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第4课 一元二次方程及其解法 期末总复习
【沪教版2024】
知识点 相关题型
一元二次方程 一元二次方程的辨析
依据一元二次方程的定义求参数
已知一元二次方程的解求未知参数
根据解为1、-1、0的一元二次方程的特征解题
根据一元二次方程的解用整体思想求代数式的值
一元二次方程的解法 用因式分解法解一元二次方程
用直接开平方法解一元二次方程
用配方法解一元二次方程
用公式法解一元二次方程
用适当的方法解一元二次方程
1.概念
一般地，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫作一元二次方程.一元二次方程的一般形式是ax +bx+c=0(a、b、c为已知数，且a≠0),其中ax 叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项.
2.方程的解
满足方程ax +bx+c=0(a≠0)的实数x叫作这个方程的实数根(或者实数解),简称实根或者根.对于一个一元二次方程，可以依据根的意义，判断一个未知数的值是不是这个方程的根.
若一个x的值是两个一元二次方程的公共根，说明这两个方程组成方程组有解.
【题型1：一元二次方程的辨析】
【例1】（25-26八年级上·上海青浦·期中）下列关于的方程一定是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
根据一元二次方程的定义逐项判断即可．
【详解】解：一元二次方程需同时满足：①是整式方程；②只含一个未知数；③未知数的最高次数为2，
A： ，化简得 ，是一元一次方程，故该选项不合题意；
B： 是整式方程，且最高次数为2，故该选项符合题意；
C：含有 ，是分式方程，不是整式方程，故该选项不合题意；
D： 中，若 则不是二次方程，故该选项不合题意．
故选：B．
【变式1】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程，只含一个未知数，且最高次数为的整式方程是一元二次方程，据此判断即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
【详解】解：、方程不是整式方程，不是一元二次方程，该选项不合题意；
、方程化简为，是一元二次方程，该选项符合题意；
、当时，方程为，是一元一次方程，该选项不合题意；
、方程含有两个未知数，不是一元二次方程，该选项不合题意；
故选：．
【变式2】（24-25九年级上·江西赣州·期末）将一元二次方程化成一般形式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，利用去括号和移项把方程整理成（为常数，且）即可，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键．
【详解】解：，
，
，
∴将一元二次方程化成一般形式为，
故选：．
【题型2：依据一元二次方程的定义求参数】
【例2】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的二次项的系数不为0，得到，进行求解即可．
【详解】解：由题意，，
∴；
故选D．
【变式1】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）如果方程，是关于x的一元二次方程，那么m的值为（ ）
A． B．3 C． D．0
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2且二次项系数不为0，即可求解．
【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程，
∴且，
解得．
故选：C．
【变式2】（25-26八年级上·上海金山·期中）关于的一元二次方程的常数项为0，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查一元二次方程的一般式，知道一元二次方程的一般形式是解决本题的关键．
由常数项为0可得，再结合一元二次方程二次项系数不为0，确定m的值即可．
【详解】解：
，
∵常数项为且常数项为0，
∴
，
解得，
又∵方程为一元二次方程，
∴二次项系数，
即．
∴．
故答案为：．
【题型3：根据解为0、等一元二次方程的特征解题】
【例3】（25-26九年级上·陕西西安·期中）下列方程有一个根为的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】本题考查了一元二次方程的解为，则a-b+c=0
【详解】解：、把代入方程，a-b+c, 所以不合题意；
、把代入方程，a-b+c, 所以不合题意；
、把代入方程，a-b+c, 所以不合题意；
、把代入方程，a-b+c, 所以符合题意；
故选：．
【变式1】（25-26九年级上·福建厦门·期中）若一元二次方程有一个根是，则这个方程可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
根据一元二次方程的解的定义判断即可．
【详解】解：A、把代入，可得，所以不是方程的根，不符合题意；
B、把代入，可得，所以不是方程的根，不符合题意；
C、把代入，可得，所以不是方程的根，不符合题意；
D、把代入，可得，所以是方程的根，符合题意；
故选：D．
【变式2】（25-26九年级上·河北石家庄·期中）已知一元二次方程，，，满足，，则一元二次方程的根为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的根是解题的关键．根据当时，；当时，作答即可．
【详解】解：∵一元二次方程，，，满足，，
∴当时，；当时，，
∴方程的根是，．
故选：D．
【题型4：根据一元二次方程解求参数】
【例4】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）已知是关于的方程的一个根，那么的值是 ．
【答案】2或
【分析】本题考查了由一元二次方程的解求参数，因式分解法解一元二次方程．将代入方程，得到关于m的一元二次方程，再进行解方程，即可作答．
【详解】解：依题意，把代入方程，
得，即，整理得，
∴，
解得或．
故答案为：2或．
【变式1】（25-26八年级上·上海崇明·期中）关于的一元二次方程有一个根为0，那么的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程的解，掌握相关知识是解决问题的关键．将根 代入方程，得到关于 的方程，解出 ，并检验是否满足一元二次方程的条件．
【详解】解：将 代入方程 ，
得 ，
即 ，
解得 或 ，
∵一元二次方程二次项系数 ，
∴，
∴．
故答案为：．
【变式2】（25-26八年级上·上海·期中）已知方程的一个根为2，则 ．
【答案】3或
【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，解一元二次方程．
将已知根代入方程，得到关于m的方程，解该二次方程即可．
【详解】将代入方程，
得：
因式分解得：
故或．
故答案为；3或．
【题型5：已知一元二次方程的根，用整体思想求代数式的值】
例5（25-26八年级上·上海·阶段测试）已知是一元二次方程一个根，则的值为 ．
【答案】2026
【分析】本题考查了一元二次方程根的定义等知识，根据是一元二次方程一个根，得到变形为，把变形为，整体代入即可求解．
【详解】解：∵ 是一元二次方程一个根，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2026．
【变式1】（25-26八年级上·上海·阶段测试）已知为一元二次方程的根，那么的值是 ．
【答案】17
【分析】本题考查一元二次方程根的定义，代数式求值，利用一元二次方程根的定义，将代入方程得到，再将所求表达式变形为，代入计算即可．
【详解】解：∵为一元二次方程的根，
∴，
即，
∴．
故答案为：17．
【变式2】（25-26八年级上·上海·阶段测试）若关于的方程满足，称此方程为“贺岁”方程．已知方程是“贺岁”方程，则的值为（ ）
A． B．2024 C．-2025 D．2025
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程的解、代数式求值等知识点，掌握整体代入的方法是解题的关键．
利用新定义得到“贺岁”方程的一个解为，则，即、，然后对原式变形后再整体代入计算即可．
【详解】解：根据题意得“贺岁”方程的一个解为，
∵方程是“贺岁”方程，
∴，即、，
∴
．
故选C．
一、单选题
1．（25-26八年级上·上海·阶段测试）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义对各选项进行判断即可.
【详解】选项A不确定a是否等于零，如果a＝0，可知该方程不是一元二次方程；
选项B化简之后未知数的最高次数为1，也不符合条件；
选项D不是整式方程；
而选项C完全符合一元二次方程的定义.故选C.
【点睛】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
2．（25-26八年级上·上海静安·月考）已知，则一元二次方程（）必有一个根是（　　）
A．1 B． C．0 D．
【答案】D
【分析】本题考查的是一元二次方程的根，即方程的解的定义．解题的关键是要掌握一元二次方程中几个特殊值的特殊形式：时，；时，．一元二次方程中几个特殊值的特殊形式：时，；时，．只需把代入一元二次方程中验证即可．
【详解】解：把代入一元二次方程中得，
所以当，且，则一元二次方程必有一个定根是．
故选：D．
3．（25-26八年级上·上海静安·月考）若关于的一元二次方程有实数根，则应满足（ ）
A． B．且
C．且 D．
【答案】B
【分析】此题考查了利用一元二次方程的根的情况求参数，根据题意得到，即可求出答案，正确掌握一元二次方程根的三种情况是解题的关键．
【详解】解：∵一元二次方程有实数根，
∴
∴且
故选：B．
4．（25-26八年级上·上海静安·月考）设是方程的一个实根，则（ ）
A．2025 B．2024 C．2023 D．2022
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此可得，则，，再把，代入所求式子中计算求解即可．
【详解】解：∵是方程的一个实根，
∴，
∴，，
∴
，
故选：B．
二、填空题
5．（25-26八年级上·上海静安·月考) 把一元二次方程3x（x﹣2）=4化为一般形式是 ．
【答案】3x2-6x-4=0
【详解】把一元二次方程3x（x﹣2）=4去括号，移项合并同类项，
转化为一般形式是3x2﹣6x﹣4=0．
故答案为3x2﹣6x﹣4=0．
6．（23-24八年级上·全国·课后作业）已知关于的一元二次方程：的一个根是2，则另一个根的值为 ．
【答案】1
【分析】先把代入原方程，求出的值，再根据根与系数的关系即可求出方程的另一个根．
【详解】解：是方程的一个根，
，
解得：，
设方程的另一个根为，则，
，
则方程的另一个根为1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了一元二次方程根，根与系数的关系，解题的关键是理解根是能使等式成立的值．
7．（24-25八年级上·松江·阶段测试）已知a，b是方程的两个实数根，则的值是 ．
【答案】0
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值等知识点，掌握一元二次方程的两根之和等于，两根之积等于是解题的关键．根据根与系数的关系和一元二次方程的解可得出，，再整体代入即可解答．
【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根，
，，
∴，
∴．
故答案为：0．
8．（24-25八年级上·松江·阶段测试）当时，一元二次方程的一个根为 ；当时，一元二次方程的一个根为 ．
【答案】
【分析】将x=1代入方程ax2+bx+c=0中的左边，得到a+b+c，由a+b+c=0得到方程左右两边相等，即x=1是方程的解；将x=-1代入方程ax2+bx+c=0中的左边，得到a-b+c，由a-b+c=0得到方程左右两边相等，即x=-1是方程的解．
【详解】解：将x=1代入ax2+bx+c=0的左边得：a×12+b×1+c=a+b+c，
∵a+b+c=0，
∴x=1是方程ax2+bx+c=0的一个根．
将x=-1代入ax2+bx+c=0的左边得：a×（-1）2+b×（-1）+c=a-b+c，
∵a-b+c=0，
∴x=-1是方程ax2+bx+c=0的一个根．
故答案为1，-1．
【点睛】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
9．（24-25八年级上·松江·阶段测试）若方程x2＋mx＋1＝0和x2＋x＋m＝0有公共根，则常数m的值是 ．
【答案】-2．
【分析】先设公共根为t，则t2+mt+1=0，t2+t+m=0，把两方程相减得到（m-1）t=m-1，如果m=1，那么两个方程均为x2+x+1=0，符合题意；如果m≠1，解方程求出t的值，再根据方程解的定义得出1+m+1=0，解得m的值即可．
【详解】设方程x2+mx+1=0和x2+x+m=0的公共根为t，
则t2+mt+1=0①，
t2+t+m=0②，
①-②得（m-1）t=m-1，
如果m=1，那么两个方程均为x2+x+1=0无解，不符合题意；
如果m≠1，那么t=1，
把t=1代入①，得1+m+1=0，解得m=-2．
故常数m的值为-2．
故答案为-2．
【点睛】此题考查一元二次方程的解，解题关键在于掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
10．（24-25八年级上·闵行·阶段测试）若关于x的方程：是一元二次方程，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】方程可整理为，再根据一元二次方程定义直接列式即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴
∵是关于的一元二次方程，
∴，
则，
故答案为：．
【点睛】本题考查根据一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义：是解决问题的关键．
三、解答题
11．（25-26八年级上·全国·课后作业）把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项
（1）2x2=1﹣3x
（2）5x（x﹣2）=4x2﹣3x．
【答案】（1）一般形式为2x2+3x﹣1=0，二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为﹣1；（2）一般形式为x2﹣7x=0，二次项系数为1，一次项系数为﹣7，常数项为0．
【分析】一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项，据此解答即可
【详解】解：（1）2x2=1﹣3x化为一般形式为2x2+3x﹣1=0，二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为﹣1；
（2）5x（x﹣2）=4x2﹣3x化为一般形式为x2﹣7x=0，二次项系数为1，一次项系数为﹣7，常数项为0．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
12．（25-26八年级上·全国·期中）定义：若一元二次方程满足．则称该方程为“和谐方程”．
(1)下列属于和谐方程的是 　；
①；②；③．
(2)求证：和谐方程总有实数根；
(3)已知：一元二次方程为“和谐方程”，若该方程有两个相等的实数根，求a，c的数量关系．
【答案】(1)①③
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据定义直接判断即可；
（2）计算即可判断；
（3）由该方程有两个相等的实数根，得到=0，即可得到．
【详解】（1）解：属于和谐方程的是①③．
故答案为：①③；
（2）证明：∵一元二次方程为“和谐方程”，
∴，
∴
＝
＝，
∴和谐方程总有实数根；
（3）∵一元二次方程为“和谐方程”，
∴，
∵和谐方程有两个相等的实数根，
∴
＝
＝
=0
∴．
【点睛】此题考查了新定义—“和谐方程”，判断一元二次方程根的情况，利用一元二次方程的判别式求参数，正确理解新定义、掌握一元二次方程的根的判别式是解题的关键．
1.因式分解法解一元二次方程
因式分解法解方程的思路是将一元二次方程分解降次为一元一次方程.其理论根据是：若=0A=0或B=0.如，解方程(x+3)(x-3)=0就相当于解方程x+3=0或x-3=0，所以方程解为
易错题：x(x-3)=6方程分解成x=1,x-3=6（╳），因为=6，A、B不一定等于1和6.
2.用直接开平方法解一元二次方程
适合用直接开平方法解的一元二次方程有两种形式：=d和=d()
用直接开平方法解方程的思路是通过平方根的定义达到开方降次的目的，将一元二次方程分解成两个一元一次方程.
3.用配方法解一元二次方程
用配方法解方程的思路是利用完全平方公式把方程转化为可直接开平方的形式从而达到降次的目的，从而求解.
4.用公式法解一元二次方程
用配方法解方程的本质是利用建模的思想和配方的结果，将系数a,b,c的值代入模型即可求出方程的解.
用适合的方法解一元二次方程
解一元二次方程首选是直接开平方法和因式分解法；
如若不能再选用公式法和配方法;
适合用配方法的一元二次方程是二次项系数为1，一次项系数为偶数.
【题型1：因式分解法解一元二次方程】
【例1】（24-25八年级上·上海浦东新·期中）一元二次方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：∵，
∴，
∴即，
∴或
∴，，
故选：D．
【点睛】①本本题不可方程两边同时除以x,得到x=1;
②用因式分解法解方程必须确保方程右边为0.
【变式1】（24-25八年级上·上海闵行·期中）方程的根是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【详解】解：，
，
，
，
∴或，
∴，．
故选C．
【点睛】用因式分解法解方程必须确保方程右边为0.
【变式2】（25-26八年级上·上海静安·期中）已知三角形两边长分别为4和8，第三边的长是一元二次方程的根，则这个三角形的周长为（　　）
A．16 B．22 C．24 D．16或22
【分析】本题考查了解一元二次方程，构成三角形的条件，正确的解一元二次方程是解题的关键．先解一元二次方程，根据三边关系确定第三边的长，进而求得三角形的周长．
【详解】解：∵，
∴，
解得，，
∵第三边的长为二次方程的一根，
∴边长4，4，8不能构成三角形，
∴三角形的三边为：4，8，10，
∴三角形的周长为，
故选：B．
【题型2：用直接开平方法解一元二次方程】
【例2】（25-26八年级上·上海·期中）解方程：
【详解】（1）解：，
整理得，
开方得，
解得，；
【变式1】（25-26八年级上·上海·期中）用合适的方法解下列一元二次方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，
（1）利用直接开平方法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：直接开平方，得
解得，
（2）解：
解得，．
【变式2】（25-26八年级上·上海·期中）解方程：：
【答案】，
【分析】利用直接开平方法计算即可．
本题考查了直接开平方法求解方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键．
【详解】解：∵,
∴
∴
∴或，
解得，．
【题型3：配方法解一元二次方程】
【例3】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）用配方法解方程：．
【答案】
，
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．据此求解即可．
【详解】解：，
整理，得，
配方，得，
∴，
∴，．
【变式1】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）解方程，乐乐的解答过程如下：
解：①移项，得，
②将二次项系数化为1，得：
③配方，得
④两边开平方，得或
⑤所以，
(1)乐乐的解答过程从第___________步开始出错的，其错误原因是_________________．
(2)请写出正确的解答过程（全部）．
【答案】(1)③，配方出错；
(2)见解析
【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握配方法，是解题的关键：
（1）第③步，配方出错，方程两边应该加上一次项系数一半的平方；
（2）根据配方法的步骤，进行作答即可．
【详解】（1）解：第③步，配方出错，方程两边应该加上一次项系数一半的平方；
（2）解：，
移项，得，
将二次项系数化为1，得，
配方，得，
即，
两边开平方，得，
所以，
即．
【变式2】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）关于的一元二次方程经过配方后的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，熟知做法是正确解答此题的关键．
通过配方法将一元二次方程转化为完全平方形式，比较选项得出答案．
【详解】解：∵ 原方程为 ，
∴ 移项得 ．
∵ 一次项系数为4，一半为2，平方为4，
∴ 两边加4得 ，
即 ．
与选项对比，D正确．
故答案为：D．
【题型4：用公式法解一元二次方程】
【例4】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）解方程：
【分析】先将原方程化为一般形式，然后用公式法解方程即可．
【详解】解：，
将原方程化为一般形式：
∵，
∴，
即，．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的求根公式．
【变式1】解方程时，小海同学解答如下：
解：原方程中，，，．第一步
．第二步
，第三步
即或．第四步
所以，原方程的根是，．第五步
(1)上述解题过程从第_____步开始出现错误？
(2)请写出完整的正确解题过程．
【答案】(1)一
(2)见解析
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握公式法解方程的步骤和方法是解题的关键；
（1）根据原方程没有变形为一般形式就进行求解即可进行判断；
（2）先变形为方程的一般形式，再根据公式法求解即可．
【详解】（1）解：∵原方程没有变形为一般形式就进行求解，
∴上述解题过程从第一步开始出现错误；
故答案为：一；
（2）解：原方程可变形为：，
方程中，，，，，
∴，
∴方程的解为, ．
【变式2】（25-26八年级上·上海徐汇·期中）用合适方法解方程：
【答案】，．
【分析】本题考查了一元二次方程的求根公式，利用公式法解一元二次方程的条件是．先确定a、b、c及判别式的值，然后再利用求根公式求解即可．
【详解】解：，
∵，，，
∴，
∴，．
【题型5：用适当的方法解一元二次方程】
【例5】（24-25八年级上·上海·期中）解方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【分析】（1）利用直接开平方法解一元二次方程即可；
（2）利用配方法解一元二次方程即可；
（3）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（4）利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：，
，
，
解得，，；
（2）解：，
，
，
，
解得，，；
（3）解：，
，
，
解得，；
（4）解：，
，
，
，
∴，
解得，，．
【点睛】本题考查了直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法解一元二次方程．熟练掌握直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法解一元二次方程是解题的关键．
【变式1】（24-25八年级上·上海·期中）解方程：
【答案】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先把原方程化为一般式，再利用公式法解方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得．
【变式2】（25-26八年级上·上海·期中）解方程：
(1)用适当的方法解方程：
(2)用配方法解方程：
(3)用公式法解方程：
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用因式分解法、配方法、公式法解一元二次方程成为解题的关键．
（1）先整理，然后运用因式分解法求解即可；
（2）运用配方法求解即可；
（3）直接运用公式法求解即可．
【详解】（1）解：，
整理得，
因式分解得，
∴，，
解得，；
（2）解：整理得，
配方得，即，
开方得，
所以，；
（3）解：，
，，，
∴，
∴，
∴，．
一、单选题
1．（25-26八年级上·上海静安·期中）一元二次方程的解是（ ）
A． B． C．， D．，
【答案】C
【分析】本题主要考查了运用因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键，注意不要两边同时约去，需要移项后运用因式分解法求解．
将方程移项为标准形式后因式分解，利用零乘积性质求解．
【详解】解：移项得： ，
因式分解得：，
∴ 或 ，
∴ ， ．
故选：C．
2．（25-26八年级上·上海闵行·期中）已知2是关于的方程的根，则的值是（ ）
A．1 B． C．1或2 D．或
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的根，即一元二次方程的解．解该题时，采用了因式分解法解一元二次方程．
将代入方程，得到关于的方程，解一元二次方程即可．
【详解】解：∵2是方程 的根，
∴，
化简得： ，
∴，解得或．
故选：C．
3．（25-26八年级上·河南周口·期中）已知，则x的值是（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】A
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键．
通过因式分解法解一元二次方程，得出方程的解即可．
【详解】解：，
因式分解得，
或，
解得：或．
故选：A．
4.（24-25八年级·山东威海·期末）若关于x的一元二次方程可以用直接开平方法解，则c的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查直接开平方法解一元二次方程，将方程整理为完全平方形式，根据直接开平方法的要求，右边必须非负，从而确定c的取值范围．
【详解】解：原方程为：
观察左边，可写成完全平方形式：
根据直接开平方法的要求，右边必须非负，即：
解得：
因此，c的取值范围是，
故选A．
5．（24-25八年级上·全国·随堂练习）某数值转换器的程序如图所示，当输出的值为4时，则输入的x值是（ ）
A． B．2或 C．2或 D．2
【答案】A
【分析】本题考查了程序设计，解一元二次方程，根据题意分两种情况，当时，当时，然后分别求解判断即可．
【详解】解：∵当输出的值为4时，
∴当时，，不符合题意；
当时，解得．
∴当输出的值为4时，则输入的x值是．
故选：A．
6．（25-26八年级上·上海嘉定·期中）若关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法——直接开平方法，熟记偶次方的非负性是解题的关键．
方程左边为平方项，始终非负，因此右边也必须非负，方程才有实数根．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
解得 ．
故选：D．
二、填空题
7．（25-26八年级上·上海静安·月考）用公式法解方程，其中根的判别式的值是______
【分析】本题考查了根的判别式的确定．代入根的判别式进行计算即可，注意首先确定一元二次方程的各项系数及常数项．
【详解】解：∵，，，
∴，
故选：-4．
8．（25-26八年级上·上海金山·月考）已知方程，则 ．
【答案】4
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握整体的思想是解题的关键．把看做一个整体，利用直接开平方的方法解方程得到或，再根据偶次方的非负性得到，则．
【详解】解：∵，
∴，
解得或，
∵，
∴，
∴，
故答案为：4．
9．（24-25八年级下·上海长宁·期中）方程的解是 ．
【答案】
【分析】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，任意有理数的平方都为非负数，掌握知识点是解题的关键．
根据一元二次方程-直接开平方法，任意有理数的平方都为非负数，即可解答．
【详解】解：
，
∴或（不符合题意，舍去），
∴．
10．（24-25八年级上·杨浦·期中）已知三角形的两边长分别为4和6，第三边的长是一元二次方程的一个根，则这个三角形的周长为 ．
【答案】18
【分析】本题考查了解一元二次方程，以及三角形的三边关系，解一元二次方程得，结合三边关系得第三边的长，则第三边为8，再根据三角形的周长公式计算，即可求出答案．
【详解】解：，
，
解得，
三角形的两边长分别为4和6，
第三边的长，
即第三边的长，
第三边的长是一元二次方程的一个根，
第三边为8，
则三角形的周长为，
故答案为：18．
11．（24-25八年级上·虹桥·期中）若，是方程为常数的两个实数根．若，则p的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的求解与根的关系，熟练掌握对一元二次方程根的推到能力是解题的关键．
首先需要将给定的方程展开，转化为一般形式，再利用直接开平方法求出方程的两个根，最后根据两根之差的绝对值建立等式，从而求出p的值．
【详解】解：将方程用直接开平方法求解：
对等式两边开平方，得，
由此可求出方程的两个根：
，，
接下来计算两根之差的绝对值：
，
已知，
，
解得．
故答案为：．
12．（24-25八年级上·普陀·期中）方程的解是 ．
【答案】或
【分析】本题考查直接开方法解一元二次方程，掌握知识点是解题的关键．
通过直接开平方法解方程求解即可．
【详解】解：由方程，两边同时开平方，得
或，
即或．
故答案为：或．
13．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）关于的一元二次方程有一个根为0，则的值为 ．
【答案】
【分析】该题考查了一元二次方程的解，将根代入方程，得到关于的方程，解出的值，并确保二次项系数不为0．
【详解】解：因为方程有一个根为0，
所以代入，得：，
即，
解得：或．
又因为该方程是一元二次方程，所以二次项系数，即．
因此．
故答案为：．
14．（25-26八年级·全国·期中）在实数范围内定义一种运算“ ”，其规则为，例如，．根据这个规则，方程的解为 ．
【答案】或
【分析】本题考查定义新运算，解一元二次方程，掌握相关知识是解决问题的关键．根据新运算规则，将方程转化为关于的一元二次方程，然后利用直接开方法求解．
【详解】解：由运算规则 ，得：
，
即
或
解得或．
故答案为：或．
15．（25-26八年级·全国·期中）若关于的一元二次方程有两个正实数根，则整数的最小值是 ．
【答案】3
【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，无理数的估算．通过直接求解一元二次方程得到根的表达形式，再根据两个根均为正实数的条件确定整数的取值范围，进而得到最小值，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
则，
∴，，
∵要求两个根均为正实数，
故需满足和，
由得，而在时恒成立，
∵，
∴，
因此整数需满足，
∴整数的最小值为3，
故答案为：3．
16.（25-26八年级上·奉贤·月考）把方程配方为的形式，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键．把方程配方为，即可得到答案．
【详解】解：，
移项得，，
方程两边都加上16得，，
配方得，，
∴，，
∴，
故答案为：．
17.（25-26八年级上·上海·期中）定义新运算：．例如：，则关于x的方程的解为 ．
【答案】，
【分析】本题考查新定义运算以及一元二次方程的求解．解题的关键在于根据新定义运算的规则，将方程转化为一元二次方程，再通过因式分解的方法求解方程．
【详解】解：由新运算定义，，则，
由题意，，
整理得，
解得，．
故答案为：，．
18.（25-26八年级上·上海奉贤·期中）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若方程和为“同伴方程”，则的值为 ．
【答案】或
【分析】本题考查解一元二次方程，根据“同伴方程”的定义，两个方程有且只有一个相同的实数根．先求解方程的根，再分析方程 的根，再根据新定义进行求解即可．
【详解】解：，
因式分解得，
解得，；
方程的根为，．
由题意，，得或，得；
故的值为或；
故答案为：或．
三、解答题
19．（25-26八年级上·奉贤·月考）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)，
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）先把方程两边同时除以4，再把方程两边同时开平方得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案；
（2）利用公式法解方程即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
解得；
（2）解：
∵，
∴，
∴，
解得，．
20．（25-26八年级上·奉贤·月考）用直接开平方法解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程、平方差公式的应用，熟练掌握直接开平方法的步骤（将方程化为完全平方式，再开平方求解）是解题的关键．
（1）先利用平方差公式化简方程，再通过直接开平方法求解；
（2）先整理方程得到完全平方式，再通过直接开平方法求解．
【详解】（1）解：，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
．
21.（25-26八年级上·上海·期中）用公式法解方程：
【答案】，
【分析】本题考查了公式法解一元二次方程．
先将方程整理成一元二次方程的标准形式，然后利用求根公式求解即可．
【详解】解：原方程为，
整理得，
则，，，
，
，
所以，．
22．（25-26八年级上·上海松江·期中）解方程：．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的求解，准确的计算是解决本题的关键．
根据公式法求解一元二次方程即可．
【详解】解：在中，，
∴
，
∴
，
∴．
23．（25-26八年级上·上海·期中）已知关于的一元二次方程．若为等腰角形，，另外两条边是方程的根，求的周长．
【答案】或
【分析】本题考查一元二次方程与几何的应用，求出判别式的符号，推出是方程的一个解，代入方程求出的值，进而求出方程的另一个解，求出的周长即可．
【详解】解：，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴是方程的一个解，
∴，
解得，，
当时，，解得，
∴等腰三角形的三边为，周长为；
当时，，解得，
∴等腰三角形的三边为，周长为；
综上：的周长为或．
24.（25-26八年级上·杨浦·月考）在解一元二次方程 时，小明的解法如下：
第一步：
第二步：
第三步：
第四步： 或
第五步：
问：
(1)小明第三步配方的依据是 ；
A．完全平方公式 B．平方差公式 C．多项式与多项式乘法法则
(2)上述解题过程有误，错在步骤 (填序号)
(3)请你写出正确的解答过程．
【答案】(1)A
(2)2
(3)，过程见解析
【分析】本题主要考查了解一元二次方程配方法，熟知配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键．
（1）根据所给步骤，得出第三步的依据即可；
（2）观察所给步骤可知，第二步等式右边漏加了1，据此可解决问题；
（3）根据题意，解出方程即可．
【详解】（1）解：由题知，第三步配方的依据是完全平方公式，
所以A选项符合题意．
故答案为：A；
（2）解：由解题步骤可知，
第二步等式右边漏加了1，
所以第二步出现错误．
故答案为：2；
（3）解：，
，
，
，
则，
所以，．
25.（25-26八年级上·上海奉贤·期中）我们可以利用二次根式性质准确解出形如的方程，
方法如下：
由题意，可知，得 原方程变形为： ∴ ∴或（舍去） ∴
小杰同学将二次根式的性质进一步探究后发现：．
已知，参考上述方法，可求得 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的性质，因式分解法解一元二次方程等知识，设，代入原方程，利用换元法将方程转化为关于的二次方程，求解后得到的值，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：由，设，则，
代入原方程，得，
，
∵，
∴，
∴，
，
设（)，则，
代入得：，即，
整理为：，
∴，（舍去，因为)，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
26．（25-26八年级上·松江·月考）我们通常运用“”这个公式对代数式进行配方来解决一些数学问题．比如求代数式的最小值时，可以这样做：．
，，的最小值是．
试利用“配方法”解决下列问题：
(1)代数式的最小值是______；
(2)求代数式的最小值；
(3)已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，当时，的周长为______．
【答案】(1)4；
(2)11；
(3)13．
【分析】本题考查完全平方公式，三角形周长问题，平方的非负性等．
（1）将配方得，继而求出代数式的最小值；
（2）将配方得，继而得到本题答案；
（3）将整理成完全平方形式得，利用平方非负性得，继而求出本题答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
，
，
∴代数式的最小值是4，
故答案为：4；
（2）解：∵，
∴，
，，
，
∴的最小值11；
（3）解：∵，
∴，即：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴的周长：，
故答案为：13．第4课 一元二次方程及其解法 期末总复习
【沪教版2024】
知识点 相关题型
一元二次方程 一元二次方程的辨析
由依据一元二次方程的定义求参数
由一元二次方程的解求参数
根据解为1、-1、0等数的一元二次方程的特征解题
已知一元二次方程的解用整体思想求代数式的值
一元二次方程的解法 用因式分解法解一元二次方程
用直接开平方法解一元二次方程
用配方法解一元二次方程
用公式法解一元二次方程
用适当的方法解一元二次方程
1.概念
一般地，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫作一元二次方程.一元二次方程的一般形式是ax +bx+c=0(a、b、c为已知数，且a≠0),其中ax 叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项.
2.方程的解
满足方程ax +bx+c=0(a≠0)的实数x叫作这个方程的实数根(或者实数解),简称实根或者根.对于一个一元二次方程，可以依据根的意义，判断一个未知数的值是不是这个方程的根，也可以代入方程，使方程左右两边相等.
若一个x的值是两个一元二次方程的公共根，说明这两个方程组成方程组有解.
【题型1：一元二次方程的辨析】
【例1】（25-26八年级上·上海青浦·期中）下列关于的方程一定是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（24-25九年级上·江西赣州·期末）将一元二次方程化成一般形式正确的是（ ）
B． C． D．
【题型2：依据一元二次方程的定义求参数】
【例2】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则k的取值范围是（ ）
B． C． D．
【变式1】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）如果方程，是关于x的一元二次方程，那么m的值为（ ）
B．3 C． D．0
【变式2】（25-26八年级上·上海金山·期中）关于的一元二次方程的常数项为0，则的值是 ．
【题型3：根据解为0、等一元二次方程的特征解题】
【例3】（25-26九年级上·陕西西安·期中）下列方程有一个根为的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（25-26九年级上·福建厦门·期中）若一元二次方程有一个根是，则这个方程可以是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（25-26九年级上·河北石家庄·期中）已知一元二次方程，，，满足，，则一元二次方程的根为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【题型4：根据一元二次方程解求参数】
【例4】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）已知是关于的方程的一个根，那么的值是 ．
【变式1】（25-26八年级上·上海崇明·期中）关于的一元二次方程有一个根为0，那么的值为 ．
【变式2】（25-26八年级上·上海·期中）已知方程的一个根为2，则 ．
【题型5：已知一元二次方程的根，用整体思想求代数式的值】
例5（25-26八年级上·上海·阶段测试）已知是一元二次方程一个根，则的值为 ．
【变式1】（25-26八年级上·上海·阶段测试）已知为一元二次方程的根，那么的值是
．
【变式2】（25-26八年级上·上海·阶段测试）若关于的方程满足，称此方程为“贺岁”方程．已知方程是“贺岁”方程，则的值为（ ）
A． B．2024 C．-2025 D．2025
一、单选题
1．（25-26八年级上·上海·阶段测试）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）.
A． B． C． D．
2．（25-26八年级上·上海静安·月考）已知，则一元二次方程（）必有一个根是（　　）
A．1 B． C．0 D．
3．（25-26八年级上·上海静安·月考）若关于的一元二次方程有实数根，则应满足（ ）
A． B．且
C．且 D．
4．（25-26八年级上·上海静安·月考）设是方程的一个实根，则（ ）
A．2025 B．2024 C．2023 D．2022
二、填空题
5．（25-26八年级上·上海静安·月考) 把一元二次方程3x（x﹣2）=4化为一般形式是 ．
6．（23-24八年级上·全国·课后作业）已知关于的一元二次方程：的一个根是2，则另一个根的值为 ．
7．（24-25八年级上·松江·阶段测试）已知a，b是方程的两个实数根，则的值是 ．
8．（24-25八年级上·松江·阶段测试）当时，一元二次方程的一个根为 ；当时，一元二次方程的一个根为 ．
9．（24-25八年级上·松江·阶段测试）若方程x2＋mx＋1＝0和x2＋x＋m＝0有公共根，则常数m的值是 ．
10．（24-25八年级上·闵行·阶段测试）若关于x的方程：是一元二次方程，则a的取值范围是 ．
三、解答题
11．（25-26八年级上·全国·课后作业）把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项
（1）2x2=1﹣3x
（2）5x（x﹣2）=4x2﹣3x．
12．（25-26八年级上·全国·期中）定义：若一元二次方程满足．则称该方程为“和谐方程”．
(1)下列属于和谐方程的是 　；
①；②；③．
(2)求证：和谐方程总有实数根；
(3)已知：一元二次方程为“和谐方程”，若该方程有两个相等的实数根，求a，c的数量关系．
1.因式分解法解一元二次方程
因式分解法解方程的思路是将一元二次方程分解降次为一元一次方程.其理论根据是：若=0A=0或B=0.如，解方程(x+3)(x-3)=0就相当于解方程x+3=0或x-3=0，所以方程解为
易错题：x(x-3)=6方程分解成x=1,x-3=6（╳），因为=6，A、B不一定等于1和6.
2.用直接开平方法解一元二次方程
适合用直接开平方法解的一元二次方程有两种形式：=d和=d()
用直接开平方法解方程的思路是通过平方根的定义达到开方降次的目的，将一元二次方程分解成两个一元一次方程.
3.用配方法解一元二次方程
用配方法解方程的思路是利用完全平方公式把方程转化为可直接开平方的形式从而达到降次的目的，从而求解.
4.用公式法解一元二次方程
用配方法解方程的本质是利用建模的思想和配方的结果，将系数a,b,c的值代入模型即可求出方程的解.
用适合的方法解一元二次方程
解一元二次方程首选是直接开平方法和因式分解法；
如若不能再选用公式法和配方法;
适合用配方法的一元二次方程是二次项系数为1，一次项系数为偶数.
【题型1：因式分解法解一元二次方程】
【例1】（24-25八年级上·上海浦东新·期中）一元二次方程的解为（ ）
B． C． D．
【变式1】（24-25八年级上·上海闵行·期中）方程的根是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式2】（25-26八年级上·上海静安·期中）已知三角形两边长分别为4和8，第三边的长是一元二次方程的根，则这个三角形的周长为（　　）
A．16 B．22 C．24 D．16或22
【题型2：用直接开平方法解一元二次方程】
【例2】（25-26八年级上·上海·期中）解方程：
【变式1】（25-26八年级上·上海·期中）用合适的方法解下列一元二次方程：
(1)；
(2)．
【变式2】（25-26八年级上·上海·期中）解方程：：
【题型3：配方法解一元二次方程】
【例3】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）用配方法解方程：．
【变式1】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）解方程，乐乐的解答过程如下：
解：①移项，得，
②将二次项系数化为1，得：
③配方，得
④两边开平方，得或
⑤所以，
(1)乐乐的解答过程从第___________步开始出错的，其错误原因是_________________．
(2)请写出正确的解答过程（全部）．
【变式2】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）关于的一元二次方程经过配方后的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【题型4：用公式法解一元二次方程】
【例4】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）解方程：
【变式1】解方程时，小海同学解答如下：
解：原方程中，，，．第一步
．第二步
，第三步
即或．第四步
所以，原方程的根是，．第五步
(1)上述解题过程从第_____步开始出现错误？
(2)请写出完整的正确解题过程．
【变式2】（25-26八年级上·上海徐汇·期中）用合适方法解方程：
【题型5：用适当的方法解一元二次方程】
【例5】（24-25八年级上·上海·期中）解方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【变式1】（24-25八年级上·上海·期中）解方程：
【变式2】（25-26八年级上·上海·期中）解方程：
(1)用适当的方法解方程：
(2)用配方法解方程：
(3)用公式法解方程：
一、单选题
1．（25-26八年级上·上海静安·期中）一元二次方程的解是（ ）
A． B． C．， D．，
2．（25-26八年级上·上海闵行·期中）已知2是关于的方程的根，则的值是（ ）
A．1 B． C．1或2 D．或
3．（25-26八年级上·河南周口·期中）已知，则x的值是（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
4.（24-25八年级·山东威海·期末）若关于x的一元二次方程可以用直接开平方法解，则c的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25八年级上·全国·随堂练习）某数值转换器的程序如图所示，当输出的值为4时，则输入的x值是（ ）
A． B．2或 C．2或 D．2
6．（25-26八年级上·上海嘉定·期中）若关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（25-26八年级上·上海静安·月考）用公式法解方程，其中根的判别式的值是______
8．（25-26八年级上·上海金山·月考）已知方程，则 ．
9．（24-25八年级下·上海长宁·期中）方程的解是 ．
10．（24-25八年级上·杨浦·期中）已知三角形的两边长分别为4和6，第三边的长是一元二次方程的一个根，则这个三角形的周长为 ．
11．（24-25八年级上·虹桥·期中）若，是方程为常数的两个实数根．若，则p的值为 ．
12．（24-25八年级上·普陀·期中）方程的解是 ．
13．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）关于的一元二次方程有一个根为0，则的值为 ．
14．（25-26八年级·全国·期中）在实数范围内定义一种运算“ ”，其规则为，例如，．根据这个规则，方程的解为 ．
15．（25-26八年级·全国·期中）若关于的一元二次方程有两个正实数根，则整数的最小值是 ．
16.（25-26八年级上·奉贤·月考）把方程配方为的形式，则 ．
17.（25-26八年级上·上海·期中）定义新运算：．例如：，则关于x的方程的解为 ．
18.（25-26八年级上·上海奉贤·期中）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若方程和为“同伴方程”，则的值为 ．
三、解答题
19．（25-26八年级上·奉贤·月考）解方程：
(1)
(2)
20．（25-26八年级上·奉贤·月考）用直接开平方法解下列方程：
(1)；
(2)．
21.（25-26八年级上·上海·期中）用公式法解方程：
22．（25-26八年级上·上海松江·期中）解方程：．
23．（25-26八年级上·上海·期中）已知关于的一元二次方程．若为等腰角形，，另外两条边是方程的根，求的周长．
24.（25-26八年级上·杨浦·月考）在解一元二次方程 时，小明的解法如下：
第一步：
第二步：
第三步：
第四步： 或
第五步：
问：
(1)小明第三步配方的依据是 ；
A．完全平方公式 B．平方差公式 C．多项式与多项式乘法法则
(2)上述解题过程有误，错在步骤 (填序号)
(3)请你写出正确的解答过程．
25.（25-26八年级上·上海奉贤·期中）我们可以利用二次根式性质准确解出形如的方程，
方法如下：
由题意，可知，得 原方程变形为： ∴ ∴或（舍去） ∴
小杰同学将二次根式的性质进一步探究后发现：．
已知，参考上述方法，可求得 ．
26．（25-26八年级上·松江·月考）我们通常运用“”这个公式对代数式进行配方来解决一些数学问题．比如求代数式的最小值时，可以这样做：．
，，的最小值是．
试利用“配方法”解决下列问题：
(1)代数式的最小值是______；
(2)求代数式的最小值；
(3)已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，当时，的周长为______．

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