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26.1锐角三角函数
（30分提至70分使用）
锐角三角函数的定义
在直角三角形(ABC)中，，为任一锐角，则：
正弦（）：
余弦（）：
正切（）：
锐角三角函数的取值范围
对于锐角(A)（）：
求角的正弦值
1．在中，，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，．，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．在中，若各边长都扩大5倍，则的值（ ）
A．变大 B．变小 C．不变 D．不能确定
4．如图，在中，若，则下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，将放在边长均为的正方形网格中，点，，均在格点上，则的值是（ ）
A． B． C． D．
已知正弦值求边长
6．在中，，， ，则边的长为（ ）
A．5 B．12 C． D．25
7．如图是一个办公室脚踏板的实物图，已知脚踏板的上表面与地面的夹角为，则穿37码平底鞋的脚踩在上面时，脚尖与脚后跟的高度差为（ ）
尺码 34 35 36 37 38 39 40
脚长/ 220 225 230 235 240 245 250
A． B．
C． D．
8．要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足，如果现在想要安全地攀上高的墙，那么使用的梯子最短约为（ ）．（结果精确到）
A．4.9 B．5.2 C．6.5 D．19.2
9．如图，在中，，，则（ ）
A．4 B．3 C．5 D．2
10．在中，斜边的长为，，则直角边的长是（ ）
A． B． C． D．
求角的余弦值
11．的三边长分别为3，2，，则中最小角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在中，，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
13．如图，在中，三边，，满足，则等于（ ）
A． B． C． D．
14．已知中，，，，那么下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
15．如图，在中，，于点，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
已知余弦值求边长
16．如图所示，有一台笔记本电脑，屏幕与键盘所成夹角为，若屏幕的长度为，则上方边界C处到桌面的距离为（　　）
A． B． C． D．
17．如图，中，，点在上，若，，则的长度为（　　）
A． B． C． D．
18．在中，，如果，，那么的长为（　　）
A． B． C．8 D．10
19．如图，在中，，则的长为（　　）
A． B．5 C．4 D．
20．如图所示，电线杆的高度为5米，两根拉线与交于点在同一条直线上，，则拉线的长度为（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
求角的正切值
21．如图，在中，．则的值为（ ） .
A． B． C． D．
22．如图，网格中的小正方形边长均为1，点A，B，C都在格点上，则（ ）
A． B． C． D．
23．在中，，如果把的各边的长都扩大为原来的3倍，那么的正切值（ ）
A．扩大为原来的3倍 B．扩大为原来的9倍
C．没有变化 D．缩小为原来的
24．如图，6个全等的小正方形放置在中，则的值是（ ）
A．2 B． C．3 D．
25．如图，在的正方形网格中，小正方形的边长均为的顶点均为格点，则的正切值为（ ）
A． B． C． D．4
已知正切值求边长
26．在中，，，，则BC的长为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
27．如图，在中，若，，，则的值估计在（ ）
A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间
28．如图，在中，，平分，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作直线交于点．连接，则的长为（ ）
A． B．6 C． D．
29．如图为一节楼梯的示意图，，，米，现要在楼梯上铺一块地毯，楼梯宽度为1米．则地毯的面积至少需要（ ）平方米
A． B． C． D．
30．如图，点在第一象限，与x轴所夹锐角为，，则t的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．26.1锐角三角函数
（30分提至70分使用）
锐角三角函数的定义
在直角三角形(ABC)中，，为任一锐角，则：
正弦（）：
余弦（）：
正切（）：
锐角三角函数的取值范围
对于锐角(A)（）：
求角的正弦值
1．在中，，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理， 在直角中，根据勾股定理可以求出的长，再根据三角函数的定义就可以求出函数值．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
∴．
故选：B．
2．如图，在中，．，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据勾股定理，得，结合定义解答即可．
本题考查了勾股定理，正弦函数，熟练掌握定理和定义是解题的关键．
【详解】解：在中，．，
根据勾股定理，得，
故．
故选：B．
3．在中，若各边长都扩大5倍，则的值（ ）
A．变大 B．变小 C．不变 D．不能确定
【答案】C
【分析】本题考查了三角函数，三角函数值只与角的大小有关，与边长无关．当各边长等比例扩大时，角的大小不变，因此的值不变．
【详解】解：根据锐角三角函数的定义，知若各边长都扩大5倍，则的大小没有变化，所以的值不变．
故选：C．
4．如图，在中，若，则下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了直角三角形的三角函数定义，解题的关键是明确正弦、余弦、正切的对边、邻边与斜边的对应关系；根据三角函数定义逐一判断各选项的表达式是否正确．
【详解】解：在中，，则
A、，此选项不符合题意；
B、，此选项不符合题意；
C、，此选项符合题意；
D、，此选项不符合题意．
故选：C．
5．如图，将放在边长均为的正方形网格中，点，，均在格点上，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的知识点是勾股定理、锐角三角函数的定义，解题关键是熟练掌握锐角三角函数的定义．
取格点，求出后，在中，根据正弦定义即可求解．
【详解】解：如图，取格点，
由网格可知，，
在中，．
故选：．
已知正弦值求边长
6．在中，，， ，则边的长为（ ）
A．5 B．12 C． D．25
【答案】A
【分析】本题考查了正弦定义和勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
先根据，,得，则，再把数值代入，进行计算，即可作答．
【详解】∵在中，，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
解得（负值已舍去），
故选：A．
7．如图是一个办公室脚踏板的实物图，已知脚踏板的上表面与地面的夹角为，则穿37码平底鞋的脚踩在上面时，脚尖与脚后跟的高度差为（ ）
尺码 34 35 36 37 38 39 40
脚长/ 220 225 230 235 240 245 250
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据正弦函数解答即可．
本题考查了正弦函数的应用，熟练掌握正弦函数是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得37码平底鞋的脚踩在上面时，脚长，
故脚尖与脚后跟的高度差为，
故选：C．
8．要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足，如果现在想要安全地攀上高的墙，那么使用的梯子最短约为（ ）．（结果精确到）
A．4.9 B．5.2 C．6.5 D．19.2
【答案】B
【分析】本题主要考查了正弦的定义，设梯子的长度为L，根据正弦的定义得出，即可得出当时，L取得最小值，代入数值计算即可得出答案．
【详解】解：设梯子的长度为L，
根据正弦的定义得出：，
随着α的增大，增大，L减小，
故当时，L取得最小值为：，
故选：B
9．如图，在中，，，则（ ）
A．4 B．3 C．5 D．2
【答案】C
【分析】此题考查了锐角三角函数，关键是掌握锐角函数的定义．根据正弦的定义求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴．
故选：C．
10．在中，斜边的长为，，则直角边的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了锐角三角函数，根据正弦的定义解答即可求解，掌握正弦的定义是解题的关键．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
故选：．
求角的余弦值
11．的三边长分别为3，2，，则中最小角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理和余弦定义，利用勾股定理判定出三角形是直角三角形，然后再利用余弦定义进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴是直角三角形，
∴最小角的余弦值是：，
故选：C．
12．如图，在中，，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，理解正弦与余弦的含义是关键；由题意得，由，设，则由勾股定理得，由余弦函数的定义即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
设（其中x为正数），
则由勾股定理得，
∴，
故选：C．
13．如图，在中，三边，，满足，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角函数．
先判断三角形的形状，再根据，求解即可．
【详解】解：∵，
令，
，
，
∴是直角三角形，
，
故选：C．
14．已知中，，，，那么下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查锐角三角函数、勾股定理，熟知锐角三角函数的定义是解答的关键．根据勾股定理求得，再根据锐角三角函数的定义逐一判断选项．
【详解】解：如图，
∵中，，，，
∴ ．
对于A：，错误，不符合题意；
对于B：，错误，不符合题意；
对于C：，错误，不符合题意；
对于D：，正确，符合题意．
故选：D．
15．如图，在中，，于点，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理，锐角三角函数．先由勾股定理求出的长，再由，可得的长，即可求解．
【详解】解：在中，，，，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：，
∴．
故选：B
已知余弦值求边长
16．如图所示，有一台笔记本电脑，屏幕与键盘所成夹角为，若屏幕的长度为，则上方边界C处到桌面的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了解直角三角形，三角形外角的性质，根据三角形外角的性质求出的度数，根据余弦的定义可得，据此求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：B．
17．如图，中，，点在上，若，，则的长度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股定理，余弦，相似三角形的性质和判定，
根据余弦求出，再根据勾股定理求出，然后说明，最后根据相似三角形的对应边成比例得出答案.
【详解】解：，，，
，
，
，
，
，
，
.
故选：B．
18．在中，，如果，，那么的长为（　　）
A． B． C．8 D．10
【答案】D
【分析】本题考查余弦定义，根据余弦定义求解即可．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，即，
解得，
故选：D．
19．如图，在中，，则的长为（　　）
A． B．5 C．4 D．
【答案】C
【分析】本题考查了根据三角函数求线段长.
根据，可得，再把的长代入可以计算出的长．
【详解】解：，
，
，
，
故选：C．
20．如图所示，电线杆的高度为5米，两根拉线与交于点在同一条直线上，，则拉线的长度为（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】C
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数定义成为解题的关键．根据锐角三角函数的定义解直角三角形即可解答．
【详解】解：由题意可知，，，，
∴，即，
解得：米．
故选：C．
求角的正切值
21．如图，在中，．则的值为（ ） .
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了锐角三角函数的概念，在直角三角形中，锐角的正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；锐角的正切等于对边比邻边．
根据锐角的正切等于对边比邻边解答即可．
【详解】解：在中，，则．
故选：C．
22．如图，网格中的小正方形边长均为1，点A，B，C都在格点上，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查三角函数及勾股定理，熟练掌握三角函数及勾股定理是解题的关键；过点A作于点D，然后根据勾股定理可得，进而根据正切的定义可进行求解．
【详解】解：过点A作于点D，如图所示：
由图可知：，
∴，
故选A．
23．在中，，如果把的各边的长都扩大为原来的3倍，那么的正切值（ ）
A．扩大为原来的3倍 B．扩大为原来的9倍
C．没有变化 D．缩小为原来的
【答案】C
【分析】本题考查了求角的正切值，正切值是角度的函数，只与角的大小有关，与三角形的边长无关；当各边等比例变化时，角度不变，正切值不变；
【详解】解：由题意得：∠A的对边和邻边都扩大为原来的3倍，
∴，
∴的正切值没有变化；
故选：C
24．如图，6个全等的小正方形放置在中，则的值是（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】A
【分析】本题考查正切定义，根据题意得到，，，进而利用正切定义求解即可．
【详解】解：如图，
根据题意，，，，
∴．
故选：A．
25．如图，在的正方形网格中，小正方形的边长均为的顶点均为格点，则的正切值为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】D
【分析】本题考查网格中求角的三角函数值，根据网格特点，结合正切值的定义进行求解即可．
【详解】解：由图可知：，
∴；
故选D．
已知正切值求边长
26．在中，，，，则BC的长为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】A
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握相关概念是解题关键．
利用锐角三角函数求解．
【详解】解：在中，，
∵，
∴．
故选：A．
27．如图，在中，若，，，则的值估计在（ ）
A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间
【答案】B
【分析】本题主要考查了解直角三角形，无理数的估算，根据正切的定义得到，则，再根据无理数的估算方法求出的范围即可得到答案．
【详解】解：∵在中，若，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的值估计在4到5之间，
故选：B．
28．如图，在中，，平分，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作直线交于点．连接，则的长为（ ）
A． B．6 C． D．
【答案】D
【分析】利用直角三角形的性质，特殊角的三角函数，勾股定理，线段垂直平分线的基本作图，角的平分线的意义解答即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
根据基本作图，得垂直平分线段，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，特殊角的三角函数，勾股定理，线段垂直平分线的基本作图，角的平分线的意义，熟练掌握性质是解题的关键．
29．如图为一节楼梯的示意图，，，米，现要在楼梯上铺一块地毯，楼梯宽度为1米．则地毯的面积至少需要（ ）平方米
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先解直角三角形求出的长，从而可得地毯的长度，再根据矩形的面积公式即可得．
本题考查了解直角三角形，熟练掌握正切三角函数的定义是解题关键．
【详解】解：由题意，在中，，
故地毯的长度为，
故地毯的面积至少需要（平方米），
故选：A．
30．如图，点在第一象限，与x轴所夹锐角为，，则t的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了解直角三角形， 坐标与图形，过点A作轴于D，则，再解得到，即．
【详解】解：如图所示，过点A作轴于D，
∵点在第一象限，
∴，
∵与x轴所夹锐角为，，
∴，
∴，即，
故选：C．

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