资源简介

第5课 一元二次方程根与系数的关系 期末总复习
【知识点梳理+题型概括+易错题集锦】【沪教版2024】
知识点 相关题型
一元二次方程 根的判别式 直接求判别式的值
不解方程判别根的情况
已知一元二次方程根的情况求参数
一元二次方程 根与系数的关系 不解方程求两根的和与积
不解方程求两根的对称式
已知方程的根求参数
二次三项式在实数范围内的因式分解
以两个数为未知数的方程是“联根方程”，求这两个数的对称式
1.概念
根据b —4ac的符号可以判断一元二次方程ax +bx+c=0(a≠0)的根的情况，我们把b —4ac叫作该一元二次方程的判别式，通常用符号“△”(读作“/'delt /”)来表示，记作△=b -4ac.
2.一元二次方程根的情况
利用判别式，可以不解方程就能判断一个一元二次方程是否有实数根，以及有实数根时两根是否相等.
对一元二次方程ax +bx+c=0(a≠0):
△=b -4ac>0时方程有两个不相等的实数根；
△=b -4ac=0时方程有两个相等的实数根；
△=b -4ac<0时方程没有实数根.
4.易错点：只考虑根的情况，忽略二次项系数的条件（a）
【题型1：直接求根的判别式】
【例1】25-26八年级上·闵行·阶段练习）一元二次方程方程，根的判别式的值为（ ）
A．16 B． C．17 D．
【变式1】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）在一元二次方程中， ， ， ．
【变式2】（24-25八年级上·上海闵行·期中）一元二次方程的根的判别式的值是 ．
【题型2：不解方程判别根的情况】
【例2】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）下列关于的方程中，有两个实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（25-26八年级上·上海·期中）判断一元二次方程的根的情况 ．
【变式2】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）请证明：无论取何值时，关于的方程有实数根，并解出此时方程的根．
【变式3】（24-25八年级下·山东东营·期末）已知关于的一元二次方程
(1)求证：无论取任何实数，方程总有实数根．
(2)若等腰三角形的一边长为4，另两边长恰好是这个方程的两个根，求的值．
【题型3：根据根的情况求参数】
【例3】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）已知关于的方程有两个实数根，那么实数的取值范围是 ．
【变式1】（25-26八年级上·上海闵行·月考）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么m能够取到的最小整数是 ．
【变式2】（25-26八年级上·上海·月考）关于的方程，无论实数取何值，该方程总有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为 ．
【变式3】（25-26八年级上·上海·期中）①若方程两根为和2，则；
②若，则；
③若，则方程一定无实数解；
④若方程的两个实根中有且只有一个根为0，那么，．
以上命题正确的序号是： ．
【变式4】（25-26八年级上·上海·期中）如果关于的方程没有实数根，试判断关于的方程的根的情况．
1.一元二次方程的根与系数关系的定理：
一元二次方程的根与系数关系的定理又叫作韦达定理:如果一元二次方程ax +bx+c=0(a≠0)的两个实数根分别是x 、,那么，.
2.韦达定理的应用
①求两根的对称式
;
,…
②已知方程的根求参数
如：.已知方程的一个根是，求它的另一个根和的值.根据=，即可求出另一根，再由两根之积求出m.
③二次三项式在实数范围内的因式分解
如果一元二次方程ax +bx+c=0(a≠0)的两个实数根分别是x 、，那么ax +bx+c=
易错点：只顾着计算两根之和、积，却忽略一元二次方程存在的条件（a）以及有两根的条件()
④以两个数为未知数的方程是联根方程，求这两个数的对称式
两个一元二次方程至少有一个公共根，这两个方程叫联根方程。
如：两个不相等的实数m，n满足m2-6m=4，n2-6n=4，则mn的值为多少？
由题意可知m,n是同一个方程-4=0的两个不等的根，所以mn=-4.
【题型1：不解方程直接求两根之和、积】
【例1】（25-26八年级上·上海·期中）下列关于x的方程中两实数根之和为1的是（ ）
A．； B．； C．； D．.
【变式1】（25-26八年级上·上海松江·月考）一元二次方程的两根为、，则 ．
【变式2】（25-26八年级上·上海普陀·月考）已知一元二次方程的两个根为，，则的值是 ．
【题型2：不解方程求两根的对称式】
【例2】（25-26八年级上·上海·期中）一元二次方程的两根是．则 ．
【变式1】（25-26八年级上·上海·期中）已知，是一元二次方程的两个实数根，则= .
【变式2】（25-26八年级上·上海·期中）解方程：：
【题型3：利用两根的情况求参数】
【例3】（25-26八年级上·上海·期中）已知关于的一元二次方程，设方程的两个实数根分别是，且满足，则 ．
【变式1】（2025·安徽淮南·一模）已知方程的一个根为5，则方程的另一个根为 ．
【变式2】（25-26八年级上·湖北武汉·月考）关于的方程有两个实数根，且有，则实数的取值范围为 ．
【变式3】（25-26八年级上·上海·月考）如果关于的一元二次方程有实数根，
(1)求的取值范围；
(2)若分别是一元二次方程的两个实数根，是否存在实数，使得，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．
【变式4】（25-26九年级上·山东枣庄·月考）已知是方程的两个根，则代数式的值是 ．
【题型4：将二次三项式在实数范围内因式分解】
【例4】（25-26八年级上·上海闵行·月考）对二次三项式因式分解： ．
【变式1】（25-26八年级上·上海·期中）在实数范围内因式分解：
【变式2】（25-26八年级上·上海·期中）在实数范围内分解因式： ．
【题型5：以两个数为未知数的方程是联根方程，求这两个数的对称式】
【例5】（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）阅读理解材料：已知实数m，n满足，，且，求的值．
解：由题意知m，n是方程的两个不相等的实数根，
根据一元二次方程根与系数的关系得，，
∴．
解决以下问题：
(1)方程的两个实数根为，，则________，________．
(2)已知实数m，n满足，，且，求的值．
【变式1】（25-26八年级上·上海·月考）已知都是质数，且，，试求 ．
【变式2】（25-26八年级上·上海静安·期中）已知实数m满足，
(1)如果实数n满足，且，求 的值；
(2)如果实数s满足，且．求的值．
【变式3】（25-26八年级上·上海闵行·期中）定义：关于的一元二次方程（其中a、b、c是实数，且）是关于的一元二次方程（其中a、b、c是实数，且）的“友好方程”．例如：是的“友好方程”．求：
(1)方程的“友好方程”是________．
(2)若关于的一元二次方程（其中a、b、c是实数．且）的一个解为3，请判断是否为该方程的“友好方程”的一个解？请说明理由．
(3)若关于的一元二次方程（其中是实数）与它的“友好方程”有完全相同的解，求的值以及原方程的根．
一、单选题
1．一元二次方程x2+kx﹣3=0的一个根是x=1，则另一个根是（ ）
A．3 B．﹣1 C．﹣3 D．﹣2
2．下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数的是( ).
A．+2 =0 B．+x-1=0 C．+x+3=0 D．4-4x+1=0.
3．关于x的一元二次方程x2+ax﹣1=0的根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
4．等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程的两个根，则k的值为（ ）
A．21 B．25 C．21或25 D．20或24
5．已知是关于的一元二次方程的两个实数根,则式子的值是（ ）
A． B． C． D．
6．下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．一元二次方程的根的情况是 ．
8．若，是一元二次方程的两根，则的值为 .
9．方程有两个相等的实数根，则 ．
10．已知x1、x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则x12﹣x1＋x2＝ ．
11．不解方程,判别方程x2+x+=0的根的情况为 .
12．已知实数，满足，．且，则 的值为 ．
13．在一元二次方程中，若满足关系式，则这个方程必有一个根为 ．
14．设，是一元二次方程的两个根，则 ．
15．在实数范围因式分解：
16．在实数范围内因式分解：
（1） ；
（2） ．
17．关于x的一元二次方程x2＋2x－2m＋1=0的两实数根之积为负，则实数m的取值范围是
18．设一元二次方程x2－3x－1＝0的两根分别是x1，x2，则x1＋x2(－3x2)＝ .
三、解答题
19．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+k＝0．求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根．
20．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，求m的值及这时方程的根．
21．已知关于x的一元二次方程x2+3x+m﹣1＝0有两个实数根x1、x2，
（1）求实数m的取值范围；
（2）是否存在实数m，使得2（x1+x2）+10+x1x2＝0成立？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
22．已知关于x的一元二次方程
(1)如果方程的根的判别式的值为3，求m的值．
(2)如果方程有实数根，求m的取值范围．
23．关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根小于1，求k的取值范围．
24.（25-26八年级上·上海·期中）已知关于的方程（是实数）
(1)求证：该方程有两个不相等的实数根；
(2)如果一个等腰三角形的一条边长为7，且另外两条边长分别是该方程的两个实数根，求这个等腰三角形的周长．
25．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m2=0．
(1)求证：该方程有两个不等的实根；
(2)若该方程的两个实数根x1、x2满足x1+2x2=9，求m的值．
26．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的3倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”．例如，方程的两个根是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”．
(1)下列方程是三倍根方程的是___________；
① ② ③
(2)若关于x的方程是“三倍根方程”，则c=___________；
(3)若是关于x的“三倍根方程”，求代数式的值．
27．阅读材料：材料1：关于的一元二次方程的两个实数根，和系数a，b，c，有如下关系：，．
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值．
解：，n是一元二次方程的两个实数根，
，．
则．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)一元二次方程的两个实数根为，，则______，______．
(2)已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值；
(3)已知实数s，t满足，且，求的值．第5课 一元二次方程根与系数的关系 期末总复习
【知识点梳理+题型概括+易错题集锦】【沪教版2024】
知识点 相关题型
一元二次方程 根的判别式 直接求判别式的值
不解方程判别根的情况
已知一元二次方程根的情况求参数
一元二次方程 根与系数的关系 不解方程求两根的和与积
不解方程求两根的对称式
已知方程的根求参数
二次三项式在实数范围内的因式分解
以两个数为未知数的方程是“联根方程”，求这两个数的对称式
1.概念
根据b —4ac的符号可以判断一元二次方程ax +bx+c=0(a≠0)的根的情况，我们把b —4ac叫作该一元二次方程的判别式，通常用符号“△”(读作“/'delt /”)来表示，记作△=b -4ac.
2.一元二次方程根的情况
利用判别式，可以不解方程就能判断一个一元二次方程是否有实数根，以及有实数根时两根是否相等.
对一元二次方程ax +bx+c=0(a≠0):
△=b -4ac>0时方程有两个不相等的实数根；
△=b -4ac=0时方程有两个相等的实数根；
△=b -4ac<0时方程没有实数根.
4.易错点：只考虑根的情况，忽略二次项系数的条件（a）
【题型1：直接求根的判别式】
【例1】（25-26八年级上·闵行·阶段练习）一元二次方程方程，根的判别式的值为（ ）
A．16 B． C．17 D．
【分析】本题考查了根的判别式，将原方程变形为一般式找出、、的值是解题的关键．
将原方程变形为一般式，找出、、的值，将其代入即可得出结论．
【详解】解：∵原方程可变形为，
，
，
故选：A．
【变式1】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）在一元二次方程中， ， ， ．
【分析】首先将方程整理为一般形式，找出方程中二次项系数a，一次项系数b及常数项c，再根据x= ，将a，b及c的值代入计算，再根据x= ，即可求出原方程的解．
【详解】解：方程整理得：2x2+x-6=0，
∴ ；
∴x== ，
∴，-2.
故答案为 49，，-2．
【变式2】（24-25八年级上·上海闵行·期中）一元二次方程的根的判别式的值是 ．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程的根的判别式的定义求解即可，熟知对于一元二次方程根的判别式是解题的关键．
【详解】解：，
，
故答案为：．
【题型2：不解方程判别根的情况】
【例2】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）下列关于的方程中，有两个实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】本题考查了一元二次方程的判别式．通过计算每个方程的判别式或直接求解，判断实数根的个数，只有选项A的判别式大于0，有两个实数根，即可作答．
【详解】解：A、方程化为，∴ ，有两个实数根；
B、方程，∴ ，无实数根；
C、方程化为 ，∴，无实数根；
D、方程，得，∵，∴无实数根，
故选：A．
【变式1】（25-26八年级上·上海·期中）判断一元二次方程的根的情况 ．
【答案】当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根
【分析】本题考查根据一元二次方程根的判别式，计算判别式并判断其符号，从而确定根的情况．
【详解】解：，
，
∴当 时，，方程有两个不相等的实数根；
当 时，，方程有两个相等的实数根．
故答案为：当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根．
【变式2】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）请证明：无论取何值时，关于的方程有实数根，并解出此时方程的根．
【答案】见解析；
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据根的判别式进行证明即可，用公式法解一元二次方程即可．
【详解】解：变为一般形式：，
，，，
，
∵，
∴，
∴关于的方程有实数根，
∴．
【变式3】（24-25八年级下·山东东营·期末）已知关于的一元二次方程
(1)求证：无论取任何实数，方程总有实数根．
(2)若等腰三角形的一边长为4，另两边长恰好是这个方程的两个根，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)或4．
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：①当，方程有两个不相等的实数根；②当，方程有两个相等的实数根；③当，方程没有实数根，也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质．
（1）先计算出，然后根据非负数的性质和根的判别式的意义判断方程根的情况；
（2）通过解方程求得该三角形的另两边的长度，然后由三角形的三边关系和三角形的周长公式进行解答．
【详解】（1）证明：，
∵，即，
∴无论m取任何实数值，方程总有实数根；
（2）解：由，得：
，
解得，，
∵等腰三角形的一边长为4，另两边长为3和， ∴分两种情况讨论：
（1）当4为腰长时，另一腰长也为4，则．此时三角形三边长为4，4，3．∵，∴能构成三角形．
（2）当4为底边长时，两腰长相等，则．此时三角形三边长为4，3，3．∵，∴能构成三角形．
综上所述，的值为3或4．
【题型3：根据根的情况求参数】
【例3】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）已知关于的方程有两个实数根，那么实数的取值范围是 ．
【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数．根据一元二次方程根的判别式，方程有两个实数根时判别式大于或等于零，据此进行列式计算，即可作答．
【详解】解：∵关于的方程有两个实数根，
∴，
解得，
故答案为：．
【变式1】（25-26八年级上·上海闵行·月考）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么m能够取到的最小整数是 ．
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程根的判别与方程解的关系是解题的关键．
先根据关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根则，得到关于m的不等式，求出m的取值范围，然后找到最小的整数值即可.
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得且，
∴最小的整数值为1，
故答案为：1．
【变式2】（25-26八年级上·上海·月考）关于的方程，无论实数取何值，该方程总有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为 ．
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根是解题的关键．
求出的值，再判断即可得到结论．
【详解】解：原方程整理得，
，
无论实数取何值，该方程总有两个不相等的实数根，
，
，
，
，
故答案为：．
【变式3】（25-26八年级上·上海·期中）①若方程两根为和2，则；
②若，则；
③若，则方程一定无实数解；
④若方程的两个实根中有且只有一个根为0，那么，．
以上命题正确的序号是： ．
【分析】本题考查命题的定义，此题考查了一元二次方程的根，涉及到了一元二次方程的求根公式，根的判别式，根与系数的关系等，熟记各计算方法是解题的关键．
①根据一元二次方程根与系数的关系可得，即可判断；②利用求根公式求出方程的根，求得，即可判断；③由，即可判断；④利用根与系数的关系进行判断．
【详解】①若方程两根为和2，
则，则，即；故此选项符合题意；
②∵，
∴或，
∴，
∴；此选项符合题意；
③∵，
∴方程一定无实数解，故此选项符合题意；
④若方程的两个实根中有且只有一个根为0，
∴两根之积为0，两根之和不为0，
那么，故此选项符合题意；
故所有命题均正确，
故答案为：①②③④．
【变式4】（25-26八年级上·上海·期中）如果关于的方程没有实数根，试判断关于的方程的根的情况．
【答案】当时，方程有一个实数根；当且时，方程有两个不相等的实数根
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
首先根据已知方程无实根可得m的取值范围，再计算新方程的判别式，结合m的取值范围确定新方程根的判别式的情况，进而得出新方程根的情况即可．
【详解】解：当时，方程化为，
解得，不符合题意，
当时，方程没有实数根，
∴，
解得；
当时，方程化为，
解得，方程有一个根；
当且时，，
此时方程有两个不相等的实数解．
∴当时，方程有一个实数根；当且时，方程有两个不相等的实数根．
1.一元二次方程的根与系数关系的定理：
一元二次方程的根与系数关系的定理又叫作韦达定理:如果一元二次方程ax +bx+c=0(a≠0)的两个实数根分别是x 、,那么，.
2.韦达定理的应用
①求两根的对称式
;
,…
②已知方程的根求参数
如：.已知方程的一个根是，求它的另一个根和的值.根据=，即可求出另一根，再由两根之积求出m.
③二次三项式在实数范围内的因式分解
如果一元二次方程ax +bx+c=0(a≠0)的两个实数根分别是x 、，那么ax +bx+c=
易错点：只顾着计算两根之和、积，却忽略一元二次方程存在的条件（a）以及有两根的条件()
④以两个数为未知数的方程是联根方程，求这两个数的对称式
两个一元二次方程至少有一个公共根，这两个方程叫联根方程。
如：两个不相等的实数m，n满足m2-6m=4，n2-6n=4，则mn的值为多少？
由题意可知m,n是同一个方程-4=0的两个不等的根，所以mn=-4.
【题型1：不解方程直接求两根之和、积】
【例1】（25-26八年级上·上海·期中）下列关于x的方程中两实数根之和为1的是（ ）
A．； B．； C．； D．.
【分析】本题考查的是根的判别式的应用，根与系数的关系，对于一元二次方程 ，两实数根之和为 ，且需判别式 ；分别验证各选项即可.
【详解】解：选项A：∵ ，
∴ ，无实数根；不符合题意；
选项B：∵ ，
∴，无实数根；不符合题意；
选项C：∵ ，
∴ ，无实数根；不符合题意；
选项D：∵ ，
∴，有两实数根；
∴ 两根之和为 ，符合题意；
故选：D
【变式1】（25-26八年级上·上海松江·月考）一元二次方程的两根为、，则 ．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．根据一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再代入代数式计算即可．
【详解】解：∵一元二次方程的两根为、，
∴，，
所以 ．
故答案为：1
【变式2】（25-26八年级上·上海普陀·月考）已知一元二次方程的两个根为，，则的值是 ．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系得出，，再整体代入变形后的式子计算即可得出答案．
【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴，
故答案为：
【题型2：不解方程求两根的对称式】
【例2】（25-26八年级上·上海·期中）一元二次方程的两根是．则 ．
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系及分式的化简求值．首先根据根与系数的关系求出两根之和与两根之积，然后将所求分式通分，利用代数恒等变形，代入已知值计算．
【详解】解：一元二次方程的两根为，
由根与系数的关系，得
其中，
∴原式
故答案为：．
【变式1】（25-26八年级上·上海·期中）已知，是一元二次方程的两个实数根，则= .
【分析】由根与系数的关系，得，，可得，，然后化简代入求值．
【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，以及二次根式的化简，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
【变式2】（25-26八年级上·上海·期中）解方程：：
【分析】利用直接开平方法计算即可．
本题考查了直接开平方法求解方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键．
【详解】解：∵,
∴
∴
∴或，
解得，．
【题型3：利用两根的情况求参数】
【例3】（25-26八年级上·上海·期中）已知关于的一元二次方程，设方程的两个实数根分别是，且满足，则 ．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，根据方程有两个实数根，得到．利用一元二次方程的根与系数的关系，得到和的表达式，将给定条件化简为，代入表达式后求解关于的方程，并检验．
【详解】解：由题意得，
，．
，
又，
代入原式：
，
即，
两边乘以（）：
，
代入根与系数的关系：
，
即，
两边乘以（）：
，
整理得，，
，
所以，，
经检验， 和均满足，且使原方程有一元二次方程形式．
又方程有两个实数根，
，
，
所以应舍去．
综上，．
【变式1】（2025·安徽淮南·一模）已知方程的一个根为5，则方程的另一个根为 ．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，设方程的另一个根为，根据根与系数的关系可得，据此可得答案．
【详解】解：设方程的另一个根为，
根据根与系数的关系可得，
∴，
∴原方程的另一个根为，
故答案为：．
【变式2】（25-26八年级上·湖北武汉·月考）关于的方程有两个实数根，且有，则实数的取值范围为 ．
【分析】本题考查根与系数的关系，根的判别式，根据方程有两个实数根，得到，根据根与系数的关系得到，再根据，列出不等式进行求解即可．
【详解】解：∵方程有两个实数根，
∴，解得，
∵方程的两个实数根为，
∴，
∴，
解得；
综上：；
故答案为：．
【变式3】（25-26八年级上·上海·月考）如果关于的一元二次方程有实数根，
(1)求的取值范围；
(2)若分别是一元二次方程的两个实数根，是否存在实数，使得，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．
【分析】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系以及根与系数的关系，掌握根的情况与判别式的关系和根与系数的关系是解题的关键．
（1）根据一元二次方程根的判别式，建立关于的不等式，求得的取值范围；
（2）利用根与系数的关系，根据将代入，即可求出的值，再看是否满足（1）中的取值范围，从而确定的值是否存在．
【详解】（1）解:由题意得，且，
解得，
的取值范围为且；
（2）不存在．
由根与系数的关系得，，，
解得，
由（1）得，，
满足条件的值不存在．
【变式4】（25-26九年级上·山东枣庄·月考）已知是方程的两个根，则代数式的值是 ．
【分析】本题结合一元二次方程的根的定义、一元二次方程根与系数关系解题，根据题意得到，，，进而化简求值即可．
【详解】解：∵是方程的两个根，
∴，，，
∴
．
故答案为：．
【题型4：将二次三项式在实数范围内因式分解】
【例4】（25-26八年级上·上海闵行·月考）对二次三项式因式分解： ．
【分析】本题主要考查了因式分解；先把前两项变为完全平方公式的形式，再利用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：令=0
x
所以原式=3
故答案为：．
【变式1】（25-26八年级上·上海·期中）在实数范围内因式分解：
【分析】本题考查配方法将代数式变形为完全平方式及平方差公式进行因式分解，熟记公式结构是本题的解题关键．
先提取公因数，再配方，最后利用平方差公式求解即可．
【详解】解：=0
x
所以原式=2
，
故答案为：．
【变式2】（25-26八年级上·上海·期中）在实数范围内分解因式： ．
【分析】本题考查了因式分解．
利用配方法将二次三项式配方，再利用平方差公式分解因式．
【详解】解：=0
x
所以原式=2
，
故答案为：
【题型5：以两个数为未知数的方程是联根方程，求这两个数的对称式】
【例5】（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）阅读理解材料：已知实数m，n满足，，且，求的值．
解：由题意知m，n是方程的两个不相等的实数根，
根据一元二次方程根与系数的关系得，，
∴．
解决以下问题：
(1)方程的两个实数根为，，则________，________．
(2)已知实数m，n满足，，且，求的值．
【分析】本题主要考查了根与系数的关系，二次根式的化简求值：
（1）直接利用根与系数的关系求解即可；
（2）m，n可看作方程的两个不相等的实数根，则利用根与系数的关系得到，，再利用完全平方公式计算，然后根据算术平方根的定义得到的值．
【详解】（1）解：∵方程的两个实数根为，，
∴，．
故答案为：4，；
（2）解：∵，，且，
∴m，n可看作方程的两个不相等的实数根．
∴，．
∴m，n均为正数，
∴．
∴．
【变式1】（25-26八年级上·上海·月考）已知都是质数，且，，试求 ．
【分析】本题主要考查了质数，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键．
根据题意可分和两种情况讨论，再根据根与系数关系，以及质数即可求得的值．
【详解】解：当时，可得：；
当时，根据题意可得为方程的两个根，
∴，
∵都是质数，
则或，
∴，
故答案为：或．
【变式2】（25-26八年级上·上海静安·期中）已知实数m满足，
(1)如果实数n满足，且，求 的值；
(2)如果实数s满足，且．求的值．
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，解题的关键是掌握根与系数的关系．
（1）由题意得出是方程的两个不相等的实数根，据此知，将其代入计算即可；
（2）把变形为，据此可得实数和可看作方程的两个不相等的实数根，继而知，进一步代入计算可得．
【详解】（1）解：∵，，
∴是方程的两个不相等的实数根，
，
．
（2）解：把两边同时除以，
得．
又 ∵，
∴实数和可看作方程的两个不相等的实数根，
，
．
【变式3】（25-26八年级上·上海闵行·期中）定义：关于的一元二次方程（其中a、b、c是实数，且）是关于的一元二次方程（其中a、b、c是实数，且）的“友好方程”．例如：是的“友好方程”．求：
(1)方程的“友好方程”是________．
(2)若关于的一元二次方程（其中a、b、c是实数．且）的一个解为3，请判断是否为该方程的“友好方程”的一个解？请说明理由．
(3)若关于的一元二次方程（其中是实数）与它的“友好方程”有完全相同的解，求的值以及原方程的根．
【答案】(1)
(2)是该方程的“友好方程”的一个解，理由见解析
(3)；原方程的根为和
【分析】本题考查一元二次方程及新定义问题，熟练掌握一元二次方程的性质与解法是解题的关键．
（1）仿照题中给出的新定义以及例子，求出“友好方程”即可；
（2）根据方程的一个解为3，得到，写出其“友好方程”，当时，得到关于 a、b、c得方程，据此进行计算求解即可；
（3）根据题意，得到其“友好方程”，由于两个方程有完全相同的解，则根据两根之和相等列出方程组，结合，得到的值，将的值代入到原方程中，通过因式分解得到方程的解即可．
【详解】（1）解：由题意得：中、、，根据“友好方程”的定义，方程的“友好方程”是，
故答案为：；
（2）解：方程的一个解为3，
，
其“友好方程”为：，
当时，
把代入上式得：
因此，是该方程的“友好方程”的一个解；
（3）解：设方程的解为、，
则
其“友好方程”的解也为、，
则
由题意列方程为：，
解得，或
且
那么原方程为
令或
解得，．
答：的值为以及原方程的根为和．
一、单选题
1．一元二次方程x2+kx﹣3=0的一个根是x=1，则另一个根是（ ）
A．3 B．﹣1 C．﹣3 D．﹣2
【答案】C
【分析】根据根与系数的关系可得出两根的积，即可求得方程的另一根．
【详解】解：设m、n是方程x2+kx﹣3=0的两个实数根，且m= 1；则有：mn=﹣3，即n=﹣3；
故选：C．
2．下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数的是( ).
A．+2 =0 B．+x-1=0 C．+x+3=0 D．4-4x+1=0.
【答案】B
【分析】利用一元二次方程根的判别式逐个选项计算，即可解答.
【详解】A. +2 =0 ，，没有实数根；
B. +x-1=0，，有两个不相等的实数根；
C. +x+3=0，，没有实数根；
D. 4-4x+1=0，，有两个相等的实数根；
故选B
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握该知识点是解题关键.
3．关于x的一元二次方程x2+ax﹣1=0的根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【答案】D
【详解】∵△=＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选D．
4．等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程的两个根，则k的值为（ ）
A．21 B．25 C．21或25 D．20或24
【答案】B
【分析】结合根与系数的关系，分已知边长3是底边和腰两种情况讨论．
【详解】解：设关于x的方程x2﹣10x+k＝0的两个实数根分别为a、b．
方程x2﹣10x+k＝0有两个实数根，则Δ＝100﹣4k≥0，得k≤25．
①当底边长为3时，另两边相等时，则a+b＝10，
∴另两边的长都是为5，
∴k＝ab＝25；
②当腰长为3时，另两边中至少有一个是3，则3一定是方程x2﹣10x+k＝0的根，
则32﹣10×3+k＝0
解得k＝21
解方程x2﹣10x＋21＝0
解得另一根为：x＝7．
∵3+3＜7，不能构成三角形．
∴k的值为25．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质．
5．已知是关于的一元二次方程的两个实数根,则式子的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】要求的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，然后利用一元二次方程根与系数的关系代入数值计算即可．
【详解】由题意知，
a+b= n，ab= 1，
∴== -n 2.
故选D.
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程的两根与方程中各系数有如下关系：,注意整体代入思想的应用.
6．下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式与实数根之间的关系，注意根的判别式的各量是一般式的各项系数，根的判别式与实数根的情况之间的关系如下：，一元二次方程有两个不相等的实数根；，一元二次方程有两个相等的实数根；，一元二次方程无实数根．
【详解】解：A选项，则A选项有两个不等实数根，不符合题意；
B选项，则B选项有两个不等实数根，不符合题意；
C选项方程的一般式为：，则，则C选项有两个不等实数根，不符合题意；
D选项方程，则D选项没有实数根，符合题意．
故选：D．
二、填空题
7．一元二次方程的根的情况是 ．
【答案】有两个相等的实数根
【分析】求根的判别式，进而得出答案．
【详解】解：∵，
∴一元二次方程有两个相等的实数根，
故答案为：有两个相等的实数根．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式．一元二次方程的根与有如下关系：（1） 方程有两个不相等的实数根；（2） 方程有两个相等的实数根；（3） 方程没有实数根．
8．若，是一元二次方程的两根，则的值为 .
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程两根之间的关系，根据一元二次方程根与系数的关系得出，将代数式因式分解，再代入，即可求解．
【详解】解：∵，是一元二次方程的两根，
∴
∴
故答案为：．
9．方程有两个相等的实数根，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了根的判别式，先把方程化为一元二次方程的一般形式，由方程有两个相等的实数根可知，据此列方程求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
由题意得，，
∴．
故答案为：．
10．已知x1、x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则x12﹣x1＋x2＝ ．
【答案】3
【分析】根据根与系数的关系与方程的根即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：x1＋x2＝2，x12﹣2x1=1
∴x12﹣x1＋x2＝（x12﹣2x1）＋（x1+x2）＝1+2=3
故答案为：3．
【点睛】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系．
11．不解方程,判别方程x2+x+=0的根的情况为 .
【答案】原方程有两个相等的实数根
【分析】直接把a=，b=1，c=代入△=b2-4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．
【详解】∵a=,b=1,c=，
∴△=b2 4ac=12 4××=0，
所以原方程有两个相等的实数根.
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是牢记根的判别式.
12．已知实数，满足，．且，则 的值为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了根与系数的关系．把变形为，则可以把、看作方程的两根，根据根与系数的关系得到，，然后利用，所以变形为，再利用整体代入的方法计算．
【详解】解：，
，
，
，
、可看作方程的两根，
，，
，
．
故答案为：．
13．在一元二次方程中，若满足关系式，则这个方程必有一个根为 ．
【答案】
【分析】先证明推出方程有实数根，设方程的实数根为，根据一元二次方程根与系数的关系得到即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴方程有实数根，
设方程的实数根为，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴这个方程必有一个根为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，正确得到是解题的关键．
14．设，是一元二次方程的两个根，则 ．
【答案】0
【分析】根据根的定义和根与系数的关系进行计算求解．
【详解】解:∵α，β是一元二次方程x2+3x 7=0的两个根，
∴α2+3α 7=0，，
∴原式＝．
故答案为：0
【点睛】本题考查根的定义、根与系数的关系，熟练将要求的代数式进行灵活变形是关键．
15．在实数范围因式分解：
【答案】
【分析】本题考查实数范围内的因式分解，先提取公因式，再将利用平方差公式在实数范围内分解．
【详解】解：
故答案为：．
16．在实数范围内因式分解：
（1） ；
（2） ．
【答案】
【分析】本题考查实数范围内的因式分解．注意掌握公式法解一元二次方程的知识．
（1）首先令，利用公式法即可求得此关于的一元二次方程的解，继而可将此多项式分解；
（2）令，则式子可化为，令，求解即可．
【详解】（1）解：令，
则，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：令，则式子可化为，
令，
则，
，
，
，
，
，
，
，
即或，
．
17．关于x的一元二次方程x2＋2x－2m＋1=0的两实数根之积为负，则实数m的取值范围是
【答案】m>0.5
【详解】试题解析：关于的一元二次方程的两实数根之积为负，
解得：
故答案为
18．设一元二次方程x2－3x－1＝0的两根分别是x1，x2，则x1＋x2(－3x2)＝ .
【答案】3
【详解】一元二次方程x2－3x－1＝0的一个根是x2，即可得－3x2－1＝0，
所以－3x2＝1，再由根与系数的关系可得x1＋x2＝3，
所以x1＋x2(－3x2)＝x1＋x2=3.
故答案为：3．
三、解答题
19．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+k＝0．求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根．
【答案】见解析.
【分析】利用一元二次方程的根的判别式证明即可.
【详解】
∴无论k取何值时，方程总有两个不相等实数根.
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，对于一般形式有：（1）当，方程有两个不相等的实数根；（2）当，方程有两个相等的实数根；（3）当，方程没有实数根.
20．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，求m的值及这时方程的根．
【答案】时，或时，
【分析】此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系，以及一元二次方程的解法，关键是掌握：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根．
【详解】解：∵方程有两个相等的实数根，
∴，即，
解得：或，
当时，方程为，解得；
当时，方程为，解得；
综上所述，时，或时，．
21．已知关于x的一元二次方程x2+3x+m﹣1＝0有两个实数根x1、x2，
（1）求实数m的取值范围；
（2）是否存在实数m，使得2（x1+x2）+10+x1x2＝0成立？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）m≤；（2）存在，m＝﹣3
【分析】（1）由一元二次方程x2+3x+m﹣1＝0的两个实数根，根据根的判别式的意义得到Δ＝b2﹣4ac≥0，即32﹣4（m﹣1）≥0，解关于m的不等式即可；
（2）根据根与系数的关系x1+x2＝﹣3，x1x2＝m﹣1，再利用2（x1+x2）+10+x1x2＝0成立求出m的值即可．
【详解】解：（1）∵一元二次方程x2+3x+m﹣1＝0有两个实数根x1、x2，
∵Δ＝b2﹣4ac≥0，
即32﹣4（m﹣1）≥0，
解得m≤．
所以实数m的取值范围为m≤；
（2）存在m的值，使得2（x1+x2）+10+x1x2＝0成立成立．理由如下：
∵x1、x2是一元二次方程x2+3x+m﹣1＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣3，x1x2＝m﹣1，
∴2（x1+x2）+10+x1x2＝2（﹣3）+10+（m﹣1），若2（x1+x2）+10+x1x2＝0成立，则m+3＝0，
解上述方程得，m＝﹣3．
∵（1）中m≤，（2）中m＝﹣3，
∴存在m的值，使得2（x1+x2）+10+x1x2＝0成立．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
22．已知关于x的一元二次方程
(1)如果方程的根的判别式的值为3，求m的值．
(2)如果方程有实数根，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)且
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．
（1）根据一元二次方程根的判别式结合题意可得，求解即可；
（2）由题意可得且，计算即可得解．
【详解】（1）解：由题意可得：，
∵，
∴，
∴；
（2）解：由题意得：且，
∴且
∴且，
∴m的取值范围是：且．
23．关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根小于1，求k的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是掌握根的判别式；
（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得，由此可证出方程总有两个实数根；
（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出、，根据方程有一根小于1，即可得出关于的一元一次不等式，即可得出的取值范围．
【详解】（1）证明：在方程中，
，
方程总有两个实数根．
（2）解：，
，．
方程有一根小于1，
，解得：，
的取值范围为．
24.（25-26八年级上·上海·期中）已知关于的方程（是实数）
(1)求证：该方程有两个不相等的实数根；
(2)如果一个等腰三角形的一条边长为7，且另外两条边长分别是该方程的两个实数根，求这个等腰三角形的周长．
【答案】(1)见解析
(2)15
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，等腰三角形的定义，构成三角形的条件，熟练掌握以上知识点是关键．
（1）根据根的判别式证明即可；
（2）先得出长为7的边只能为腰，即有一根为7，把代入方程求出，进而求出方程的解，再结合构成三角形的条件求解即可．
【详解】（1）证明：，
，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：∵等腰三角形的一条边长为7，且另外两条边长分别是该方程的两个实数根，方程有两个不相等的实数根，
∴长为7的边只能为腰，
∴有一根为7，
把代入，
，
解得：，
当时，方程为，
解得，
此时等腰三角形三边分别为1，7，7，，
∴此时能构成三角形，，
∴这个等腰三角形的周长为15；
当时，方程为，
解得，
此时三边分别为41，7，7，
∵，
∴此时不能构成三角形，不存在此三角形；
综上可知，这个等腰三角形的周长为15．
25．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m2=0．
(1)求证：该方程有两个不等的实根；
(2)若该方程的两个实数根x1、x2满足x1+2x2=9，求m的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ=16+4m2＞0，由此可证出该方程有两个不等的实根；
（2）根据根与系数的关系可得x1+x2=4①、x1 x2=-m2②，结合x1+2x2=9③，可求出x1、x2的值，将其代入②中即可求出m的值．
【详解】（1）证明：∵在方程x2-4x-m2=0中，Δ=（-4）2-4×1×（-m2）=16+4m2＞0，
∴该方程有两个不等的实根；
（2）解：∵该方程的两个实数根分别为x1、x2，
∴x1+x2=4①，x1 x2=-m2②．
∵x1+2x2=9③，
∴联立①③解之，得：x1=-1，x2=5，
∴x1 x2=-5=-m2，
解得：m=±．
【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）联立x1+x2=4①、x1+2x2=9③，求出x1、x2的值．
26．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的3倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”．例如，方程的两个根是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”．
(1)下列方程是三倍根方程的是___________；
① ② ③
(2)若关于x的方程是“三倍根方程”，则c=___________；
(3)若是关于x的“三倍根方程”，求代数式的值．
【答案】(1)③
(2)
(3)
【分析】（1）分别求出①②③三个方程的根，然后根据题中所给定义可进行求解；
（2）设关于x的方程的两个根为，然后根据“三倍根方程”可令，进而根据一元二次方程根与系数的关系及方差的解可进行求解；
（3）先把一元二次方程进行因式分解变形，然后根据“三倍根方程”的关系可进行求解．
【详解】（1）解：由可得：，不满足“三倍根方程”的定义；由可得：，不满足“三倍根方程”的定义；由可得：，满足“三倍根方程”的定义；
故答案为③；
（2）解：设关于x的方程的两个根为，由一元二次方程根与系数的关系可知：，，
令，则有，
∴，，
∴；
（3）解：由可得：，
∴，
令，则有：
．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系及解法，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
27．阅读材料：材料1：关于的一元二次方程的两个实数根，和系数a，b，c，有如下关系：，．
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值．
解：，n是一元二次方程的两个实数根，
，．
则．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)一元二次方程的两个实数根为，，则______，______．
(2)已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值；
(3)已知实数s，t满足，且，求的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，掌握其运算规则是解题的关键．
（1）根据，计算即可；
（2）先根据一元二次方程根与系数的关系，求得，然后利用计算即可；
（3）由题意可知，，然后根据进行计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
故答案为：，；
（2）解：∵的两个实数根为m，n，
∴，
∴；
（3）解：∵实数s，t满足，且，
∴是的两个根，
∴，
∴．

展开更多......

收起↑