资源简介

第四章 图形与坐标
4.3 坐标平面内图形的轴对称和平移
第1课时
本节课选自八年级上册“图形与坐标”单元，是在学生掌握平面直角坐标系的基本概念、点的坐标表示以及轴对称图形性质的基础上展开的.
教材通过零件图、几何图形等实例，引导学生探究坐标平面内图形轴对称的坐标变化规律，为后续学习图形的平移、旋转以及函数图象的性质奠定基础.
从知识结构看，教材先通过具体点的轴对称变换，归纳出关于x轴、y轴对称的点的坐标变化规律，再延伸到图形的轴对称变换，体现了“点—图形”的认知递进.同时，教材融入了合作学习、做一做、课内练习等活动，强调知识的应用与探究，符合新课标对“过程与方法““知识与技能”的双重要求.
学生已掌握平面直角坐标系的构成、点的坐标确定方法，对轴对称图形的概念和性质有初步认识，能判断简单图形的轴对称性.
八年级学生具备一定的观察、分析和归纳能力，能在教师引导下进行探究活动，但对“坐标变化规律”的抽象概括能力仍需提升.
学生可能难以将图形的轴对称特征与坐标变化直接关联，在复杂图形(如多边形、不规则图形)的轴对称坐标分析中易出现混淆.
1.掌握点关于x轴、y 轴对称的坐标变化规律.
2.能根据坐标变化规律，求出图形轴对称变换后各顶点的坐标，并画出轴对称图形.
3.通过观察、分析、归纳点的轴对称坐标变化规律，培养抽象概括能力和逻辑思维能力.
4.感受坐标平面内图形轴对称的应用价值，增强数学与生活的联系意识.
重点：掌握点关于x轴、y 轴对称的坐标变化规律.
难点：能根据坐标变化规律，求出图形轴对称变换后各顶点的坐标，并画出轴对称图形.
复习回顾
任务1：请作出点A关于直线l的对称点.
任务2：请作出线段AB关于直线l的对称线段.
任务3：请作出△ABC关于直线l的对称图形.
答：
作垂直 找等长
如何作出复杂图形的对称图形？
作出关键点的对称点
设计意图：通过分层作图任务，让学生从点到线段再到三角形逐步掌握轴对称作图方法，归纳出通用策略，培养几何作图能力和逻辑思维.
探究新知
活动一：探究坐标平面内图形的轴对称
师生活动：教师引导学生观察坐标，探究点关于x轴、y轴对称的坐标规律，学生计算、对比后总结，教师补充归纳成结论.
问题1：写出点A，B的坐标.
答：1.A(1.5，3) B(-2，-1)
问题2：分别作出A，B两点关于x轴的对称点A1，B1，并写出A1，B1的坐标.
答：A1(1.5，-3) B1(-2，1)
问题3：比较点A与点A1的坐标，点B与点B1的坐标，你发现什么规律？
答：横坐标不变，纵坐标变为相反数
你能求出点(a，b)关于x轴的对称点的坐标吗？
总结：在平面直角坐标系中，点(a，b)关于x轴的对称点的坐标为(a，-b)
问题4：分别作出A，B两点关于y轴的对称点A2，B2，并写出A2，B2的坐标
答：
A2(-1.5，3) B2(2，-1)
问题5：比较点A与点A2的坐标，点B与点B2的坐标，你发现什么规律？
答：纵坐标不变，横坐标变为相反数
你能求出点(a,b)关于y轴的对称点的坐标吗？
总结：在直角坐标系中，点(a，b)关于y轴的对称点的坐标为(-a，b)
总结：
简单的说：关于什么轴对称，就什么坐标不变.
做一做：1.在直角坐标系中，已知点A(-1，2)，B(1，)，C(0，1.5)，则点A关于x轴的对称点的坐标是__________，关于y轴的对称点的坐标是_________；点B关于y轴的对称点的坐标是_____________；点C关于x轴的对称点的坐标是__________.
2.如图，正方形ABCD的边长为4，AB//x轴，BC//y轴，其中心恰好为坐标原点，则四个顶点的坐标分别______________________________________________.
答：1. (-1，-2)；(1，2)；(-1，-)；(0，-1.5)
A(2，2)，B(-2，2)，C(-2，-2)，D(2，-2)
设计意图：通过问题链驱动，让学生自主探究坐标变化规律，培养观察归纳能力，理解轴对称与坐标的联系，为图形轴对称的坐标应用奠定基础.
操作：一个零件的横截面如图.请完成以下任务:
(1)按你认为合适的比例，建立直角坐标系.
(2)写出轮廓线各个转折点的坐标.在求这些点的坐标时，你运用了怎样的坐标变化规律
(3)与你的同伴比较，你们写出的各转折点的坐标相同吗 为什么
师生活动：教师布置任务，学生分组建立坐标系、确定转折点坐标，随后小组展示并交流，教师总结坐标系建立的多样性及坐标变化规律.
解：(1)可取y轴为零件的横截面图的对称轴，使横截面图的底边在x轴上，如图：
一个坐标轴的单位长度取100mm.
(2)各转折点的坐标依次为：A(2.5，0)， B(2.5，4)， C(0.5，4)，D(1，1)，E(-2.5，0)， F (-2.5，4)， G(-0.5，4)， H (-1，1).
先求出右半图中各转折点的坐标，再根据关于y轴对称的点的坐标变化规律写出左半图各转折点的坐标.
(3)由于所建的坐标系以及所取的单位长度不一定相同，所以所得各转折点的坐标不一定相同.
注意：建立坐标系的方法不唯一.
设计意图：通过实际零件截面问题，让学生在操作中掌握坐标系建立、坐标确定及轴对称坐标规律的应用，培养空间观念与合作探究能力，体会数学与实际的联系.
应用新知
【教材例题】
师生活动：教师展示例题，引导学生分析图形顶点坐标及轴对称点坐标，学生计算并作图，教师总结图形轴对称转化为点轴对称的方法.
例1 如图.
(1)写出图形轮廓线上各转折点A，O，B，C，D，E，F的坐标，以及它们关于y轴的对称点A′，O′，B′，C′，D′，E′，F′的坐标.
(2)在同一个直角坐标系中描出点A′，O′，B′，C′，D′，E′，F′，并用线段依次将它们连结起来.
解：(1)图形轮廓线上各转折点的坐标依次是：
A(0，-2)，O(0，0)，B(3，2)，C(2，2), D(2，3)，E(1，3)，F(0，5).
它们关于y轴的对称点的坐标相应是：
A′(0，-2)， O′(0，0)， B′(-3，2)，C′(-2，2)，D′(-2，3)， E′(-1，3)， F′(0，5).
(2) A′(0，-2)， O′(0，0)， B′(-3，2)， C′(-2，2)， D′(-2，3)， E′(-1，3)， F′(0，5).
各点及其连线如图：
想一想：如果要把一个轴对称图形画在直角坐标系中，怎样画才简便？
答：在直角坐标系中作轴对称图形的一般步骤：
1重合：使对称轴与坐标轴重合.
2定点：画出对称轴一侧的关键点，求出点的坐标.
3计算：根据对称点的坐标关系，计算对称点的坐标.
4描点：根据对称点的坐标描点.
5连线：依次连结各点得到轴对称图形.
设计意图：通过例题应用，让学生巩固轴对称坐标规律，握“图形轴对称一点轴对称“的解题思路，提升知识应用与作图能力
【经典例题】
师生活动：教师讲解例题，引导学生分析点轴对称的坐标规律，学生练习作图、计算坐标和面积，教师点评并总结方法.
例2 若点A关于x轴对称的点的坐标是(a，-2), 关于y轴对称的点的坐标是(1，b)，则点A的坐标是( ).
A．(a, -b) B．(b, -a) C．(-1, 2) D．(-2, 1)
分析：
答：C
例3 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-3，4)，B(-4，1)，C(-1，2)．
(1)在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
(2)请写出点A、B、C关于y轴的对称点A′，B′，C′的坐标.
(3)求△ABC的面积．
答：(1) 如图，△A1B1C1即为所求.
(2)因为点A(-3，4)，B(-4，1)，C(-1，2)关于y轴的对称点是A′，B′，C′.
所以点A′，B′，C′的坐标为：A′(3，4)，B′(4，1)，C′(1，2).
(3)S△ABC=3×3×3×1×2×2 ×1×3=4.
设计意图：通过例题巩固轴对称坐标规律与图形作图，结合面积计算，提升知识综合应用能力，
深化对坐标与图形关系的理解.
课堂练习
教材练习
1.等边三角形ABC在直角坐标系中的位置如图所示.
(1)写出△ABC各顶点的坐标.
(2)以x轴为对称轴，作△ABC的轴对称图形，求所得三角形的各顶点坐标.
解：(1)点A的坐标：(0，)；点B的坐标：(-1，0 )；点C的坐标：(1，0).
(2)关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标变为相反数.所作三角形如图：
点A对称点的坐标：(0，)；点B对称点的坐标：(-1，0 )；点C对称点的坐标：(1，0).
师生活动：教师布置练习，学生独立完成坐标书写和轴对称图形顶点坐标求解，之后教师展示解答并讲解轴对称坐标规律.
设计意图：通过教材练习巩固等边三角形顶点坐标确定及关于x轴对称的坐标变化规律，强化知识应用，检验学生对轴对称与坐标关系的掌握程度.
课堂练习
2. 在A(-5，3)，B(5，-5)，C(-5，-3)，D(5，3)四个点中，其中两个点关于x轴对称的是（ ）
A .点C、D B .点A、D C . 点A、C D . 点B、D
答：C
3. 在平面直角坐标系中，点A(-4，-2)关于y轴的对称点B在（ ）
A .第一象限 B .第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限
故选：D
4.已知点M(2a+1，4)关于y轴的对称点和点N(3，2b)关于x轴的对称点相同，则点A(a，b)的坐标为___________．
分析：因为点M(2a+1，4)关于y轴的对称点为（-2a-1，4）；
点N(3，2b)关于x轴的对称点的坐标为（3，-2b），
所以-2a-1=3，-2b=4，
解得a=-2，b=-2
答：（-2，-2）
5.若A( a+2， 4-b )，B( 2b+3， 2a )是关于 x 轴对称的两点，则ab的值为______.
分析：
答：6
6.如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点O(0，0)、A(2，4)，B(6，2)，均在正方形网格的格点上．
(1)画出△OAB关于x轴的对称图形△OA1B1；
(2)△OAB是直角三角形吗？请说明理由．
解：(1)如图，△OA1B1即为所求.
(2)根据勾股定理可得：
，
，
，
因为，所以△OAB是直角三角形.
师生活动：教师布置课堂练习，学生独立完成后，教师选取典型题目讲解，引导学生回顾轴对称坐标规律并分析解题思路.
设计意图：通过多样练习巩固轴对称坐标知识，涵盖单点、多边形及几何判定，提升学生知识应用与综合分析能力，及时检验学习效果.
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容．
1.本节课你学到了什么？
2.坐标平面内图形的轴对称的规律是什么？
3.解决坐标平面内图形的轴对称是利用了什么数学思想？
设计意图：帮助学生梳理本节课的知识结构，加深学生对所学知识的理解和记忆，让学生明确本节课的重点和难点，为后续学习做好准备．第四章 图形与坐标
4.3 坐标平面内图形的轴对称和平移
第2课时
本节课属于“图形与坐标”单元，聚焦平面直角坐标系中点与图形的平移变换，是平面直角坐标系知识的延伸与应用.
知识脉络：以点的平移为基础，拓展到线段、图形的平移，通过“点 一 线段 一 图形” 的层级递进，让学生掌握平移在坐标中的量化规律(“右加左减，上加下减”).
内容价值：从几何直观(图形平移)到代数表达(坐标变化)，体现数形结合思想，为后续函数图象平移、几何变换的坐标分析奠定基础.
例题与练习设计注重实操(作图、坐标计算)，强化学生对平移规律的理解与应用能力.
学生已掌握平面直角坐标系的基本概念(点的坐标表示)，对图形平移的几何特征(方向、距离)有初步认知.
八年级学生具备一定的观察、归纳能力，但从“几何平移”到“坐标量化”的思维转换仍需引导，对“平移规律的普适性”理解可能存在漏洞(如复杂图形平移时各顶点的坐标同步变化).
将图形平移的直观操作转化为坐标的代数变化，以及多线段组合平移(如探究活动中三角形的构建)的逻辑推理.
1.掌握平面直角坐标系中点平移的坐标变化规律(右加左减横坐标，上加下减纵坐标).
2.能根据平移要求，准确计算线段、图形平移后对应点的坐标，并完成作图.
3.通过“点 - 线段 - 图形”的平移探究，经历观察、归纳、验证的过程，发展数形结合与逻辑推理能力.
4.体会数学的严谨性与实用性，增强用坐标分析几何变换的应用意识，在合作学习与探究活动中，培养团队协作能力与探究精神.
重点：掌握平面直角坐标系中点平移的坐标变化规律(右加左减横坐标，上加下减纵坐标).
难点：能根据平移要求，准确计算线段、图形平移后对应点的坐标，并完成作图.
复习回顾
作点A关于x轴、y轴、原点的对称点A1， A2 ， A3
A点的坐标为 .
A1点的坐标为 .
A2点的坐标为 .
A3点的坐标为 .
答：(-3，2)；(-3，-2)；(3，2)；(3，-2)
追问：还有其他变换吗？
师生活动：教师给出点A坐标，引导学生探究其关于x轴、y轴、原点的对称点坐标，学生计算后教师总结规律.
设计意图：通过坐标计算与对称点探究，让学生掌握对称点坐标变化规律，培养数形结合思维，为后续图形变换学习奠基.
探究新知
活动一：探究坐标平面内图形的平移
师生活动：教师引导学生探究点平移的坐标变化，学生计算坐标、填写表格，进而归纳“右加左减横坐标，上加下减纵坐标”的规律，再通过练习巩固应用.
问题1：将点A(-3,3)、 B(4,5)分别作以下平移，作出相应的点，并写出点的坐标.
A(-3, 3) 向右平移5个单位（ ）
B(4, 5) 向左平移5个单位（ ）
A(-3, 3) 向上平移5个单位（ ）
B(4, 5) 向下平移5个单位（ ）
答：(2，3) (-1，5) (-3，8) (4，0)
问题2：比较各点平移时的坐标变化，填在表格内.
答：
问题3：你能发现平移时坐标变化的规律吗？
答：平移时的坐标变化：
（1）左右平移：（a，b）右移m （a+m, b）
左移m （a-m, b）
（2）上下平移：（a，b）上移n （a, b+n）
下移n （a, b-n）
总结：平移规律：右加左减，上加下减
做一做：
1.已知点A的坐标为（－2，－3），分别求点A经下列平移后所得的点的坐标.
（1）向上平移3个单位
（2）向下平移3个单位
（3）向左平移2个单位
（4）向右平移4个单位
答：（-2， 0）；（-2， -6）；（-4，-3）；（2，-3）
2.已知点A的坐标为 (a，b) ，点A经怎样平移得到下列点？
（1） (a-2，b) （2） (a，b+2)
解：(1)坐标从(a，b)变为(a-2，b)，横坐标减 2，纵坐标不变，故向左平移2个单位长度.
(2)坐标从(a，b)变为(a，b+2)，纵坐标加 2，横坐标不变，故向上平移2个单位长度.
设计意图：通过动手计算、归纳规律、练习应用，让学生掌握点平移的坐标变化规律，培养观察归纳与知识应用能力，体会数形结合思想.
问题4：如图，在直角坐标系中，平行于x轴的线段AB上所有点的纵坐标都是－1，横坐标x的取值范围是1≤x≤5 ，则线段AB上任意一点的坐标可以用“(x,-1) (1≤x ≤5)”表示，按照类似这样的规定，回答下面的问题：
(1)怎样表示线段CD上任意一点的坐标？　　
(2)把线段AB向上平移2.5个单位，作出所得线段A′B′. 线段A′B′上任意一点的坐标怎样表示？ 　　
(3)把线段CD向左平移3个单位长度，作出所得的线段C′D′ . 线段C′D′ 上任意一点的坐标怎样表示
师生活动：教师呈现线段 AB坐标表示示例，引导学生分析线段 CD 及平移后线段的坐标表示，学生思考计算后教师总结平行于坐标轴线段的坐标规律.
解：(1)线段CD上任意一点的坐标可表示为（2, y）(-1≤y≤3)
(2)所得的线段A′B′如图所示，线段A′B′上任意一点的坐标可表示为(x, 1.5)(1≤x ≤5)
(3)所得的线段C′D′ 如图所示，线段C′D′ 上任意一点的坐标可表示为(-1，y)(-1≤y ≤3)
总结：平行于x轴的线段上点坐标为(x,b)，(b固定，x在区间内)；
平行于y轴的为(a，y)(a固定，y在区间内).
设计意图：通过实例探究与规律总结，让学生掌握平行于坐标轴线段的坐标表示方法，理解平移对其坐标的影响，培养数形结合与归纳能力.
问题5：如图，在直角坐标系中有三条线段a，b，c.你能通过平移其中两条线段，使得它们和第三条线段首尾相接组成一个三角形吗 如果能，说出你的平移方法，以及所得三角形三个顶点的坐标.
师生活动：教师提出线段平移组成三角形的问题，学生尝试分析平移方法并计算顶点坐标，教师点评并强调平移方法的多样性.
解：平移线段c：向下平移4个单位，再向左平移2个单位；
平移线段 b：向下平移 3个单位，再向右平移2个单位.
所得三角形三个顶点的坐标为(1,1)、(4,2)、(3,4).
注意：平移方法不唯一，只要满足三条线段首尾相接组成三角形即可.
设计意图：通过开放性探究，让学生综合运用平移规律解决图形组合问题，培养空间想象、逻辑推理与创新思维能力.
应用新知
【教材例题】
师生活动：教师引导学生分析点 A、B平移前后的坐标变化，学生计算并归纳规律，再探究图形平移方式，教师总结图形平移的点的共性.
例1 如图.
(1)分别写出点A，A'和点B，B'的坐标，并比较A与A'，B与B'之间的坐标变化.
(2)图甲怎样平移到图乙
解：(1)点A，A'的坐标分别为A(-8，-1)，A'(-3，4)；
点B，B'的坐标分别为B(-3，-1)，B'(2，4).由A到A'，横坐标增加5，纵坐标增加5；
由B到B'，横坐标增加5，纵坐标增加5.
(2)由第(1)题知，点A，B都向右平移5个单位长度，且向上平移5个单位长度.从图甲到图乙，可以看作经过了两次平移：一次是向右平移5个单位长度，另一次是向上平移5个单位长度.
总结：在图形平移中，图形中的每一个点都向相同的方向平移相同的距离.
想一想：从图甲到图乙可以看做只经历一次平移得到吗？
解：可以看做沿AA'的方向，平移距离为AA'的长度的平移变换.
设计意图：通过点与图形的平移分析，让学生掌握图形平移的坐标变化规律，理解图形平移与点平移的一致性培养数形结合与归纳推理能力.
【经典例题】
师生活动：教师讲解例题，引导学生分析平移的坐标变化规律，学生练习计算坐标，教师点评并总结方法.
例2 已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(-1,2)，B(1,-1)，C(2,1)．若将△ABC平移，使点A平移到点(6,a)处，点B平移到点(b，-3)处，则C的对应点的坐标为________．
分析：由点A(-1,2)平移到点(6，a)可知，6-(-1)=7，图形向右平移7个单位；
由点B(1,-1)平移到点(b，-3)可知，-3-(-1)=-2，图形向下平移2个单位；
所以△ABC的平移规律是向右平移7个单位，向下平移2个单位；
因为C(2,1)
所以点C平移后的对应点坐标为(9，-1).
答：(9，-1)
例3 将点Q(m+2,m+3)向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点P，点P恰好落在x轴上，则点P的坐标是( )
A .（-3，-2） B .（-6，0） C . （0，6） D . （5，0）
分析：根据题意知：点P坐标为（m+2-3，m+3+2），
因为点P落在x轴上可知m+3+2=0，解得m=-5
所以m+2-3=-5+2-3=-6
故点P的坐标是（-6，0），故选B.
答：B
设计意图：通过例题解析与练习，让学生掌握图形平移的坐标推理方法，提升运用“右加左减、上加下减” 规律解决问题的能力，巩固数形结合思想.
课堂练习
教材练习
1.把点A(-1,3)先向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度，求最后所得点的坐标.
分析：在平面直角坐标系中，点的平移遵循“右加左减，上加下减” 的规律，即针对点的横、纵坐标分别进行计算.
解：向右平移3个单位长度：横坐标计算得 -1+3=2.
向下平移 3个单位长度：纵坐标计算得3-3=0.
将两次平移后的横、纵坐标组合，得到最终点的坐标为(2,0)
2.把例1中图甲平移，使点A移至点O，求点B的对应点的坐标，并画出图甲平移后的图形.
解：点A的原始坐标为(-8,-1)，点O的坐标为(0,0)，点B的原始坐标为(-3,-1).
要使点 A移至点O，横坐标向右平移8个单位；纵坐标向上平移1个单位.
根据上述平移规律，对点B的坐标进行调整：新横坐标:-3+8=5
新纵坐标:-1+1=0
因此，平移后点B的对应点坐标为(5，0)
师生活动：教师引导学生运用“右加左减，上加下减”规律解决点的平移问题，学生计算坐标、分析图形平移的坐标变化，教师点评并总结方法.
设计意图：通过教材练习巩固点与图形平移的坐标计算，让学生熟练掌握平移规律的应用，强化数形结合的解题思维.
课堂练习
3.点A(-3,-5)向左平移3个单位，再向上平移4个单位到点B，则点B的坐标为（ ）
A .（1，-8） B .（1，-2） C . （-6，-1） D . （0，-1）
答：C
4. 在平面直角坐标系中，把点A(1,n)先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点B．若点B的横坐标和纵坐标互为相反数，则n=（ ）．
A . 2 B . 3 C . 4 D . 5
分析：根据题意知：点B坐标为（-1，n-3），因为点B的横坐标和纵坐标互为相反数，即可求解.
答：C
5.如图，点A(-8,0)，B(-2,0)，将线段AB平移后得到线段CD，点A的对应点C恰好落在y轴上，且平行四边形ABDC的面积为48，则D点坐标为_________．
分析：由平移可知，CD=AB=-2-（-8）=6，
又因为平行四边形ABDC的面积是48，
所以点D到x轴的距离为：48÷6=8，
所以点D的坐标为（6,8）
答：（6,8）
6.在平面直角坐标系中，△ABC经过平移得到△A'B'C'，△ABC与△A'B'C'的位置如图所示．
(1)分别写出点A，A'的坐标．
(2)请结合平移的相关知识说明△A'B'C'可由△ABC经过怎样的平移得到．
解：(1)点A为(2,3)，A'为(4,2)
(2)平移方式：向右平移2个单位，再向下平移1个单位.
师生活动：教师布置课堂练习，学生独立运用平移、对称等坐标规律解题，教师巡视指导并点评，强调方法的应用.
设计意图：通过多样化练习，巩固学生对坐标变换规律的掌握，提升其运用知识解决实际问题的能力，强化数形结合思维.
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容．
1.本节课你学到了什么？
2.坐标平面内图形的平移的规律是什么？
3.平行于坐标轴的线段上任意一点的坐标如何表示？
设计意图：帮助学生梳理本节课的知识结构，加深学生对所学知识的理解和记忆，让学生明确本节课的重点和难点，为后续学习做好准备．

展开更多......

收起↑