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25.6相似三角形的应用
（30分提至70分使用）
1. 利用相似三角形测量高度
原理：通过构造与被测物体及其影子（或其他参照线）组成的三角形相似的小三角形，利用相似三角形对应边成比例的性质求解物体高度。
基本模型：若物体高度为 ( h )，其影长为 ( L )；参照物高度为，其影长为，且两三角形相似，则，即。
2. 利用相似三角形测量距离
原理：对于无法直接测量的两点间距离（如河宽、障碍物两侧距离等），通过构造相似三角形，将未知距离转化为可测量的对应线段长度之比。
常见方法：
利用“母子三角形”相似：如从观测点作垂线或视线，形成包含未知距离的三角形与已知小三角形相似。
利用平行投影：通过调整观测位置，使目标点、参照物与观测点连线构成相似三角形，满足。
3. 相似三角形在几何证明与计算中的应用
证明线段成比例：若需证明，可通过证明包含这些线段的两个三角形相似，利用相似三角形对应边成比例得出结论。
计算线段长度：已知某三角形与另一已知边长的三角形相似，且已知相似比 ( k )，则未知线段长 = 对应已知线段长。
解决动态几何问题：在图形运动（如点移动、图形旋转）过程中，若能确定相似关系不变，可利用相似比建立方程求解变量。
4. 相似三角形的实际应用步骤
确定目标：明确需测量的未知量（高度、距离等）。
构造模型：画出示意图，确定包含未知量的三角形和可测量的参照三角形，确保两三角形相似（如通过两角对应相等判定）。
测量数据：测量参照三角形的已知边长及对应相似三角形的可测边长。
列比例式计算：根据相似三角形对应边成比例列出方程，代入数据求解未知量。
检验结果：验证计算结果的合理性（如单位统一、误差是否在允许范围内）。
一、单选题
1．凸透镜成像的原理如图所示，．若焦点到物体的距离与到凸透镜的中心的距离之比为．物体，则其像的长为（ ）

A． B． C． D．
2．如图，小明用两根长度相同的小木棍，自制了一个“形”测量工具，与交于点，．现将其放进一个锥形瓶内，测得，则该锥形瓶底部点，之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．小亮在测量一根电线杆的高度时，制定了如下的测量方案：如图，先在地面的适当位置处平放一面镜子，然后沿着电线杆的底部与镜子所在的直线向后退，退到在镜子中刚好能看到电线杆的顶端为止．此时，测得小亮眼睛到地面的距离，小亮到处的距离，电线杆底部到的距离．电线杆的高度的值为（ ）
A． B． C． D．
4．我国古代数学著作《九章算术》中的“井深”问题：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”，它的题意是：如图尺，尺，问井深是（ ）
A．尺 B．尺 C．尺 D．尺
5．如图，为测量学校旗杆高度，小明同学在地面水平放置一平面镜，他站在能刚好从镜子中看到旗杆的顶端的地方．已知小明的眼睛离地面高度为，量得小明与镜子的水平距离为，小明与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 ．
7．如图，小树在路灯的照射下形成投影，若树高，树影，树与路灯的水平距离，则路灯的高度为 m．
8．如图，已知灯杆的高度，在灯光下，某学生从灯杆底部处沿直线前进到达点时，测得他的影长．则该同学的身高为 m．
9．投影仪是通过投影技术将图像或视频投射到屏幕或墙面的设备，如图，已知投影片上的物体长，屏幕上该物体的像长，已知投影片到镜头的距离为，则屏幕到镜头的距离为 ．
10．中国古代在利用“计里画方”（比例缩放和直角坐标网格体系）的方法制作地图时，会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距离的示意图中，记照板“内芯”的高度为，观测者的眼睛（图中用点表示）与在同一水平线上．若经测量得到数据，，则测杆上的长是 cm．
三、解答题
11．某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实际活动，如图，他们在旗杆底部所在的平地上放置一个平面镜来测量学校旗杆的高度，镜子中心与旗杆的距离米，当镜子中心与测量者的距离米时，测量者刚好从镜子中看到旗杆顶部的端点．已知测量者的身高为米，测量者的眼睛距地面的高度为米．
(1)在计算过程中、之间的距离应是________米；
(2)根据以上测量结果，求出学校旗杆的高度．
12．某中学数学兴趣小组利用周末时间测量樱花树下的石碑与远处一座实验楼之间的距离（石碑与实验楼之间被小樱花树林隔开，不能直接测量），他们采用以下方法：如图，把支架放在石碑旁水平地面上的点处，再把一面平面镜水平放在支架上的点处（平面镜大小忽略不计），然后沿着直线移动至点处，这时恰好在镜子里看到实验楼的顶端的像，已知米，米，实验楼的高度米，观测者的目高米，已知，图中所有的点都在同一平面内，求石碑与实验楼之间的距离．
13．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法，如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端B观察井水岸D．视线与井口的直径交于点E，如果测得米，米，米，求的长．
14．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一条直线上．已知纸板的两条边，，测得，，求树高．

15．如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一直线上，求灯泡到地面的高度是多少？25.6相似三角形的应用
（30分提至70分使用）
1. 利用相似三角形测量高度
原理：通过构造与被测物体及其影子（或其他参照线）组成的三角形相似的小三角形，利用相似三角形对应边成比例的性质求解物体高度。
基本模型：若物体高度为 ( h )，其影长为 ( L )；参照物高度为，其影长为，且两三角形相似，则，即。
2. 利用相似三角形测量距离
原理：对于无法直接测量的两点间距离（如河宽、障碍物两侧距离等），通过构造相似三角形，将未知距离转化为可测量的对应线段长度之比。
常见方法：
利用“母子三角形”相似：如从观测点作垂线或视线，形成包含未知距离的三角形与已知小三角形相似。
利用平行投影：通过调整观测位置，使目标点、参照物与观测点连线构成相似三角形，满足。
3. 相似三角形在几何证明与计算中的应用
证明线段成比例：若需证明，可通过证明包含这些线段的两个三角形相似，利用相似三角形对应边成比例得出结论。
计算线段长度：已知某三角形与另一已知边长的三角形相似，且已知相似比 ( k )，则未知线段长 = 对应已知线段长。
解决动态几何问题：在图形运动（如点移动、图形旋转）过程中，若能确定相似关系不变，可利用相似比建立方程求解变量。
4. 相似三角形的实际应用步骤
确定目标：明确需测量的未知量（高度、距离等）。
构造模型：画出示意图，确定包含未知量的三角形和可测量的参照三角形，确保两三角形相似（如通过两角对应相等判定）。
测量数据：测量参照三角形的已知边长及对应相似三角形的可测边长。
列比例式计算：根据相似三角形对应边成比例列出方程，代入数据求解未知量。
检验结果：验证计算结果的合理性（如单位统一、误差是否在允许范围内）。
一、单选题
1．凸透镜成像的原理如图所示，．若焦点到物体的距离与到凸透镜的中心的距离之比为．物体，则其像的长为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查相似三角形解应用题，熟记相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
根据题意，确定，再判断，进而得到，代值计算即可得到答案．
【详解】解：如图所示：
，
，，
，
，
，
，解得，
故选：C．
2．如图，小明用两根长度相同的小木棍，自制了一个“形”测量工具，与交于点，．现将其放进一个锥形瓶内，测得，则该锥形瓶底部点，之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，证明出，根据相似三角形对应边成比例可得，代数可求的长度．
【详解】解：∵小明用两根长度相同的小木棍，自制了一个“形”测量工具，
∴
∴
，
，
，
又，
，
．
故选：D．
3．小亮在测量一根电线杆的高度时，制定了如下的测量方案：如图，先在地面的适当位置处平放一面镜子，然后沿着电线杆的底部与镜子所在的直线向后退，退到在镜子中刚好能看到电线杆的顶端为止．此时，测得小亮眼睛到地面的距离，小亮到处的距离，电线杆底部到的距离．电线杆的高度的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了相似三角形的实际应用，熟练掌握相似三角形的判定是解决本题的关键．根据与可判断，再根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：由题意得，，
，
，
∵，，，
，
．
故选：A．
4．我国古代数学著作《九章算术》中的“井深”问题：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”，它的题意是：如图尺，尺，问井深是（ ）
A．尺 B．尺 C．尺 D．尺
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的应用，由求出，进而即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
即，
∴尺，
∴（尺），
故选：．
5．如图，为测量学校旗杆高度，小明同学在地面水平放置一平面镜，他站在能刚好从镜子中看到旗杆的顶端的地方．已知小明的眼睛离地面高度为，量得小明与镜子的水平距离为，小明与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据镜面反射性质，可求出，再利用垂直的性质求，得出，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相似三角形的性质．
【详解】解：如图，由题意得，，，，
根据镜面反射可知：，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
故选：A．
二、填空题
6．如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查相似三角形的判定及性质，根据题意可构造简图，利用相似三角形的判定及性质即可求得答案．
【详解】根据题意，可得简图如下，可知，，，，求的长度．
∵，，
∴，．
∴ ．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
故答案为：
7．如图，小树在路灯的照射下形成投影，若树高，树影，树与路灯的水平距离，则路灯的高度为 m．
【答案】9
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质．
根据题意得出相等角，判定出，得出对应边成比例，然后代数求解即可．
【详解】解：根据题意得，，
∴，
又∵，
∴，
∴
∴，
故答案为：9．
8．如图，已知灯杆的高度，在灯光下，某学生从灯杆底部处沿直线前进到达点时，测得他的影长．则该同学的身高为 m．
【答案】
【分析】本题考查相似三角形的应用，证明，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算得到答案．掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
由题意得：，，
∴，，
∴，
∴，即，
解得：，
即该同学的身高为．
故答案为：．
9．投影仪是通过投影技术将图像或视频投射到屏幕或墙面的设备，如图，已知投影片上的物体长，屏幕上该物体的像长，已知投影片到镜头的距离为，则屏幕到镜头的距离为 ．
【答案】1.5
【分析】此题考查了相似三角形的应用，根据题意得到，，，，证明出，得到，然后代数求解即可．
【详解】设点O为镜头，
根据题意得，，，，
∴
∴，即
∴
∴屏幕到镜头的距离为．
故答案为：．
10．中国古代在利用“计里画方”（比例缩放和直角坐标网格体系）的方法制作地图时，会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距离的示意图中，记照板“内芯”的高度为，观测者的眼睛（图中用点表示）与在同一水平线上．若经测量得到数据，，则测杆上的长是 cm．
【答案】28
【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，则有，然后问题可求解．
【详解】解：由题意可知：，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴；
故答案为28．
三、解答题
11．某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实际活动，如图，他们在旗杆底部所在的平地上放置一个平面镜来测量学校旗杆的高度，镜子中心与旗杆的距离米，当镜子中心与测量者的距离米时，测量者刚好从镜子中看到旗杆顶部的端点．已知测量者的身高为米，测量者的眼睛距地面的高度为米．
(1)在计算过程中、之间的距离应是________米；
(2)根据以上测量结果，求出学校旗杆的高度．
【答案】(1)
(2)米
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定；
（1）、之间的距离应是测量者的眼睛距地面的高度
（2）证，得，即可求解；
【详解】（1）解：∵测量者的眼睛距地面的高度为米．
∴、之间的距离应是米．
（2）解：由题意得：，
∴，
∴，即，解得；
∴学校旗杆的高度为米；
12．某中学数学兴趣小组利用周末时间测量樱花树下的石碑与远处一座实验楼之间的距离（石碑与实验楼之间被小樱花树林隔开，不能直接测量），他们采用以下方法：如图，把支架放在石碑旁水平地面上的点处，再把一面平面镜水平放在支架上的点处（平面镜大小忽略不计），然后沿着直线移动至点处，这时恰好在镜子里看到实验楼的顶端的像，已知米，米，实验楼的高度米，观测者的目高米，已知，图中所有的点都在同一平面内，求石碑与实验楼之间的距离．
【答案】6米
【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是关键．
过点作交于点，交于点H，求出米，证明，，即可得到答案．
【详解】解： 过点作交于点，交于点，如图，
∵，
∴米，米，，
∴（米），
（米），
根据题意，得，
∴，
∴，即，解得（米），
∴米，
∴石碑与实验楼之间的距离为6米．
13．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法，如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端B观察井水岸D．视线与井口的直径交于点E，如果测得米，米，米，求的长．
【答案】6
【分析】本题考查了相似三角形的应用，由题意知：，得出对应边成比例即可得出．
【详解】解：由题意知：，
∴，
∴，
∴，
∴，
经检验，是所列方程的解．
14．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一条直线上．已知纸板的两条边，，测得，，求树高．

【答案】
【分析】本题考查相似三角形的应用．利用勾股定理求出的长，根据，求出的长，线段的和差关系求出的长即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴，
∴．
答：树高的长为．
15．如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一直线上，求灯泡到地面的高度是多少？
【答案】
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键．先证明得到，然后代值可得，则，再证明得到，代值计算出即可．
【详解】解：由题意可得：，
∴，
∴
∴，
∴，
即，
解得：，
∴，
∵光在镜面反射中的入射角等于反射角，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即，
解得：

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