资源简介

第5章 走进几何世界 章节重难点复习（4个知识点+6种题型）
一、知识梳理
知识点1 立体图形的相关概念
1.定义:有些几何图形(如长方体、正方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球等)的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形.
立体图形除了按照柱体、锥体、球分类，也可以按照围成几何体的面是否有曲面划分:①有曲面:圆柱、圆锥、球等;②没有曲面:棱柱、棱锥等.
2.棱柱的有关概念及其特征:
①在棱柱中，相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱，棱柱所有侧棱长都相等，棱柱的上下底面的形状、大小相同，并且都是多边形;棱柱的侧面形状都是平行四边形.
②棱柱的顶点数、棱数和面数之间的关系:底面多边形的边数n确定该棱柱是n棱柱，它有2n个顶点，3n条棱，n条侧棱，有n+2个面，n个侧面.
知识点2 点、线、面、体的关系
定义:①体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点.
②点动成线，线动成面，面动成体.
③点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界.
知识点3 正方体的展开图
定义:正方体是特殊的棱柱，它的六个面都是大小相同的正方形，将一个正方体的表面展开，可以得到11种不同的展开图，把它归为四类:一四一型有6种;二三一型有3种;三三型有1种;二二二型有一种.
拓展:
正方体展开图口诀:
①一线不过四;田凹应弃之;
②找相对面:相间，“Z”端是对面;
③找邻面:间二，拐角邻面知
知识点4 截面
定义:用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面.
二、典型例题
【题型1 几何体的点、棱、面】
例1.18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题．
(1)根据上面的多面体模型，直接写出表格中的m，n的值，则______，______．
多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E）
四面体 4 4 6
长方体 m 6 12
正八面体 n 8 12
正十二面体 20 12 30
(2)你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是_______．
(3)一个多面体的面数等于顶点数，且这个多面体有30条棱，求这个多面体的面数．
【答案】(1)8；6
(2)V+F-E=2
(3)这个多面体的面数为16
【分析】（1）观察图形即可得出结论；
（2）观察可得：顶点数+面数-棱数=2；
（3）将所给数据代入（2）中的式子即可得到面数．
【详解】（1）解：观察图形，长方体的定点数为8；正八面体的顶点数为6；
多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E）
四面体 4 4 6
长方体 8 6 12
正八面体 6 8 12
正十二面体 20 12 30
故答案为：8；6；
（2）解：观察表格可以看出：顶点数+面数-棱数=2，关系式为：V+F-E=2；
（3）解：由题意得：F+F-30=2，
解得F=16，
∴这个多面体的面数为16．
【点睛】本题主要考查多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系及灵活运用，正确理解题意是解题的关键．
【变式1】如图1至图3是将正方体截去一部分后得到的多面体．
(1)根据要求填写表格
面数（f） 顶点数（v） 棱数（e）
图1 ______ 9 14
图2 6 8 ______
图3 7 ______ 15
(2)猜想f，v，e三个数量间有何关系．
(3)根据猜想计算，若一个多面体有顶点数2021个，棱数4041条，试求出它的面数．
【答案】(1)7，12，10
(2)
(3)2022
【分析】（1）观察3个图形，直接填写表格，即可求解；
（2）根据（1）中的结果，即可得到f，v，e之间的数量关系；
（3）把，代入（2）中的结论，即可．
【详解】（1）解：根据题意，填写表格如下：
面数（f） 顶点数（v） 棱数（e）
图1 7 9 14
图2 6 8 12
图3 7 10 15
（2）解：根据图1得：，
根据图2得：，
根据图3得：，
由此猜想f，v，e三个数量间为；
（3）解：因为，，，
所以，
所以，
即它的面数是2022．
【点睛】本题考查了截一个几何体，图形的变化类的应用，关键是能根据（1）中的结果得出规律
【题型2 点、线、面、体间的关系】
例2.如图是一张长方形纸片，AB长为，BC长为．若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周
(1)得到的几何体是 ，这个现象用数学知识解释为 ；
(2)若将这个长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，求形成的几何体的体积．（结果保留）
【答案】(1)圆柱，面动成体
(2)形成的几何体的体积是cm或cm．【分析】（1）旋转后的几何体是圆柱，用数学知识解释为面动成体；
（2）分两种情况，根据圆柱的体积公式计算即可求解．
【详解】（1）解：若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，则形成的几何体是圆柱，这个现象用数学知识解释为面动成体；
故答案为：圆柱，面动成体
（2）情况①，绕AB边所在直线旋转：
（cm）；
情况②，绕BC边所在直线旋转：
（cm）；
故形成的几何体的体积是cm或cm．
【点睛】本题主要考查的是点、线、面、体，根据图形确定出圆柱的底面半径和高的长是解题的关键．
【变式2】以长为，宽为3cm的长方形的一边所在直线为旋转轴，将长方形旋转一周形成圆柱，则这个圆柱的体积是多少．（结果保留π）
【答案】或
【分析】以长为轴旋转一周得到的是一个底面半径为，高的圆柱；以长为轴旋转一周得到的是一个底面半径为，高的圆柱．根据圆柱的体积公式即可求出这个圆柱的体积．
【详解】以长为轴旋转一周得到的是一个底面半径为，高的圆柱体积为：
，
以长为轴旋转一周得到的是一个底面半径为，高的圆柱体积为：
，
所以这个圆柱的体积是或．
【点睛】本题考查将一个简单图形绕一轴旋转一周所组成是什么立体图形，还考查圆柱的体积计算，解题的关键是分类讨论，及掌握旋转得到的立体图形．
【题型3 几何体的展开图】
例3.如图，下列图形能折叠成一个三棱柱的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了展开图折叠成几何体，棱柱表面展开图中，上、下两底面应在侧面展开图长方形的两侧．根据直三棱柱的特点作答．
【详解】A、围成三棱柱时，两个三角形重合为同一底面，而另一底面没有，故不能围成直三棱柱；
B、C的两底面不是三角形，故也不能围成直三棱柱；
只有D经过折叠可以围成一个直三棱柱．
故选：D．
【变式3】某校元旦假期开展“巧手制作包装盒”的实践活动，如图是小芳用硬纸片做成的一个包装盒的展开图．若这个包装盒的体积是800cm3，则图中的a＝　5　．
【分析】根据长方体表面展开图的特征得出长、宽、高，由体积计算公式列方程求解即可．
【解答】解：由长方体的展开图的特征可知，
这个长方体的包装盒的长为20cm，宽为8cm，高为a cm，
所以20×8×a＝800，
解得a＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查几何体的展开图，掌握长方体表面展开图的特征以及长方体体积的计算方法是解决问题的前提．
【题型4 正方体的展开图】
例4.用如图所示的纸片折成一个长方体纸盒，折得的纸盒是( )．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别找出长方体的对面，进而可得答案．
【详解】解：如图所示：
根据题意可知，的对面是，的对面是，的对面是，面阴影的短边与面阴影的一边重合．
故用如图所示的纸片折成一个长方体纸盒，折得的纸盒是C．
故选：C．
【点睛】本题考查了长方体的展开图，属于常见题型，注意从相对面入手是解题的关键．
【变式4】将如图折成一个正方体，下列选项的4个点中，与点D重合的是（　　）

A．点A B．点I C．点H D．点F
【答案】A
【分析】本题主要考查正方体的展开图，熟练掌握正方体的展开图是解题的关键；由题意可根据“马走日”这个方法进行求解．
【详解】解：展开图求重合点可以运用“马走日”的方法，走两次即可找到重合点，
如图：
与点D重合的点有两个，分别是A、G．
故答案为：A
【题型5 截一个几何体】
例5.我们知道，三棱柱的上、下底面都是三角形，那么正三棱柱的上、下底面都是等边三角形，如图，大正三棱柱的高为10，截取一个底面周长为3的小正三棱柱．
(1)请写出截面的形状；
(2)请计算截面的面积．
【答案】(1)长方形
(2)10
【分析】（1）由图可得截面的形状为长方形；
（2）根据小正三棱柱的底面周长为3，求出底面边长为1，根据高是10，即可求出截面面积．
【详解】（1）解：由图可得截面的形状为长方形；
（2）∵小正三棱柱的底面周长为3，
∴底面边长＝1，
∴截面的面积1×10＝10．
【点睛】本题考查了截面，考查学生的空间观念，根据长方形的面积＝长×宽求出截面的面积是解题的关键．
【变式5】如图，是一个几何体的表面展开图．

(1)该几何体是______；
(2)依据图中数据求该几何体的体积；
(3)截去这个几何体的一个角，剩余的立体图形有几条棱？请直接写出答案．
【答案】(1)长方体
(2)15立方米
(3)12条棱或13条棱14条棱或15条棱
【分析】（1）根据展开图判断即可；
（2）根据长方体的体积=长×宽×高求解即可；
（3）分四种情况解答即可．
【详解】（1）由展开图可知，该几何体是长方体．
故答案为：长方体；
（2）；
（3）如图，

剩下的几何体可能有：12条棱或13条棱14条棱或15条棱．
【点睛】本题考查了立体图形的展开图，截一个长方体一个角的问题，注意分情况讨论，做到不重复不遗漏．
【题型6 正方体相对两个面的文字】
例6.如图是一个正方体形状纸盒的展开图，将其折成正方体后，相对面上的两数互为相反数，则 ．
【答案】9
【分析】由图可知，m，n的对面分别是，，根据相对面上的两个数互为相反数，可得出m，m的值，再代入即可求解．
【详解】由图可知，m，n的对面分别是，，
∵相对面上的两个数互为相反数，
∴m，n所表示的数分别是，．
∴．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正方体相对两个面上的文字，灵活运用正方体的相对面关系是解题的关键．
【变式6】如图，是一个正方体纸盒的表面展开图，纸盒中相对两个面上的数互为倒数．
(1)填空： ， ；
(2)先化简，再求值：．
【答案】(1)，；
(2)．
【分析】（1）先根据正方体的平面展开图确定a、b、c所对的面的数字，再根据相对的两个面上的数互为倒数，确定a、b、c的值；
（2）先去括号，再合并同类项化简代数式后代入求值即可．
【详解】（1）解：由长方体纸盒的平面展开图知，a与、b与、c与2是相对的两个面上的数字或字母，
因为相对的两个面上的数互为倒数，
所以，，，
故答案为：，
（2）解：
．
将，，代入上式可得：
原式．
【点睛】本题考查了正方体的平面展开图、倒数及整式的加减化简求值，解决本题的关键是根据平面展开图确定a、b、c的值．第5章 走进几何世界 章节重难点复习（4个知识点+6种题型）
一、知识梳理
知识点1 立体图形的相关概念
1.定义:有些几何图形(如长方体、正方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球等)的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形.
立体图形除了按照柱体、锥体、球分类，也可以按照围成几何体的面是否有曲面划分:①有曲面:圆柱、圆锥、球等;②没有曲面:棱柱、棱锥等.
2.棱柱的有关概念及其特征:
①在棱柱中，相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱，棱柱所有侧棱长都相等，棱柱的上下底面的形状、大小相同，并且都是多边形;棱柱的侧面形状都是平行四边形.
②棱柱的顶点数、棱数和面数之间的关系:底面多边形的边数n确定该棱柱是n棱柱，它有2n个顶点，3n条棱，n条侧棱，有n+2个面，n个侧面.
知识点2 点、线、面、体的关系
定义:①体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点.
②点动成线，线动成面，面动成体.
③点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界.
知识点3 正方体的展开图
定义:正方体是特殊的棱柱，它的六个面都是大小相同的正方形，将一个正方体的表面展开，可以得到11种不同的展开图，把它归为四类:一四一型有6种;二三一型有3种;三三型有1种;二二二型有一种.
拓展:
正方体展开图口诀:
①一线不过四;田凹应弃之;
②找相对面:相间，“Z”端是对面;
③找邻面:间二，拐角邻面知
知识点4 截面
定义:用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面.
二、典型例题
【题型1 几何体的点、棱、面】
例1.18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题．
(1)根据上面的多面体模型，直接写出表格中的m，n的值，则______，______．
多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E）
四面体 4 4 6
长方体 m 6 12
正八面体 n 8 12
正十二面体 20 12 30
(2)你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是_______．
(3)一个多面体的面数等于顶点数，且这个多面体有30条棱，求这个多面体的面数．
【变式1】如图1至图3是将正方体截去一部分后得到的多面体．
(1)根据要求填写表格
面数（f） 顶点数（v） 棱数（e）
图1 ______ 9 14
图2 6 8 ______
图3 7 ______ 15
(2)猜想f，v，e三个数量间有何关系．
(3)根据猜想计算，若一个多面体有顶点数2021个，棱数4041条，试求出它的面数．
【题型2 点、线、面、体间的关系】
例2.如图是一张长方形纸片，AB长为，BC长为．若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周
(1)得到的几何体是 ，这个现象用数学知识解释为 ；
(2)若将这个长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，求形成的几何体的体积．（结果保留）
【变式2】以长为，宽为3cm的长方形的一边所在直线为旋转轴，将长方形旋转一周形成圆柱，则这个圆柱的体积是多少．（结果保留π）
【题型3 几何体的展开图】
例3.如图，下列图形能折叠成一个三棱柱的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】某校元旦假期开展“巧手制作包装盒”的实践活动，如图是小芳用硬纸片做成的一个包装盒的展开图．若这个包装盒的体积是800cm3，则图中的a＝　　．
【题型4 正方体的展开图】
例4.用如图所示的纸片折成一个长方体纸盒，折得的纸盒是( )．
A． B． C． D．
【变式4】将如图折成一个正方体，下列选项的4个点中，与点D重合的是（　　）

A．点A B．点I C．点H D．点F
【题型5 截一个几何体】
例5.我们知道，三棱柱的上、下底面都是三角形，那么正三棱柱的上、下底面都是等边三角形，如图，大正三棱柱的高为10，截取一个底面周长为3的小正三棱柱．
(1)请写出截面的形状；
(2)请计算截面的面积．
【变式5】如图，是一个几何体的表面展开图．
(1)该几何体是______；
(2)依据图中数据求该几何体的体积；
(3)截去这个几何体的一个角，剩余的立体图形有几条棱？请直接写出答案．

【题型6 正方体相对两个面的文字】
例6.如图是一个正方体形状纸盒的展开图，将其折成正方体后，相对面上的两数互为相反数，则 ．
【变式6】如图，是一个正方体纸盒的表面展开图，纸盒中相对两个面上的数互为倒数．
(1)填空： ， ；
(2)先化简，再求值：．

展开更多......

收起↑