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14.1平方根
（30分提至70分使用）
1. 平方根的定义
如果一个数( x )的平方等于( a )，即，那么这个数( x )叫做( a )的平方根（也叫做二次方根）。
2. 平方根的表示方法
一个正数( a )的平方根记为，其中表示( a )的正平方根（也叫算术平方根），表示( a )的负平方根。
3. 平方根的性质
正数的平方根：正数有两个平方根，它们互为相反数。
零的平方根：0的平方根是0，即。
负数的平方根：在实数范围内，负数没有平方根。
4. 算术平方根
定义：正数( a )的正的平方根叫做( a )的算术平方根，0的算术平方根是0。
性质：算术平方根具有非负性，即（）。
5. 开平方运算
求一个数( a )的平方根的运算，叫做开平方。开平方与平方互为逆运算。
6. 平方根的计算
若（），则。
例如：因为和，所以9的平方根是，即。
求平方根
1．下面的说法：（1）；（2）；（3）；（4）．其中正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】D
【分析】本题考查算术平方根与平方根的概念，解题的关键是明确算术平方根的非负性及负数无实数平方根．
根据算术平方根、平方根的定义，逐一判断4个说法的正确性，统计正确的个数．
【详解】解：（1）计算，故，错误；
（2）表示算术平方根，结果为2，而非，错误；
（3）因为负数无实数平方根，无意义，错误；
（4）因为，所以，进而，正确．
综上，只有1个说法正确．
故选：D．
2．若，则下列说法正确的是（ ）
A．是5的算术平方根 B．是5的平方根
C．5是的算术平方根 D．
【答案】B
【分析】本题考查了平方根及算术平方根，根据平方根的定义及算术平方根的定义进行求解即可．
【详解】∵，
∴是5的平方根（平方根定义）．
选项A：算术平方根特指非负平方根，但可能为，故A错误．
选项B：正确，符合平方根定义．
选项C：若5是的算术平方根，则，即，与矛盾，故C错误．
选项D：仅表示正平方根，但可能为负，故D错误．
故选：B．
3．下列式子中表示“9的平方根是”的是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】解题思路是根据平方根的定义与表示方法，逐一分析每个选项的式子所表达的含义，匹配9的平方根是的正确表示．本题考查平方根的表示方法，涉及的知识点是平方根与算术平方根的定义及符号表示．解题中用到的方法是概念辨析法，通过区分平方根、算术平方根、立方根的符号与含义来判断．解题关键是明确表示算术平方根， 表示平方根．易错点是混淆平方根与算术平方根的符号表示，或误将立方根与平方根混淆．
【详解】选项A：表示的是的算术平方根是，不是平方根，不符合题意；
选项B：，符合的平方根是的表示方法；
选项C：是的立方根，与平方根无关，不符合题意；
选项D：表示的是的算术平方根的相反数是，不符合题意．
故选B．
4．若，则的平方根为（ ）
A．7 B． C． D．49
【答案】C
【分析】本题主要考查整式乘法和平方根概念，解题的关键是求出k和p的值．
将左边多项式展开后与右边对应项系数比较，确定k和p的值，再计算的平方根即可．
【详解】解：
，
，
的平方根为，
故答案为： C．
5． 的平方根是（ ）
A． B．2025 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查平方根、算术平方根，理解平方根、算术平方根的定义是正确解答的关键．根据平方根、算术平方根的定义进行解答即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
故选：C．
已知平方根求这个数
6．若一个正数的两个不同的平方根分别为与，则这个正数为（　　）
A．9 B．8 C．3 D．1
【答案】A
【分析】本题主要考查了平方根的定义，熟练掌握一个正数的两个平方根互为相反数，是解题的关键．根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，因此它们的和为零，进行求解即可．
【详解】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数，
∴，
∴，
∴，
∴，
则平方根为：和，
∴ 这个正数为．
故选：A．
7．中国清代学者华衡芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的《代数学》，卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，说明了所谓“代数”，就是用符号来代表数的一种方法．若一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是（ ）
A．25 B．9 C．16 D．5
【答案】A
【分析】本题考查了平方根，根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数即可列出关于m的方程，解方程即可解决问题．
【详解】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数，
∴，
解得，
∴平方根为 和，
∴这个正数为 ．
故选：A．
8．若一个正整数的正平方根是 ，则比这个正整数大 1 的数的正平方根是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查求一个数的算术平方根，由正整数的正平方根为，可得该正整数为，则比它大1的数为，其正平方根为 ，即可得出结果．
【详解】解：设这个正整数为，
∵的正平方根是，
∴．
∴比大1的数为，
∴ 的正平方根为．
故选C．
9．婺江是金华的母亲河，其水面宽度在不同地段有所差异．某段婺江的宽度是一个正数（单位：米），它的平方根是和，那么这段婺江的宽度是（ ）
A．4米 B．16米 C．25米 D．36米
【答案】B
【分析】本题考查平方根的性质，解题的关键是掌握一个正数的两个平方根互为相反数．
根据正数的两个平方根互为相反数，列出关于的方程，求出后再计算这个正数（即婺江的宽度）．
【详解】解：因为一个正数的两个平方根互为相反数，所以，
解方程可得：，
那么这个正数（婺江的宽度）为．
故选：B．
10．如果一个正数的两个平方根为与，则与的值分别为（ ）
A．－9，1 B．9，3 C．3，1 D．9，1
【答案】D
【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，相反数，
先根据正数的平方根互为相反数求出a，再根据平方根的定义求出答案即可.
【详解】解：∵一个正数x的两个平方根是与，
∴，
解得，
∴.
∵9的平方根是，
∴.
故选：D.
求算术平方根
11．下列等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了算术平方根，零指数幂的意义．
根据求算术平方根，零指数幂的意义逐一计算后判断即可．
【详解】A．，原计算错误；
B．，原计算错误；
C．在实数范围内，负数没有平方根，无意义，原计算错误；
D．，原计算正确；
故选：D．
12．下列说法正确的是（ ）
A．4是8的算术平方根 B．4的平方根是
C．的平方根是 D．16的算术平方根是
【答案】B
【分析】本题考查平方根和算术平方根的概念．算术平方根是非负的平方根，平方根包括正负两个值，根据定义逐项判断即可．
【详解】解：A、是8的算术平方根，故本选项错误，不符合题意；
B、4的平方根是，故本选项正确，符合题意；
C、的平方根是，故本选项错误，不符合题意；
D、16的算术平方根是4，故本选项错误，不符合题意；
故选：B
13．根式的值为（ ）
A． B．9 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查算术平方根，先计算平方再开方，根据算术平方根的定义即可解答．
【详解】解：．
故选：C．
14．下列说法正确的是（ ）
A． B．0的平方根是0
C． D．的平方根是2
【答案】B
【分析】本题考查平方根和算术平方根的概念.算术平方根是非负的，平方根有两个值（0除外）.
选项A混淆了平方根与算术平方根；选项C算术平方根结果应为正；选项D忽略了负平方根；选项B正确.
【详解】解：∵ 算术平方根表示非负值，平方根有正负两个值（时）或0（时）.
对于A：表示算术平方根，应为8，而非，所以此项错误；
对于B：0的平方根是0，正确，所以此项正确；
对于C：，而非，所以此项错误；
对于D：，4的平方根是，选项说“是2”不完整，所以此项错误.
故选：B.
15．下列说法正确的是（ ）
A．4的平方根是2 B．的平方根是
C．4是2的算术平方根 D．的算术平方根是2
【答案】D
【分析】本题考查平方根和算术平方根的概念．根据定义，正数的平方根有两个且互为相反数，算术平方根是非负的；负数没有实数平方根，据此逐项判断即可．
【详解】解：∵ 4的平方根是，A只给出2，故A错误；
∵ 负数没有平方根，故B错误；
∵ 2的算术平方根是，不是4，故C错误；
∵，4的算术平方根是2，故D正确．
故选：D．
估计取值范围
16．一个正方形的面积是11，估计它的边长大小在（ ）
A．在1和2之间 B．在2和3之间
C．在3和4之间 D．在4和5之间
【答案】C
【分析】本题主要考查了算术平方根取值范围的估算，掌握算术平方根取值范围的估算方法是解题的关键．
根据正方形的面积公式，边长是面积的平方根，即．再通过比较邻近的完全平方数，估算的范围即可解答．
【详解】解：∵正方形的面积是11，
∴边长为．
∵，且，
∴，即，
∴边长在3和4之间．
故选C．
17．估计的值应在（ ）
A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3间 D．3和4之间
【答案】C
【分析】本题考查二次根式的估算能力，
通过比较平方数确定 的取值范围，然后计算 的区间．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
因此值在2和3之间
故选：C．
18．某小区新修了一个正方形花坛，已知其面积为，则其边长介于（ ）
A．和之间 B．和之间
C．和之间 D．和之间
【答案】B
【分析】本题考查算术平方根的估算，先求出正方形花坛的边长为，再通过比较平方数确定其范围．
【详解】解：设正方形边长为，
正方形花坛的面积为，
，
，
，，且，
，
正方形边长介于和之间，
故选：B．
19．下列整数中，最接近的是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】此题主要考查无理数的估算，解题的关键是熟知实数的性质．
根据无理数的估算方法即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴与最接近的整数是4．
故选C．
20．如果一个正方形的面积为，那么它的边长在哪两个相邻的整数之间（ ）
A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的估算，掌握估算方式是解题的关键．根据正方形面积公式求出边长后进行估算即可．
【详解】解：∵正方形的面积为，
∴正方形的边长为，
∵，
∴，
故选：B．
利用非负性解题
21．若，求的值（ ）
A． B． C．7 D．5
【答案】C
【分析】此题考查了算术平方根的非负性，代数式求值，
根据被开方数必须非负，从而确定x的值，再代入求y，最后计算．
【详解】∵
∴，
∴，
∴，
∴．
∴．
故选：C．
22．若x，y为实数，且，则的值是（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．﹣2025
【答案】C
【分析】本题考查绝对值与算术平方根的非负性，解题的关键是利用“几个非负数的和为0，则每个非负数都为0”．
根据绝对值和算术平方根的非负性，由和为0推出每个部分为0，求出、后计算代数式的值．
【详解】解：∵且，
又∵，
∴且，
∴且，
∴，，
∴，
∴．
故选：C．
23．已知，那么的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了代数式求值、绝对值的非负性，算术平方根的非负性．根据绝对值的非负性和算术平方根求得x、y的值，然后代入求解即可．
【详解】解：，
，
解得：，
∴，
故选：B．
24．已知，则的值是（ ）
A．6 B．4 C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了绝对值，平方和二次根式的非负性，解题的关键是掌握．
根据非负数的性质，绝对值、平方和平方根均为非负数，它们的和为零，则每个部分均为零，从而求出a、b、c的值．
【详解】∵ , , ，且，
∴ , , ，
∴ , , ，
∴ , , ，
∴ ，
故选：B．
25．已知，那么a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了算术平方根的非负性，根据算术平方根的非负性，得到，解不等式即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴；
故选D．
利用平方根解方程
26．解方程：．
【答案】
或
【分析】本题考查的是利用平方根的含义解方程，把方程化为，再利用平方根的含义解方程即可．
【详解】解：，
，
，
，
解得或．
27．解方程：．
【答案】或
【分析】本题考查了根据平方根的定义解方程．先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时开方，再解方程即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
解得：或．
28．解方程：
【答案】或
【分析】本题考查了利用平方根解方程，由题意得，推出，即可求解.
【详解】解：
或
或
所以原方程的解为或.
29．求满足下列各式的未知数x：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题主要考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根的定义是解题的关键．
（1）方程整理后根据平方根的定义求解可得；
（2）根据平方根的定义求解可得．
【详解】（1）解：，
方程整理得，
开方得；
（2）解：，
开方得：，
解得或．
30．解方程：．
【答案】或
【分析】本题考查了平方根的定义，利用平方根的定义解方程即可得解，熟练掌握平方根的定义是解此题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴或，
∴或．14.1平方根
（30分提至70分使用）
1. 平方根的定义
如果一个数( x )的平方等于( a )，即，那么这个数( x )叫做( a )的平方根（也叫做二次方根）。
2. 平方根的表示方法
一个正数( a )的平方根记为，其中表示( a )的正平方根（也叫算术平方根），表示( a )的负平方根。
3. 平方根的性质
正数的平方根：正数有两个平方根，它们互为相反数。
零的平方根：0的平方根是0，即。
负数的平方根：在实数范围内，负数没有平方根。
4. 算术平方根
定义：正数( a )的正的平方根叫做( a )的算术平方根，0的算术平方根是0。
性质：算术平方根具有非负性，即（）。
5. 开平方运算
求一个数( a )的平方根的运算，叫做开平方。开平方与平方互为逆运算。
6. 平方根的计算
若（），则。
例如：因为和，所以9的平方根是，即。
求平方根
1．下面的说法：（1）；（2）；（3）；（4）．其中正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．若，则下列说法正确的是（ ）
A．是5的算术平方根 B．是5的平方根
C．5是的算术平方根 D．
3．下列式子中表示“9的平方根是”的是（）
A． B． C． D．
4．若，则的平方根为（ ）
A．7 B． C． D．49
5． 的平方根是（ ）
A． B．2025 C． D．
已知平方根求这个数
6．若一个正数的两个不同的平方根分别为与，则这个正数为（　　）
A．9 B．8 C．3 D．1
7．中国清代学者华衡芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的《代数学》，卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，说明了所谓“代数”，就是用符号来代表数的一种方法．若一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是（ ）
A．25 B．9 C．16 D．5
8．若一个正整数的正平方根是 ，则比这个正整数大 1 的数的正平方根是 （ ）
A． B． C． D．
9．婺江是金华的母亲河，其水面宽度在不同地段有所差异．某段婺江的宽度是一个正数（单位：米），它的平方根是和，那么这段婺江的宽度是（ ）
A．4米 B．16米 C．25米 D．36米
10．如果一个正数的两个平方根为与，则与的值分别为（ ）
A．－9，1 B．9，3 C．3，1 D．9，1
求算术平方根
11．下列等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．下列说法正确的是（ ）
A．4是8的算术平方根 B．4的平方根是
C．的平方根是 D．16的算术平方根是
13．根式的值为（ ）
A． B．9 C． D．
14．下列说法正确的是（ ）
A． B．0的平方根是0
C． D．的平方根是2
15．下列说法正确的是（ ）
A．4的平方根是2 B．的平方根是
C．4是2的算术平方根 D．的算术平方根是2
估计取值范围
16．一个正方形的面积是11，估计它的边长大小在（ ）
A．在1和2之间 B．在2和3之间
C．在3和4之间 D．在4和5之间
17．估计的值应在（ ）
A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3间 D．3和4之间
18．某小区新修了一个正方形花坛，已知其面积为，则其边长介于（ ）
A．和之间 B．和之间
C．和之间 D．和之间
19．下列整数中，最接近的是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
20．如果一个正方形的面积为，那么它的边长在哪两个相邻的整数之间（ ）
A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间
利用非负性解题
21．若，求的值（ ）
A． B． C．7 D．5
22．若x，y为实数，且，则的值是（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．﹣2025
23．已知，那么的值为（ ）
A．1 B． C． D．
24．已知，则的值是（ ）
A．6 B．4 C． D．
25．已知，那么a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
利用平方根解方程
26．解方程：．
27．解方程：．
28．解方程：
29．求满足下列各式的未知数x：
(1)
(2)
30．解方程：．

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