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第四章 图形与坐标
4.1平面直角坐标系(第2课时)
建立平面直角坐标系是在学生掌握象限、点的坐标等基础上，对平面直角坐标系应用的深化，是后续学习图形平移、对称及函数图象的重要铺垫，起到承上启下的作用.
教学内容上，通过不同图形的建系实例，引导学生理解建立坐标系的核心要素：原点选取、坐标轴方向确定、单位长度设定，同时渗透建系应遵循 “简化运算、坐标简洁” 的原则，培养学生根据图形特征灵活建系的能力.
从教学目标维度，不仅要让学生掌握建系的步骤和方法，更要发展其空间观念与几何直观，体会坐标系作为工具在描述图形位置、分析图形关系中的价值，帮助学生建立 “数” 与 “形” 的联系，为初中数学数形结合思想的形成奠定基础.
在教学实施层面，教材通过多样的例题，设置梯度任务，满足不同层次学生的学习需求，既巩固知识，又提升学生运用坐标系解决实际几何问题的应用意识.
从知识基础看，学生已掌握平面直角坐标系的基本概念，能识别象限、确定点的坐标，具备一定的数形结合认知基础.但对 “如何根据图形特征合理建立坐标系” 的方法缺乏系统认知，在原点选取、坐标轴方向确定等环节易出现随意性问题.
从思维能力上，初中生处于形象思维向抽象思维过渡阶段，能理解建系的步骤，但对建系原则（如简化运算、利用图形对称性）的深层逻辑把握不足，在复杂图形建系时易陷入迷茫.
从学习动机角度，学生对 “用坐标系解决实际图形问题” 的应用价值感知较弱，需通过贴近生活的实例（如景区景点、城镇建筑坐标）激发兴趣，提升主动探究建系方法的意愿.
此外，学生个体差异明显，部分学生能快速掌握建系技巧并灵活应用，而基础薄弱的学生在坐标计算、图形分析环节易出现错误，需在教学中分层引导，强化针对性练习，帮助全体学生突破 “建系合理性” 的认知难点，逐步形成规范、高效的建系思维.
1.能根据图形建立适当的平面直角坐标系.
2.能根据所建立的坐标系准确的写出简单几何图形上点的坐标.
3.经历建立平面直角坐标系的过程，体会数形结合思想，感受几何问题与代数问题之间的相互转化．
4.感悟通过几何建立直观、通过代数得到数学表达的过程，培养数学抽象、几何直观和空间观念等核心素养．
重点：能根据图形建立适当的平面直角坐标系.
难点：能根据所建立的坐标系准确的写出简单几何图形上点的坐标.
复习回顾
1.平面直角坐标系分为哪几个象限
预设：第一，二，三，四象限.
2.在平面直角坐标系中描出下列各点:A(1，2) 、B(-1，2)、C(-1，-2) 、
D(1，-2).它们分别属于哪一个象限
预设：如图A 、 B、 C 、 D分别属于第一，二，三，四象限.
3.这些象限、点的坐标是怎么来的呢？
通过建立平面直角坐标系，在坐标系中进行划分象限、研究点的坐标.那么，我们应该如何建立平面直角坐标系呢？
师生活动：教师提出问题引导学生思考，引出建立平面直角坐标系的必要性.
设计意图：通过复习象限、描点判象限，逐步引导学生理解坐标系建立的必要性，为后续学习坐标系的建立与应用奠定基础.
探究新知
　　活动：建立平面直角坐标系
探究：如图，正方形ABCD的边长为6，如果以点A为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，那么以哪条线为y轴？写出正方形的顶点A，B，C，D的坐标．
预设：以AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.当取1个单位长度代表长度 “1”时，正方形的顶点A，B，C，D 的坐标分别是(0，0)，(6，0)，(6，6)，(0，6).
注意：x轴与y轴交点为原点.
试一试：请另外建立一个平面直角坐标系，这时正方形的顶点A，B，C，D的坐标又分别是什么 与同学交流一下.
预设：如图，以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系.
当取1个单位长度代表长度 “1”时，正方形的顶点A，B，C，D 的坐标分别是(-3，0)，(3，0)，(3，6)，(-3，6).
思考：你还能建立其它的平面直角坐标系吗
说一说：建立平面直角坐标系的一般步骤.
预设：建立平面直角坐标系的步骤
①选原点：根据条件，选择合适的点作为原点；
②作两轴：过原点作两条互相垂直的数轴分别作为x轴和y轴；
③定坐标系：确定x轴和y轴的正方向和单位长度.
注意：建立的平面直角坐标系一般遵循如下原则
①运算简单；②所得的坐标简单.
想一想：怎样建立平面直角坐标系比较适当？
预设：(1)使图形中尽量多的点在坐标轴上；
(2)以某条特殊线段所在的直线为x轴或y轴，如三角形的高线等；
(3)以对称图形的对称轴为x轴或y轴；
(4)以某个已知点为原点，使其坐标为(0，0).
设计意图：通过 “想一想”“试一试”“探究” 等环节，引导学生掌握建立平面直角坐标系的原则与步骤，通过不同坐标系建立实例，让学生理解坐标系选择的灵活性，提升其根据图形特征合理建系的能力，深化对平面直角坐标系应用的认知.
试一试：(1)已知长方形ABCD的长为2，宽为1.以AB所在的直线为x轴，AB的中点为原点，建立直角坐标系，如图.求长方形各个顶点的坐标.
解：长方形各个顶点的坐标分别为：A(-1，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(-1，1).
(2)已知某镇的镇政府、镇中心小学、镇文化礼堂的位置如图.用线段连结这三个地点,恰好构成一个等边三角形，且边长为2km.试选取适当的比例，建立直角坐标系，在直角坐标系中画出这三个地点的位置，并标出坐标.
解：以镇中心小学和镇文化礼堂的连线为x轴，其中点为原点O，过原点作轴的垂线为y轴.
因为等边三角形边长为2km，所以镇中心小学坐标为(-1，0)，镇文化礼堂坐标为(1，0).镇政府在等边三角形的顶点，因为等边三角形的高，所以镇政府坐标为
设计意图：通过不同图形（等边三角形、长方形）的坐标系建立实例，让学生巩固 “选原点、作轴、定方向单位” 的建系步骤，掌握利用图形对称性、特殊线段合理建系的方法，提升根据实际场景建立坐标系并确定点坐标的应用能力，深化对平面直角坐标系工具性的理解.
应用新知
教材例题
例1对于正方形ABCD，建立如图的直角坐标系.写出A，B，C，D各顶点的坐标.如果把直角坐标系往下平移2个单位长度，那么A，B，C，D各顶点坐标在新坐标系中将怎样变化？
分析：根据建立的坐标系及点的坐标特征进行求解.
解：顶点A，B，C，D的坐标为A(-2，-2)，B(2，-2)，C(2，2)，D(-2，2).
如果把直角坐标系往下平移2个单位长度，如图，那么顶点A，B，C，D的坐标分别变为(-2，0)，(2，0)，(2，4)，(-2，4).直角坐标系往下平移2个单位长度后，正方形ABCD各顶点的横坐标不变，纵坐标各增加2.
总结：在建立直角坐标系表示给定的点或图形的位置时，应选择适当的点作为原点，适当的直线作为坐标轴，适当的距离为单位长度，这样往往有助于解决问题.
例2一个四边形的形状和尺寸如图所示.建立适当的直角坐标系，在坐标系中作出这个四边形，并标出各顶点的坐标.
分析：如图，为了使这个四边形的各个顶点坐标容易确定，可以把点E作为坐标系的原点，线段AB画在x轴上，那么DE就落在y轴上.选择适当的比例，求出A，B，C，D各点的坐标，再描点，用线段连结起来，就得到所求的图形.
解：如图，选择比例为1∶10，取点E为平面直角坐标系的原点，使四边形的边AB在x轴上，建立平面直角坐标系.可得A，B，C，D各点的坐标分别为(-1，0)，(2，0)，(2.5，1.5)，(0，3.5).
根据上述坐标在直角坐标系中作点 A，B，C，D，并用线段依次连结各点，如图中的四边形就是所求作的图形.
典型例题
例3在平面直角坐标系中，长方形ABCD的顶点坐标分别为A (-3，2 )，B (-3，-2 )，C (3，-2 )，D (3，2 )，画出长方形ABCD .
分析：一个长方形四个顶点确定了，这个长方形就确定了.在平面直角坐标系中，由顶点坐标描出长方形ABCD的四个顶点，就可以画出这个长方形.
解：如图，由长方形ABCD的顶点坐标分别为A (-3，2 )，B (-3，-2 )，C (3，-2 )，D (3，2 )，描出A，B，C，D，连接AB，BC，CD，DA，就可以画出长方形ABCD.
师生活动：教师讲解例1、例2、例3的解题思路和方法，引导学生分析问题，让学生自己思考解答，然后教师进行讲解和总结，强调解题的关键和注意事项．
设计意图：通过不同图形的坐标系应用实例，让学生掌握 “描点 — 连线” 绘制图形、合理建系确定点坐标及分析坐标系平移后坐标变化的方法，理解建系的灵活性与原则，提升利用平面直角坐标系解决几何图形位置问题的能力.
课堂练习
自选练习
1.如图，某人从点O出发，先向东走15m，再向北走10m到达点M，如果点M的位置用(15，10)表示，那么(-5，-10)表示的位置是(　　)
A.点A B.点B C.点C D.点D
答案：B
2.方格纸上有A，B 两点，若以点B为原点建立平面直角坐标系，则点A的坐标为(-2，1)，若以点A为原点建立平面直角坐标系，则点B的坐标为( )
A. (-2，1) B. (-2，-1)
C. (2，-1) D. (2，1)
答案：C.
3.如图，若点E的坐标为(-2，1)，点F的坐标为(1，-1)，则点G的坐标为 _______.
答案：（1，2）.
4.如图是一个角钢的横截面，建立适当的平画直角坐标系，用坐标表示角钢各顶点的位置(图中小正方形的边长代表10cm长).
解: 如图所示，以点B为坐标原点，以10cm长为单位长度，建立平面直角坐标系.
A(-2，0)，B(0，0)，C(0，-2),D(1,-2)，E(1，1)，F(-2，1).
教材作业题
5.如图，在△ABC中，AC=BC=2cm，∠C=Rt∠.分别按下列条件建立直角坐标系.并确定△ABC各顶点的坐标.
(1)使AB的中点为原点，AB边在x轴上.
(2)使点C为原点，边AB的中垂线为y轴.
解：(1)如图，在Rt△ABC中，AC=BC=2cm，∠C=90°，根据勾股定理可得
因为AB的中点为原点O，所以AO=BO=CO=.
所以A( ，0)，B(，0)，C(0，).
(2)由(1)AB=2，△ABC边AB上的高为.不妨设y轴与AB交于点D，所以AD=BD=CD=.
因为点C为原点，边AB的中垂线为y轴，所以A( ，)，B(，)，C(0，0).
　6.某风景区中古塔、飞瀑、笔峰、望夫石四个景点的位置依次在一个边长为4 km的正方形的四个顶点上(如图).试选取适当的比例，建立适当的坐标系，确定四个顶点的坐标，并在直角坐标系中标出它们的位置.
解：如图，以正方形的中心为原点，两对角线所在的直线为x轴和y轴，选取比例尺为1cm
代表1km.因为正方形边长为4km，所以各顶点到原点的距离均为2km.所以古塔：(0， 2)，
飞瀑：(2，0)，笔峰：(0，2)，望夫石：( 2，0).
师生活动：学生独立完成课堂练习，教师巡视指导，了解学生的掌握情况，然后对练习题进行讲解和分析，让学生说出解题思路和方法，教师进行点评和总结．
设计意图：通过课堂练习巩固学生所学的知识，及时发现学生存在的问题并进行解决，让学生进一步掌握建立平面直角坐标系的方法，提高学生的解题能力和应用能力．
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容．
1.本节课你学到了什么？
2.说一说，如何建立平面直角坐标系？
3.怎样建立平面直角坐标系比较适当？
设计意图：帮助学生梳理本节课的知识结构，加深学生对所学知识的理解和记忆，让学生明确本节课的重点和难点，为后续学习做好准备．第四章 图形与坐标
4.1平面直角坐标系(第1课时)
本课时是 “图形与坐标” 的开篇内容，承接小学 “有序数对确定位置” 的知识，首次建立 “数” 与 “形” 的系统对应关系，是后续学习点的运动、函数图象、图形变换的核心基础，也是培养学生空间观念与数形结合思想的关键节点.
教材以生活场景切入，先回顾有序数对的应用，再抽象出平面直角坐标系的定义（x轴、y轴、原点、象限）；接着通过 “描点写坐标”“根据坐标找点” 的实例，引导学生掌握坐标与点的一一对应关系；最后结合具体点的坐标，归纳坐标轴及各象限内点的坐标特征，逻辑上从 “生活感知 — 数学抽象 — 规律总结” 逐步递进.
内容设计既注重知识的基础性（如坐标系构成、坐标读写），又渗透数学思想（数形结合、模型思想）；通过生活实例与数学知识的关联，让学生体会数学的实用性，同时为后续用坐标解决图形问题（如计算距离、判断位置关系）埋下伏笔，符合初中生从具象到抽象的认知规律.
学生在小学已掌握用有序数对（如 “几排几座”）确定位置，对 “两个数对应一个位置” 有初步认知；初中阶段也学习了数轴概念，知道数轴上点与实数的一一对应关系，但尚未建立平面内 “数与形” 的关联，对 “两条垂直数轴构成坐标系” 的抽象模型缺乏理解.
此阶段学生以具象思维为主，抽象思维和空间观念处于发展期：对生活场景（如地图、座位）中的位置描述较易理解，但将其转化为数学坐标系（x轴、y轴、象限）时，易出现认知断层；通过实物观察、动手画图能快速代入学习，但对 “坐标顺序（横坐标在前、纵坐标在后）”“象限符号规律” 的记忆易混淆.
1.理解平面直角坐标系的相关概念，掌握坐标轴上点与各象限内点的坐标规律.
2.能在给定的直角坐标系中，由点的位置写出它的坐标.
3.借助画图、小组讨论等活动，提升从实际问题中抽象出数学模型的能力，学会用坐标描述物体位置.
4.感受平面直角坐标系在生活中的应用，激发数学学习兴趣.
重点：理解平面直角坐标系的相关概念，掌握坐标轴上点与各象限内点的坐标规律
难点：能在给定的直角坐标系中，由点的位置写出它的坐标.
本章引入
给你一张国家大剧院的入场券,如何根据入场券的排号和座号，确定入座的位置
人们在生活、生产实践中经常需要确定物体的位置.利用有序实数对来确定位置是最常用的方法之一.用有序实数对表示平面内点的位置是平面直角坐标系的基本思想.本章将学习平面直角坐标系、图形的位置与坐标以及图形的运动与坐标等内容.
设计意图：让学生对本章有一个整体感知，利于学生在头脑中建立全章的思维导图，形成体系.
情境导入
围棋在我国春秋战国时期已经广为流行.
如图，在围棋盘上画两条数轴，以小方格的边长为单位长度，并规定列号写在前面，行号写在后面，你将怎样表示点O，白棋A和黑棋B的位置
围棋盘上通过两条数轴能确定棋子位置，这和我们要学的平面直角坐标系很像.那平面直角坐标系到底怎么准确表示点的位置呢？接下来咱们就深入探究平面直角坐标系的相关知识.
师生活动：教师展示围棋图片，通过图片引出问题．
设计意图：以围棋盘用数轴确定棋子位置为情境，引出平面直角坐标系，激发兴趣，为新知学习做铺垫．
探究新知
　　活动一：平面直角坐标系的相关概念
问题1：小学时我们用 “12 排 8 座” “8排15座”这样的表述确定影院座位，后来把它记为有序数对(12，8)、(8，15)，大家想想，有序数对是怎么确定座位位置的呢？
预设：排号在前，座号在后，有序数对的两个数分别对应排和座，从而确定唯一座位.
问题2： 在数学上，要表示平面内点的位置，又该怎么做呢？
要表示平面内点的位置，就得借助更规范的工具.
如图，在平面内画两条互相垂直,并且有公共原点O的数轴，其中一条叫作x轴(x-axis，又叫横轴)，通常画成水平，另一条叫作y轴(y-axis，又叫纵轴)，画成与x轴垂直.这样，我就在平面内建立了平面直角坐标系，简称直角坐标系.坐标系所在的平面就叫作坐标平面.
两坐标轴的公共原点O叫作平面直角坐标系的原点.
注意：(1)x轴和y 轴都是数轴，都有原点、正方向和单位长度；
(2)x轴通常取向右为正方向，y 轴通常取向上为正方向；
(3)一般情况下，两条数轴的单位长度一致.
设计意图：先借助影院座位的有序数对确定位置，让学生回顾旧知，再引出平面直角坐标系，通过对比生活实例与数学模型，帮助学生理解坐标系的建立，为后续学习点的坐标等知识奠定基础.
活动二：点的坐标表示
思考：借助平面直角坐标系，该如何表示平面内点的位置呢？
对于平面内任意一点M，作MM1⊥x轴,MM2⊥y轴，设垂足M1，M2在各自数轴上表示的数分别为x，y，则x叫作点M的横坐标，y叫作点M的纵坐标，有序实数对(x，y)叫作点M的坐标.
注意：写点的坐标时，横坐标在前，纵坐标在后，中间用逗号隔开，并用小括号括起来，简记：横前纵后逗隔开.
试一试：在平面直角坐标系中找点A(-3，-4).
预设：在x轴上找到-3对应的点，在y轴上找到-4对应的点，过这两点分别作x轴、y轴的垂线，两垂线交的交点即是点A.
由坐标找点的方法：
(1)先找到表示横坐标与纵坐标的点；
(2)然后过这两点分别作x轴与y轴的垂线；
(3)垂线的交点就是该坐标对应的点.
设计意图：先讲解点的坐标表示方法，让学生理解横、纵坐标的定义，再通过 “试一试” 找指定点，帮助学生掌握在平面直角坐标系中确定点位置的方法，强化对坐标概念的理解与应用.
活动三：直角坐标系中点的坐标的特征
在平面直角坐标系中，x轴和y 轴把坐标平面分成四个象限.如图所示的Ⅰ，Ⅱ ，Ⅲ，Ⅳ四个区域.分别称为第一，二，三，四象限.
注意：象限以数轴为界，x轴与y 轴上的点不属于任何象限.
观察坐标系，填写各象限内点的坐标的符号特征.
观察坐标系，填写坐标轴上的点的坐标的符号特征.
坐标的思想是法国数学家、哲学家笛卡尔(1596~1650)创立的.
试一试：如图.
(1)写出图中六边形各个顶点的坐标.它们各在哪个象限内或坐标轴上 哪些点的横坐标相同 哪些点的纵坐标相同
预设：各点坐标：A(-5，0)，B(0，4)，C(2，4)，D(6，0)，E(2，-4)，F(0，-4).
A、D在x轴上；B、F在y轴上；
C在第一象限；E在第四象限.
横坐标相同：B和F，C和E；
纵坐标相同：B和C，E和F，A和D.
(2)作出点G(-2，-1)，H(-3，5)，M(0，3)，N(5，-2)，并判断这些点中哪些在六边形内，哪些在六边形外？
预设：如图，各点在坐标系中位置，其中点G和M在六边形内，点H和N在六边形外.
师生活动：鼓励学生动手操作，并小组讨论，教师展示结论.
设计意图：先讲解象限及坐标轴上点的坐标特征，再通过 “试一试” 让学生写六边形顶点坐标、判断点的位置及作点判断是否在六边形内，帮助学生巩固坐标特征，提升坐标应用与图形分析能.
应用新知
教材例题
例1(1)如图，写出直角坐标系内点M，N，L，O，P的坐标.
分析：根据横看列，纵看行进行求解.
解：(1)如图，所求各点的坐标分别为：M(2，4)，N(-2，2)，L(0，-2.5)，O(0，0)，P(2，-2.5).
(2)在直角坐标系内画点A(2，4)，B(5，2)，C(-3.5，0)，D(-3.5，-2).
分析：先找到表示横纵坐标的点，再分别向x，y轴作垂线，垂线的交点就是所要找的点.
解：(2)A，B，C，D各点的位置如图.
总结：此类题只需掌握找坐标系内点的坐标方法即可.
想一想：点(2，4)与点(4，2)是不是同一个点 点(-2，4)与点(2，-4)呢
预设：点(2，4)与点(4，2)的横、纵坐标的数值和顺序都不同，所以它们不是同一个点；
点(-2，4)与点(2，-4)的横、纵坐标的符号和数值都不同，所以它们不是同一个点.
典型例题
例2点 M(a，b) 为平面直角坐标系中的点.
(1) 当 a＞0，b＜0 时，点 M 位于第几象限？
(2) 当 ab＞0 时，点M 位于第几象限？
(3) 当 a 为任意实数，且 b＜0 时，点 M 位于第几象限？
分析：在平面直角坐标系内，点的坐标特点为：
原点的坐标是(0，0)，x轴上的点：纵坐标都是0，y轴上的点：横坐标都是0；坐标轴上的点不属于任何象限.
解：(1)点M在第四象限；
(2)可能在第一象限(a>0，b>0)或者在第三象限(a<0，b<0)；
(3)可能在第三象限(a<0，b<0)或者第四象限(a>0，b<0)或者y 轴负半轴上(a=0，b<0)．
总结：熟练掌握坐标系内点的坐标规律是解题的关键.
师生活动：教师讲解例1、例2的解题思路和方法，引导学生分析问题，让学生自己思考解答，然后教师进行讲解和总结，强调解题的关键和注意事项．
设计意图：通过例题讲解点的坐标读写、绘制，以及 “想一想” 和典型例题，巩固平面直角坐标系中点的坐标相关知识，帮助学生掌握坐标与点的对应关系、象限判定等，提升知识应用与分析能力.
课堂练习
自主练习
1.在平面直角坐标系的第二象限内有一点M，点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则点M的坐标是（ ）
A．(3, 4) B．(4, 3) C．( 4,3) D．( 3,4)
答案：C.
2.已在平面直角坐标系中，点P(m，m-2)在第一象限内，则m的取值范围是________．
答案：m＞2.
3.若|a| = 5，|b| = 4，且点M(a，b)在第二象限，则点M的坐标是_______ .
答案：(–5，4)
4.已知坐标平面内点 A(a，b) 在第四象限，那么点 B(b，a) 在第_____象限，点 C(–a，–b) 在第_____象限.
答案：二，二.
5.在如图所示的平面直角坐标系内画出下面这些点：
M(-2，0)，N(3，3)，P(2，-3)，Q(-2，-3).
解：
　6.指出图中点A，B，C，D，E，F，G分别在哪一个象限内，并写出各点的坐标.
解：如图，A(4，5)，B(-3，6)，C(-5，2)，D(-6，-2)，E(-4，-3)，F(3，-2)，G(7，-1).
其中，点A在第一象限，点B和点C在第二象限，点D和点E在第三象限，点F和点G在第四象限.
7.根据图中各点的位置填表.
答案：
师生活动：学生独立完成课堂练习，教师巡视指导，了解学生的掌握情况，然后对练习题进行讲解和分析，让学生说出解题思路和方法，教师进行点评和总结．
设计意图：通过课堂练习巩固学生所学的知识，及时发现学生存在的问题并进行解决，让学生进一步掌握点的坐标表示及坐标规律，提高学生的解题能力和应用能力．
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容．
1.本节课你学到了什么？
2.说一说，平面直角坐标系的相关概念？
3.如何表示点的坐标，坐标系内点的坐标规律是怎样的？

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