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第八单元 数学广角—数与形易错专项讲义
简介：
1．易错知识点梳理：本单元易错点梳理，让学生明确哪些知识点容易记混、记错。
2．易错点剖析训练：结合相关例题分类剖析常考易错点，并对易错点进行针对性训练，让学生在训练中记住易错点，攻克难关。
目录
模块一 易错知识点梳理 2
模块二 易错点剖析训练 2
易错点1：观察图形规律不系统，归纳公式错误。 2
易错点2：在“数”的问题中，无法用“形”来直观理解和解决。 4
易错点3：解决复杂递推问题时，混淆“项数”与“数量”。 7
1．数形结合思想的意义。
数形结合思想就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．
2．寻找数与形规律的方法。
通常从相邻数（或形）之间的关系，总结出一般的规律。
3．数与形找规律题的步骤。
第一步：寻找数量关系；
第二步：用代数式表示规律；
第三步：验证规律。
4．在运用数形结合的方法探究数学规律时，一定要把图形和数一一对应。
易错点1：观察图形规律不系统，归纳公式错误。
【典例1】一张桌子可以坐4人,两张桌子拼起来可以坐6人,三张桌子拼起来可以坐8人(如下图),像这样（ ）张桌子拼起来可以坐24人。
【错误答案】B
【错解分析】若有n张桌子,则所坐人数是4+2(n-l)=2n+2。当2n+2=24时,2n=22,n=11,即11张桌子拼起来可以坐24人。
【正确解答】C
【易错专练1】小圆片按照下图规律排列，第5堆有（ ）个小圆片，第n堆有（ ）个小圆片。
【易错专练2】用灰、白两种六边形瓷砖有规律地组成图案（如图）。以此规律，第10个图案有（ ）块白瓷砖。
【易错专练3】如图：有9个正三角形拼成的六边形，若中间的小正三角形的边长是1，则六边形的周长是（ ）。
【易错专练4】观察图中图形的构图情况，按照此规律，第5幅图中的个数是 ，第100幅图中的个数是 ，第n幅图中的个数是 。
【易错专练5】如图是芳芳用小棒摆的4个树状图，按照这个规律继续往下摆，第8个树状图需要（ ）根小棒。
【易错专练6】探索规律。
将小棒按如下方式摆放。
（1）摆1个八边形需要8根小棒，摆2个八边形需要（ ）根小棒，摆3个八边形需要（ ）根小棒。
（2）摆n个八边形需要（ ）根小棒。
易错点2：在“数”的问题中，无法用“形”来直观理解和解决。
【典例2】计算：1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11=
【错误答案】逐个相加得到35。（计算过程可能出错，或方法不优）
【错因分析】
1、缺乏数形结合意识：没有联想到“从1开始的连续奇数的和”这个知识点，以及它可以用“正方形点阵”来完美解释。
2、方法笨拙：对于项数较多的情况，逐个相加容易出错，也没有体现探索规律的思想。
【正确解答】方法一（图形法，数形结合）：
1 + 3 = 4 = 2 （一个2×2的正方形点阵）
1 + 3 + 5 = 9 = 3 （一个3×3的正方形点阵）
1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4 （一个4×4的正方形点阵）
...
规律：从1开始，连续n个奇数的和等于n 。本题是6个连续奇数相加（1是第1个，3是第2个，...，11是第6个）。所以和为：6 = 36。
方法二（首尾配对法）：(1+11) + (3+9) + (5+7) = 12 + 12 + 12 = 36。答：和为36。
【易错专练1】我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。”如图：在一个边长为1的正方形纸板上，依次贴上面积为的矩形彩色纸片，请你用“数形结合”的思想，依据数形变化的规律，计算：。
【易错专练2】我国宋代数学家杨辉在1261年撰写了《详解九章算法》，他在这本著作中画了一个由数构成的三角形图，我们把它称为“杨辉三角”。如图，第七行第一个数是（ ），第四个数是（ ）。
【易错专练3】如图所示，动点P从第一个数0的位置出发，每次跳动一个单位长度。第一次跳动一个单位长度到达数1的位置，第二次跳动一个单位长度到达数2的位置，第三次跳动一个单位长度到达数3的位置，第四次跳动一个单位长度到达数4的位置，…，依此规律跳动下去，点P从0跳动6次到达的位置，点P从0跳动21次到达的位置，点、、…在一条直线上，则点P从0跳动 次可到达的位置。
【易错专练4】我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微。”请根据图中数与形之间的对应关系，先想一想，再填一填。
（1）（ ）。
（2）（ ）。
（3）（ ）。
【易错专练5】填一填，并探索规律。

（1）观察上面的图形和式子，你有什么发现？你能用字母表示你的发现吗？
（2）你能应用你发现的规律计算“”吗？
易错点3：解决复杂递推问题时，混淆“项数”与“数量”。
【典例3】如下图，像这样摆下去，摆n个六边形需要多少根小棒？用自己喜欢的方法表达解答的过程。
【错误答案】6n－1
【错解分析】规律识别错误，注意n代表的是六边形的个数，而不是边数。
观察可发现规律，1个六边形：根小棒；2个六边形：根小棒；3个六边形：根小棒按照这样的方法分析解答。
【正确解答】1个六边形：根小棒；2个六边形：根小棒；3个六边形：根小棒按照这样的方法摆下去，摆n个六边形需要或（）根小棒。
【易错专练1】如图，1张餐桌可坐4人，2张餐桌拼在一起可坐6人，按这样拼下去，10张餐桌可坐多少人？100张呢？n张呢？（写出思考过程及答案。）
【易错专练2】图①是1个棱长为1厘米的小正方体，图②由5个棱长为1厘米的小正方体堆成，图③由14个棱长为1厘米的小正方体堆成，按照此规律：
（1）那么，请你列式计算出图⑥由多少个棱长为1厘米的小正方体堆成？
（2）请你计算图⑩立体图形的表面积？
【易错专练3】用小棒摆五边形，如下图所示。
（1）填表。
五边形个数 1 2 3 4 … n
小棒根数 5 5＋4 5＋4＋4 …
（2）照这样摆120个五边形，需要多少根小棒？
【易错专练4】小明用黑白两色的小三角形绘制了一个三角图案，前四行已给出。
（1）前四行中黑色小三角形所占的比例是__________%。
（2）如果小明要画出第五行，请问在第五行中黑色小三角形所占的比例是__________%。
（3）如果小明要画出更多行，他认为无论画多少行，整个大三角形中，黑色小三角形所占的比例都不会超过50%。你支持他的说法吗，为什么？
【易错专练5】如下图在一些大小相等的正方形内分别排列着一些同样大小的圆。
（1）请观察上图并填写下表。
图形编号 图（1） 图（2） 图（3） 图（4） 图（5） 图（6）
圆的个数
（2）你能试着表示出第n个正方形中圆的个数吗？用你发现的规律计算出第18个图形中有多少个圆。
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第八单元 数学广角—数与形易错专项讲义
简介：
1．易错知识点梳理：本单元易错点梳理，让学生明确哪些知识点容易记混、记错。
2．易错点剖析训练：结合相关例题分类剖析常考易错点，并对易错点进行针对性训练，让学生在训练中记住易错点，攻克难关。
目录
模块一 易错知识点梳理 2
模块二 易错点剖析训练 2
易错点1：观察图形规律不系统，归纳公式错误。 2
易错点2：在“数”的问题中，无法用“形”来直观理解和解决。 7
易错点3：解决复杂递推问题时，混淆“项数”与“数量”。 11
1．数形结合思想的意义。
数形结合思想就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．
2．寻找数与形规律的方法。
通常从相邻数（或形）之间的关系，总结出一般的规律。
3．数与形找规律题的步骤。
第一步：寻找数量关系；
第二步：用代数式表示规律；
第三步：验证规律。
4．在运用数形结合的方法探究数学规律时，一定要把图形和数一一对应。
易错点1：观察图形规律不系统，归纳公式错误。
【典例1】一张桌子可以坐4人,两张桌子拼起来可以坐6人,三张桌子拼起来可以坐8人(如下图),像这样（ ）张桌子拼起来可以坐24人。
【错误答案】B
【错解分析】若有n张桌子,则所坐人数是4+2(n-l)=2n+2。当2n+2=24时,2n=22,n=11,即11张桌子拼起来可以坐24人。
【正确解答】C
【易错专练1】小圆片按照下图规律排列，第5堆有（ ）个小圆片，第n堆有（ ）个小圆片。
【答案】22 （4n＋2）
【分析】观察图形可知，每一堆都比上一堆增加4个小圆片，则：
第1堆：有6个小圆片，可将6拆分成6＝4＋2；
第2堆：有10个小圆片，可将10拆分成10＝8＋2＝4×2＋2；
第3堆：有14个小圆片，可将14拆分成14＝12＋2＝4×3＋2；
由此可知规律为：小圆片的数量＝4×第几堆的序号数几＋2；
据此可计算第5堆的小圆片数量和第n堆小圆片数量。
【解答】根据分析可知：
4×5＋2
＝20＋2
＝22（个）
即第5堆有22个小圆片。
4×n＋2＝（4n＋2）个
即第n堆有（4n＋2）个小圆片。
第5堆有22个小圆片，第n堆有（4n＋2）个小圆片。
【易错专练2】用灰、白两种六边形瓷砖有规律地组成图案（如图）。以此规律，第10个图案有（ ）块白瓷砖。
【答案】42
【分析】观察图案规律：
第1个图案：灰瓷砖1块，白瓷砖6块（围绕1块灰瓷砖）；
第2个图案：灰瓷砖2块，白瓷砖6＋4＝10（块）（增加1块灰瓷砖，白瓷砖增加4块）；
第3个图案：灰瓷砖3块，白瓷砖10＋4＝14（块）（再增加1块灰瓷砖，白瓷砖再增加4块）；
由此可得规律：第n个图案的白瓷砖数量＝6＋4×（n－1）。
【解答】第n个图案白瓷砖数＝6＋4（n－1）＝4n＋2
代入n＝10：4×10＋2＝42
【点评】本题的关键是观察“灰瓷砖数量增加时，白瓷砖的变化规律”：每增加1块灰瓷砖，白瓷砖增加4块（因为新灰瓷砖与原有图案共享2块白瓷砖，只需新增4块），从而总结出通项公式，这是图形规律题的核心方法。
【易错专练3】如图：有9个正三角形拼成的六边形，若中间的小正三角形的边长是1，则六边形的周长是（ ）。
【答案】30
【分析】等边三角形的每条边的长度是相等的。六边形的周长指的是六条边的总长度。因为每个三角形都是等边的，从其中一个等边三角形入手，比如右下角的第二小的等边三角形，设它的边长为a，顺时针旋转的等边三角形的边长依次为：a＋1、a＋2、a＋3（如下图），又因为最大的三角形的边长还等于2a，即a＋3＝2a，求解出a的值，那么六边形的周长为：a＋a＋a＋1＋a＋1＋a＋2＋a＋2＋a＋3＝7a＋9，将a代入即可。据此解答。
【解答】设右下角三角形的边长为a，每个三角形的边长都可以表示出来，如图所示：
最大的等边三角形的边长为a＋3，还可以表示为2a
a＋3＝2a
a＋3 a＝2a a
2a a＝3
a＝3
六边形的周长：a＋a＋a＋1＋a＋1＋a＋2＋a＋2＋a＋3＝7a＋9
当a＝3时，
7a＋9
＝7×3＋9
＝21＋9
＝30
所以六边形的周长为30。
【点评】根据图中边长关系，设出右下等边三角形的边长为a，其他的等边三角形分别用含有a的式子表示出来，通过最大的等边三角形的边长可以用两个含有a的式子表示，就可以建立等量关系，列出方程，求出a的值，再用含有a的式子表示出六边形的边长，代入求值即可。
【易错专练4】观察图中图形的构图情况，按照此规律，第5幅图中的个数是 ，第100幅图中的个数是 ，第n幅图中的个数是 。
【答案】16 301 （1＋3n）
【分析】
观察发现，第1幅图的个数是1＋3；
第2幅图的个数是1＋3×2；
第3幅图的个数是1＋3×3；
……
依此类推，第n幅图的个数是1＋3×n＝1＋3n。
【解答】
第5幅图中的个数是1＋3×5
＝1＋15
＝16
第100幅图中的个数是1＋3×100
＝1＋300
＝301
第n幅图中的个数是1＋3×n
＝1＋3n
【易错专练5】如图是芳芳用小棒摆的4个树状图，按照这个规律继续往下摆，第8个树状图需要（ ）根小棒。
【答案】255
【分析】仔细观察发现，第一幅图有1根；第二幅图有1＋1×2＝3根，第三幅图有1＋3×2＝7根，第四幅图有1＋7×2＝15根，由此可知规律为：前一幅图中的小棒根数×2＋1＝后一幅图中的小棒根数，据此解答。
【解答】第5个树状图需要：
15×2＋1
＝30＋1
＝31（根）
第6个树状图需要：
31×2＋1
＝62＋1
＝63（根）
第7个树状图需要：
63×2＋1
＝126＋1
＝127（根）
第8个树状图需要：
127×2＋1
＝254＋1
＝255（根）
所以第8个树状图需要255根小棒。
【易错专练6】探索规律。
将小棒按如下方式摆放。
（1）摆1个八边形需要8根小棒，摆2个八边形需要（ ）根小棒，摆3个八边形需要（ ）根小棒。
（2）摆n个八边形需要（ ）根小棒。
【答案】（1） 15 22
（2）7n＋1
【分析】（1）根据图可知，摆1个八边形需要8根小棒，摆2个八边形需要15根小棒，摆3个八边形需要22根小棒，据此解答。
（2）根据图可知，后一个图形比前一个图形多7根小棒。
摆1个八边形需要8根小棒，可以写成：7×1＋1；
摆2个八边形需要15根小棒，可以写成：7×2＋1；
摆3个八边形需要22根小棒，可以写成：7×3＋1；
……摆n个八边形需要：（7n＋1）根小棒。
【解答】（1）根据分析可知，摆1个八边形需要8根小棒，摆2个八边形需要15根小棒，摆3个八边形需要22根小棒。
（2）根据分析可知，摆n个八边形需要（7n＋1）根小棒。
易错点2：在“数”的问题中，无法用“形”来直观理解和解决。
【典例2】计算：1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11=
【错误答案】逐个相加得到35。（计算过程可能出错，或方法不优）
【错因分析】
1、缺乏数形结合意识：没有联想到“从1开始的连续奇数的和”这个知识点，以及它可以用“正方形点阵”来完美解释。
2、方法笨拙：对于项数较多的情况，逐个相加容易出错，也没有体现探索规律的思想。
【正确解答】方法一（图形法，数形结合）：
1 + 3 = 4 = 2 （一个2×2的正方形点阵）
1 + 3 + 5 = 9 = 3 （一个3×3的正方形点阵）
1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4 （一个4×4的正方形点阵）
...
规律：从1开始，连续n个奇数的和等于n 。本题是6个连续奇数相加（1是第1个，3是第2个，...，11是第6个）。所以和为：6 = 36。
方法二（首尾配对法）：(1+11) + (3+9) + (5+7) = 12 + 12 + 12 = 36。答：和为36。
【易错专练1】我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。”如图：在一个边长为1的正方形纸板上，依次贴上面积为的矩形彩色纸片，请你用“数形结合”的思想，依据数形变化的规律，计算：。
【答案】
【分析】因为正方形的边长是1，所以正方形的面积也是1，正方形的面积减去未贴彩色纸片的面积就是已贴彩色纸片的面积。
【解答】。
【易错专练2】我国宋代数学家杨辉在1261年撰写了《详解九章算法》，他在这本著作中画了一个由数构成的三角形图，我们把它称为“杨辉三角”。如图，第七行第一个数是（ ），第四个数是（ ）。
【答案】1 20
【分析】观察可知，第几行就有几个数，每行第一个数和最后一个数都是1，中间的任意一个数都等于该行上面一行相邻两个数的和，由此写出第7行的7个数，即可求得。
【解答】分析可知，第7行的数为1、6、15、20、15、6、1，则第一个数是1，第四个数是20。
【易错专练3】如图所示，动点P从第一个数0的位置出发，每次跳动一个单位长度。第一次跳动一个单位长度到达数1的位置，第二次跳动一个单位长度到达数2的位置，第三次跳动一个单位长度到达数3的位置，第四次跳动一个单位长度到达数4的位置，…，依此规律跳动下去，点P从0跳动6次到达的位置，点P从0跳动21次到达的位置，点、、…在一条直线上，则点P从0跳动 次可到达的位置。
【答案】903
【分析】看图可知，点P从0跳动6次到达的位置，6＝1＋2＋3；点P从0跳动21次到达的位置，21＝1＋2＋3＋4＋5＋6……由此可知，跳动次数为从1开始连续整数的和，是从1开始连续3个整数的和，是从1开始连续（2×3）个整数的和，是从1开始连续（3×3）个整数的和……是从1开始连续（×3）个整数的和，由此可知，是从1开始连续（14×3）个整数的和，即跳动的次数。
【解答】14×3＝42
1＋2＋3＋…＋41＋42
＝（1＋42）×42÷2
＝43×42÷2
＝903（次）
点P从0跳动903次可到达的位置。
【易错专练4】我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微。”请根据图中数与形之间的对应关系，先想一想，再填一填。
（1）（ ）。
（2）（ ）。
（3）（ ）。
【答案】（1）121
（2）256
（3）n2
【分析】观察给出的等式：1＝12；1＋2＋1＝4＝22；1＋2＋3＋2＋1＝9＝32；1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝42；可以发现规律：从1开始连续加到某一个数m，再倒着连续加到1，所得的和等于m2，即1＋2＋3＋…＋m＋…＋3＋2＋1＝m2。
【解答】（1）观察算式1＋2＋3＋…＋9＋10＋11＋10＋9＋…＋3＋2＋1，是从1开始连续加到11，再倒着连续加到1，符合规律，所以这个式子的和等于112，112＝11×11＝121，所以1＋2＋3＋…＋9＋10＋11＋10＋9＋…＋3＋2＋1＝121。
（2）观察算式1＋2＋3＋…＋14＋15＋16＋15＋14＋…＋3＋2＋1，是从1开始连续加到16，再倒着连续加到1，符合规律，所以这个式子的和等于162，162＝16×16＝256，所以1＋2＋3＋…＋14＋15＋16＋15＋14＋…＋3＋2＋1＝256。
（3）观察算式1＋2＋3＋…＋n＋…＋3＋2＋1，是从1开始连续加到n，再倒着连续加到1，符合规律，所以这个式子的和等于n2，所以1＋2＋3＋…＋n＋…＋3＋2＋1＝n2。
【易错专练5】填一填，并探索规律。

（1）观察上面的图形和式子，你有什么发现？你能用字母表示你的发现吗？
（2）你能应用你发现的规律计算“”吗？
【答案】；；；
（1）发现见详解
（2）
【分析】观察算式与图形之间的联系，寻找出算式中各个分数的分子、分母之间的共同点和相互之间的关系，以及得数与加数之间的关系，从而归纳出规律，最后应用规律解决问题。
【解答】
（1）发现：后一个分数是前一个分数的一半，且每个分数的分子都是1，这样的3个分数相加的和等于最后一个分数乘7。用字母表示规律是：，其中n为非零自然数。
（2）
易错点3：解决复杂递推问题时，混淆“项数”与“数量”。
【典例3】如下图，像这样摆下去，摆n个六边形需要多少根小棒？用自己喜欢的方法表达解答的过程。
【错误答案】6n－1
【错解分析】规律识别错误，注意n代表的是六边形的个数，而不是边数。
观察可发现规律，1个六边形：根小棒；2个六边形：根小棒；3个六边形：根小棒按照这样的方法分析解答。
【正确解答】1个六边形：根小棒；2个六边形：根小棒；3个六边形：根小棒按照这样的方法摆下去，摆n个六边形需要或（）根小棒。
【易错专练1】如图，1张餐桌可坐4人，2张餐桌拼在一起可坐6人，按这样拼下去，10张餐桌可坐多少人？100张呢？n张呢？（写出思考过程及答案。）
【答案】22人；202人；（2n＋2）人；思考过程见详解
【分析】根据题意，一张餐桌可坐4人，2张餐桌拼在一起可坐6人，3张餐桌拼在一起可坐8人，每多一张餐桌多坐2人，第n张餐桌可以坐4＋2×（n－1）人，据此解答。
【解答】根据分析可知：
思考过程：观察可知，1 张桌子坐 4 人，2 张桌子坐 6 人，每多拼一张桌子，多增加 2 个座位。第n张餐桌可以坐（2n＋2）人。
2×10＋2
＝20＋2
＝22（人）
2×100＋2
＝200＋2
＝202（人）
4＋2×（n－1）
＝4＋2n－2
＝ 2n＋2（人）
答：按这样拼下去，10张餐桌可坐22人，n张餐桌可坐2n＋2人。
【易错专练2】图①是1个棱长为1厘米的小正方体，图②由5个棱长为1厘米的小正方体堆成，图③由14个棱长为1厘米的小正方体堆成，按照此规律：
（1）那么，请你列式计算出图⑥由多少个棱长为1厘米的小正方体堆成？
（2）请你计算图⑩立体图形的表面积？
【答案】（1）91个
（2）420平方厘米
【分析】（1）第1个图中有1个棱长为1厘米的小正方体，第2个图中有（1＋4）个棱长为1厘米的小正方体，第3个图中有（1＋4＋9）个棱长为1厘米的小正方体，第n个图中有（1＋4＋9＋…＋n2）个棱长为1厘米的小正方体，由此解答本题；
（2）第1个图形的表面积是棱长是1厘米的正方体的表面积，第2个图形的表面积是长、宽都是（1×2）厘米，高是1厘米的长方体的表面积加上4个边长是1厘米的正方形的面积，第3个图形的表面积是长、宽都是（1×3）厘米，高是1厘米的长方体的表面积加上（4×2＋4×1）个边长是1厘米的正方形的面积，第n个图形的表面积是长、宽都是（1×n）厘米，高是1厘米的长方体的表面积加上[4×（1＋2＋…n－1）]个边长是1厘米的正方形的面积，由此解答本题。
【解答】（1）1＋4＋9＋42＋52＋62
＝1＋4＋9＋16＋25＋36
＝91（个）
答：图⑥由91个棱长为1厘米的小正方体堆成。
（2）（10×1＋10×1＋10×10）×2＋4×（1＋2＋3＋…＋9）×（1×1）
＝（10＋10＋100）×2＋4×45×1
＝120×2＋180
＝240＋180
＝420（平方厘米）
答：图⑩立体图形的表面积是420平方厘米。
【点评】本题考查的是数与形结合的规律的应用，解决本题的关键是找出题中规律。
【易错专练3】用小棒摆五边形，如下图所示。
（1）填表。
五边形个数 1 2 3 4 … n
小棒根数 5 5＋4 5＋4＋4 …
（2）照这样摆120个五边形，需要多少根小棒？
【答案】（1）5＋4＋4＋4；4n＋1；
（2）481根
【分析】（1）观察图形可知，摆1个五边形需要5根小棒，摆2个五边形需要（5＋4）根小棒，摆3个五边形需要（5＋4＋4）根小棒，摆4个五边形需要（5＋4＋4＋4）根小棒……则摆n个五边形需要[5＋4×（n－1）]根小棒，据此解答即可；
（2）把n＝120代入（1）中所得出的规律中求值即可解答。
【解答】（1）5＋4×（n－1）
＝5＋4n－4
＝（4n＋1）根
填表如下：
五边形个数 1 2 3 4 … n
小棒根数 5 5＋4 5＋4＋4 5＋4＋4＋4 … 4n＋1
（2）4×120＋1
＝480＋1
＝481（根）
答：需要481根小棒。
【易错专练4】小明用黑白两色的小三角形绘制了一个三角图案，前四行已给出。
（1）前四行中黑色小三角形所占的比例是__________%。
（2）如果小明要画出第五行，请问在第五行中黑色小三角形所占的比例是__________%。
（3）如果小明要画出更多行，他认为无论画多少行，整个大三角形中，黑色小三角形所占的比例都不会超过50%。你支持他的说法吗，为什么？
【答案】（1）62.5
（2）55.6
（3）不支持；理由见详解
【分析】（1）前四行中，黑色小三角形共有10个，白色小三角形共有6个。求黑色小三角形所占的比例用黑色小三角形个数除以黑、白三角总个数，结果用百分数表示。
（2）根据三角形的排列规律可知，第几行就有几个黑色三角形，白色三角形个数比黑色三角形个数少1，据此规律可知第五行中黑色三角形有5个，白色三角形有4个，两种三角形共有9个，据此解答。
（3）根据三角形的排列规律可知，第行有黑色三角形个，有白色三角形个，那么整个大三角形中黑色三角形总共是个，白色三角形总共是个，据此计算出黑色小三角形占所有三角形个数的百分比，再与50%比较，据此解答。
【解答】（1）10÷（10＋6）×100%
＝10÷16×100%
＝0.625×100%
＝62.5%
故前四行中黑色小三角形所占的比例是62.5%。
（2）5÷（5＋4）×100%
＝5÷9×100%
≈0.556×100%
＝55.6%
故第五行中黑色小三角形所占的比例是55.6%。
（3）黑色三角形：
黑、白三角形：
黑色三角形在整个三角形中的占比：
因为，分子上加上1，那么无论取什么值，都大于（50%）。所以无论画多少行，整个大三角形中黑色小三角形所占的比例都大于50%，故不支持小明的说法。
【点评】本题考查了图形中三角形的排列规律及百分比的计算方法，难点是含有字母算式的计算及化简。
【易错专练5】如下图在一些大小相等的正方形内分别排列着一些同样大小的圆。
（1）请观察上图并填写下表。
图形编号 图（1） 图（2） 图（3） 图（4） 图（5） 图（6）
圆的个数
（2）你能试着表示出第n个正方形中圆的个数吗？用你发现的规律计算出第18个图形中有多少个圆。
【答案】（1）1；4；9；16；25；36
（2）n2；324个
【分析】（1）通过观察图，可以发现圆的个数依次增加。得出规律如下
图（1）中圆的个数：1＝1×1＝1 ；
图（2）中圆的个数：4＝2×2＝2 ；
图（3）中圆的个数：9＝3×3＝3 ；
……
图（n）中圆的个数：n×n＝n 。
因此可得：
图（4）中圆的个数：4 ＝16；
图（5）中圆的个数：5 ＝25；
图（6）中圆的个数：6 ＝36；
（2）由（1）可得，第n个正方形中圆的个数是n ，通过发现的规律计算出第18个图形中有18 个圆，据此解答。
【解答】（1）填表如下：
图形编号 图（1） 图（2） 图（3） 图（4） 图（5） 图（6）
圆的个数 1 4 9 16 25 36
（2）n×n＝n
18 ＝18×18＝324（个）
答：第n个正方形中圆的个数是n ，第18个图形中有324个圆。
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