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第三章 一元一次不等式
3.3 一元一次不等式及其解法
第2课时
“一元一次不等式及其解法”是初中数学“一元一次不等式”章节的核心内容之一.从知识体系来看，它是在学生已经掌握一元一次方程的解法、不等式的基本性质等知识的基础上进行学习的，是对等式变形、方程求解等知识的拓展与延伸，在实际应用方面，生活中存在大量涉及不等关系的问题，如购物优惠方案选择、资源分配限制等，都需要运用一元一次不等式来解决，所以本节课为学生后续学习更复杂的不等式(组)以及运用不等式解决实际问题筑牢了基础.
教材首先阐述了解一元一次不等式与解一元一次方程步骤类似，通过表格清晰呈现解一元一次不等式的一般步骤及依据，让学生明确每一步操作的理论支撑.接着通过例题，分别展示了不含分母和含分母的一元一次不等式的求解过程，涵盖了去括号、移项、合并同类项、系数化为1等关键步骤，尤其突出了运用不等式基本性质3(系数为负时不等号方向改变)的情况，帮助学生掌握解法的同时，体会与一元一次方程解法的联系与区别.此外，教材还安排了课内练习，通过不同类型的不等式求解及数轴表示解集的任务，巩固学生对知识的理解与运用.
学生已经掌握了一元一次方程的解法，熟悉等式的基本性质，并且对不等式的基本性质有了一定的认识，这为学习一元一次不等式的解法提供了良好的知识储备.
初中阶段的学生具备一定的观察、类比、归纳能力，但逻辑思维的严谨性还有待提高，在运用不等式基本性质3时，容易忽略不等号方向的改变，需要教师在教学中着重强调和引导.
学生对新鲜的数学知识有一定的好奇心和探索欲，喜欢通过自主探究和合作交流的方式学习，但在面对复杂的运算和容易出错的步骤时，可能会产生畏难情绪，教师需要及时给予鼓励和方法指导.
1.能准确理解一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的解法步骤.
2.能够正确求解一元一次不等式，并能将解集在数轴上准确表示出来.
3.通过与一元一次方程的解法进行类比，培养学生的类比推理能力.在探究不等式解法的过程中，提升学生的逻辑思维能力和运算能力
4.让学生在自主探究、合作交流的学习过程中，体验数学学习的乐趣，增强学好数学的自信心.
重点：能准确理解一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的解法步骤.
难点：能够正确求解一元一次不等式，并能将解集在数轴上准确表示出来.
复习回顾
回顾1：一元一次不等式的定义？
答：不等号的两边都是整式，而且只含有一个未知数，未知数的最高次数是一次，这样的不等式叫作一元一次不等式.
回顾2：一元一次不等式有什么特点？
答：(1)不等号的两边都是整式；
(2)只含有一个未知数；
(3)未知数的最高次数是1次.
追问：我们已经会解一元一次方程，那一元一次不等式该怎么解呢 今天我们就来学习一元一次不等式及其解法.
师生活动：教师提出问题，学生思考并举手回答．
设计意图：通过复习一元一次不等式的定义和特点，帮助学生回忆旧知，为新知识的学习做好铺垫;以问题导入，激发学生的学习兴趣和探究欲望.
探究新知
　 活动一：探究解一元一次不等式的步骤
思考1：解下列方程.
(1)5x = 3(x-2)+2 (2)2m-3 =
师生活动：教师出示第一个方程，让学生回忆一元一次方程的解法步骤并求解.学生完成后，教师再出示不等式，提问：“这个不等式该怎么解呢 大家可以类比一元一次方程的解法来试试.”学生尝试求解，教师巡视指导，然后请学生代表板演并讲解解题思路.
教师再出示第二个不等式，引导学生按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤进行求解，在求解过程中，重点强调系数若系数为负数，不等号方向要改变.学生分组讨论，交流解题过程中的疑惑和心得，然后教师结合学生的讨论结果，总结一元一次不等式的解法步骤
解：(1)去括号，得5x = 3x-6+2 单项式乘以多项式法则
移项，得5x -3x = -6+2 等式基本性质1
合并同类项，得2x = -4 合并同类项法则
系数化为1，得x = -2 等式基本性质2
(2)去分母，得2(2m-3) = 7m+3 等式基本性质2
去括号，得4m-6 = 7m+3 单项式乘以多项式法则
移项，得4m-7m = 6+3 等式基本性质1
合并同类项，得-3m = 9 合并同类项法则
系数化为1，得m = -3 等式基本性质2
追问：(1) 5x≤ 3(x-2)+2 (2)2m-3 ＜ 如何解呢？
解：(1)去括号，得5x ≤ 3x-6+2 单项式乘以多项式法则
移项，得5x -3x ≤ -6+2 不等式基本性质2
合并同类项，得2x ≤ -4 合并同类项法则
系数化为1，得x ≤ -2 不等式基本性质3
(2)去分母，得2(2m-3) ＜7m+3 不等式基本性质3
去括号，得4m-6 ＜7m+3 单项式乘以多项式法则
移项，得4m-7m ＜6+3 不等式基本性质2
合并同类项，得-3m ＜ 9 合并同类项法则
系数化为1，得m ＞ -3 怎么变号了？
答：利用不等式基本性质3
总结：解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤类似，如下所示：
注意：当a＜0时，不等式中的不等号必须改变方向.
总结：解一元一次不等式的注意事项：
1. 去分母时应注意:
(1)不能漏乘整式或常数项； (2)不能漏添括号.
2. 不等式两边都乘以或除以同一个负数时,要改变不等号的方向.
3. 在数轴上表示解集应注意的问题：方向、空心或实心.
设计意图：利用学生已有的一元一次方程解法的知识，通过类比，让学生初步探索一元一次不等式的解法，体会知识之间的联系与迁移.通过具体的不等式求解，让学生深入理解每一步的操作依据和方法，通过分组讨论，培养学生的合作交流能力，最后总结解法步骤，帮助学生构建系统的知识体系.
应用新知
【教材例题】
例1 解不等式3(1-x)＞2(1-2x).
师生活动：教师出示例题，并强调移项时要注意移动项符号的改变.学生独立完成后，教师请学生展示解题过程，进行点评.
解：去括号，得3-3x＞2-4x.
移项，得-3x+4x＞2-3.
合并同类项，得x＞-1.
注意：移项时，要注意移动项符号的改变.
总结：解一元一次不等式，是根据不等式的基本性质，将不等式逐步化为“x>a(或x≥a)”或“x例2 解不等式，并把解集在数轴上表示出来.
解：去分母，得3(1+x)≤2(1+2x)+6. 左右两边每一项都乘以6.
去括号，得3+3x≤2+4x+6.
移项，得3x-4x≤2+6-3.
合并同类项，得-x≤5.
两边都除以-1，得x≥-5. 注意变号.
这个不等式的解集表示在数轴上如图所示：
解一元一次不等式的注意事项：
设计意图：通过基础例题的练习，让学生巩固一元一次不等式的解法步骤，掌握在数轴上表示解集的方法，及时反馈学生的学习情况.通过总结让学生解掌握一元一次不等式的注意事项.
【经典例题】
例3求不等式的正整数解.
解：去分母，得3(x+1)≥2(2x-1).
去括号，得3x+3≥4x-2.
移项，合并同类项，得-x≥-5.
两边都除以-1，得x≤5.
则满足这个不等式的正整数解为x=1，2，3，4，5.
总结：求不等式的特殊解，先要准确求出不等式的解集，然后确定特殊解．在确定特殊解时，一定要注意是否包括端点的值，一般可以结合数轴，形象直观，一目了然．
例4 解不等式.
解：
0.6-3(0.5x-0.1)≤2(x-0.2)
0.6-1.5x+0.3≤2x-0.4
-1.5x-2x≤-0.4-0.6-0.3
-3.5x≤-1.3
x
追问：还有其他解法吗？
解法二：
系数先化整
6-3(5x-1)≤2(10x-2)
6-15x+3≤20x-4
-15x-20x≤-4-3-6
-35x≤-13
x
设计意图：通过拓展应用，让学生学会运用不同的解题方法解一元一次不等式及求特殊解，提升学生分析问题和解决问题的能力.
课堂练习
教材练习
1.解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来.
(1)5x-3<1-3x； (2) ； (3)3(1-3x)-2(4-2x)≤0；
(4)； (5).
解： (1)移项，得5x+3x<1+3.
合并同类项，得8x<4.
两边都除以8，得x<0.5.
这个不等式的解集表示在数轴上如图所示：
(2)去分母，得2y≥6-3y.
移项，得2y+3y≥6.
合并同类项，得5y≥6.
两边都除以5，得y≥1.2.
这个不等式的解集表示在数轴上如图所示：
(3)去括号，得3-9x-8+4x≤0.
移项，得-9x+4x≤8-3.
合并同类项，得-5x≤5.
两边都除以-5，得x≥-1.
这个不等式的解集表示在数轴上如图所示：
(4)去分母，得3(2x-1)-2(1+x)≥12.
去括号，得6x-3-2-2x≥12
移项，得6x-2x≥12+3+2.
合并同类项，得4x≥17.
两边都除以4，得x≥.
这个不等式的解集表示在数轴上如图所示：
(5)去分母，得5(2-m)-90 ≥3m.
去括号，得10-5m-90≥3m.
移项，得-5m-3m≥90-10.
合并同类项，得-8m≥80.
两边同时除以-8，得m ≤ -10
这个不等式的解集表示在数轴上如图所示：
课堂练习
2.解不等式 ，下列去分母正确的是( )
A. 2x+1-3x-1≥x-1 B. 2(x+1)-3(x-1)≥x-1
C. 2x+1-3x-1≥6x-1 D. 2(x+1)-3(x-1)≥6(x-1)
答：D
3.不等式的负整数解的个数有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
分析：解出不等式的解集为x>.
所以不等式有负整数解-4，-3，-2，-1共4个，故选D.
答：D
4.解不等式
解： ①
-3x-3-2-2x≥2+x ②
-4x≥7 ③
x≤ ④
请指出上面的解题过程中，有什么地方产生了错误.
答：在第①步中 ,
在第②步中 ,
在第③步中 ，
在第④步中 .
答：两边同乘-6，不等号没有变号；去分母时，应加括号；移项没有变号；正确
5.要使4x-的值不大于3x+5，则x的最大值是( )
A.4 B.6.5 C.7 D.不存在
分析：根据题意列出不等式得：4x-≤3x+5，
解得x≤
所以x的最大值是6.5，
故选B.
答：B.
6.求不等式3(x+1)≥5x-9的非负整数解．
解：去括号，得3x+3≥5x-9.
移项，合并同类项，得-2x≥-12.
两边都除以-2，得x≤6.
所以不等式3(x+1)≥5x-9的非负整数解为0，1，2，3，4，5，6.
师生活动：学生独立完成课堂练习，教师巡视指导，了解学生的掌握情况，然后对练习题进行讲解和分析，让学生说出解题思路和方法，教师进行点评和总结．
设计意图：通过课堂练习，进一步巩固学生对一元一次不等式解法的掌握，及时发现学生存在的问题并进行纠正，确保学生能够熟练运用解法解决问题.
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容．
1.本节课你学到了什么？
2.解一元一次不等式的步骤有哪些？
设计意图：帮助学生梳理本节课的知识结构，加深学生对所学知识的理解和记忆，让学生明确本节课的重点和难点，为后续学习做好准备．第三章 一元一次不等式
3.3 一元一次不等式及其解法
第1课时
一元一次不等式及其解法”是初中数学不等式章节的核心内容之一.它是在学生学习了等式的基本性质、一元一次方程及其解法的基础上进行教学的.一元一次不等式不仅是后续学习一元一次不等式组、一次函数与不等式关系等知识的基础，也在实际生活中的方案设计、最值求解等问题中有着广泛应用，能帮助学生从数量关系的角度更全面地认识和解决问题.
本节课将一元一次不等式与一元一次方程从定义、解法等方面类比，利用学生已有的方程知识经验降低学习难度，帮助学生构建知识体系.通过数轴表示不等式的解集，让抽象的解集变得直观，培养学生数形结合的数学思想。例题从简单的系数化为1，到需要移项、合并同类项，逐步提升难度，符合学生的认知规律，以实际问题引入，练习中也包含实际背景的题目，让学生感受数学的实用性.
学生已经掌握了等式的基本性质，熟练掌握了一元一次方程的定义、解法及应用，具备了一定的代数运算能力和逻辑推理能力，这些都为学习一元一次不等式奠定了良好的知识基础.
初中阶段的学生正处于从形象思维向抽象思维过渡的时期，对新知识充满好奇，但抽象思维能力还不够成熟，在学习过程中需要借助具体的例子和直观的操作(如数轴表示解集)来帮助理解.同时，学生具有一定的类比学习能力，能够通过与已学的一元一次方程知识进行类比，来学习一元一次不等式.
学生在运用不等式的基本性质解不等式时，容易忽略“不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号方向改变”这要点；在将解集表示在数轴上时，可能会混淆空心圆圈和实心圆点的使用；对于实际问题中的不等关系，学生可能难以准确提炼并转化为一元一次不等式.
1.能准确理解一元一次不等式的定义，掌握一元一次不等式的解法步骤.
2.能正确求解一元一次不等式，并将解集在数轴上表示出来；能根据实际问题列一元一次不等式并求解.
3.通过与一元一次方程的类比学习，培养学生的类比推理能力；在探究不等式解法的过程中提升学生的逻辑思维能力和运算能力.
4.让学生在自主探究、合作交流的学习过程中，体验数学学习的乐趣，增强学好数学的自信心，培养勇于探索、敢于质疑的精神.
重点：能准确理解一元一次不等式的定义，掌握一元一次不等式的解法步骤.
难点：能正确求解一元一次不等式，并将解集在数轴上表示出来；能根据实际问题列一元一次不等式并求解.
复习回顾
回顾1：不等式有哪些性质？
答：不等式的性质1：
若a不等式的性质2：
如果a＞b，那么a+c＞b+c，a-c＞b-c；
如果a＜b，那么a+c＜b+c，a-c＜b-c.
不等式的性质3：
如果 a＞b，且c＞0，那么ac>bc，；
如果 a＞b，且c＜0，那么ac回顾2：你认识下面这些式子吗？
(1) 3x=18 (2) 5x-3=7x+1 (3) 1.5a+12=0.5a+1.
答：一元一次方程
一元一次方程：
方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的指数是一次，这样的方程叫作一元一次方程.
师生活动：教师提出问题，学生思考并举手回答．
设计意图：通过复习不等式的基本性质及一元一次方程的定义，唤起学生的已有知识经验，为类比学习一元一次不等式的定义做好铺垫，同时激发学生的学习兴趣和探索欲望.
探究新知
　 活动一：探究一元一次不等式的定义
思考1：观察下列不等式：
(1) x>4 (2) 3x>30 (3) < (4) 1.5x+12<0.5x+1
这些不等式有哪些共同的特征？请将它们与一元一次方程比较.
师生活动：教师展示给出的不等式，提出“这些不等式有哪些共同的特征 请将它们与一元一次方程比较”的问题.学生基于对一元一次方程的已有认识，结合展示的不等式，进行独立思考，随后举手分享自己发现的共同特征，教师认真倾听学生的回答，对学生的表述进行引导和补充，最后总结得出一元一次不等式的定义，并进一步阐述其特点.
答：左右两边都是整式
用不等号连接
有一个未知数
未知数的最高次数是一次
一元一次不等式的定义：
不等号的两边都是整式，而且只含有一个未知数，未知数的最高次数是一次，这样的不等式叫作一元一次不等式.
特点：
(1)不等号的两边都是整式；
(2)只含有一个未知数；
(3)未知数的最高次数是一次.
设计意图：通过让学生观察具体不等式并与一元一次方程对比，引导学生自主探究一元一次不等式的特征，培养学生的观察、分析和归纳能力.借助师生互动交流，帮助学生清晰构建一元一次不等式的概念.
思考2：比较一元一次方程和一元一次不等式：
师生活动：教师呈现一元一次方程和一元一次不等式的比较表格，带领学生共同分析表格内容.
答：
设计意图：通过与一元一次方程的对比，加深学生对两者联系与区别的理解，为后续学习一元一次不等式的解法等知识奠定基础.
做一做：下列不等式中，哪些是一元一次不等式
(1) 3x+2 > x-1
(2) 5x+3 < 0
(3) +3 < 5x-1
(4) x(x+3) < 2x
答：(1)正确；(2)正确；(3)左边不是整式，所以错误；(4)化简后不是一次，所以错误.
活动二：探究一元一次不等式解集的定义
思考3：观察下面的一元一次不等式，你能把这样的x表示在数轴上吗？
x>70
师生活动：教师提出问题，学生尝试在数轴上表示，教师巡视并指导，然后展示正确的数轴表示，引导学生观察得出使不等式成立的x的值有无数个.
答：
我们发现：使不等式成立的x的值有____________.
答：无数个
思考4：观察下面的一元一次不等式：3x>30
判断当x1=9，x2=10，x3=11时，哪些未知数的值能使3x>30成立？
师生活动：教师提出问题，学生讨论进行计算判断，之后教师提出追问问题，学生思考后回答，教师总结得出不等式解集的概念，结合例子讲解解集在数轴上的表示以及不等式解的形式.
答：当x=11时，能使3x>30成立.
追问1：这样的值还有吗？
答：这样的值有很多.
追问2：这些值都是在怎样一个范围内？
答：x>10
不等式的解集：
能使不等式成立的未知数的值叫作不等式的解，所有这些解的全体称为这个不等式的解集.求不等式解集的过程叫作解不等式.
例如，3x>30的解集是x>10，表示大于10的实数的全体.
在数轴上表示为：
不等式的解的形式：
x > a (或 x ≥ a ) x < a (或 x ≤ a)
设计意图：通过“思考 3”和“思考 4”，引导学生从具体的一元一次不等式出发，探索不等式的解与解集，让学生经历观察、思考、操作(数轴表示)的过程，直观感受不等式解的个数以及解集的范围，培养学生的数形结合能力和抽象思维能力.
思考5：把x=10.1代入不等式3x>30，不等式成立吗？能否因此就说该不等式的解是x=10.1
师生活动：教师引导学生区分“某些数是不等式的解”与“不等式的解是某些数”的概念，学生参与讨论并理解答.
答：能成立，x=10.1只是不等式解集中的一个解，因此不能说是不等式的解.
总结：“某些数是不等式的解”与“不等式的解是某些数”是两个不同的概念，如“4是x＞3的解”是正确的，“x＞3的解是4”是错误的.
设计意图：借助追问和例子，帮助学生准确理解不等式的解、解集的概念，区分易混淆的概念，加深对知识的理解，为后续学习解一元一次不等式奠定基础.
应用新知
【教材例题】
例1 解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来:
(1)4x < 10 (2)x ≥ 1.2
师生活动：引导学生分析例题，明确解题思路，然后让学生独立完成，教师巡视指导.待学生成
后，进行点评，强调解题过程中需要注意的问题，特别是运用性质3时不等号方向的改变.
分析：解不等式就是利用不等式的基本性质，把要求解的不等式变形成“x＞a”(或“x ≥a”)，“x＜a”(或“x≤a”)的形式.
解：(1)两边同除以4，得 x<.
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示：
(2)两边都除以，得x≤-2.
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示：
注意：不等式两边同除以一个负数，不等号方向要改变！
例2 解不等式7x-2≤9x+3，在数轴上表示解集，并求出不等式的负整数解.
解：先在不等式的两边都加上-9x，再在不等式的两边都加上2，得7x-9x≤3+2
合并同类项，得-2x≤5
两边都除以-2，得x≥-
不等式的解表示在数轴上如图所示：
不等式的负整数解是x=-1和x=-2.
思考：观察解题过程，你有什么发现？
可以发现：把不等式中的任何一项的符号改变后，再从不等号的一边移到另一边，不等式仍成立.
也就是说，在解不等式时，移项法则同样适用.
设计意图：让学生掌握在数轴上表示不等式解集的方法，培养学生的数形结合能力，使学生更直观地理解不等式的解集.
【经典例题】
例3某种U盘的存储容量为128G，有一批视频文件，若每个文件占用空间为2.5G，则这个U盘至多能存放多少个这样的文件
分析：关系式为：一个文件平均占用的空间×文件个数≤128，把相关数值代入求解即可.
解：设这个 U盘能存放的视频文件数量为x个(x为非负整数).
则：2.5x ≤ 128
不等式两边同时除以 2.5，得x ≤51.2
由于x表示文件数量，必须是非负整数，
因此满足x≤51.2 的最大整数为51.
所以，这个U盘至多能存放 51 个这样的视频文件.
设计意图：让学生体会一元一次不等式在实际生活中的应用，培养学生的数学建模能力和解决实际问题的能力.
课堂练习
教材练习
1.解下列不等式，并把解集表示在数轴上.
(1)1-x>2; (2)-x≤1; (3)6x-1>9x-4.
解：(1)两边同减去1，得 -x>1
两边同除以-1，得x<-1.
不等式的解表示在数轴上如图所示：
(2)两边同乘以-7 ，得 x≥-7
不等式的解表示在数轴上如图所示：
(3)先在不等式的两边都加上-9x，再在不等式的两边都加上1，得6x-9x>-4+1
合并同类项，得-3x>-3
两边都除以-3，得x<1.
不等式的解表示在数轴上如图所示：
2.下列不等式的解法正确吗 如果不正确，请改正.
(1)-2x<-4.
解：两边都除以-2，得x<2.
(2)x+1>2x-3.
解：移项，得4>x，即x>4.
解：(1)解法不正确.
改正：不等式两边都除以-2，根据不等式的性质，不等式两边同时除以一个负数，不等号方向改变，所以得x>2.
(2)解法不正确.
改正：移项，得x-2x>-3-1，合并同类项，得-x>-4.
不等式两边同时除以-1，不等号方向改变，得x< 4.
3.解不等式 2.5x-4解：先在不等式的两边都减去x，再在不等式的两边都加上4，得2.5x-x<-1+4
合并同类项，得2x<3
两边都除以2，得x<
不等式的解表示在数轴上如图所示：
适合不等式的正整数解为1.
课堂练习
4.关于不等式－2x＋a≥2的解集是x≤－2，a的值是 (　 　)
A．0 B．2 C．－2 D．－4
分析：不等式两边都减a，得－2x≥2－a，两边都除以－2，得，x≤；因为x≤－2，所以＝－2，解得a＝－2.
答：C
5.若（m-2）x2m+1-1＞5是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集为____________．
分析：由题意可得：2m+1=1且m-2≠0，所以m=0
所以原不等式化为：-2x-1＞5，解得x＜-3．
答：x＜-3
6.如果x=2是不等式（a-2）x<4a+2的一个解，试求a的最小整数值.
解：2（a-2）<4a+2
2a-4<4a+2
2a-4a<2+4
-2a<6
a>-3
所以a的最小整数值为-2.
7.若（a+1）x＞1的解集为x＜，求a的取值范围.
解：因为（a+1）x＞1的解集为 x＜，
所以a+1＜0，
所以a＜-1
8.如果两个不等式3x＜-6与（a+1）x>1的解集相同，试求a的值.
解：由3x＜-6得x＜-2
因为3x>-6与（a+1）x>1的解集相同，
所以（a+1）x>1的解集为x＜-2
所以a+1＜0且，即a+1=
所以a=.
师生活动：学生独立完成课堂练习，教师巡视指导，了解学生的掌握情况，然后对练习题进行讲解和分析，让学生说出解题思路和方法，教师进行点评和总结．
设计意图：通过练习巩固本节课所学知识，及时反馈学生学习情况，发现问题及时解决.
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容．
1.本节课你学到了什么？
2.什么是一元一次不等式？
3.什么是一元一次不等式的解集？
设计意图：帮助学生梳理本节课的知识结构，加深学生对所学知识的理解和记忆，让学生明确本节课的重点和难点，为后续学习做好准备．

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