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第三章 一元一次不等式
3.4 一元一次不等式的应用
本节课是“一元一次不等式的应用”，属于初中数学“一元一次不等式”章节的重要内容.教材通过多个实际问题如电梯载重、生产利润、车辆运输、竞赛得分等，引导学生运用一元一次不等式解决实际生活中的数量关系问题，是对一元一次不等式解法的拓展与应用，体现了数学与生活的紧密联系.
一元一次不等式的应用是在学生掌握一元一次不等式的定义、解法以及能在数轴上表示解集的基础上进行的.它是后续学习一次函数与不等式关系、更复杂不等式(组)应用的基础，有助于培养学生的数学建模能力和应用意识，让学生体会到数学在解决实际问题中的工具性作用.
学生已经学习了一元一次不等式的相关概念和解法，具备了一定的解不等式的技能，也对用方程解决实际问题有了一定的经验，这些都为学习一元一次不等式的应用奠定了基础.
八年级学生已经具备了初步的分析问题和解决问题的能力，但在将实际问题转化为数学不等式模型时，可能会遇到困难，尤其是对实际问题中不等关系的提取和理解，需要教师进一步引导.
八年级学生对生活中的实际问题比较感兴趣，喜欢通过解决实际问题来感受数学的价值，但在面对较复杂的实际问题时，容易产生畏难情绪，需要教师设置合适的问题情境，激发他们的学习积极性.
1.能准确理解一元一次不等式的应用场景，熟练掌握用一元一次不等式解决实际问题的一般步骤，能正确求解一元一次不等式.
2.能准确找出实际问题中的不等关系，并将其转化为一元一次不等式.
3.通过经历用一元一次不等式解决实际问题的过程，提升学生的数学建模能力、逻辑推理能力和运算能力.
4.让学生在自主探索、合作交流的学习过程中，体验数学学习的乐趣，增强学好数学的自信心.
重点：能准确理解一元一次不等式的应用场景，熟练掌握用一元一次不等式解决实际问题的一般步骤，能正确求解一元一次不等式.
难点：能准确找出实际问题中的不等关系，并将其转化为一元一次不等式.
复习回顾
回顾1：将下列生活中的不等关系翻译成数学语言.
(1) 超过 (2) 至少 (3) 最多
(1)>；(2) ≥； (3) ≤
回顾2：应用一元一次方程解决实际问题的步骤：
师生活动：教师提出问题，学生思考并举手回答，教师补充总结.
设计意图：复习旧知，为新课学习做好知识铺垫，让学生回忆起一元一次不等式的相关基础内容，便于新课中应用.
探究新知
　 活动：探究一元一次不等式的应用
思考1：一部电梯的额定限载量为1000千克.两人要用电梯把一批货物从底层搬到顶层，这两人的身体质量分别为60千克和80千克，货物每箱的质量为50千克.问：若两人一起乘梯，则每次最多搬运货物多少箱？
讨论以下问题：
（1）选择哪一种数学模型？是列方程，还是列不等式？
（2）问题中有哪些相等的数量关系和不等的数量关系？
师生活动：教师展示实际问题，引导学生进行分析，学生分组讨论，找出相等和不等关系.教师根据学生的回答，带领学生设未知数，列不等式.
答：（1）列不等式.
（2）相等的数量关系：设每次搬箱.
相等关系有：货物总质量= ，电梯内人与货物总质量
不相等的数量关系：人与货物的总质量 .
列出不等式：.
追问：你能完整的解答这个问题吗？
解：设他们每次能搬运重物 x 箱，根据题意得：
60+80+50x ≤ 1000
解得 x ≤ 17.2
答：他们每次最多能搬运重物17箱.
注意：最多：最大值(临界值)
总结：用一元一次不等式可以刻画和解决很多实际生活中的有关数量不等关系的问题.
设计意图：通过具体的实际问题，引导学生逐步经历用一元一次不等式解决问题的过程，突破“找出不等关系”这一难点，让学生体会数学建模的过程.
思考2：有一家庭工厂投资2万元购进一台机器，用于生产某种商品.这种商品每个的成本是3元，出售价是5元，应付的税款和其他费用是销售收入的10%. 问：至少需要生产、销售多少个这种商品，才能使所获利润(销售收入减去成本、税款和其他费用)超过投资购买机器的费用
师生活动：教师展示问题，学生分组进行分析和解答，教师巡视指导，帮助学生解决遇到的困难.教师根据学生的回答进行总结.
分析：每生产、销售一个这种商品的利润是(5-3-5×10%)元，因此生产、销售x个这种商品的利润是(5-3-5×10%)x元.
问题中不等的数量关系是：所获利润>购买机器款.
利用这个不等关系就可以列出关于x的一元一次不等式
解：设生产、销售这种商品x个，则所得利润为(5-3-5×10%)x元.
由题意，得 (5-3-5×10%)x＞20000
解得：x＞
答：至少要生产、销售这种商品13334个.
总结：进一法.
设计意图：通过实际问题，让学生进一步巩固用一元一次不等式解决问题的方法，提高学生的应用能力和合作交流能力.
总结：应用一元一次不等式可以刻画和解决实际生活中一些数量不等关系的问题. 解决问题的一般过程是:
(1)审题：分析题意，找出题中的数量及其相等或不等关系.
(2)设元：选择一个适当的未知数用字母表示(例如x).
(3)列不等式：根据不等关系列出不等式.
(4)解不等式：求出未知数的取值范围.
(5)检验：检查求得的取值范围是否正确和符合实际情形，并得出答案.
数学建模
设计意图：清晰总结列一元一次不等式解应用题的步骤，帮助学生构建系统的知识框架，明确解题流程，便于学生记忆和掌握.
应用新知
【教材例题】
师生活动：教师展示问题，学生分组进行分析和解答，教师巡视指导，帮助学生解决遇到的困难.每组选派代表上台展示解题过程，教师进行点评，强调解题的关键步骤，尤其是不等关系的提取和不等式的求解.
例1 某中学八年级师生计划包车到研学基地参加社会实践活动，某长运公司有A型、B型两种客车，它们的载客量和日租金如表：
学校根据实际情况，计划租用A，B型两种客车共8辆.设租用A型客车x辆，根据要求回答下列问题：
(1)完成下表(用含x的式子表示)：
(2)若要保证租车费用不超过9 000元，最多租用A型客车多少辆
(3)参加此次活动的总人数为298人.如果按第(2)题的方案租车，可行吗
分析：问题中涉及的量和数量关系有：
A型客车数量+B型客车数量=8；
每种车型载客量=单车载客量×车辆数；
每种车型租金=单车租金×车辆数；
A型客车租金+B型客车租金≤9 000.
解：(1)设租用A型客车x辆，则A型客车载客量为45x人，A型客车租金为1250x元；租用B型客车(8-x)辆，B型客车载客量为30(8-x)人，B型客车租金为1000(8-x)元.如表：
解：(2)租车总费用为[1 250x+1 000(8-x)]元.
由题意，得1 250x+1 000(8-x)≤9 000，
解得x≤4.
答：若要保证租车费用不超过9 000元，最多租用A型客车4辆.
(3)当x=4时，即租A型客车4辆，B型客车为8-4=4(辆)，
能载客总人数为45×4+30×4=300(人).
300>298，
所以租A型客车、B型客车各4辆的方案是可行的.
【经典例题】
例2 一次环保知识竞赛共有20道题，规定答对一道题得5分，不答得0分，答错扣2分.在这次竞赛中，小明有一道题没回答，最后被评为优秀（80分或80分以上），小明至少答对了几道题？
分析：本题涉及的数量关系是：总得分≥80.
解：设小明答对了 x 道题，则他答错 (19－x)道题.根据题意，得
.
解这个不等式，得 .
因为x为正整数，所以x的最小值为17，故小明至少答对了17道题.
答：小明至少答对了17道题.
例3 A，B，C，D四座小山的山脚到学校的路程分别是9公里，11公里，13公里，15公里学校准备组织一次八年级学生登山活动，计划在上午8时出发，以平均每小时4公里的速度前进，登山和在山顶活动的时间为1小时，下山的时间为30分钟，再以平均每小时3公里的速度返回，在下午4时30分前赶回学校.你认为学校可计划登哪几座山？请说明理由.
分析：根据题意，活动时间从上午8时到下午4时30分，总时间为8.5小时；其中登山、在山顶活动、下山的时间共需1.5小时，因
此学生用于前进和返回的时间不能超过7小时；利用这些条件,可列出不等式计算.
解：设符合学校计划的山与学校的距离为：(km)，
则出发时间为，回家时间，总共花费时间8.5小时，活动时间加登山下山时间为1.5小时，由题意，得.
解这个不等式，得：
答：A，B两座小山的距离符合学校的计划.
设计意图：通过多种类型的实际问题，让学生进一步巩固用一元一次不等式解决问题的方法，提高学生的应用能力和合作交流能力.
课堂练习
教材练习
1.在点礼花时，如果导火索燃烧的速度是0.02 m/s，人跑开的速度是3m/s，那么要使点导火索的施工人员在点火后能够跑到15m以外(包括15m)的安全地区，这根导火索的长度至少应取多少米
分析：明确数量关系：人跑到安全区的时间≤导火索燃烧的时间.
解： 设导火索的长度为x(m).
由题意，得
解得x≥0.1
答：这根导火索的长度至少取0.1m.
2.小明家每月水费都不少于15元，自来水公司的收费标准如下：若每户每月用水不超过5立方米，则每立方米收费1.8元；若每户每月用水超过5立方米，则超出部分每立方米收费2元，小明家每月用水量至少是多少？
解：设小明家每月用水x立方米．
因为5×1.8＝9＜15，所以小明家每月用水超过5立方米，
则超出(x－5)立方米，按每立方米2元收费，
列出不等式为：5×1.8＋(x－5)×2≥15，
解不等式得：x≥8.
答：小明家每月用水量至少是8立方米．
课堂练习
3.某篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分.某队预计在该赛季全部 32 场比赛中最少要得 48分，才有希望进入季后赛，设这个队在将要举行的比赛中胜x场，如果要进入季后赛，那么x应满足的关系式是( )
A.2x+(32-x)≥48 B.2x-(32-x)≥48
C.2x+(32-x)≤48 D.2x≥48
分析：共有 32 场比赛，若胜x场，则负(32-x)场,
由题意，得 2x+(32-x)≥48.
故选：A.
答：A
4.已知一种卡车每辆至多能载3吨货物.现有100 吨黄豆，若要一次运完这批黄豆，至少需要这种卡车多少辆？
分析：本题涉及的不等关系是：总吨数≥100t.
解： 设要一次运完这批黄豆需这种卡车x辆，由题意，得，解得
答：至少需这种卡车34辆.
5.某企业向银行贷款1000万元，一年后归还银行贷款的本利和超过1040万元.问年利率在怎样的一个范围内？
分析：本题涉及的不等关系是：本金+利息≥1040万元.
解：设贷款年利率为，由题意，得
,
解得.
答：年利率高于.
6.商店里一种12瓦(即0.012千瓦)节能灯的亮度相当于60瓦(即0.06千瓦)的白炽灯.节能灯售价20元，白炽灯售价5元.如果电价是0.5元/千瓦时，问节能灯使用多少时间后，总费用(售价加电费)比选用白炽灯的费用节省(电灯的用电量=千瓦数×用电时数)？
分析：本题涉及的不等关系是：节能灯费用<白炽灯费用.
解：设节能灯使用小时后，总费用比选用白炽灯的费用节省，由题意，得 ，
解得.
答：节能灯使用625小时后，总费用比选用白炽灯的费用节省.
7.甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按90%收费；在乙商场累计购物超过50元后，超出50元的部分按95%收费，设王老师在同一商场累计购物x元，其中x＞100．
(1)根据题意，填写下表（单位：元）：
(2)当x取何值时，王老师在甲、乙两商场的实际花费相同？
(3)当王老师在同一商场累计购物超过100元时，在哪家商场的实际花费少？
分析：(1)当累计购物290元时：
在甲商场的实际花费：100+(290-100)×0.9=271，
在乙商场的实际花费：50+(290-50)×0.95=278;
累计购物x元(x>100)时，
在甲商场的实际花费：100+(x-100)×0.9=0.9x+10，
在乙商场的实际花费：50+(x-50)×0.95=0.95x+2.5.
填表如下,
解：(2)根据题意得：
0.9x+10=0.95x+2.5，
解得：x=150，
所以当x=150时，王老师在甲、乙两商场的实际花费相同.
(3)根据题意得：
0.9x+10＜0.95x+2.5，解得：x＞150，
0.9x+10＞0.95x+2.5，解得：x＜150，
则当王老师累计购物大于150时，选择甲商场实际花费少；
当王老师累计购物超过100元而不到150元时，在乙商场实际花费少.
师生活动：学生独立完成课堂练习，教师巡视指导，了解学生的掌握情况，然后对练习题进行讲解和分析，让学生说出解题思路和方法，教师进行点评和总结．
设计意图：通过课堂练习，及时巩固本节课所学知识，检查学生的学习效果，发现问题及时解决.
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容．
1.本节课你学到了什么？
2.利用一元一次不等式解决实际问题的步骤有哪些？
设计意图：帮助学生梳理本节课的知识结构，加深学生对所学知识的理解和记忆，让学生明确本节课的重点和难点，为后续学习做好准备．

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