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第五单元 圆易错专项讲义
简介：
1．易错知识点梳理：本单元易错点梳理，让学生明确哪些知识点容易记混、记错。
2．易错点剖析训练：结合相关例题分类剖析常考易错点，并对易错点进行针对性训练，让学生在训练中记住易错点，攻克难关。
目录
模块一 易错知识点梳理 2
模块二 易错点剖析训练 2
易错点1：混淆了半圆与圆的对称轴数量。 2
易错点2：误以为半圆的周长就是圆周长的一半，而忽略了还有一条直径。 5
易错点3：圆的周长与面积公式混淆。 8
易错点4：圆环面积计算时半径混淆。 11
易错点5：组合图形求阴影部分面积时思路不清。 14
易错点6：已知周长求面积（或反之）时，半径的桥梁作用。 18
1．直径必须过圆心。
2．圆有无数条对称轴，每一条直径所在的直线都是它的对称轴。半圆只有1条对称轴。
3．在同一个圆内，一条直径的长度等于两条半径的长度和，但只有在同一条直线上的两条半径才能组成一条直径。
4．圆周率是任意一个圆的周长除以它的直径的商，这个比值是一个固定的数，与圆的大小无关。
5．圆周率是一个无限不循环小数，在实际应用中取它的近似值。
6．半圆的周长等于圆的周长的一半加上一条直径。
7．计算时如果单位不统一，一定要先统一单位，然后再计算。
8．在计算圆的面积时，r2是r×r，不是r×2。
9．圆环必须是由两个同心圆形成的。
10．求圆环的面积时，要先算出的是“平方差”，不是“差的平方”。
11．在正方形内画一个最大的圆，这个圆的直径等于正方形的边长，在长方形内画一个最大的圆，这个圆的直径等于长方形的宽。
12．在圆内画一个最大的正方形，这个正方形的对角线等于圆的直径。
13．圆心角必须具备两个条件：一是顶点在圆心上；二是角的两边是圆的半径。
14．在同一个圆中，扇形越大，这个扇形所对的圆心角就越大。
易错点1：混淆了半圆与圆的对称轴数量。
【典例6】半圆有（ ）条对称轴。
A.2 B.1 C.无数
【错误答案】C
【错解分析】混淆了半圆与圆的对称轴数量。
【正确解答】B
【易错专练1】如图，这个图形的对称轴有（ ）条。
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】一个图形沿一条直线对折后，折痕两旁的部分能够完全重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴。
【解答】如图：
这个图形的对称轴有3条。
故答案为：B
【易错专练2】下面的图形中，对称轴条数最多的是（ ）。
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后，两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此画出各个选项的对称轴，找出对称轴条数最多的是哪个即可。
【解答】画出选项各个图形的对称轴，如图所示：
A．有四条对称轴。
B．有三条对称轴。
C．有两条对称轴。
D．有一条对称轴。
所以对称轴条数最多的是A。
故答案为：A
【易错专练3】下面图形有（ ）条对称轴。
A．2 B．4 C．无数
【答案】B
【分析】一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；折叠的这条直线叫做这个图形的对称轴，据此解答。
【解答】如图：
图形有4条对称轴。
故答案为：B
【易错专练4】如图有（ ）条对称轴。
A．1 B．2 C．3 D．无数
【答案】B
【分析】一个图形沿一条直线对折后，折痕两旁的部分能够完全重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴。
【解答】如图：
有2条对称轴。
故答案为：B
【易错专练5】下面图形中，不是轴对称图形的是（ ）。
A． B． C．
【答案】C
【分析】要判断一个图形是否为轴对称图形，需看能否找到一条直线，使图形沿这条直线对折后，直线两侧的部分完全重合。据此逐一分析。
【解答】A．如图：，能找到一条直线，沿此直线对折，图形两侧部分可完全重合，所以该图形是轴对称图形；
B．如图：，能找到一条直线，沿此直线对折，图形两侧部分可完全重合，所以该图形是轴对称图形；
C．尝试寻找后发现不存在一条直线，能让该三角形沿其对折后两侧完全重合，所以该图形不是轴对称图形。
故答案为：C
易错点2：误以为半圆的周长就是圆周长的一半，而忽略了还有一条直径。
【典例2】一个半径是4分米的半圆，它的周长是多少分米？
【错误答案】2 × 3.14 × 4 ÷ 2 = 12.56（分米）
【错解分析】半圆周长 ≠ 圆周长的一半。半圆的周长由两部分组成：圆弧长度（圆周长的一半）+ 直径。错解只计算了弧长，漏掉了直径。
【正确解答】弧长部分：2 × 3.14 × 4 ÷ 2 = 12.56（分米）
直径部分：d = 2r = 2 × 4 = 8（分米）
半圆周长：12.56 + 8 = 20.56（分米）
答：它的周长是20.56分米。
【易错专练1】一个半圆的直径为3厘米，它的周长是（ ）厘米。
【答案】7.71
【分析】根据半圆周长是圆周长一半加直径，即半圆周长＝πd÷2＋d。代入数据计算即可。
【解答】3×3.14÷2＋3
＝4.71＋3
＝7.71（厘米）
一个半圆的直径为3厘米，它的周长是7.71厘米。
【易错专练2】把一个周长是18.84cm的圆，剪成两个等半圆，每个半圆的周长是（ ）cm。
【答案】15.42
【分析】根据圆的周长公式：周长＝π×直径；直径＝周长÷π，代入数据，求出圆的直径；再根据半圆的周长：周长＝圆的周长÷2＋直径，代入数据，即可解答。
【解答】18.84÷3.14＝6（cm）
18.84÷2＋6
＝9.42＋6
＝15.42（cm）
把一个周长是18.84cm的圆，剪成两个等半圆，每个半圆的周长是15.42cm。
【易错专练3】一个长方形的长是8cm，宽是5cm，在这个长方形中画一个最大的半圆，这个半圆的周长是（ ）cm。
【答案】20.56
【分析】如下图，在长8cm、宽5cm的长方形中画一个最大的半圆，那么这个半圆的直径等于长方形的长8cm；根据半圆的周长＝圆周长的一半＋直径，其中圆的周长公式C＝πd，代入数据计算求解。
【解答】3.14×8÷2＋8
＝12.56＋8
＝20.56（cm）
这个半圆的周长是20.56cm。
【易错专练4】把一张圆形纸板剪成两个相等的半圆，发现周长增加。每个半圆的周长是（ ）。
【答案】20.56
【分析】一个圆被分成两个相等半圆，周长增加了两个直径的长度，因此可得到圆的直径是8厘米，半圆的周长＝圆周长的一半＋直径，根据C＝πd解答。
【解答】d：16÷2＝8（厘米）
半圆周长：3.14×8÷2＋8
＝12.56＋8
＝20.56（厘米）
【点评】解题关键是弄清楚一个圆剪成两个相等半圆周长增加2个直径的长。
【易错专练5】一只挂钟的分针长12厘米，经过30分钟后，分针尖端所走的路程是（ ）厘米，分针扫过的面积是（ ）平方厘米。
【答案】37.68 226.08
【分析】30分钟分针刚好走半圈，分针扫过的是半径12厘米的半圆，根据圆的周长公式计算出针尖走过的路程，根据圆的面积公式计算扫过的面积即可。
【解答】根据分析：
圆的周长的一半＝2×3.14×12÷2
＝6.28×12÷2
＝75.36÷2
＝37.68（厘米）
半圆的面积＝3.14×122÷2
＝3.14×144÷2
＝452.16÷2
＝226.08（平方厘米）
一只挂钟的分针长12厘米，经过30分钟后，分针尖端所走的路程是37.68厘米，分针扫过的面积是226.08平方厘米。
易错点3：圆的周长与面积公式混淆。
【典例1】一个圆的直径是10厘米，它的周长和面积各是多少？
【错误答案】周长：3.14 × 10 = 314（厘米）面积：2 × 3.14 × 10 = 62.8（平方厘米）
【错解分析】这是最典型的错误！完全混淆了周长和面积公式。周长公式是 C = πd或 C = 2πr，而面积公式是 S = πr 。错解中把两个公式用反了。
【正确解答】半径：r = d ÷ 2 = 10 ÷ 2 = 5（厘米）
周长：C = πd = 3.14 × 10 = 31.4（厘米）或 C = 2πr = 2 × 3.14 × 5 = 31.4（厘米）
面积：S = πr = 3.14 × 5 = 3.14 × 25 = 78.5（平方厘米）
答：周长是31.4厘米，面积是78.5平方厘米。
【易错专练1】列看图按要求计算。
求出下图的周长和面积。
【答案】周长：12.56厘米；面积：12.56平方厘米
【分析】根据图示，圆的半径为2厘米，根据圆的周长公式：C＝2πr，圆的面积公式：S＝πr2计算即可。
【解答】圆的周长：C＝2πr
C＝2×3.14×2
＝12.56（厘米）
S＝πr2
＝3.14×22
＝3.14×4
＝12.56（平方厘米）
因此圆的周长为12.56厘米，面积为12.56平方厘米。
【易错专练2】求下列图形的周长和面积。
【答案】；
【分析】已知圆的直径是6cm，根据圆的周长公式即可求出周长；根据圆的面积公式即可求出面积。
【解答】周长：（cm）
半径：6÷2＝3（cm）
面积：（cm2）
所以圆的周长为18.84cm，面积为28.26cm2。
【易错专练3】求下面各图形的周长和面积。（单位：分米）
【答案】25.12分米，50.24平方分米；51.4分米，157平方分米
【分析】圆的周长公式：，圆的面积公式：。半圆的周长是圆周长的一半加一条直径的长度，半圆的面积是圆面积的一半。据此解答即可。
【解答】3.14×8＝25.12（分米）
（分米）
（平方分米）
【易错专练4】看图按要求计算。
求出下图周长。
【答案】178.5m
【分析】由图可知，其周长由两部分构成：一部分可看作是以直径为25m圆的周长，根据圆的周长=πd（d为圆的直径）计算出圆的周长；另一部分则由长为50m，宽为25m长方形的两条长构成，用长方形的长乘2即可；再将圆的周长和两条长求和，即可计算图形周长。
【解答】3.14×25＋50×2
＝78.5＋100
＝178.5（m）
所以图形周长为178.5m。
【易错专练5】求下图的周长。
【答案】7.14cm
【分析】观察图形可知，这个图形的周长包括以2cm为半径的圆周长的和两条半径。根据圆的周长＝2πr，代入数据计算求出圆的周长，再除以4求出圆周长的，最后加上两条半径即可解答。
【解答】2×2×3.14÷4＋2×2
＝3.14＋4
＝7.14（cm）
则图形的周长是7.14cm。
易错点4：圆环面积计算时半径混淆。
【典例4】一个圆环，内圆直径是6厘米，外圆直径是10厘米。这个圆环的面积是多少平方厘米？
【错误答案】3.14 × (10 - 6) = 3.14 × 16 = 50.24（平方厘米）
【错解分析】1、错误地将直径直接代入公式 π(R - r )，公式中要求是半径。
2、错误地认为 R - r = (R - r) ，这是不成立的。
【正确解答】第一步：先求内外圆的半径。
内圆半径：r = 6 ÷ 2 = 3（厘米）外圆半径：R = 10 ÷ 2 = 5（厘米）
第二步：代入圆环面积公式。
S环 = π(R - r ) = 3.14 × (5 - 3 ) = 3.14 × (25 - 9) = 3.14 × 16 = 50.24（平方厘米）
答：这个圆环的面积是50.24平方厘米。
【易错专练1】求阴影部分的面积。
【答案】75.36dm2
【分析】图中阴影部分的面积是圆环的面积，用大圆面积减去小圆面积就是圆环的面积。
【解答】3.14×72－3.14×52
3.14×49－3.14×25
＝153.86－78.5
＝75.36（dm2）
【易错专练2】求下面图形涂色部分的面积。
【答案】21.98cm2
【分析】本题是求圆环（涂色部分）的面积，由图可知外圆的半径为4cm，内圆的半径为3cm。根据圆的面积公式S＝πr2（S表示面积，π通常取3.14，r表示半径），分别求出外圆和内圆的面积，再用外圆的面积减内圆的面积即可得到涂色部分的面积。
【解答】3.14×42＝3.14×16＝50.24（cm2）
3.14×32＝3.14×9＝28.26（cm2）
50.24－28.26＝21.98（cm2）
图形涂色部分的面积是21.98cm2。
【易错专练3】求图中阴影部分的面积。
【答案】251.2cm2
【分析】观察图形可知，阴影部分是一个圆环，根据圆环的面积公式S环＝π（R2－r2），代入数据计算求出阴影部分的面积。
【解答】3.14×（122－82）
＝3.14×（144－64）
＝3.14×80
＝251.2（cm2）
阴影部分的面积是251.2cm2。
【易错专练4】求阴影部分的面积。（单位：cm）
【答案】50.24cm2
【分析】由图可知：大圆半径为5cm，小圆半径为3cm，然后根据环形面积公式：S＝π（R2－r2），代入数据计算即可。
【解答】3.14×（52－32）
＝3.14×（25－9）
＝3.14×16
＝50.24（cm2）
所以阴影部分的面积是50.24cm2。
【易错专练5】图中外圆直径为。求阴影部分的面积。
【答案】
【分析】阴影部分是个圆环，根据圆环的面积＝圆周率×（大圆半径的平方－小圆半径的平方），列式计算即可。
【解答】
阴影部分的面积是。
易错点5：组合图形求阴影部分面积时思路不清。
【典例5】一个边长为4厘米的正方形，里面有一个最大的圆，即内切圆，求正方形和圆之间的阴影部分面积。
【错误答案】4 - 3.14 × 4 = 16 - 12.56 = 3.44（平方厘米）
【错解分析】错误地将正方形的直径当成了圆的半径。正方形边长是4厘米，那么里面最大圆的直径应等于正方形边长，所以圆的半径是 4 ÷ 2 = 2厘米。
【正确解答】思路：阴影面积 = 正方形面积-圆的面积正方形面积：S正 = a = 4 × 4 = 16（平方厘米）圆的面积：圆的半径 r = 4 ÷ 2 = 2（厘米）S圆 = πr = 3.14 × 2 = 3.14 × 4 = 12.56（平方厘米）阴影面积：S阴 = S正 - S圆 = 16 - 12.56 = 3.44（平方厘米）
答：阴影部分的面积是3.44平方厘米。
【易错专练1】计算下面图形中阴影部分的面积（单位：cm）。
【答案】13.76cm2
【分析】根据阴影面积＝正方形面积－圆的面积计算，正方形面积＝边长×边长，圆的面积＝，正方形边长为8厘米，圆的半径是8÷2＝4（cm），据此解答。
【解答】8×8＝64（cm2）
3.14×（8÷2）2
＝3.14×42
＝3.14×16
＝50.24（cm2）
64－50.24＝13.76（cm2）
阴影面积是13.76cm2。
【易错专练2】求图中阴影部分的面积。（单位：厘米）
【答案】6.72平方厘米
【分析】观察图形可知，阴影部分的面积＝梯形的面积－半圆的面积，根据梯形的面积公式S＝（a＋b）h÷2，圆的面积公式S＝πr2÷2，代入数据计算，求出阴影部分的面积。
【解答】2×2＝4（厘米）
（4＋9）×2÷2
＝13×2÷2
＝13（平方厘米）
3.14×22÷2
＝3.14×4÷2
＝6.28（平方厘米）
13－6.28＝6.72（平方厘米）
阴影部分的面积是6.72平方厘米。
【易错专练3】求涂色部分的面积。（单位：cm）
【答案】20.52cm2
【分析】首先，观察图形可知，涂色部分的面积等于半圆的面积减去三角形的面积。
其次，确定半圆的半径，已知半圆的直径是12cm，所以半径 cm。
然后，计算半圆的面积，根据圆的面积公式（取3.14），半圆面积为圆面积的一半，即。
接着，计算三角形的面积，三角形的底是12cm，高是半圆的半径6cm，根据三角形面积公式（为底，为高），可得其面积为。
最后，用半圆的面积减去三角形的面积，即可得到涂色部分的面积。
【解答】计算半圆的半径：
（cm）
计算半圆的面积：
（cm2）
计算三角形的面积：
（cm2）
计算涂色部分的面积：
（cm2）
所以涂色部分的面积是20.52cm2。
【易错专练4】计算阴影部分的面积。（单位：dm）
【答案】7.85dm2；27.44dm2
【分析】（1）阴影部分的面积等于内直径（d2）是4 dm，外直径（d1）是（4＋1＋1）dm的圆环的面积的一半，圆环的面积＝π[（d1÷2）2－（d2÷2）2]，据此列式计算；
（2）据图可知，阴影部分的面积等于长是（4＋6）dm宽是4 dm的长方形的面积减去半径是4 dm的圆的面积的，长方形的面积＝长×宽，圆的面积＝πr2，据此列式计算。
【解答】4＋1＋1＝6（dm）
3.14×[（6÷2）2－（4÷2）2]÷2
＝3.14×[32－22]÷2
＝3.14×[9－4]÷2
＝3.14×5÷2
＝15.7÷2
＝7.85（dm2）
阴影部分的面积是7.85dm2。
（4＋6）×4－3.14×42×
＝10×4－3.14×16×
＝40－50.24×
＝40－12.56
＝27.44（dm2）
阴影部分的面积是27.44dm2。
【易错专练5】求涂色部分的面积。（单位：厘米）
【答案】6.28平方厘米；4.56平方厘米
【分析】第一个涂色部分面积是半径为（2÷2＝1）厘米的两个圆的面积，根据圆的面积即可求解；
由图可知，第二个涂色部分面积是从直径是4厘米的圆面积中减去了两条直角边都是4厘米的三角形面积。
【解答】（1）
（平方厘米）
第一个涂色部分面积是6.28平方厘米。
（2）
＝4×3.14－16÷2
＝12.56－8
＝4.56（平方厘米）
第二个涂色部分面积是4.56平方厘米。
易错点6：已知周长求面积（或反之）时，半径的桥梁作用。
【典例3】一个圆的周长是25.12厘米，它的面积是多少平方厘米？
【错误答案】S = 25.12 ÷ (4 × 3.14) = ...（计算复杂，容易出错）
【错解分析】虽然通过公式变形 S = C / (4π)也能计算，但过程复杂，容易算错。最稳妥、最不易错的方法是先通过周长求出半径，再用面积公式计算。
【正确解答】第一步：由周长求半径。
因为 C = 2πr，所以 r = C ÷ π ÷ 2r = 25.12 ÷ 3.14 ÷ 2 = 8 ÷ 2 = 4（厘米）
第二步：由半径求面积。S = πr = 3.14 × 4 = 3.14 × 16 = 50.24（平方厘米）
答：它的面积是50.24平方厘米。
【易错专练1】淘气用一根30米长的铁丝测一棵树的直径，在树干上绕了10圈后还剩1.74米，已知这棵树的横截面是一个圆，这棵树的半径大约是多少米？
【答案】0.45米
【分析】由题意可知，铁丝绕这棵树10圈的长度是（30－1.74）米，再除以10求出树干一圈的周长，然后根据“”求出这棵树的半径，据此解答。
【解答】（30－1.74）÷10
＝28.26÷10
＝2.826（米）
2.826÷3.14÷2
＝0.9÷2
＝0.45（米）
答：这棵树的半径大约是0.45米。
【易错专练2】小强用一根长25.12米的绳子，正好绕树干10圈，这根树干的横截面的半径是多少米？
【答案】0.4米
【分析】根据题意，先用绳子的全长除以10，求出绳子绕树干一圈的长度，也就是树干的周长；
再根据圆的周长公式C＝2πr可知，r＝C÷π÷2，据此求出树干的横截面的半径。
【解答】周长：25.12÷10＝2.512（米）
半径：2.512÷3.14÷2
＝0.8÷2
＝0.4（米）
答：这根树干的横截面的半径是0.4米。
【易错专练3】赵明的智能手表通过GPS测出他绕圆形花坛走了10圈，总距离为188.4米。花坛的半径是多少米？
【答案】3米
【分析】先求出绕花坛走一圈的距离也就是圆形花坛的周长，根据r＝C÷π÷2求出半径即可解答。
【解答】（米）
（米）
答：花坛的半径是3米。
【易错专练4】把一根长为10米的绳子，在一个圆盘上绕了三圈，还剩下0.58米，这个圆盘的半径是多少米？
【答案】0.5米
【分析】用绳子的总长度减去剩下绳子的长度，即可求出三圈绳子的长度，除以3即可求出一圈绳子的长度，即这个圆盘的周长，根据圆的周长公式：C＝，代入数据即可求出这个圆盘的半径。
【解答】（10－0.58）÷3÷2÷3.14
＝9.42÷3÷2÷3.14
＝1.57÷3.14
＝0.5（米）
答：这个圆盘的半径是0.5米。
【点评】此题的解题关键是求出圆盘的周长，再根据圆的周长公式求解。
【易错专练5】为了更好地提高学生的核心素养，科学老师带领学生去观察树木，探求树木的生长情况。科学老师用一根20米长的绳子测一棵树的树干周长，绳子在树干上绕了6圈，还剩余1.16米。你能求出这棵树的树干的半径是多少米吗？
【答案】0.5米
【分析】先算出绕树干6圈所用绳子的长度，然后除以6，就可以得到树干1圈的长度，也就是树干的周长，再根据r＝C÷π÷2，代入数据计算，就可以求出这棵树的树干的半径，据此解答。
【解答】（20－1.16）÷6
＝18.84÷6
＝3.14（米）
3.14÷3.14÷2＝0.5（米）
答：这棵树的树干的半径是0.5米。
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第五单元 圆易错专项讲义
简介：
1．易错知识点梳理：本单元易错点梳理，让学生明确哪些知识点容易记混、记错。
2．易错点剖析训练：结合相关例题分类剖析常考易错点，并对易错点进行针对性训练，让学生在训练中记住易错点，攻克难关。
目录
模块一 易错知识点梳理 2
模块二 易错点剖析训练 2
易错点1：混淆了半圆与圆的对称轴数量。 2
易错点2：误以为半圆的周长就是圆周长的一半，而忽略了还有一条直径。 4
易错点3：圆的周长与面积公式混淆。 5
易错点4：圆环面积计算时半径混淆。 7
易错点5：组合图形求阴影部分面积时思路不清。 9
易错点6：已知周长求面积（或反之）时，半径的桥梁作用。 10
1．直径必须过圆心。
2．圆有无数条对称轴，每一条直径所在的直线都是它的对称轴。半圆只有1条对称轴。
3．在同一个圆内，一条直径的长度等于两条半径的长度和，但只有在同一条直线上的两条半径才能组成一条直径。
4．圆周率是任意一个圆的周长除以它的直径的商，这个比值是一个固定的数，与圆的大小无关。
5．圆周率是一个无限不循环小数，在实际应用中取它的近似值。
6．半圆的周长等于圆的周长的一半加上一条直径。
7．计算时如果单位不统一，一定要先统一单位，然后再计算。
8．在计算圆的面积时，r2是r×r，不是r×2。
9．圆环必须是由两个同心圆形成的。
10．求圆环的面积时，要先算出的是“平方差”，不是“差的平方”。
11．在正方形内画一个最大的圆，这个圆的直径等于正方形的边长，在长方形内画一个最大的圆，这个圆的直径等于长方形的宽。
12．在圆内画一个最大的正方形，这个正方形的对角线等于圆的直径。
13．圆心角必须具备两个条件：一是顶点在圆心上；二是角的两边是圆的半径。
14．在同一个圆中，扇形越大，这个扇形所对的圆心角就越大。
易错点1：混淆了半圆与圆的对称轴数量。
【典例6】半圆有（ ）条对称轴。
A.2 B.1 C.无数
【错误答案】C
【错解分析】混淆了半圆与圆的对称轴数量。
【正确解答】B
【易错专练1】如图，这个图形的对称轴有（ ）条。
A．4 B．3 C．2 D．1
【易错专练2】下面的图形中，对称轴条数最多的是（ ）。
A． B． C． D．
【易错专练3】下面图形有（ ）条对称轴。
A．2 B．4 C．无数
【易错专练4】如图有（ ）条对称轴。
A．1 B．2 C．3 D．无数
【易错专练5】下面图形中，不是轴对称图形的是（ ）。
A． B． C．
易错点2：误以为半圆的周长就是圆周长的一半，而忽略了还有一条直径。
【典例2】一个半径是4分米的半圆，它的周长是多少分米？
【错误答案】2 × 3.14 × 4 ÷ 2 = 12.56（分米）
【错解分析】半圆周长 ≠ 圆周长的一半。半圆的周长由两部分组成：圆弧长度（圆周长的一半）+ 直径。错解只计算了弧长，漏掉了直径。
【正确解答】弧长部分：2 × 3.14 × 4 ÷ 2 = 12.56（分米）
直径部分：d = 2r = 2 × 4 = 8（分米）
半圆周长：12.56 + 8 = 20.56（分米）
答：它的周长是20.56分米。
【易错专练1】一个半圆的直径为3厘米，它的周长是（ ）厘米。
【易错专练2】把一个周长是18.84cm的圆，剪成两个等半圆，每个半圆的周长是（ ）cm。
【易错专练3】一个长方形的长是8cm，宽是5cm，在这个长方形中画一个最大的半圆，这个半圆的周长是（ ）cm。
【易错专练4】把一张圆形纸板剪成两个相等的半圆，发现周长增加。每个半圆的周长是（ ）。
【易错专练5】一只挂钟的分针长12厘米，经过30分钟后，分针尖端所走的路程是（ ）厘米，分针扫过的面积是（ ）平方厘米。
易错点3：圆的周长与面积公式混淆。
【典例1】一个圆的直径是10厘米，它的周长和面积各是多少？
【错误答案】周长：3.14 × 10 = 314（厘米）面积：2 × 3.14 × 10 = 62.8（平方厘米）
【错解分析】这是最典型的错误！完全混淆了周长和面积公式。周长公式是 C = πd或 C = 2πr，而面积公式是 S = πr 。错解中把两个公式用反了。
【正确解答】半径：r = d ÷ 2 = 10 ÷ 2 = 5（厘米）
周长：C = πd = 3.14 × 10 = 31.4（厘米）或 C = 2πr = 2 × 3.14 × 5 = 31.4（厘米）
面积：S = πr = 3.14 × 5 = 3.14 × 25 = 78.5（平方厘米）
答：周长是31.4厘米，面积是78.5平方厘米。
【易错专练1】列看图按要求计算。
求出下图的周长和面积。
【易错专练2】求下列图形的周长和面积。
【易错专练3】求下面各图形的周长和面积。（单位：分米）
【易错专练4】看图按要求计算。
求出下图周长。
【易错专练5】求下图的周长。
易错点4：圆环面积计算时半径混淆。
【典例4】一个圆环，内圆直径是6厘米，外圆直径是10厘米。这个圆环的面积是多少平方厘米？
【错误答案】3.14 × (10 - 6) = 3.14 × 16 = 50.24（平方厘米）
【错解分析】1、错误地将直径直接代入公式 π(R - r )，公式中要求是半径。
2、错误地认为 R - r = (R - r) ，这是不成立的。
【正确解答】第一步：先求内外圆的半径。
内圆半径：r = 6 ÷ 2 = 3（厘米）外圆半径：R = 10 ÷ 2 = 5（厘米）
第二步：代入圆环面积公式。
S环 = π(R - r ) = 3.14 × (5 - 3 ) = 3.14 × (25 - 9) = 3.14 × 16 = 50.24（平方厘米）
答：这个圆环的面积是50.24平方厘米。
【易错专练1】求阴影部分的面积。
【易错专练2】求下面图形涂色部分的面积。
【易错专练3】求图中阴影部分的面积。
【易错专练4】求阴影部分的面积。（单位：cm）
【易错专练5】图中外圆直径为。求阴影部分的面积。
易错点5：组合图形求阴影部分面积时思路不清。
【典例5】一个边长为4厘米的正方形，里面有一个最大的圆，即内切圆，求正方形和圆之间的阴影部分面积。
【错误答案】4 - 3.14 × 4 = 16 - 12.56 = 3.44（平方厘米）
【错解分析】错误地将正方形的直径当成了圆的半径。正方形边长是4厘米，那么里面最大圆的直径应等于正方形边长，所以圆的半径是 4 ÷ 2 = 2厘米。
【正确解答】思路：阴影面积 = 正方形面积-圆的面积正方形面积：S正 = a = 4 × 4 = 16（平方厘米）圆的面积：圆的半径 r = 4 ÷ 2 = 2（厘米）S圆 = πr = 3.14 × 2 = 3.14 × 4 = 12.56（平方厘米）阴影面积：S阴 = S正 - S圆 = 16 - 12.56 = 3.44（平方厘米）
答：阴影部分的面积是3.44平方厘米。
【易错专练1】计算下面图形中阴影部分的面积（单位：cm）。
【易错专练2】求图中阴影部分的面积。（单位：厘米）
【易错专练3】求涂色部分的面积。（单位：cm）
【易错专练4】计算阴影部分的面积。（单位：dm）
【易错专练5】求涂色部分的面积。（单位：厘米）
易错点6：已知周长求面积（或反之）时，半径的桥梁作用。
【典例3】一个圆的周长是25.12厘米，它的面积是多少平方厘米？
【错误答案】S = 25.12 ÷ (4 × 3.14) = ...（计算复杂，容易出错）
【错解分析】虽然通过公式变形 S = C / (4π)也能计算，但过程复杂，容易算错。最稳妥、最不易错的方法是先通过周长求出半径，再用面积公式计算。
【正确解答】第一步：由周长求半径。
因为 C = 2πr，所以 r = C ÷ π ÷ 2r = 25.12 ÷ 3.14 ÷ 2 = 8 ÷ 2 = 4（厘米）
第二步：由半径求面积。S = πr = 3.14 × 4 = 3.14 × 16 = 50.24（平方厘米）
答：它的面积是50.24平方厘米。
【易错专练1】淘气用一根30米长的铁丝测一棵树的直径，在树干上绕了10圈后还剩1.74米，已知这棵树的横截面是一个圆，这棵树的半径大约是多少米？
【易错专练2】小强用一根长25.12米的绳子，正好绕树干10圈，这根树干的横截面的半径是多少米？
【易错专练3】赵明的智能手表通过GPS测出他绕圆形花坛走了10圈，总距离为188.4米。花坛的半径是多少米？
【易错专练4】把一根长为10米的绳子，在一个圆盘上绕了三圈，还剩下0.58米，这个圆盘的半径是多少米？
【易错专练5】为了更好地提高学生的核心素养，科学老师带领学生去观察树木，探求树木的生长情况。科学老师用一根20米长的绳子测一棵树的树干周长，绳子在树干上绕了6圈，还剩余1.16米。你能求出这棵树的树干的半径是多少米吗？
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