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二次函数的图像与性质、二次函数的最值、由二次函数图像判断代数式正负复习讲义
考点目录
二次函数的图像与性质 二次函数的最值
由二次函数图像判断代数式正负
【知识点解析】
已知二次函数
1.对称轴与顶点坐标
（1）对称轴.
（2）顶点.
2.与坐标轴的交点
（1）令，得函数与轴得交点.
（2）令，得函数与轴得交点与.
2.二次函数的增减性
（1）若，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大.当时，函数取得最小值.
（2）若，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小.当时，函数取得最大值.
3. 二次函数的对称性：已知点， 在二次函数上，
（1）若点在二次函数图像上，则点也在函数图像上；
（2）若点，满足，有；
若，且，则，，则；
若，且，则，，则.
【例题分析】
例1．（25-26九年级上·浙江衢州·月考）对于二次函数的图象下列叙述正确的是（ ）
A．开口向下 B．顶点坐标
C．当时，y随x增大而减小 D．函数的最小值是2
例2．（25-26九年级上·山西朔州·月考）抛物线和的对称轴之间的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例3．（25-26九年级上·吉林长春·月考）若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ）．
A． B． C． D．
例4．（25-26九年级上·江苏泰州·月考）已知点， 在函数图像上，则 ．（填“”、“”或“”）
例5．（25-26九年级上·江苏南京·月考）已知二次函数图像上有两个不同的点 ，，则 ．
例6．（25-26九年级上·广西柳州·月考）已知二次函数，当时，则x的取值范围 ．
例7．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）在平面直角坐标系中，抛物线
(1)求这个二次函数的顶点坐标；
(2)点、均在此抛物线上，若，则 （填“＞”、“＝”或“＜”）．
例8．（25-26九年级上·河南南阳·月考）把二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到二次函数的图象．
(1) ； ； ；
(2)指出二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性和最值．
变式1．（25-26九年级上·湖南永州·月考）二次函数图象的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（25-26九年级上·湖北襄阳·月考）关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．该图象顶点是 B．图象与x轴有两个交点
C．当时，有最大值为2 D．图象与y轴交点是
变式3．（25-26九年级上·河北唐山·月考）已知点，，都在抛物线上，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
变式4．（25-26九年级上·辽宁锦州·月考）抛物线的顶点坐标为 ．
变式5．（25-26九年级上·山东青岛·月考）抛物线上有两点、，若，则
变式6．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）已知抛物线，当时，随的增大而减小，则的取值范围是 ．
变式7．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）已知二次函数的图象与y轴交点为．
(1)求a的值．
(2)求该二次函数图象的对称轴和y的最大值．
变式8．（25-26九年级上·贵州黔西·期中）如图所示，已知抛物线．
(1)在坐标系中画出此抛物线的大致图象（不要求列表）；
(2)该抛物线可由抛物线向___________平移___________个单位得到；
(3)当时，的取值范围是___________．
【知识点解析】
1.已知二次函数.
（1）若，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大.当时，函数取得最小值.
（2）若，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小.当时，函数取得最大值.
2.已知二次函数,.
（1）若，则函数在上随的增大而增大，当时，函数取得最大值，当时，函数取得最小值.
（2）若，则函数在上随的增大而减小，当时，函数取得最大值，当时，函数取得最小值.
（3）若，则函数在上随的增大而减小，在上随的增大而增大，当时，函数取得最大值，当时，函数取得最小值.
（4）若，则函数在上随的增大而减小，在上随的增大而增大，当时，函数取得最大值，当时，函数取得最小值.
※对于情况（3）和（4），本质上是讨论哪个自变量距离对称轴更远.
※开口向下时，讨论思路相同
【例题分析】
例1．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）点在二次函数上，当时，，当时，，求的取值范围（ ）
A． B． C． D．
例2．（25-26九年级上·浙江衢州·期中）已知，，当时，的最大值与最小值的差为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
例3．（25-26九年级上·四川泸州·期中）已知抛物线的图象开口向下，顶点坐标为，那么该抛物线有（ ）
A．最小值 B．最大值 C．最小值2 D．最大值2
例4．（25-26九年级上·山东威海·月考）已知二次函数，当时，y的取值范围为 ．
例5．（25-26九年级上·浙江温州·期中）当时，二次函数的最大值为 ．
例6．（25-26九年级上·吉林长春·期中）二次函数，当自变量时，函数的最大值为 ．
变式1．（25-26九年级上·云南玉溪·期中）已知抛物线，该函数的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．1
变式2．（25-26九年级上·山东烟台·期中）在直角坐标系中，二次函数（m为常数）的图象经过点和，则这个二次函数有（ ）
A．最小值 B．最小值 C．最小值2 D．最小值
变式3．（25-26九年级上·安徽铜陵·期中）若二次函数在的范围内的最大值为4，则实数的值为（ ）
A．或5 B．或5 C．或7 D．或7
变式4．（25-26九年级上·浙江湖州·月考）已知抛物线，当，抛物线的最小值为，则的值为 ．
变式5．（25-26九年级上·河北保定·期中）高速公路上行驶的汽车急刹车时的滑行距离与时间的函数关系式为，遇到紧急情况时，司机急刹车，则汽车最多要滑行 s，才能停下来．
变式6．（25-26九年级上·河南平顶山·月考）在平面直角坐标系中，已知抛物线（m是常数且）．
（1）该抛物线的对称轴为直线 ；
（2）当时，的最小值是，此时的最大值为 ．
【知识点解析】
1.对于二次函数
（1）开口方向由决定，当时，开口向上，当时，开口向下.
（2）对称轴由和决定，对称轴，当对称轴小于0时，同号，当对称轴大于0时，异号，对称轴等于0时，.（口诀：左同右异）
（3）与轴的交点由决定，当时，二次函数与轴交于正半轴，当时，二次函数与轴交于负半轴，当时，二次函数与轴交于原点.
2.二次函数图像与系数的关系: 对于二次函数
（1）特殊值
当时，； 当时，.
当时，； 当时，.
当时，； 当时，.
※若提及与的关系或者与的关系，应利用对称轴配凑出、、之间的关系.
（2）交点问题
若，则二次函数与轴有2个交点.
若，则二次函数与轴有1个交点.
若，则二次函数与轴没有交点.
（3）对称轴问题
若已知，则二次函数对称轴.
（4）最值问题
若对称轴且开口向下，则.
若对称轴且开口向上，则.
【例题分析】
例1．（25-26九年级上·广东深圳·阶段练习）如图所示是抛物线（）的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程有两个不相等的实根．其中正确结论的个数是（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例2．（25-26九年级上·湖北黄石·月考）如图，二次函数图象对称轴是直线，下列说法正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
例3．（25-26九年级上·福建龙岩·期中）二次函数（）的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中：
①②（m为任意实数）③④若、是抛物线上不同的两个点，则．其中正确的结论有 ．
例4．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图所示，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线．直线与抛物线交于，两点，点在轴下方且横坐标小于，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有 ．
变式1．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图是抛物线的一部分，其对称轴为直线，且抛物线与x轴的一个交点坐标为，下列结论：①；②方程的两个根是，；③；④当时，x的取值范围是；⑤若m为任意实数，则．其中结论正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式2．（25-26九年级上·广东·期中）如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③一元二次方程没有实数根；④．其中正确的结论个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式3．（25-26九年级上·广东潮州·阶段练习）二次函数的部分图象如图所示，有下列结论：
①；
②；
③；
④；
⑤对任意实数m，不等式总成立．
其中正确的结论有 填序号
变式4．（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，抛物线与x轴交于，，交y轴的正半轴于点C，对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，则下列结论：
①；
②；
③；
④当点C坐标为时，抛物线顶点；
⑤若点是抛物线上第一象限上的动点，当最大时，．
其中正确的有 ．（只填序号）
1．（25-26九年级上·湖北荆门·月考）对于抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上，对称轴为直线，顶点坐标是
B．开口向下，对称轴为直线，顶点坐标是
C．开口向上，对称轴为直线，顶点坐标是
D．开口向下，对称轴为直线，顶点坐标是
2．（25-26九年级上·河南周口·月考）函数的最大值和最小值分别是（ ）
A．4和 B．和 C．5和 D．5和
3．（25-26九年级上·湖北襄阳·月考）已知二次函数部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示，那么关于它的图象的一些性质，下列判断正确的是（ ）
A．该函数图象的开口向上 B．当时，随的增大而减小
C．抛物线的对称轴为 D．当时，
4．（25-26九年级上·辽宁沈阳·月考）已知二次函数（）的图象如图所示，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）若二次函数在的范围内的最大值为4，则实数的值为（ ）
A．或5 B．或5 C．或7 D．或7
6．（25-26九年级上·四川绵阳·期中）如图，是二次函数的图象的一部分，其对称轴为直线，且过点，现有下列说法：①；②；③方程有两个不相等的实数根：④若，是抛物线上两点，则，其中说法正确的是（ ）．
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
7．（25-26九年级上·山西忻州·月考）二次函数的最小值为 ．
8．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）经过点的抛物线的对称轴是直线，其顶点在直线上．当时，此时抛物线的最大值为 ．
9．（25-26九年级上·浙江温州·月考）已知抛物线，当时，的取值范围为 ．
10．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）二次函数，其图象经过点，则下列说法：
①该函数图象过点；
②；
③若点在该函数图象上，则也在该函数图象上；
④当时，y只有3个整数值，则或；
其中正确的是 （填序号）．
11．（25-26九年级上·四川南充·期中）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中：①；②（m为任意实数）；③；④若、是抛物线上不同的两个点，则．其中正确的结论有 ．
12．（25-26九年级上·山东泰安·期中）当时，二次函数的最大值为8，则b的值为 ．
13．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）二次函数图象如图所示，抛物线顶点为，与y轴、x轴分别交于点B和点．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)根据图象直接写出当时，x的取值范围．
14．（25-26九年级上·山东泰安·期中）已知：二次函数．
(1)将化成的形式；
(2)求出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
(3)当时，直接写出的取值范围．二次函数的图像与性质、二次函数的最值、由二次函数图像判断代数式正负复习讲义
考点目录
二次函数的图像与性质 二次函数的最值
由二次函数图像判断代数式正负
【知识点解析】
已知二次函数
1.对称轴与顶点坐标
（1）对称轴.
（2）顶点.
2.与坐标轴的交点
（1）令，得函数与轴得交点.
（2）令，得函数与轴得交点与.
2.二次函数的增减性
（1）若，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大.当时，函数取得最小值.
（2）若，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小.当时，函数取得最大值.
3. 二次函数的对称性：已知点， 在二次函数上，
（1）若点在二次函数图像上，则点也在函数图像上；
（2）若点，满足，有；
若，且，则，，则；
若，且，则，，则.
【例题分析】
例1．（25-26九年级上·浙江衢州·月考）对于二次函数的图象下列叙述正确的是（ ）
A．开口向下 B．顶点坐标
C．当时，y随x增大而减小 D．函数的最小值是2
【答案】D
【详解】解：∵ 是顶点式，其中 ，，，
∴ ，开口向上，故A错误；
顶点坐标为 ，故B错误；
对称轴为 ，开口向上，∴当 时， 随 增大而增大，故C错误；
当 时， 有最小值 ，故D正确．
∴选D．
例2．（25-26九年级上·山西朔州·月考）抛物线和的对称轴之间的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】解：∵抛物线的对称轴为，抛物线的对称轴为，
∴两条对称轴之间的距离为．
故选：C．
例3．（25-26九年级上·吉林长春·月考）若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：二次函数的开口向下，对称轴为轴，
由二次函数图象与性质可知，抛物线上的点到对称轴距离越近值越大，
点，，到对称轴的距离为、、，
，
，
故选：C．
例4．（25-26九年级上·江苏泰州·月考）已知点， 在函数图像上，则 ．（填“”、“”或“”）
【答案】<
【详解】解：由函数（），点在图像上，代入得；点在图像上，代入得，
因为，所以，即；
故答案为<．
例5．（25-26九年级上·江苏南京·月考）已知二次函数图像上有两个不同的点 ，，则 ．
【答案】
【详解】解：对于二次函数，对称轴为轴，
点 ，纵坐标相等，
点、关于轴对称，
，
故答案为：．
例6．（25-26九年级上·广西柳州·月考）已知二次函数，当时，则x的取值范围 ．
【答案】
【详解】解：∵二次函数解析式为，且，
∴抛物线开口向下，且当时，y有最大值，且．
当时，，
解得：，，
∵函数图象开口向下，对称轴为直线，在对称轴左侧y随着x的增大而增大，
在对称轴右侧y随着x的增大而减小，
∴当时，结合函数图象可得出x的取值范围是．
故答案为：．
例7．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）在平面直角坐标系中，抛物线
(1)求这个二次函数的顶点坐标；
(2)点、均在此抛物线上，若，则 （填“＞”、“＝”或“＜”）．
【答案】(1)
(2)＜
【详解】（1）解：∵，
∴顶点．
（2）解：∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为，
∴当时，y随x的增大而减小，
∵点、均在此抛物线上，且，
∴，
故答案为：<．
例8．（25-26九年级上·河南南阳·月考）把二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到二次函数的图象．
(1) ； ； ；
(2)指出二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性和最值．
【答案】(1)，，
(2)开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，随增大而增大，当 时，随增大而减小，最大值为
【详解】（1）解：由题意，将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，即可得到的图象，
∴；
∴，，；
（2）∵，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，
∴当时，随增大而增大，当 时，随增大而减小，当时，函数有最大值为．
变式1．（25-26九年级上·湖南永州·月考）二次函数图象的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵ 二次函数的顶点坐标为，
∴的图象的顶点坐标为，
故选：D．
变式2．（25-26九年级上·湖北襄阳·月考）关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．该图象顶点是 B．图象与x轴有两个交点
C．当时，有最大值为2 D．图象与y轴交点是
【答案】D
【详解】解：∵二次函数为，
∴顶点坐标为，
故选项A不符合题意；
令 ，得 ，
即，
此时无实数解，
∴图象与x轴无交点，
故选项B不符合题意；；
∵二次函数为的，
∴抛物线开口向上，当时，有最小值为2，不是最大值，
故选项C不符合题意；
令，得，
∴ 与y轴交点为，
故选项D符合题意；
故选：D．
变式3．（25-26九年级上·河北唐山·月考）已知点，，都在抛物线上，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：抛物线的开口向下，对称轴为直线，
所以抛物线上的点离对称轴越近，则其纵坐标越大．
又∵，，，
且，
∴．
故选：B．
变式4．（25-26九年级上·辽宁锦州·月考）抛物线的顶点坐标为 ．
【答案】
【详解】解：二次函数顶点式为 ，顶点坐标为，比较给定函数，可得，，因此顶点坐标为．
故答案为：．
变式5．（25-26九年级上·山东青岛·月考）抛物线上有两点、，若，则
【答案】
【详解】解：抛物线的二次项系数，
抛物线开口向下，
对称轴为，，
两点均在对称轴右侧，
随的增大而减小，
．
故答案为：．
变式6．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）已知抛物线，当时，随的增大而减小，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】解：∵ 抛物线的二次项系数为，
∴ 抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴ 在对称轴左侧，即时，随的增大而减小．
∵ 当时，随的增大而减小，
∴ ．
故答案为：．
变式7．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）已知二次函数的图象与y轴交点为．
(1)求a的值．
(2)求该二次函数图象的对称轴和y的最大值．
【答案】(1)
(2)直线和4
【详解】（1）解：函数图象与y轴交点为，
，
解得；
（2）由（1）得，
配方得，
，
，
所以该二次函数图象的对称轴为，y的最大值为．
变式8．（25-26九年级上·贵州黔西·期中）如图所示，已知抛物线．
(1)在坐标系中画出此抛物线的大致图象（不要求列表）；
(2)该抛物线可由抛物线向___________平移___________个单位得到；
(3)当时，的取值范围是___________．
【答案】(1)见解析
(2)上；4
(3)
【详解】（1）解：∵抛物线线解析式为，
该抛物线的顶点坐标为，开口向下，
令，则，即该抛物线经过点和点，
令，则，即该抛物线经过点和，
∴此抛物线的大致图象如下图所示：
（2）解：抛物线可由抛物线向上平移4个单位可得到．
故答案为：上，4．
（3）解：∵抛物解析式为，
∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为，
∴离对称轴越远，函数值越小，
∵，
∴当，且时，函数有最小值，最小值为，
又∵顶点坐标为，即当时，函数有最大值，最大值为4，
∴当时，．
【知识点解析】
1.已知二次函数.
（1）若，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大.当时，函数取得最小值.
（2）若，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小.当时，函数取得最大值.
2.已知二次函数,.
（1）若，则函数在上随的增大而增大，当时，函数取得最大值，当时，函数取得最小值.
（2）若，则函数在上随的增大而减小，当时，函数取得最大值，当时，函数取得最小值.
（3）若，则函数在上随的增大而减小，在上随的增大而增大，当时，函数取得最大值，当时，函数取得最小值.
（4）若，则函数在上随的增大而减小，在上随的增大而增大，当时，函数取得最大值，当时，函数取得最小值.
※对于情况（3）和（4），本质上是讨论哪个自变量距离对称轴更远.
※开口向下时，讨论思路相同
【例题分析】
例1．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）点在二次函数上，当时，，当时，，求的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵ 点 在二次函数上，且当 时 ，
∴ 函数在 处取得最大值，故顶点为，对称轴为 ，
∵ 当 时 ，且函数开口向下，
∴ 在 时，，
设函数顶点式为 ，
则当时，，
即 ，
∵ 且（因），
∴ 该不等式恒成立，
∴ ，
故 t 的取值范围为，
故选：C．
例2．（25-26九年级上·浙江衢州·期中）已知，，当时，的最大值与最小值的差为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
【答案】B
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴函数图象开口向上，对称轴为，
∴当时，有最小值，最小值为2，
∵，，，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴的最大值与最小值的差为．
故选：B．
例3．（25-26九年级上·四川泸州·期中）已知抛物线的图象开口向下，顶点坐标为，那么该抛物线有（ ）
A．最小值 B．最大值 C．最小值2 D．最大值2
【答案】B
【详解】解：∵抛物线开口向下，顶点坐标为，
∴该抛物线有最大值．
故选：B
例4．（25-26九年级上·山东威海·月考）已知二次函数，当时，y的取值范围为 ．
【答案】
【详解】解：二次函数可化为顶点式：
，
故对称轴为直线，顶点坐标为，且二次项系数，抛物线开口向上．
当时，最小值在处，即最小值为．
当时，；
当时，．
比较得，最大值为，
因此的取值范围为．
故答案为．
例5．（25-26九年级上·浙江温州·期中）当时，二次函数的最大值为 ．
【答案】
【详解】二次函数的二次项系数，
因此抛物线开口向下，
顶点横坐标为，
由于，顶点不在区间内，且当时，随的增大而减小，
故在时取得最大值，
代入计算得．
故答案为：．
例6．（25-26九年级上·吉林长春·期中）二次函数，当自变量时，函数的最大值为 ．
【答案】
【详解】解：二次函数
配方得 ，顶点坐标为 ，
∵二次项系数为负，
∴抛物线开口向下，
∵自变量取值范围为 ，
∴顶点 不在内，且当时，y随x的增大而减小，
∴当时，函数取得最大值，
∴，
故答案为：．
变式1．（25-26九年级上·云南玉溪·期中）已知抛物线，该函数的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】A
【详解】解：∵抛物线 中 ，
∴开口向上，有最小值，
顶点横坐标 ，
代入得 ，
∴最小值为 ，
故选 ：A．
变式2．（25-26九年级上·山东烟台·期中）在直角坐标系中，二次函数（m为常数）的图象经过点和，则这个二次函数有（ ）
A．最小值 B．最小值 C．最小值2 D．最小值
【答案】A
【详解】解：二次函数为常数）的图象经过点和，
该函数图象的对称轴为直线，
，
，
该函数解析式为，
，
该函数图象的开口向上，
当时，该二次函数有最小值．
故选：．
变式3．（25-26九年级上·安徽铜陵·期中）若二次函数在的范围内的最大值为4，则实数的值为（ ）
A．或5 B．或5 C．或7 D．或7
【答案】A
【详解】解：∵，
∴二次函数图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，
∵二次函数在的范围内的最大值为4，
∴或，
当时，，
整理得，
解得或，
当时，即 ，此时最大值在右端点，
∴，
解得：，
当时，此时最大值在左端点，
∴，
综上可知，实数的值为或5，
故选：A．
变式4．（25-26九年级上·浙江湖州·月考）已知抛物线，当，抛物线的最小值为，则的值为 ．
【答案】/
【详解】解：∵抛物线，
∴对称轴为，开口向上．
∵当时，抛物线的最小值为，
当时，y随x的增大而增大，
∴，y取得最小值，
∴，
解得，不满足．
当时，，y取得最小值，
∴，
解得或，均不满足．
当时，y随x的增大而减小，
∴，y取得最小值，
∴．
解得，满足．
综上，．
故答案为：．
变式5．（25-26九年级上·河北保定·期中）高速公路上行驶的汽车急刹车时的滑行距离与时间的函数关系式为，遇到紧急情况时，司机急刹车，则汽车最多要滑行 s，才能停下来．
【答案】3
【详解】解：，
∵，
∴当时，s取最大值，
故汽车最多要滑行，才能停下来．
故答案为：3．
变式6．（25-26九年级上·河南平顶山·月考）在平面直角坐标系中，已知抛物线（m是常数且）．
（1）该抛物线的对称轴为直线 ；
（2）当时，的最小值是，此时的最大值为 ．
【答案】
【详解】解：（1）抛物线 中，，，
对称轴为．
故答案为：．
（2）∵抛物线开口向上，对称轴在内，
∴最小值在顶点处，
即当时，，
∵最小值为，
∴，
解得：，
∴函数解析式为，
∵，
∴当时，y取得最大值，最大值为．
故答案为：7
【知识点解析】
1.对于二次函数
（1）开口方向由决定，当时，开口向上，当时，开口向下.
（2）对称轴由和决定，对称轴，当对称轴小于0时，同号，当对称轴大于0时，异号，对称轴等于0时，.（口诀：左同右异）
（3）与轴的交点由决定，当时，二次函数与轴交于正半轴，当时，二次函数与轴交于负半轴，当时，二次函数与轴交于原点.
2.二次函数图像与系数的关系: 对于二次函数
（1）特殊值
当时，； 当时，.
当时，； 当时，.
当时，； 当时，.
※若提及与的关系或者与的关系，应利用对称轴配凑出、、之间的关系.
（2）交点问题
若，则二次函数与轴有2个交点.
若，则二次函数与轴有1个交点.
若，则二次函数与轴没有交点.
（3）对称轴问题
若已知，则二次函数对称轴.
（4）最值问题
若对称轴且开口向下，则.
若对称轴且开口向上，则.
【例题分析】
例1．（25-26九年级上·广东深圳·阶段练习）如图所示是抛物线（）的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程有两个不相等的实根．其中正确结论的个数是（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】对于结论①：从图象中可知，抛物线的对称轴为直线，其中，，
故由对称性可知，抛物线与x轴的另一个交点在和之间，
故当时，，选项正确；
对于结论②：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，即，
∴，
由图象可知，抛物线开口向下，故，
∴，选项错误；
对于结论③：∵，
∴，，
∴，
∴，选项正确；
对于选项④：由图象可知，抛物线上的点的纵坐标的最大值为n，根据抛物线的对称性和增减性，必存在两个不同的x，使得，
选项正确，
∴正确的选项有3个，
故选：C．
例2．（25-26九年级上·湖北黄石·月考）如图，二次函数图象对称轴是直线，下列说法正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】解：观察函数的图象，得出开口方向向下，
即，
∵对称轴是直线，
∴，
即，
故A选项不符合题意；
由得，
故B选项符合题意；
观察函数的图象，得出函数图象与轴的交点有两个，
即对应一元二次方程的，
故C选项不符合题意；
观察函数图象，得当时，则函数图象交于y轴的正半轴，
即
∵对称轴是直线，
∴与关于直线对称，
∴当时，
故D选项不符合题意；
故选：B．
例3．（25-26九年级上·福建龙岩·期中）二次函数（）的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中：
①②（m为任意实数）③④若、是抛物线上不同的两个点，则．其中正确的结论有 ．
【答案】②③
【详解】解：由题意，抛物线开口向下，
．
又抛物线的对称轴是直线，
．
又抛物线交轴正半轴，
当时，．
，故①不正确．
由题意，当时，取最大值为，
对于抛物线上任意的点对应的函数值都．
对于任意实数，当时，．
，故②正确．
由图象可得，当时，，
又，
，故③正确．
由题意抛物线为，
，故④错误．
综上，正确的有②③．
故答案为：②③．
例4．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图所示，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线．直线与抛物线交于，两点，点在轴下方且横坐标小于，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有 ．
【答案】②③④
【详解】解：①：∵抛物线开口向下，
∴，
∵二次函数的对称轴为直线，
∴，
∵二次函数与轴正半轴，
∴，
∴，故①错误；
②：∵二次函数的对称轴为直线，
∴，即，
∴，故②正确；
③：由抛物线图像可知：当时，二次函数最大值为，
∴当取全体实数时，，
∴，即，故③正确；
④：联立，
化简得，
∴或，
即点的横坐标为，
∵，
∴，
∵点在轴下方且横坐标小于，
∴，
∵，
∴，即，
解得，故④正确；
综上，正确的有：②③④．
故答案为：②③④．
变式1．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图是抛物线的一部分，其对称轴为直线，且抛物线与x轴的一个交点坐标为，下列结论：①；②方程的两个根是，；③；④当时，x的取值范围是；⑤若m为任意实数，则．其中结论正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解：抛物线的开口向下，
，
抛物线的对称轴直线为，
∴，
，故①正确；
抛物线的对称轴直线为， 且抛物线与x轴的一个交点坐标为，
抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
方程的两个根是，，故②正确；
当时，，
，
，即，故③错误；
由于抛物线开口向下，且与x轴两交点的坐标为与，
结合图象可知，当时，，故④错误；
由得，
当时，抛物线最大值为，
当时，，
则对于任意实数m，总有，故⑤正确，
综上所述，正确的应该为①②⑤，
故答案为：C．
变式2．（25-26九年级上·广东·期中）如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③一元二次方程没有实数根；④．其中正确的结论个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解：∵抛物线顶点坐标为，
∴抛物线对称轴为直线，
∵图象与x轴的一个交点在，之间，
∴图象与x轴另一交点在，之间，
∴时，，
即，
故①正确，符合题意．
∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，
∴时，，
故②正确，符合题意．
∵的最大函数值为，
∴有实数根，
故③错误，不合题意．
∵抛物线顶点坐标为，
∴在处取得最大值，
∴，
∴，
故④正确，符合题意．
故选：C．
变式3．（25-26九年级上·广东潮州·阶段练习）二次函数的部分图象如图所示，有下列结论：
①；
②；
③；
④；
⑤对任意实数m，不等式总成立．
其中正确的结论有 填序号
【答案】①③⑤
【详解】解：①∵抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴ ，
∴，故①正确；
②根据图形可得二次函数图象与x轴有两个交点，
∴，故②错误；
③∵
∴
∴，故③正确；
④由图可得，当时，，
∵抛物线对称轴为直线，
∴当时，，即，故④错误；
⑤当时，取最小值，
∴，
∴，故⑤正确；
故答案为：①③⑤．
变式4．（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，抛物线与x轴交于，，交y轴的正半轴于点C，对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，则下列结论：
①；
②；
③；
④当点C坐标为时，抛物线顶点；
⑤若点是抛物线上第一象限上的动点，当最大时，．
其中正确的有 ．（只填序号）
【答案】①②⑤
【详解】解：①由条件可知：对称轴为直线，即，得到，故①正确，符合题意；
②当时，，
由图象可得，故②正确，符合题意；
③抛物线开口向下，交轴的正半轴于点，
，，，
故，③错误，不符合题意；
④根据题意可设二次函数解析式为，
把代入可得，
解得，
，
当时，，
即抛物线顶点，故④错误，不符合题意；
⑤根据，可设函数解析式为，
将点代入，
可得
，
，
如图，过点作轴交于点，
设直线，过点，，
则
解得：，
直线
，
直线．
由条件可知：，
，
，
当时，的面积最大，
故⑤正确，符合题意；
故答案为：①②⑤．
1．（25-26九年级上·湖北荆门·月考）对于抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上，对称轴为直线，顶点坐标是
B．开口向下，对称轴为直线，顶点坐标是
C．开口向上，对称轴为直线，顶点坐标是
D．开口向下，对称轴为直线，顶点坐标是
【答案】B
【详解】解：∵ 抛物线方程为，
∴，开口向下；对称轴为直线；顶点坐标为．
故选：B．
2．（25-26九年级上·河南周口·月考）函数的最大值和最小值分别是（ ）
A．4和 B．和 C．5和 D．5和
【答案】C
【详解】解：，
，
∴抛物线的对称轴为直线，当时y有最小值，
，
时，是最大值，
∴函数的最大值为5，最小值为．
故选：C．
3．（25-26九年级上·湖北襄阳·月考）已知二次函数部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示，那么关于它的图象的一些性质，下列判断正确的是（ ）
A．该函数图象的开口向上 B．当时，随的增大而减小
C．抛物线的对称轴为 D．当时，
【答案】B
【详解】解：∵点和的纵坐标相同，
∴对称轴为，
由表格数据可知，点在抛物线上，故该抛物线的顶点坐标为，
设抛物线为，代入点，
，
∴，
∴解析式为，
、由，开口向下，原选项错误，不符合题意；
、当时，随增大而减小，原选项正确，符合题意；
、由，得对称轴为，原选项错误，不符合题意；
、当时，，故错误；
故选：．
4．（25-26九年级上·辽宁沈阳·月考）已知二次函数（）的图象如图所示，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵抛物线开口向上，
，
∵抛物线的对称轴位于y轴的右侧，
∴，即；
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴；，故A、B选项错误，不符合题意；
由抛物线与轴的交点坐标可知，对称轴，
∵，
∴，即，故C选项正确，符合题意；
由图可知，当时，，故D选项错误，不符合题意；
故选：C．
5．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）若二次函数在的范围内的最大值为4，则实数的值为（ ）
A．或5 B．或5 C．或7 D．或7
【答案】A
【详解】解：∵，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，为最高点，
①当时，抛物线随的增大而增大，
∴当，即，函数有最大值4，
∴，
解得，或（舍去，）
∴；
②当时，抛物线随的增大而减小，
∴当时，即函数有最大值4，
∴，
解得，或（舍去）
∴；
综上，的值为或5，
故选A．
6．（25-26九年级上·四川绵阳·期中）如图，是二次函数的图象的一部分，其对称轴为直线，且过点，现有下列说法：①；②；③方程有两个不相等的实数根：④若，是抛物线上两点，则，其中说法正确的是（ ）．
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】D
【详解】解：对于①②，
∵抛物线开口向上，且与y轴交于负半轴，
∴，，
∵对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，，故①②正确；
对于③，此方程可以看作抛物线与直线的交点，结合图象可知，抛物线与直线有两个交点，因此方程有两个不相等的实数根，故③正确；
对于④，抛物线开口向上，函数有最小值，且离对称轴直线越近，值越小．
，，
∵，
∴点离对称轴更近，
∴，故④正确．
故选：D．
7．（25-26九年级上·山西忻州·月考）二次函数的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：函数是顶点形式，顶点坐标为，
由于二次项系数，抛物线开口向上，
因此函数在顶点处取得最小值，最小值为．
故答案为：．
8．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）经过点的抛物线的对称轴是直线，其顶点在直线上．当时，此时抛物线的最大值为 ．
【答案】
【详解】解：∵抛物线的对称轴是直线，顶点在直线上，
当时，，
∴该抛物线的顶点坐标是，
设该抛物线的解析式为，
将点代入，得，
解得，
∴该抛物线的解析式是，
∵，
∴抛物线开口向下，
∵对称轴是直线，
∴当时，y随x的增大而增大，
∵，
∴当时，y有最大值，最大值为．
故答案为：．
9．（25-26九年级上·浙江温州·月考）已知抛物线，当时，的取值范围为 ．
【答案】
【详解】解：∵，，
∴抛物线开口向下，顶点坐标为，
∴函数最大值为3，
将代入得，
将代入得，
∴当时，，
故答案为：．
10．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）二次函数，其图象经过点，则下列说法：
①该函数图象过点；
②；
③若点在该函数图象上，则也在该函数图象上；
④当时，y只有3个整数值，则或；
其中正确的是 （填序号）．
【答案】①③④
【详解】解：当时，，
∴该函数图象过点，故①正确；
∵二次函数，其图象经过点，
∴二次函数的对称轴为直线，
∴，即，
∴，故②错误；
∵二次函数的对称轴为直线，
∴点关于对称轴的对称点为，
即点在该函数图象上，则也在该函数图象上，故③正确；
∵，
∴，
当时，，
当时，
∵当时，y只有3个整数值，1，2，3，且图象经过点，
∴，
∴；
当时，
∵当时，y只有3个整数值，3，4，5，且图象经过点，
∴，
∴，
综上所述，当时，y只有3个整数值，则或，故④正确；
故答案为：①③④．
11．（25-26九年级上·四川南充·期中）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中：①；②（m为任意实数）；③；④若、是抛物线上不同的两个点，则．其中正确的结论有 ．
【答案】②③/③②
【详解】解：由题意，抛物线开口向下，
．
又抛物线的对称轴是直线，
．
又抛物线交轴正半轴，
当时，．
，故①不正确．
由题意，当时，取最大值为，
对于抛物线上任意的点对应的函数值都．
对于任意实数，当时，．
，故②正确．
由图象可得，当时，，
又，
，故③正确．
由题意抛物线为，
，故④错误．
综上，正确的有②③．
故答案为：②③．
12．（25-26九年级上·山东泰安·期中）当时，二次函数的最大值为8，则b的值为 ．
【答案】或
【详解】解：二次函数 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ．
若时函数值为8，即 ，
整理得 ，
解得 或 ．
若 时函数值为8，即 ，
整理得 ，
解得 或 ．
验证各b值对应的区间：
当 时，左端点函数值为 ，不符合；
当 时，右端点函数值为 ，不符合；
当 时，左端点函数值为 ，右端点函数值为 ，符合；
当 时，右端点函数值为 ，左端点函数值为 ，符合．
故b的值为或．
故答案为：或．
13．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）二次函数图象如图所示，抛物线顶点为，与y轴、x轴分别交于点B和点．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)根据图象直接写出当时，x的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，
把代入得，
解得，
抛物线解析式为．
（2）解：解方程得，，
抛物线与x轴的交点坐标为，，
当时，x的取值范围为．
14．（25-26九年级上·山东泰安·期中）已知：二次函数．
(1)将化成的形式；
(2)求出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
(3)当时，直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)对称轴：直线，顶点为
(3)
【详解】（1）解：
；
（2）由（1）知，且，
∴开口向上，对称轴为直线，顶点；
（3）∵中，，对称轴为直线，
，
∴当时，，
又∵顶点为：，
∴当时，函数y的取值范围为：．

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