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第三章 一元一次不等式
3.2 不等式的基本性质
“不等式的基本性质”是初中数学“一元一次不等式”章节的核心内容. 它是在学生学习了等式的基本性质、有理数大小比较和不等式概念的基础上展开的.这些性质是解一元一次不等式的重要依据，也为后续学习一元一次不等式组、二次不等式等知识奠定基础，在初中代数知识体系中起着承上启下的作用.
教材先回顾等式基本性质，为不等式基本性质的学习提供类比基础；再通过直观的数轴、具体的数值例子，逐步归纳出不等式的三条基本性质；最后通过例题和练习，实现从性质探究到性质应用的过渡，遵循了“类比引入——探究归纳—— 应用巩固” 的知识建构逻辑，符合学生从已知到未知、从具体到抽象的认知规律.
学生已学习等式的基本性质，对等式的变形规则有一定认识；也掌握了有理数大小比较方法和不等式的概念，这些为学习不等式的基本性质提供了基础.
八年级学生具备一定的观察、分析、归纳能力，但抽象思维和逻辑推理能力仍在发展中.对于不等式基本性质3中不等号方向的改变，理解起来有难度，需要通过具体例子和实践操作来突破.学生好奇心强，喜欢动手操作和探索.教学中可设计探索性活动，让学生在活动中自主发现和总结不等式的基本性质.
1.学生能掌握不等式的三条基本性质，理解每条性质的含义；
2.能准确运用不等式的性质对不等式进行变形，解决简单的不等式相关问题；
3.通过观察、类比、猜想、验证等数学活动，培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力，让学生体会从特殊到一般的数学思想方法；
4.在探索不等式基本性质的过程中，激发学生的学习兴趣，增强学生的自信心，培养学生勇于探索、敢于质疑的精神.
重点：学生能掌握不等式的三条基本性质，理解每条性质的含义.
难点：能准确运用不等式的性质对不等式进行变形，解决简单的不等式相关问题.
复习回顾
问题：等式有哪些性质？分别用文字语言和符号语言表示.
答：
师生活动：教师提出问题，学生思考并举手回答．待学生回答后，教师进一步引导：“等式的基本性质是我们对等式进行变形的依据，那不等式是否也有类似的性质呢 这节课我们就来探索不等式的基本性质.”
设计意图：通过复习等式的基本性质，唤起学生的已有知识经验，为类比学习不等式的基本性质做好铺垫，同时激发学生的学习兴趣和探索欲望.
探究新知
　 活动一：探究不等式的基本性质1
思考：已知a＜b和b＜c，在数轴上表示如图所示：
由数轴上a和c的位置关系，你能得出什么结论？
师生活动：教师提问，学生小组讨论交流. 教师巡视学生的探究情况，适时给予指导.待学生探究完成后，请学生代表分享自己的探究结果，并进行总结.
答：根据a和c的位置关系，可得出a＜c.
追问：你能举几个具体的例子说明吗？
答：0＜5，5＜10，则0＜10
6＞4，4＞-3，则6＞-3
总结：不等式的基本性质 1
a＜b，b＜c a＜c.
这个性质也叫作不等式的传递性.
设计意图：让学生通过自主探究、合作交流，亲身体验不等式基本性质1的形成过程，培养学生的观察能力、分析能力和归纳能力，同时加深对性质的理解.
活动二：探究不等式的基本性质2
思考：若a＞b，则a+c与b+c哪个较大？a-c与b-c呢？请分别用数轴上点的位置关系和具体的例子加以说明.
师生活动：组织学生进行小组讨论，巡视并参与讨论，帮助学生解决遇到的问题，学生小组内充分讨论，交流各自的发现，然后派代表汇报，最后教师进行总结.
答：a＞b，在数轴上表示如图：
不妨设c＞0，则
所以a+c ＞ b+c
所以a-c ＞ b-c
想一想：你能举几个具体的例子说明吗？
3＜5，3+3=6，5+3=8，则3+3＜5+3
6＞-4，6+(-2)=4，(-4)+(-2)=-6，则6+(-2)＞(-4)+(-2)
6＜8，6+0=6，8+0=8，则6+0＜8+0
总结：不等式的基本性质2：
不等式的两边都加上（或都减去）同一个数，所得到的不等式仍成立.
即 如果a＞b，那么a+c＞b+c，a-c＞b-c；
如果a＜b，那么a+c＜b+c，a-c＜b-c.
做一做：
选择适当的不等号填空：
(1)因为0 1，所以a a+1(不等式的基本性质2)；
(2)因为(a-1)2 0，所以(a-1)2-2 -2(不等式的基本性质2).
答：(1)<；< (2) ≥；≥
设计意图：通过分情况探究，让学生逐步深入理解不等式的基本性质2，通过具体例子的探究，降低学生理解的难度，同时培养学生的分类讨论思想.
活动三：探究不等式的基本性质3
思考：对于不等式2<3，两边都乘5(或除以5)，所得的不等式2×5<3×5 (或)仍成立吗 若两边都乘-5(或除以-5)呢？
师生活动：引导学生分别计算两边乘或除以5、-5后的结果，观察不等号方向的变化.待学生计算、观察后，组织学生交流讨论，总结规律. 学生小组内交流自己的发现，然后参与全班讨论，总结不等式两边乘(或除以)正数、负数时不等号方向的变化规律.
答：2×5=10，3×5=15，
因为10<15，
所以2×5<3×5
结论：不等式仍成立
2÷5=，3÷5=，
因为，
所以2÷5<3÷5
结论：不等式仍成立
2×(-5)=-10，3×(-5)=-15，
因为-10 > -15，
所以2×(-5) > 3×(-5)
结论：不等号方向改变
2÷(-5)=，3÷(-5)=，
因为，
所以2÷(-5) > 3÷(-5)
结论：不等号方向改变
设计意图：通过让学生亲自动手计算、观察、讨论，自主探究不等式两边乘(或除以)同一个正数和同一个负数时不等号方向的变化情况，培养学生的动手操作能力、观察分析能力和归纳总结能力，同时让学生深刻理解不等式的基本性质 3，突破本节课的难点.
想一想：对于右图中的问题，你认为ac是大于bc，还是小于bc？用几个具体的例子试试看.
师生活动：教师提出问题，组织学生交流讨论，然后展示填空题目，引导学生完成并观察规律.
最后师生一起总结不等式两边乘(或除以)正数、负数时不等号方向的变化规律，进而得出不等式的基本性质 3.
猜测：ac＜bc.
举例：a=4，b=2，c=-3，则ac=-12，bc=-6，那么ac＜bc;
a=8，b=-1，c=-5，则ac=-40，bc=5，那么ac＜bc.
…
观察：用“<”或“>”填空，并找一找其中的规律.
(1)如果 7＞3， 则 7×5 3×5 ，7÷5 3÷5．
(2)如果 –1＜3，则–1×2 3×2，–1÷2 3÷2．
(3)如果 –2＜3，(-2)×(–6) 3×(–6)，(-2)÷(-6) 3÷(-6)
(4)如果 –1＞–4， (-1)×(–2) (-4)×(–2)，(-1)÷(-2) (-4)÷(-2)
答：(1) ＞；＞ (2) ＜；＜ (3) ＞；＞ (4) ＜；＜
当不等式两边乘同一个正数时，不等号的方向不变;
而乘同一个负数时，不等号的方向改变 .
总结：不等式的基本性质 3
不等式的两边都乘(或都除以)同一个正数，所得的不等式仍成立；不等式的两边都乘(或都除以)同一个负数，必须改变不等号的方向，所得的不等式成立.
a＞b，且c＞0 ac>bc， （不等号方向不变）
a＞b，且c＜0 ac设计意图：通过让学生举例、填空、观察、讨论，让学生逐步深入理解不等式的基本性质性质3，特别是性质3中不等号方向的改变，这是本节课的难点，通过具体例子的探究，降低学生理解的难度，同时培养学生的分类讨论思想.
思考：比较等式与不等式的基本性质，它们有什么异同点
师生活动：教师出示表格，学生仔细观察表格中关于等式和不等式基本性质的内容. 以小组为单位进行讨论，分析两者在传递性、加减运算、乘除运算等方面的相同点和不同点.
答：
设计意图：通过对比等式与不等式的基本性质，帮助学生理清两者的联系与区别，加深对不等式基本性质的理解，同时也巩固了等式基本性质的知识.采用小组讨论和班级交流的形式，培养学生的合作探究能力和语言表达能力，让学生在交流中完善自己的认知.
应用新知
【教材例题】
例1 已知a＜0，试比较2a与a的大小.
师生活动：引导学生分析例题，明确解题思路，然后让学生独立完成，教师巡视指导.待学生完成后，进行点评，强调解题过程中需要注意的问题，特别是运用性质3时不等号方向的改变.
分析：比较2a与a的大小，可以利用不等式的基本性质；也可以利用数轴，直接得出2a与a的大小.
解法一：因为2＞1，a＜0(已知)，
所以2a＜a(不等式的基本性质3).
解法二：在数轴上分别标出表示2a和a的点(a＜0)，如图所示：
2a位于a的左边，所以2a＜a.
追问：还有其他比较2a与a的大小的方法吗？
解法三：因为 a＜0,
所以 a+a ＜ a
所以2a解法四：求差法:
因为2a-a=a，又因为a＜0,
所以2a-a＜0,
所以2a＜a(不等式的基本性质2).
设计意图：通过例题的讲解和练习，让学生巩固所学的不等式基本性质，掌握运用性质解简单不等式的方法，提高学生的应用能力.
例2 将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：
(1)x－5＞－1；
(2)－2x＞3；
解：(1)根据不等式的基本性质2，两边都加上5，
得 x＞－1+5
即 x＞4；
(2)根据不等式的基本性质3，两边都除以－2．
得 x＜－．
记得变号！
例3 已知有理数a在数轴上的位置如图所示：
试比较a，－a，|a|，a2和 的大小，并将它们按从小到大的顺序，用“＜”或“＝”连接起来.
分析：根据数轴可得：－1＜a＜0，从而得出－a，|a|，a2和 的取值范围，再进行大小比较.
解：由图可知－1＜a＜0，
所以0＜－a＜1，|a|＝－a，
a＜0＜a2＜－a，＜－1＜a，
所以 ＜a＜a2＜－a＝|a|.
师生活动：教师分析解题思路、板书过程，学生跟随思考、互动提问.
设计意图：例2是不等式基本性质在解不等式中的直接应用，例3则是将不等式性质与数轴、数的相关概念结合的综合应用，有助于学生建立知识之间的联系，体会数学知识的整体性，同时也为后续更复杂的不等式应用问题奠定基础.
课堂练习
教材练习
1.填空:
(1)若x+1>0，两边都加上-1，得 .
(依据： )
(2)若2x>-6，两边都除以2，得 .
(依据： )
(3)若x，两边都乘-3，得 .
(依据： )
答：(1)x>-1；不等式的基本性质2
(2) x>-3；不等式的基本性质2
(3) x≥-；不等式的基本性质3
2.选择适当的不等号填空：
(1)若a-b>0，则a b；
(2)若a>-b，则a+b 0；
(3)若-a(4)若-a>-b，则2-a 2-b；
(5)若a>0，且(1-b)a<0，则b 1；
(6)若a答：(1) >；(2) >；(3) >；(4) >；(5) >；(6) <
3．由 x>y 可得到 axA．a>0　　　 B．a≥0 　　　　 C．a<0 　　 　D．a≤0
答：C
4．若a为有理数，则下列关系不一定成立的是（ ）
A．7+a>5+a B．2-a<3-a 　 C．8|a|≥0 　 D．5a>3a
答：D
5．如果 x>-y，则下列不等式中一定能成立的是（ ）
A．y<-x 　　B．x-y<0 　　 C．x+y>0 　D．m2x>-m2y
答：C
6.由a-3＜b+1，可得到结论(　　)
A．a＜b B．a+3＜b-1
C．a-1＜b+3 D．a+1＜b-3
分析：C选项，不等式两边同时加2可得.
答：C
7.若x＞y，比较2-3x与2-3y的大小，并说明理由.
解：因为x＞y(已知)，
所以-3x＜-3y(不等式的基本性质3).
所以2-3x＜2-3y(不等式的基本性质2).
师生活动：学生独立完成课堂练习，教师巡视指导，了解学生的掌握情况，然后对练习题进行讲解和分析，让学生说出解题思路和方法，教师进行点评和总结．
设计意图：通过练习巩固本节课所学性质，及时反馈学生学习情况，发现问题及时解决.
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容．
1.本节课你学到了什么？
2.不等式的基本性质有哪三条？
设计意图：帮助学生梳理本节课的知识结构，加深学生对所学知识的理解和记忆，让学生明确本节课的重点和难点，为后续学习做好准备．
实践作业：生活中的不等式基本性质应用探究
目标：深入理解不等式的基本性质，能将其灵活运用到生活实际问题中.
步骤：1.寻找生活中的不等式场景，如购物时的价格比较(买同一种水果，A店单价a元，B店单价b元，已知a >b，若购买n斤，比较在两店花费的多少)
2.用不等式的基本性质对找到的场景进行分析和计算，验证性质的应用.
记录分析过程和结果.
成果：实践报告(含生活场景描述、不等式分析过程、结论及感悟)

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