，结论：_______．（填序号）
证明：
【答案】见解析，证明见解析
【分析】本题考查命题的证明，先选择条件和结论，再根据平行线的性质和判定，角平分线的定义，以及三角形的外角的性质，进行证明即可．
【详解】解：当条件是①平分，②；结论是③时：
证明：平分，
．
，
，．
；
当条件是①③，结论是②时：
证明：平分，
．
∵，
∴，
∴，
∴；
当条件是②③，结论是①时：
，
，．
，
，
∴平分．13.1命题与证明
（30分提至70分使用）
一、命题
定义：判断一件事情的语句，叫做命题。
组成：命题通常由题设（条件）和结论两部分组成。题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。数学中的命题常可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面接的部分是结论。
分类：
真命题：如果题设成立，那么结论一定成立的命题叫做真命题。
假命题：如果题设成立时，不能保证结论一定成立的命题叫做假命题。
二、逆命题
定义：对于两个命题，如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，那么这样的两个命题叫做互逆命题。其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做它的逆命题。
表示：若原命题为“如果( p )，那么( q )”，则其逆命题为“如果( q )，那么( p )”。
说明：每个命题都有逆命题，但原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题。
三、互逆命题
定义：见“逆命题”中的定义，即两个命题中，如果一个命题是另一个命题的逆命题，则这两个命题互为逆命题。
关系：互逆命题是成对出现的，不能单独说一个命题是互逆命题。
四、互逆定理
定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
说明：
逆定理一定是真命题。
并不是所有的定理都有逆定理，只有当一个定理的逆命题是真命题时，这个定理才有逆定理。
五、证明过程
证明的定义：根据题设、定义以及已经被确认的公理、定理等，经过逻辑推理，来判断一个命题是否正确的推理过程叫做证明。
证明真命题的一般步骤：
审题：分清命题的题设和结论。
根据题意画出图形：把文字语言转化为图形语言，有助于直观理解。
根据题设、结论，结合图形，写出“已知”和“求证”：“已知”是命题的题设部分，“求证”是命题的结论部分。
分析证明思路：从已知条件出发，运用所学的定义、公理、定理等，逐步推出求证的结论（可以从已知推向未知，也可以从结论反推已知）。
写出证明过程：要做到每一步推理都有依据，依据可以是已知、定义、公理、定理等，并把推理过程有条理地书写出来。
证明假命题的方法：只需举出一个反例即可，即举出一个符合命题题设，但不满足命题结论的例子。
写出命题的逆命题
1．下列命题的逆命题不成立的是（　　）
A．对顶角相等 B．直角三角形的两锐角互余
C．等边三角形的三条边相等 D．两直线平行，内错角相等
2．已知命题“如果，那么”，则该命题的逆命题是（ ）．
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
3．下列各命题的逆命题不成立的是（　　）
A．两直线平行，内错角相等．
B．若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等
C．如果，那么
D．对顶角相等
4．对于命题“若，则”下面四组关于的值中，能说明这个命题的逆命题是假命题的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．如果两个角是直角，那么这两个角相等
B．如果两个有理数相等，那么它们的平方相等
C．对顶角相等
D．两直线平行，同位角相等
互逆定理
6．下列说法错误的是（ ）
A．任何命题都有逆命题 B．任何定理都有逆定理
C．真命题的逆命题不一定是真命题 D．互逆定理中的两个命题都是真命题
7．下列说法正确的是（ ）
A．任何命题都有逆命题 B．任何定理都有逆定理
C．真命题的逆命题一定是真命题 D．定理的逆命题一定是真命题
8．下列说法正确的个数是（ ）
①每个命题都有逆命题
②真命题的逆命题是真命题
③假命题的逆命题是真命题
④每个定理都有逆定理
⑤每个定理一定有逆命题
⑥命题“若，那么”的逆命题是假命题，可举反例．
A．1 B．2 C．3 D．4
9．下列定理中，没有逆定理的是（ ）
A．两直线平行，内错角相等 B．直角三角形两锐角互余
C．对顶角相等 D．同位角相等，两直线平行
写出一个命题的已知、求证及证明过程
11．请将三角形内角和定理的推论补充完整并加以证明．
定理：三角形的外角等于_____________________的和．
已知：
求证：
12．证明三角形的内角和为．要求：根据题意画出图形，结合画出的图形写出已知和求证，并尝试证明．
13．命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行．
(1)请将此命题改写成“如果……那么……”的形式；
(2)证明该命题．（要求先画出图形，再写出已知和求证，最后写出证明过程）
14．写出“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题，判断真假并给出证明．
15．命题：直角三角形的两锐角互余．

(1)将此命题写成“如果…，那么…”：______；
(2)请判断此命题的真假．若为假命题，请说明理由；若为真命题，请根据所给图形写出已知、求证和证明过程．
根据论断组命题并证明
16．求证：等腰三角形两底角的角平分线相等．
已知：
求证：
证明：
17．数学证明是一个严谨的过程，例如在证明命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”时，我们进行了分类讨论，使证明过程完整且正确．下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．
已知：如图，直线l为线段的垂直平分线，点P为l上一点．
求证：______________________．
请你补全求证，并写出证明过程．
18．如图，有下列三个条件：①DE//BC；②；③．
(1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都写出来；
(2)你所写出的命题都是真命题吗？若是，请你就其中的一个真命题给出推理过程；若不是，请你对其中的假命题举出一个反例（温馨提示：）
19．已知：如图，在中，D，E是边上的两点，G是边上的一点，连接并延长，交的延长线于点F．从以下三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明：①平分；②；③．
条件：_______，结论：_______．（填序号）
证明：

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