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25.4相似三角形的判定
（30分提至70分使用）
1. 定义法判定
若两个三角形的对应角相等，且对应边成比例，则这两个三角形相似。
符号表示：在与中，若，，，且（k为相似比），则。
2. 平行法判定（预备定理）
平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
符号表示：如图，若DE // BC，且DE交AB于点D，交AC于点E，则。
3. 两角对应相等判定
若两个三角形有两组对应角相等，则这两个三角形相似。
符号表示：在与中，若，，则。
4. 两边成比例且夹角相等判定
若两个三角形的两组对应边成比例，且它们的夹角相等，则这两个三角形相似。
符号表示：在与中，若，且，则。
5. 三边成比例判定
若两个三角形的三组对应边成比例，则这两个三角形相似。
符号表示：在与中，若，则。
利用两角对应相等判定相似
1．下列各组图形不一定相似的是（ ）
A．两个等腰直角三角形 B．两个含有内角的等腰三角形
C．两个含有内角的等腰三角形 D．两个含有内角的直角三角形
【答案】C
【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．根据对应角相等判断各组图形是否一定相似．
【详解】解：A、等腰直角三角形角均为、、，对应角相等，一定相似；
B、含有内角的等腰三角形中，必为顶角，底角均为，对应角相等，一定相似；
C、含有内角的等腰三角形中，可能为顶角或底角，导致角组合可能不同（如、、或、、），对应角不一定相等，不一定相似；
D、含有内角的直角三角形，角均为、、，对应角相等，一定相似，
故选：C．
2．如图，已知，．将沿图中的剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定逐一判断即可．
【详解】解：A、∵，
∴，
故A不符合题意；
B、∵，
∴，
故B不符合题意；
C、由图形可知，，，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
故C不符合题意；
D、由已知条件无法证明与相似，故D符合题意，
故选：D．
3．如图，在锐角中，、分别是边、上的高，它们相交于点，则图中与相似的三角形（不含）有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题主要考查相似三角形的判定，根据已知及相似三角形的判定方法从而找到图中存在的相似三角形即可．
【详解】解：①∵，
∴，
又，
∴；
②∵；
∴，
又，
∴；
③∵，
∴，
又，
∴，
∴；
∴图中与相似的三角形（不含）有3个
故选：C．
4．平行四边形的对角线相交于点O，，则与相似的三角形有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【分析】此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定，由得到，即可得到，由平行四边形得到，，进而得到．
【详解】∵
∴，
∴
∵四边形是平行四边形
∴，
∴，
∴
∴与相似的三角形有2个．
故选：A．
5．在和中，，根据下列条件，不能判定和相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握三角形相似的判定是解题的关键．根据三角形相似的判定定理判断即可．
【详解】解：A、满足“两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似”，所以选项A正确，不符合题意；
B、虽然两边对应成比例，但不满足这两边的夹角相等，所以选项B错误，符合题意；
C、满足“两对对应角分别相等的两个三角形相似”，所以选项C正确，不符合题意；
D、满足“两对对应角分别相等的两个三角形相似”，所以选项D正确，不符合题意．
故选：B．
利用三边对应成比例判定相似
6．如图，选项中的阴影三角形与相似的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查相似三角形的判定定理及勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键；先得出的三条边长，然后根据“三边对应成比例的两个三角形相似”依次进行排除选项即可．
【详解】解：设小正方形的边长为1，则有：，
A选项中，三边长依次为，所以，所以不相似；
B选项中，三边长依次为，所以，所以这两个三角形相似；
C选项中，三边长依次为，所以，所以不相似；
D选项中，三边长依次为，所以，所以不相似；
故选B．
7．一个木质三角形框架模型的三边长分别为5厘米、6厘米、10厘米，木工要以一根长为30厘米的木条为一边，做一个与模型三角形相似的三角形，那么另两条边的木条长度不符合条件的是（ ）
A．15厘米、18厘米 B．20厘米、24厘米
C．25厘米、50厘米 D．36厘米、60厘米
【答案】B
【分析】本题考查了相似三角形的判定-三边分别对应成比例的两三角形相似．先计算出模型三角形三边比从小到大为，再逐项计算新三角形三边比，进行判断即可求解．
【详解】解：∵ 相似三角形对应边成比例，模型三角形三边为5cm、6cm、10cm，
∴模型三角形三边比为；
A. 当新三角形另外两边为15厘米、18厘米时，三边比为，两三角形相似，不合题意；
B. 当新三角形另外两边为20厘米、24厘米时，三边比为，两三角形不相似，符合题意；
C. 当新三角形另外两边为25厘米、50厘米时，三边比为，两三角形相似，不合题意；
D. 当新三角形另外两边为36厘米、60厘米时，三边比为，两三角形相似，不合题意．
故选：B
8．图中三角形相似的是（ ）
A．（1）和（2） B．（1）和（3） C．（2）和（3） D．（3）和（4）
【答案】A
【分析】本题考查相似三角形的判定，根据三边对应成比例的两个三角形相似，逐项判断即可．
【详解】解：A．∵，，，∴两三角形相似；
B． ∵，，，∴两三角形不相似；
C．∵，，，∴两三角形不相似；
D．∵，，，∴两三角形不相似；
故选：A．
9．如图是一个正方形网络，里面有许多三角形．在下面所列出的各三角形中，与不相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理与网格，相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键．根据三边对应成比例的两个三角形相似，逐项进行判断即可．
【详解】解：设每个小正方形的边长为，则在中，，，，
A、在中，，，，
，，，
，
，故A选项不符合题意；
B、在中，，，，
，，，
，
和不相似，故B选项符合题意；
C、在中，，，，
，，，
，
，故C选项不符合题意；
D、在中，，，，
，，，
，
，故D选项不符合题意；
故选：B ．
10．如图，当的值为多少时，（　　）
A．20 B．27 C．36 D．45
【答案】C
【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．根据根据题意当时，即可求解．
【详解】解：根据题意可知，当时，，
由图可知，，，，，，，
∴，
∴，
故选：C．
利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似
11．如图，在中，，，分别是边，，上的点，且，，，则图中的相似三角形有（ ）
A．3组 B．2组 C．1组 D．0组
【答案】A
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定．
由已知可得，，再由夹角，，即可判定，，再由相似的传递性可得．
【详解】解：∵，，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴共有3组，
故选：A．
12．如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查图形的相似，熟练掌握三角形相似的条件是解题的关键．根据题意分别判定即可．
【详解】解：两角分别相等的两个三角形相似，故选项A中剪下的阴影三角形与相似，故选项A不符合题意；
两角分别相等的两个三角形相似，故选项B中剪下的阴影三角形与相似，故选项B不符合题意；
选项C中剪下的阴影三角形与不相似，故选项C符合题意；
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，故选项D中剪下的阴影三角形与相似，故选项D不符合题意；
故选C．
13．如图，下列图中小正方形的边长为1，阴影三角形的顶点均在格点上，与相似的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查相似三角形的判定，根据三角形的一个角为判断即可．解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．
【详解】解：由题意，，，
，
选项A中的三角形是有一个角为，且该角度的邻边之比为，符合题意．
故选：A．
14．如图，已知，点在上，添加下列条件后，仍无法判定与相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的判定，能熟记相似三角形的判定定理是解此题的关键．根据求出，再根据相似三角形的判定定理逐个判断即可．
【详解】解：A．，
，
即，
又，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意；
B．，
，
又，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意；
C．，，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意；
D．，，不符合相似三角形的判定定理，不能推出，故本选项符合题意；
故选：D．
15．下列说法正确的是（ ）
A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
B．有一组邻边相等且对角线互相垂直的平行四边形是正方形
C．两条边对应成比例且有一个内角相等的两个三角形相似
D．对角线相等的四边形是矩形
【答案】A
【分析】分别根据菱形、矩形、正方形的判定，相似三角形的判定定理，进行判断即可．
【详解】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确，符合题意；
B、有一组邻边相等且对角线相等的平行四边形是正方形，原说法错误，不符合题意；
C、两条边对应成比例且有一个夹角相等的两个三角形相似，原说法错误，不符合题意；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，原说法错误，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了菱形、矩形、正方形的判定，相似三角形的判定定理，熟练掌握各知识点是解题的关键．
相似三角形的判定综合
16．如图，已知点D，E，F分别是三边的中点，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定，三角形中位线定理；由三角形中位线定理得，，，求出对应边的比值，即可得证．
【详解】证明：∵点D，E，F分别是三边的中点，
∴是的中位线，
，，，
，
．
17．如下图．
(1)判断与是否相似，并说明理由．
(2)若，求的度数．
【答案】(1)相似．理由见解析
(2)
【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，证明是解题的关键．
（1）根据三组对应边的比相等的两个三角形相似，即可证得；
（2）由相似三角形的性质得出，即可得出答案．
【详解】（1）解：相似．理由如下：
，
．
（2）解：由（1），得．
又，
．
18．如图，四个乡镇A，B，C，D之间建有公路，已知，．试判断AB与CD的位置关系，并说明理由．
【答案】．理由见解析
【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键.
根据已知中各边的长易得，进而可得，结合相似三角形的性质可得，最后根据平行线的判定定理即可证明．
【详解】解：．理由如下：
由题意得，
，
，
，
．
故答案为：．
19．如图，在四边形中，，E为边上一点，请用尺规作图法，在边上找一点F，使得与相似．（作出符合题意的一个点F即可，保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见详解
【分析】本题考查尺规作图——作一个角等于已知角，相似三角形的判定．
由得到，因此作使，得或其它对应相等的一组角即可得到与相似．
【详解】解：如图，点F即为所求作．
由作图可知：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
20．将两块等腰直角三角板如图摆放在同一个平面内，请直接写出三对相似三角形，并且用“”连接．
【答案】
【分析】本题考查等腰直角三角形性质，相似判定及性质等．
【详解】解：∵和都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
注：答案不唯一．25.4相似三角形的判定
（30分提至70分使用）
1. 定义法判定
若两个三角形的对应角相等，且对应边成比例，则这两个三角形相似。
符号表示：在与中，若，，，且（k为相似比），则。
2. 平行法判定（预备定理）
平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
符号表示：如图，若DE // BC，且DE交AB于点D，交AC于点E，则。
3. 两角对应相等判定
若两个三角形有两组对应角相等，则这两个三角形相似。
符号表示：在与中，若，，则。
4. 两边成比例且夹角相等判定
若两个三角形的两组对应边成比例，且它们的夹角相等，则这两个三角形相似。
符号表示：在与中，若，且，则。
5. 三边成比例判定
若两个三角形的三组对应边成比例，则这两个三角形相似。
符号表示：在与中，若，则。
利用两角对应相等判定相似
1．下列各组图形不一定相似的是（ ）
A．两个等腰直角三角形 B．两个含有内角的等腰三角形
C．两个含有内角的等腰三角形 D．两个含有内角的直角三角形
2．如图，已知，．将沿图中的剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，在锐角中，、分别是边、上的高，它们相交于点，则图中与相似的三角形（不含）有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．平行四边形的对角线相交于点O，，则与相似的三角形有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．在和中，，根据下列条件，不能判定和相似的是（ ）
A． B． C． D．
利用三边对应成比例判定相似
6．如图，选项中的阴影三角形与相似的为（ ）
A． B． C． D．
7．一个木质三角形框架模型的三边长分别为5厘米、6厘米、10厘米，木工要以一根长为30厘米的木条为一边，做一个与模型三角形相似的三角形，那么另两条边的木条长度不符合条件的是（ ）
A．15厘米、18厘米 B．20厘米、24厘米
C．25厘米、50厘米 D．36厘米、60厘米
8．图中三角形相似的是（ ）
A．（1）和（2） B．（1）和（3） C．（2）和（3） D．（3）和（4）
9．如图是一个正方形网络，里面有许多三角形．在下面所列出的各三角形中，与不相似的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，当的值为多少时，（　　）
A．20 B．27 C．36 D．45
利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似
11．如图，在中，，，分别是边，，上的点，且，，，则图中的相似三角形有（ ）
A．3组 B．2组 C．1组 D．0组
12．如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（　　）
A． B．
C． D．
13．如图，下列图中小正方形的边长为1，阴影三角形的顶点均在格点上，与相似的是（　　）
A． B．
C． D．
14．如图，已知，点在上，添加下列条件后，仍无法判定与相似的是（ ）
A． B．
C． D．
15．下列说法正确的是（ ）
A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
B．有一组邻边相等且对角线互相垂直的平行四边形是正方形
C．两条边对应成比例且有一个内角相等的两个三角形相似
D．对角线相等的四边形是矩形
相似三角形的判定综合
16．如图，已知点D，E，F分别是三边的中点，求证：．
17．如下图．
(1)判断与是否相似，并说明理由．
(2)若，求的度数．
18．如图，四个乡镇A，B，C，D之间建有公路，已知，．试判断AB与CD的位置关系，并说明理由．
19．如图，在四边形中，，E为边上一点，请用尺规作图法，在边上找一点F，使得与相似．（作出符合题意的一个点F即可，保留作图痕迹，不写作法）
20．将两块等腰直角三角板如图摆放在同一个平面内，请直接写出三对相似三角形，并且用“”连接．

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