资源简介

不等式与不等式组—知识点专练（通用版）
细目表
一级目录 二级目录 三级目录 题号 题型 知识点
不等式的性质 1 单选题 不等式的性质
2 单选题 不等式的性质
3 填空题 不等式的性质
4 填空题 不等式的性质、求一元一次不等式的解集
5 解答题 不等式的性质
6 解答题 运用完全平方公式进行运算、不等式的性质、用一元一次不等式解决实际问题
一元一次不等式的解法及解集表示 7 单选题 一元一次不等式的定义、求一元一次不等式的解集
8 单选题 求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集
9 单选题 求一元一次不等式的解集
10 单选题 求一元一次不等式的整数解、求一元一次不等式的解集
11 填空题 求一元一次不等式的解集、一元一次不等式的定义
12 填空题 已知二元一次方程组的解的情况求参数、求一元一次不等式的解集
13 解答题 求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集
14 解答题 求一元一次不等式的整数解
15 解答题 利用数轴比较有理数的大小、求一元一次不等式的解集、用数轴上的点表示有理数、求一元一次不等式的整数解
16 解答题 已知二元一次方程组的解的情况求参数、求一元一次不等式的整数解、由不等式组解集的情况求参数
17 解答题 数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义、解|x|≥a型的不等式
一元一次不等式组的解法及解集表示 18 单选题 求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集
19 单选题 由一元一次不等式组的解集求参数
20 单选题 由不等式组解集的情况求参数
21 单选题 由不等式组解集的情况求参数
22 单选题 新定义下的实数运算、求不等式组的解集
23 填空题 根据分式方程解的情况求值、由不等式组解集的情况求参数
24 填空题 由不等式组解集的情况求参数
25 解答题 求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集
26 解答题 求不等式组的解集、求一元一次不等式组的整数解
27 解答题 已知二元一次方程组的解的情况求参数、不等式组和方程组结合的问题
28 解答题 求一元一次不等式的解集、由不等式组解集的情况求参数、整式的加减运算、代入消元法
29 解答题 由不等式组解集的情况求参数、求一元一次不等式的解集、求不等式组的解集
30 解答题 由不等式组解集的情况求参数、求不等式组的解集
试卷内容
不等式的性质（知识点、易错）
1．已知，下列式子中成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列命题中，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．比较大小，用“”或“”填空：若，且，则 ．
4．如果关于的不等式的解集为，则的取值范围是 ．
5．完成下列填空：若，比较与的大小．
解：
（依据： ）
（依据： ）
6．阅读理解：我们知道，“作差法”是比较两数（式）大小关系常用的方法之一，其依据是不等式（或等式）的性质：若，则；若，则；若，则．
例：已知，，其中，求证：．
证明：．
，
．
．
(1)比较大小：若，则 ．（填“”、“”或“”）
(2)若 ．（填“”、“”或“”）
(3)若， ．（填“”、“”或“”）
(4)应用拓展
①中，于，，长方形中，长，宽，与长方形的面积分别为、，试比较、的大小，其中，且．
②某体育馆在暑假期间对学生优惠开放，有A、B两种方案可供选择，A方案每次按原票价打七五折；B方案第一次按原票价，但从第二次起，每次打七折，请问游泳的同学选择哪种方案更合算？
一元一次不等式的解法及解集表示（知识点、重点）
7．已知是关于x的一元一次不等式，则不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
8．在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．对于实数定义运算“”：，例如，．当时，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．关于x的不等式有且只有三个负整数解，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
11．已知是不等式的解，且不是这个不等式的解，则实数 a 的取值范围是 ．
12．若关于x、y的二元一次方程组的解满足，则a的取值范围是 ．
13．解不等式，并把它的解表示在数轴上．
14．求不等式的正整数解．
15．如图，在数轴上，点A、B分别表示数，，且点在点的左侧．

(1)求的取值范围；
(2)若点表示的数是关于的不等式的解，求的整数解．
16．已知的解满足．
(1)求的非负整数解；
(2)化简：；
(3)在的取值范围内，为何整数时关于的不等式的解集为．
17．认真阅读下面的材料，完成有关问题，
材料：在学习绝对值时，一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B之间的距离可表示为．例如：数轴上与3对应的点之间的距离为．
(1)点A，B，C在数轴上分别表示有理数x，，1，那么C到B的距离为______，A到B的距离与A到C的距离之和可表示为______（用含绝对值的式子表示）；
(2)利用数轴探究：当x取何值时，有最小值，最小值是多少
(3)①根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式：

由图可得出：绝对值不等式的解集是或；绝对值不等式的解集，是，则：不等式的解集是______；
②利用数轴解不等式，并加以说明．
一元一次不等式组的解法及解集表示（知识点、重点、难点）
18．如图，数轴上表示的是某个不等式组的解集，则该不等式组可能是（ ）
A． B．
C． D．
19．若关于x的一元一次不等式组的解集是，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
20．若不等式组无解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
21．关于x的不等式组有四个整数解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
22．对于三个数a，b，c，表示a，b，c这三个数的平均数，表示a，b，c这三个数中最小的数，如：，；若，那么x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
23．若关于的一元一次不等式组有解且至多有5个整数解，且关于的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数的值之和是 ．
24．如果关于x的不等式组：，的整数解仅有1，2，那么适合这个不等式组的整数a，b组成的有序数对（a，b）共有 个．
25．解不等式组并把解在数轴上表示出来．
26．解不等式组并写出满足条件的整数解．
27．已知关于x、y的方程组中，x为非负数、y为负数．
(1)试求m的取值范围；
(2)在（1）的条件下，若不等式的解为，请写出整数m的值．
28．已知关于的不等式组的解集为，
(1)求和的值．
(2)若，求的取值范围．
29．若不等式（组）①的解集中的任意解都满足不等式（组）②，则称不等式（组）①被不等式（组）②覆盖．特别地，若一个不等式（组）无解，则它被其他任意不等式（组）覆盖．例如：不等式被不等式覆盖；不等式组无解，被其他任意不等式（组）覆盖．
(1)下列不等式（组）中，能被不等式覆盖的是_______（多选题）．
A． B． C． D．
(2)若关于x的不等式被覆盖，请求出m的取值范围．
(3)若关于x的不等式被覆盖，请求出m的取值范围．
30．如图，数轴上两点A、B对应的数分别是，1，点P是线段上一动点，给出如下定义：如果在数轴上存在动点Q，满足，那么我们把这样的点Q表示的数称为连动数，特别地，当点Q表示的数是整数时我们称为连动整数．

(1)在，0，2，3.5四个数中，连动数有______；
(2)若k使得方程组中的x，y均为连动数，求k所有可能的取值；
(3)若关于x的不等式组的解集中恰好有3个连动整数，求这3个连动整数的值及a的取值范围．
《不等式与不等式组—知识点专练（通用版）》参考答案：
1．C
【分析】本题主要考查了不等式的性质，不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向．根据不等式的基本性质，逐项进行判断即可．
【详解】解：A、由，可得，原不等式不成立，本选项不符合题意；
B、由，可得，原不等式不成立，本选项不符合题意；
C、由，可得一定成立，本选项符合题意；
D、由，可得，原不等式不成立，本选项不符合题意；
故选：C．
2．C
【分析】本题考查的是不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐一判断即可解答．
【详解】解：A、在不等式的两边同时加，不等式仍成立，即，不符合题意；
B、在不等式的两边同时乘以，不等号方向改变，即，不符合题意；
C、在不等式的两边同时除以2，不等式仍成立，即，正确，符合题意；
D．当时，，原判断错误，故本选项不符合题意
故选：C．
3．
【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
由不等式的性质可得，于是得解．
【详解】解：，且，
，
，
故答案为：．
4．##
【分析】本题考查的是不等式的解集的解法，不等式两边的式子在同除以一个数时，若这个数为负数，则不等号改变方向，若这个数为正数，不等号不改变方向．
【详解】解：∵不等式的解集为，
∴，
解得，
故答案为：．
5．，，不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变．
【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质分析即可求解．
【详解】解：
（依据：不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．）
（依据：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变），
故答案为：，，不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变．
6．(1)
(2)
(3)
(4)①；②当游泳次数超过6次时，应选择B方案，当游泳次数小于6次时，应选择A方案，当游泳次数恰好6次时，两种方案费用相同．
【分析】本题为创新型题目，考查了，整式的计算，解不等式等知识，综合性较强，熟练掌握相关知识，并理解“作差法”依据是解题关键．
（1）由得到，然后移项求解即可；
（2）利用作差法求解即可；
（3）首先由得到．然后利用不等式的性质求解即可；
（4）①根据题意表示出M和N，然后作差求解即可；
②设原来每次游泳价格为x元，暑假计划去m次，分别表示出A、B两种方案费用，用A方案费用减去B方案费用，根据题意分别得到m取值不同，两方案费用的差的符号，即可确定如何选择方案．
【详解】（1）∵
∴
∴；
（2）∵
∴；
（3）∵
∴
∵
∴；
（4）①∵中，于，，的面积为
∴，
∵长方形中，长，宽，长方形的面积为
∴
∴
∵，且．
∴
∴；
②设原来每次游泳价格为x元，暑假计划去m次，则A方案游泳总费用为元；B方案游泳总费用为（元），
，
由题意得，
∴当时，即，此时应选择B方案；
当时，即，此时应选择A方案；
当时，即，两种方案费用相同．
答：当游泳次数超过6次时，应选择B方案，当游泳次数小于6次时，应选择A方案，当游泳次数恰好6次时，两种方案费用相同．
7．B
【分析】根据一元一次不等式的定义得出、求出k的值，然后代入不等式就x的解集．
【详解】解：是关于x的一元一次不等式，
∴ 解得
∴不等式为：，
解得，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义，一元一次不等式的解法，注意一次项系数不为0是解题关键．
8．C
【分析】本题考查的是解一元一次不等式并在数轴上表示其解集，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．
先去分母再移项，再合并同类项，把x的系数化为1，把不等式的解集在数轴上表示出来即可．
【详解】解：去分母得， ，
移项得，合并同类项得，，
把x的系数化为1得，，
在数轴上表示为：，
故选：C．
9．A
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式．根据定义的新运算列出不等式求解即可．
【详解】解：根据题意：
当时，解得：，
则，即
解得：，相矛盾，舍去；
当时，解得：，
则，即
解得：，
；
故选：A．
10．C
【分析】本题考查了根据一元一次不等式的解的情况求参数，先求出解集，然后根据正数解的情况得到参数的取值，根据解的情况求出参数的取值是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵关于x的不等式有且只有三个负整数解，
∴x的负整数解有：，
∴，
解得：，
故选：C．
11．
【分析】本题考查一元一次不等式，根据题意可得，，再分别解不等式即可求解．
【详解】解：∵是不等式的解，
∴把代入得，，
解得，
又∵不是这个不等式的解，
把代入得，，
解得，
∴实数 a 的取值范围是，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查的是解二元一次方程组和解一元一次不等式，解答此题的关键是把当作已知数表示出的值，再得到关于的不等式．
首先解关于和的方程组，利用表示出，代入即可得到关于的不等式，求得的范围．
【详解】解：，
得，
则，
∵
∴，
解得．
故答案是：．
13．；图见解析
【分析】本题考查求不等式的解集，用数轴表示不等式的解集．去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，求出不等式的解集，进而在数轴上表示出解集即可．
【详解】解：，
去分母，得：，
去括号，得：，
移项，合并，得：，
系数化1，得：；
数轴表示解集如图：
．
14．不等式的正整数解为1，2
【分析】先求出不等式的解集，后写出正整数解即可，本题考查了一元一次不等式的解法，熟练进行不等式求解是解题的关键．
【详解】
去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
所以不等式的正整数解为1，2．
15．(1)
(2)0，1
【分析】（1）根据数轴得出关于的不等式，解不等式即可；
（2）先求出不等式的解集，然后根据点、表示的数是关于的不等式的解，得出，求其整数解即可．
【详解】（1）解：数轴上点在点的左侧，
，
解得；
（2）不等式的解集为，
又点、表示的数是关于的不等式的解，
，
解得，
又，
．
又是整数，
的值为0，1．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解，能够理解题意，结合数轴得出关于的不等式是解题的关键．
16．(1)1或0
(2)
(3)
【分析】（1）将方程组中两个方程相加可得，根据题意可得关于的不等式，求解即可；
（2）根据绝对值的性质求解即可；
（3）由不等式的性质可得，结合（1）可得，即可获得答案．
【详解】（1）解：，
由①+②可得，，
整理，可得，
∵，
∴，
解得，
∴的非负整数解为1或0；
（2）解：由（1）可知，，
∴，，
∴
；
（3）解：由不等式，可得，
∵该不等式的解集为，
∴，
即有，
∴在的取值范围内，时关于的不等式的解集为．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组以及解一元一次不等式，根据题意求得的取值范围是解题关键．
17．(1)3，
(2)，最小值为1
(3)①；②
【分析】（1）利用绝对值的意义计算和表示相应距离即可；
（2）分析出的意义，结合数轴找到合适的值即可；
（3）①仿照所给例即可求解；②分三种情况，并结合数轴求解．
【详解】（1）解：C到B的距离为；
A到B的距离与A到C的距离之和可表示为；
（2）表示数轴上x与3和x与2的距离之和，

故当时，取最小值，且为；
（3）①的解集为或，
故答案为：或；
②当时，，
∴；
当时，，
∴x无解；
当时，，
∴；
综上所述：或．

【点睛】本题考查数轴与绝对值，熟练掌握绝对值的意义，理解题意，分类讨论是解题的关键．
18．A
【分析】本题考查解一元一次不等式组及在数轴上表示不等式组的解集，根据数轴得出不等式组的解集，正确得出各选项中的不等式组的解集是解题关键．根据数轴可得不等式组解集，分别解各选项中的不等式组即可得答案．
【详解】
解：∵，
∴这个不等式组的解集为：，
A、解不等式组得：，故本选项符合题意，
B、解不等式组得：，故本选项不符合题意，
C、不等式组无解，故本选项不符合题意，
D、解不等式组得：，故本选项不符合题意．
故选：A．
19．A
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，根据“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”，据此即可确定m的取值范围．
【详解】解：解不等式，得，
不等式组的解集为，
，
故选：A．
20．A
【分析】本题考查了解一元一次不等式组（由不等式组解集的情况求参数），熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．
先解不等式组中的两个不等式，然后由不等式组无解可得出关于的不等式，解不等式即可求出实数的取值范围．
【详解】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
不等式组无解，
，
，
故选：A．
21．A
【分析】本题考查不等式组的解集，首先解出不等式的解集，再根据不等式组有且只有四个整数解，得到a的取值范围．
【详解】解：解不等式得，，
解不等式得，，
∵关于x的不等式组有四个整数解，而的四个整数是9，10，11，12，
∴，
解得，
∴a的取值范围是，
故选：A．
22．A
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用．解题的关键是弄清新定义运算的法则．依据，得到，解不等式组即可得到x的取值范围．
【详解】解：，
，
解不等式，得，
解不等式，得，
；
故选：A．
23．
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组和分式方程等知识点，先解一元一次不等式组，求出x的取值范围，然后根据关于x的一元一次不等式组有解且至多有5个整数解，求出a的取值范围，再解分式方程，根据关于y的分方程有非负整数解，列出关于a的不等式，求出a的值，从而求出答案即可，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组和分式方程的一般步骤．
【详解】解：解一元一次不等式组，
解得，
∵一元一次不等式组有解且至多有5个整数解，
∴，
∴或或或0或1，
解分式方程，
∴，
∴，
∵分式方程有非负整数解，
∴，即或或4或，
∴或或1，
∵，
∴
∴，
∴，
∴或1．
∴．
故答案为：．
24．6
【详解】，
由①得：；由②得：．
∵不等式组有解，∴不等式组的解集为：．
∵不等式组整数解仅有1，2，如图所示：
，
∴0＜≤1，2≤＜3，解得：0＜a≤3，4≤b＜6．
∴a=1，2，3，b=4，5．
∴整数a，b组成的有序数对（a，b）共有3×2=6个．
25．见解析
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，也考查了将不等式的解集表示在数轴上．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
将解集表示在数轴上如图所示：
故原不等式组无解．
26．不等式组的解集为，不等式组的整数解为、0．
【分析】本题考查求不等式组的解集以及不等式组的整数解．首先求出不等式组的解，然后可以得到该不等式组的整数解．
【详解】解：解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为：，
所以不等式组的整数解为、0．
27．(1)
(2)
【分析】（1）先求出二元一次方程组的解为，然后根据x为非负数、y为负数，即，列出不等式组求解即可；
（2）先把原不等式移项得到．根据不等式不等式的解为，可得，由此结合（1）所求进行求解即可．
【详解】（1）解：解方程组
用①+②得：，解得③，
把③代入②中得：，解得，
∴方程组的解为：．
∵x为非负数、y为负数，即，
∴．
解得；
（2）
移项得：．
∵不等式的解为，
∴，
解得．
又∵，
∴m的取值范围是．
又∵m是整数，
∴m的值为．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，解一元一次不等式，解题的关键在于能够熟知相关求解方法．
28．(1)，
(2)
【分析】本题考查了不等式组的解法和二元一次方程组的解法，掌握不等式组的解法是解答本题的关键．不等式组的解法：先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分．不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解．
（1）先求出每个一元一次不等式的解集，从而得到不等式组的解集，再根据不等式组的解集也是列出关于，的二元一次方程组，求出、即可；
（2）根据，得出，根据，得出，即可得出答案．
【详解】（1）解：解得，，
解得，，
，，
解得：，；
（2）解：，
，
，
，
，
．
29．(1)
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组及其应用．本题是阅读型题目，准确理解新定义并正确计算是解题的关键．
（1）求出每一个不等式及不等式组的解集，利用题干的新定义判断即可；
（2）求出关于x的不等式的解集，根据题干的新定义列出关于m的不等式即可求解；
（3）根据题干的新定义，分两种情形列出关于m的不等式即可求解．
【详解】（1）解：解不等式得：，故不能被不等式覆盖；
解不等式得：，故不能被不等式覆盖；
解不等式组得：，故能被不等式覆盖；
不等式组无解，故被不等式覆盖；
故答案为：；
（2）解不等式得：，
∵关于x的不等式被覆盖，
∴，
解得：，
故答案为：；
（3）解：，
∵关于x的不等式被覆盖，
∴当不等式有解时，，
解得：；
当不等式无解时，可得，
解得：；
∴或，
故答案为：或．
30．(1)，2
(2)或或；
(3)a的取值范围是．
【分析】（1）根据连动数的定义即可确定；
（2）先表示出x，y的值，再根据连动数的范围求解即可；
（3）求得不等式的解，根据连动整数的概念得到关于a的不等式，解不等式即可求得．
【详解】（1）解：∵点P是线段上一动点，点A、点B对应的数分别是，1，
又∵，
∴连动数Q的范围为：或，
∴连动数有，2；
故答案为：，2；
（2）解：，
得：，
得：，
要使x，y均为连动数，
或，解得或，
或，解得或，
∴或或；
（3）解：解得：
，
∵解集中恰好有3个解是连动整数，
∴四个连动整数解为，1，2，
∴，
∴
∴a的取值范围是．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组的整数解，一元一次方程的解，根据新定义得到不等式组是解题的关键，

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