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13.3全等三角形的判定
（30分提至70分使用）
1. 边边边（SSS）判定定理
如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为“SSS”。
数学表达式：在和中，若，，，则（SSS）。
2. 边角边（SAS）判定定理
如果两个三角形的两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为“SAS”。
数学表达式：在和中，若，，，则（SAS）。
注意：必须是两边的“夹角”对应相等，而非“对角”。
3. 角边角（ASA）判定定理
如果两个三角形的两角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为“ASA”。
数学表达式：在和中，若，，，则（ASA）。
4. 角角边（AAS）判定定理
如果两个三角形的两角及其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为“AAS”。
数学表达式：在和中，若，，，则（AAS）。
5. 斜边、直角边（HL）判定定理
如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等，简记为“HL”。
数学表达式：在和中，，若（斜边），（直角边），则（HL）。
6. 全等三角形判定的注意事项
判定两个三角形全等至少需要三组对应元素（边或角）。
“SSA”和“AAA”不能作为全等三角形的判定方法（“SSA”中角不是两边夹角时不成立；“AAA”只能判定三角形相似）。
直角三角形全等的判定可优先考虑“HL”，也可使用一般三角形的判定方法（如SAS、ASA等）。
SSS和全等的性质综合
1．工人师傅常用角尺平分一个任意角．作法如下：如图所示，是一个任意角，在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与重合，过角尺顶点的射线即是的平分线．这种作法的道理是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，四边形是一个平分角的简单仪器，其中．将放在角的顶点，和沿着角的两边放下，沿画一条射线，则根据可以得出是的平分线．在这个过程中，的根据是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，点、、三点在同一直线上，且；若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在四边形中，对角线相交于点．若，则的度数为（ ）
A．60° B．65° C． D．
5．如图，有一个简易平分角的仪器，其中，将点放在角的顶点处，和沿着角的两边张开，沿对角线画线，就是的平分线．这个平分角的仪器的制作原理是（ ）
A． B． C． D．
SAS和全等的性质综合
6．如图，已知且，，则判定的依据是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，，则（ ）
A． B． C． D．
8．如图，P，Q分别为射线，上的动点，，且，已知，，，当的长度为（ ）时，．
A．5 B．7 C．12 D．17
9．如图，在由大小相同的小正方形组成的的网格中，都是该网格的格点，连接，则下列关于与的关系中正确的是（ ）
A．小于 B．小于 C．等于 D．与互补
10．如图所示，，，，，，则（ ）
A． B． C． D．无法计算
ASA(AAS)和全等的性质综合
11．如图，，，若，，则的长是（ ）．
A．3 B．4 C．5 D．6
12．如图，在中，，，于点E，于点D，，，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
13．如图，已知，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
14．如图，由，，可得，使用的判定定理是（ ）
A． B． C． D．
15．如图，在中，，，的平分线交于点D，，交的延长线于点E，若，则的面积为（ ）
A．8 B．16 C．24 D．32
添加全等使三角形全等
16．如图，已知，则下列条件中，不能使成立的是（ ）
A． B． C． D．
17．如图，，，添加下列条件，不能判定的是（ ）．
A． B．
C． D．
18．在与中，，，则添加下列选项中的条件仍不一定能证得这两个三角形全等的是（ ）
A． B． C． D．
19．如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A． B．
C． D．
20．如图，已知点，，，在同一条直线上，，，要使，需添加一个条件是（ ）
A． B． C． D．
全等三角形综合问题
21．如图，在方格纸中，的顶点均在格点上，利用网格线解决问题：
(1)在图中找一点D，使得与全等；
(2)在图中找一点O，使得．
22．如图，现给出三个关系式：①，②，③．请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出一个真命题，并加以证明．
23．如图1，在中，分别是的平分线，相交于点F．
(1)请判断与之间的数量关系，并加以证明．
(2)如图2，在中，如果，其他条件不变，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
24．如图，教学楼与操场上的旗杆相距，小林同学从教学楼B点沿走到D点，一定时间后他到达P点，此时他测得和的夹角为，且，已知，旗杆的高为，请你求出教学楼的高度．
25．如图，已知点、、、在同一直线上，，且．
(1)从图中任找出两组全等的三角形；
(2)从（1）中任选一组进行证明．13.3全等三角形的判定
（30分提至70分使用）
1. 边边边（SSS）判定定理
如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为“SSS”。
数学表达式：在和中，若，，，则（SSS）。
2. 边角边（SAS）判定定理
如果两个三角形的两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为“SAS”。
数学表达式：在和中，若，，，则（SAS）。
注意：必须是两边的“夹角”对应相等，而非“对角”。
3. 角边角（ASA）判定定理
如果两个三角形的两角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为“ASA”。
数学表达式：在和中，若，，，则（ASA）。
4. 角角边（AAS）判定定理
如果两个三角形的两角及其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为“AAS”。
数学表达式：在和中，若，，，则（AAS）。
5. 斜边、直角边（HL）判定定理
如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等，简记为“HL”。
数学表达式：在和中，，若（斜边），（直角边），则（HL）。
6. 全等三角形判定的注意事项
判定两个三角形全等至少需要三组对应元素（边或角）。
“SSA”和“AAA”不能作为全等三角形的判定方法（“SSA”中角不是两边夹角时不成立；“AAA”只能判定三角形相似）。
直角三角形全等的判定可优先考虑“HL”，也可使用一般三角形的判定方法（如SAS、ASA等）。
SSS和全等的性质综合
1．工人师傅常用角尺平分一个任意角．作法如下：如图所示，是一个任意角，在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与重合，过角尺顶点的射线即是的平分线．这种作法的道理是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
由三边相等得，即由判定三角形全等．做题时要根据已知条件结合判定方法逐个验证．
【详解】解：由图可知，，
∵，，
∴，
∴，
即即是的平分线．
故选：B．
2．如图，四边形是一个平分角的简单仪器，其中．将放在角的顶点，和沿着角的两边放下，沿画一条射线，则根据可以得出是的平分线．在这个过程中，的根据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定定理：、、、、．根据题目所给条件可利用定理判定，进而得到．
【详解】解：在和中，
，
，
，
就是的平分线．
故选：．
3．如图，点、、三点在同一直线上，且；若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质．利用可证明，从而得到，，再利用三角形外角性质即可求出最后结果．
【详解】解：在与中，
，
，
，，
∵，
，
，
故选：B．
4．如图，在四边形中，对角线相交于点．若，则的度数为（ ）
A．60° B．65° C． D．
【答案】A
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，先证，得出，再根据三角形外角的性质求的度数．
【详解】解：，，
，
，
，
故选A．
5．如图，有一个简易平分角的仪器，其中，将点放在角的顶点处，和沿着角的两边张开，沿对角线画线，就是的平分线．这个平分角的仪器的制作原理是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键；由题意易证，则有，进而问题可求解．
【详解】解：在和中，
，
∴，
∴，即是的平分线；
故选：D．
SAS和全等的性质综合
6．如图，已知且，，则判定的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查全等三角形的判定方法．由平行线的性质，得到，再证明，利用证明即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴；
故选：C．
7．如图，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，掌握三角形的内角和定理和外角的性质相结合是本题的关键．
由题意可证，则，再根据三角形内角和定理和外角的性质进行求解即可．
【详解】解：在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选D．
8．如图，P，Q分别为射线，上的动点，，且，已知，，，当的长度为（ ）时，．
A．5 B．7 C．12 D．17
【答案】B
【分析】本题考查全等三角形的判定方法，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
要使，需要当时，计算得出．
【详解】解：，且
当时，
在和中，
、
．
故选：B．
9．如图，在由大小相同的小正方形组成的的网格中，都是该网格的格点，连接，则下列关于与的关系中正确的是（ ）
A．小于 B．小于 C．等于 D．与互补
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由网格可知，，，所以，然后通过全等三角形的性质即可求解，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】解：如图，
由网格可知，，，，
∴，
∴，
故选：．
10．如图所示，，，，，，则（ ）
A． B． C． D．无法计算
【答案】B
【分析】此题考查全等三角形的判定及性质的运用，三角形的外角性质．先由，就可以得出，就可以得出，就可以得出，就可以由三角形的外角与内角的关系求出结论．
【详解】解：，
，
．
在和中，
，
，
．
．
．
故选：B．
ASA(AAS)和全等的性质综合
11．如图，，，若，，则的长是（ ）．
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．证明，得到，即可解答．
【详解】解：在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
12．如图，在中，，，于点E，于点D，，，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】本题重点考查直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识．
由于，于，得，由，，得，而，即可根据“”证明，进一步即可得出结论．
【详解】解：∵于，于，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴．
故选：A．
13．如图，已知，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由图得，由条件得，利用等式的性质得，结合可证；由三角形全等的性质得，则，代入数据计算即可．
本题主要考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握两角及对边对应相等，三角形全等是解题的关键．
【详解】解：，
，
在与中，
，
，
，
，
．
故选：B．
14．如图，由，，可得，使用的判定定理是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定．
直接根据证明即可．
【详解】在和中，
，
．
故选：C．
15．如图，在中，，，的平分线交于点D，，交的延长线于点E，若，则的面积为（ ）
A．8 B．16 C．24 D．32
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等角的余角相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，难点在于作辅助线构造出全等三角形．
延长相交于点F，证明，可得，再证明，可得，从而得到，再根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：如图，延长相交于点F，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为．
故选：B
添加全等使三角形全等
16．如图，已知，则下列条件中，不能使成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理．根据题意可得，，据此根据全等三角形的判定定理逐一判断即可．
【详解】解：A、添加条件，结合，，不可利用证明，故此选项符合题意；
B、添加条件，结合，，可利用证明，故此选项不符合题意；
C、添加条件，结合，，可利用证明，故此选项不符合题意；
D、添加条件，结合，，可利用证明，故此选项不符合题意；
故选：A．
17．如图，，，添加下列条件，不能判定的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，
首先得到，然后根据全等三角形的判定定理求解即可．
【详解】解：∵，
∴，即
A．添加条件，可以根据证明，故A不符合题意；
B．添加条件，不可以根据证明，故B符合题意；
C．添加条件，可以根据证明，故C不符合题意；
D．添加条件，可以根据证明，故D不符合题意；
故选：B．
18．在与中，，，则添加下列选项中的条件仍不一定能证得这两个三角形全等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查添加条件证明三角形全等．已知一组边和一组角，添加条件后判断是否满足，或即可．
【详解】解：A．添加后，结合已知，满足，能判定全等；
B．添加后，结合已知，满足，不能判定全等；
C．添加后，结合已知，满足，能判定全等；
D．添加后，结合已知，满足，能判定全等；
故选：B．
19．如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A、∵，，，∴，故选项A不符合题意；
B、∵，∴，故选项B不符合题意；
C、∵，∴，故选项C不符合题意；
D、∵，∴不能判定，故选项D符合题意；
故选：D．
20．如图，已知点，，，在同一条直线上，，，要使，需添加一个条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．根据全等三角形的判定逐项判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
A．添加，则，结合，，可根据证明，故符合题意；
B．添加，则，结合，，根据无法证明，故不符合题意；
C．添加，结合，，根据无法证明，故不符合题意；
D．添加，结合，，根据无法证明，故不符合题意；
故选：A．
全等三角形综合问题
21．如图，在方格纸中，的顶点均在格点上，利用网格线解决问题：
(1)在图中找一点D，使得与全等；
(2)在图中找一点O，使得．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键．
（1）取格点D，可证明，据此可证明与全等；
（2）如图所示，取格点O，可证明，则．
【详解】（1）解：如图所示，点D即为所求；
（2）解：如图所示，点O即为所求；
22．如图，现给出三个关系式：①，②，③．请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出一个真命题，并加以证明．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，真命题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．理解题意，则如果，那么；或如果，那么．进行证明，即可作答．
【详解】解：真命题：如果，那么．
证明：（已知），
（等角的补角相等）．
在和中，
，
（全等三角形的对应角相等）；
或真命题：如果，那么．
证明：（已知），
（等角的补角相等）．
在和中，
，
（全等三角形的对应边相等）；
23．如图1，在中，分别是的平分线，相交于点F．
(1)请判断与之间的数量关系，并加以证明．
(2)如图2，在中，如果，其他条件不变，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【答案】(1)，证明见解析
(2)成立，理由见解析
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质、三角形外角性质、角平分线的性质以及三角形内角和定理等知识，本题综合性强，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型．
（1）在上截取，连接，先证，得，再证，得，即可得出结论；
（2）在上截取，连接，先证，得，，再证，得，即可得出结论．
【详解】（1）解：，理由如下：
如图1，在上截取，连接，
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∵是的平分线，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）（1）中结论仍然成立，
如图2，在上截取，连接，
∵，
∴，
∵分别是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
24．如图，教学楼与操场上的旗杆相距，小林同学从教学楼B点沿走到D点，一定时间后他到达P点，此时他测得和的夹角为，且，已知，旗杆的高为，请你求出教学楼的高度．
【答案】教学楼的高度为
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键．先证明，再结合证明，即可得到结论．
【详解】解：∵和的夹角为，
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
答：教学楼的高度为．
25．如图，已知点、、、在同一直线上，，且．
(1)从图中任找出两组全等的三角形；
(2)从（1）中任选一组进行证明．
【答案】(1)①；②；③
(2)见解析
【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键；
（1）根据题目所给条件可分析出①；②；③；
（2）根据已知条件得出，进而根据，即可证明；根据平行线的性质得出，，进而得出，根据，即可证明，得出，，则，结合，即可证明．
【详解】（1）解：①；②；③
（2）选①
证明：
在和中
②；
证明：
∴
∵
∴
∴
在和中
③
证明：∵
∴，
∴即
∵
∴
在和中
∴

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