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26.2锐角三角函数
（30分提至70分使用）
锐角三角函数值的计算依据
定义法：对于直角三角形，，为锐角，其对边为 (a)，邻边为 (b)，斜边为 (c)，则：
特殊角的三角函数值：
：，，
：，，
：，，
特殊三角形的三角函数
1．若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
2．已知为锐角，则的值为（）
A． B． C． D．
3．下列四个数中，无理数是（ ）
A． B． C． D．
4．计算：（　　）
A． B．1 C． D．
5．中，，，则的值（ ）
A． B． C． D．
根据函数值求角的度数
6．如图，在中，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．若，则锐角的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．在中，，那么的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．若，则锐角的度数是（ ）
A． B． C． D．
10．在中，，且为锐角，则是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
已知角度比较三角函数值的大小
11．三角函数、、之间的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知是锐角，且，下列各值中，与最接近的是（　　）
A． B． C． D．
13．最接近下列哪个数值（　　）
A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8
14．比较和的大小（ ）
A． B． C． D．不确定
15．若，则的正切值h的范围是（ ）
A． B． C． D．
根据函数值判断锐角取值范围
16．已知，则锐角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
17．若，则的度数在那个范围（ ）
A． B． C． D．
18．若是锐角，且，则（ ）
A． B．
C． D．
19．若，则锐角满足（　　）
A． B．
C． D．
20．若，可能是（ ）
A． B． C． D．
三角函数值混合运算
21．计算：
22．计算：．
23．计算：．
24．计算：
(1)
(2)
25．计算：．
三角函数综合
26．如图，平面直角坐标系中，四边形为矩形，点、的坐标为、，动点、分别从、同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，其中点沿向终点运动，点沿向终点运动，过点作，交于点，连接，已知动点运动了秒．
(1)______；______；（用含的代数式表示）
(2)用含的代数式表示点的坐标．
(3)是否存在的值，使以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
27．如图，在中，，，，求BC的长和tanB的值．
28．如图，在梯形ABCD中，，，，对角线AC与BD交于点E．点F是线段EC上一点，且．
(1)求证：；
(2)如果，，求FC的长．
29．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，．
求：（1）AC的值
（2）sinC的值．
30．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E是BC的中点，AD⊥BC，垂足为点D，已知AB=20，；求：（1）求线段AE的长；（2）求cos∠DAE的值．26.2锐角三角函数
（30分提至70分使用）
锐角三角函数值的计算依据
定义法：对于直角三角形，，为锐角，其对边为 (a)，邻边为 (b)，斜边为 (c)，则：
特殊角的三角函数值：
：，，
：，，
：，，
特殊三角形的三角函数
1．若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】本题考查特殊角三角函数的计算，熟练掌握特殊角三角函数的值是解题的关键，利用特殊角三角函数的值可得到，从而得到，即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
2．已知为锐角，则的值为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据，得，求出，即得解．
【详解】解：∵，且，
∴．
∴．
∴．
故选：C．
3．下列四个数中，无理数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了无理数的概念、特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握无理数的概念．先化简各数，根据无限不循环小数为无理数逐项分析即可．
【详解】解：A、是有限的小数，不是无理数，故A不符合题意；
B、是整数，不是无理数，故B不符合题意；
C、是无理数，故C符合题意；
D、为整数，不是无理数，故D不符合题意；
故选：C．
4．计算：（　　）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值，实数的运算，正确记忆相关数据是解题关键．
直接利用特殊角的三角函数值代入，进而计算得出答案．
【详解】解：依题意，，
∴．
故选：C．
5．中，，，则的值（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查三角函数，三角形内角和定理，先设的度数为x，则的度数为，根据题意得出，求出，，进而可求出答案．
【详解】解：设的度数为x，则的度数为，
所以，
解得，
所以，，
所以．
故选：C．
根据函数值求角的度数
6．如图，在中，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查根据特殊角的三角函数值求角的度数，三角形的内角和定理，根据特殊角的三角函数值，求出的度数，再根据三角形的内角和定理求出的度数，即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴；
故选B．
7．若，则锐角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值．
通过解方程，利用特殊角的三角函数值 ，求出 的度数．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
又 ∵ ，且 为锐角，
∴ ，
∴ ．
故选：A．
8．在中，，那么的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了根据特殊角三角函数值求角的度数，结合已知边和的长度，计算的值，再根据特殊角的三角函数值确定的度数，即可作答．
【详解】解：∵在中，，
∴为斜边，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
9．若，则锐角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了根据特殊角的三角函数值求角的度数，根据题意可得，则，据此求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，且为锐角，
∴，
∴，
故选：A．
10．在中，，且为锐角，则是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【答案】A
【分析】本题考查了根据特殊角的三角函数值求角度以及三角形的分类，熟练掌握相关知识是解题的关键；根据特殊角的三角函数值求出，从而可判断三角形的形状．
【详解】解：∵，
∴，
∴是等腰三角形，
故选：A．
已知角度比较三角函数值的大小
11．三角函数、、之间的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了锐角三角函数的特点．根据三角函数之间的关系，得出，再根据余弦值随着角度的增大而减小进行判断即可．
【详解】解：∵，
又，余弦值随着角度的增大而减小，
∴，故C正确．
故选：C．
12．已知是锐角，且，下列各值中，与最接近的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查锐角三角函数，熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键．首先明确，再根据余弦值是随着角的增大而减小进行分析．
【详解】解：解：∵较接近1，，
又余弦值是随着角的增大而减小，
故越接近的值才对．
故选：C．
13．最接近下列哪个数值（　　）
A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8
【答案】C
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值．先得到，，据此即可估算得到的值．
【详解】解：∵，，
观察四个选项，最接近，
故选：C．
14．比较和的大小（ ）
A． B． C． D．不确定
【答案】A
【分析】本题考查了锐角三角函数的增减性，将余弦转化为正弦是解题的关键．
将余弦转化为正弦，根据正弦的锐角三角函数的增减性比较大小即可．
【详解】解：∵，正弦的锐角三角函数值随角度的增大而增大，
∴，
∴．
故选：A．
15．若，则的正切值h的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义：正确理解正切的定义和记住特殊角的三角函数值是解决问题的关键．
利用锐角正切随角度的增大而增大得到，然后根据特殊角的三角函数值对各选项进行判断．
【详解】解：，
，
即
故选：D．
根据函数值判断锐角取值范围
16．已知，则锐角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用特殊角的三角函数值，解决问题即可．
本题考查锐角三角函数的增减性，解题的关键是记住特殊角的三角函数值，属于中考常考题型．
【详解】解：，，，
，
故选：B．
17．若，则的度数在那个范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了正弦函数的性质，由，随着的增大而增大，即可求解．
【详解】解：在，随着的增大而增大，，，
，
，
故选：B．
18．若是锐角，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了锐角三角函数的增减性，锐角的正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），正确理解锐角正弦值的增减性是解题的关键．根据正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），及、、的正弦值可求解．
【详解】解：是锐角，且，
，
故选：A．
19．若，则锐角满足（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了锐角三角函数的增减性，关键是熟练掌握当角度在间变化，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．
根据余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大），判定即可．
【详解】解：，，
，
，
故选：B．
20．若，可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题的关键．
直接利用特殊角的三角函数值即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，
∴可能是．
故选：D．
三角函数值混合运算
21．计算：
【答案】5
【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，先化简负整数指数幂，零次幂，特殊角的三角函数值，以及运用二次根式的性质化简，再运算乘法，最后运算加减法，即可作答．
【详解】解：
．
22．计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查了特殊三角函数值的混合运算，先把特殊角的函数值代入，然后进行计算即可．
【详解】解：
23．计算：．
【答案】
【分析】此题考查了二次根式的混合运算和特殊的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
根据二次根式的混合运算法则求解即可．
【详解】解：
．
24．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)1
(2)
【分析】本题主要考查特殊三角函数值及二次根式的运算，熟练掌握特殊三角函数值是解题的关键；
（1）根据特殊三角函数值可进行求解；
（2）根据零次幂及二次根式的运算可进行求解．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式．
25．计算：．
【答案】
【分析】本题考查了三角函数的混合运算．
先计算三角函数值，再计算乘法，最后计算减法即可．
【详解】解：原式
．
三角函数综合
26．如图，平面直角坐标系中，四边形为矩形，点、的坐标为、，动点、分别从、同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，其中点沿向终点运动，点沿向终点运动，过点作，交于点，连接，已知动点运动了秒．
(1)______；______；（用含的代数式表示）
(2)用含的代数式表示点的坐标．
(3)是否存在的值，使以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)存在，或见解析
【分析】（1）由点、的坐标为、，动点、分别从、同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，得，，得到
，，解答即可．
（2）延长交于点G，利用矩形的判定和性质，结合三角函数得，根据点的坐标的意义，描述即可．
（3）分和两种情况解答即可．
【详解】（1）解：∵点、的坐标为、，动点、分别从、同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，
∴，，，
∴，
故答案为：，．
（2）解：延长交于点G，
∵矩形，，
∴，
∴矩形，矩形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点．
（3）解：存在，理由如下：
根据问2证明，得，，
∴，
当时，得，
∴，
解得；
当时，得，
∴，
解得；
综上所述，当或时，结论成立．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，三角函数的应用，三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角函数，三角形相似是解题的关键．
27．如图，在中，，，，求BC的长和tanB的值．
【答案】，
【分析】根据直角三角形中，，，得出长，再结合勾股定理求出，进而利用正切函数值定义求出．
【详解】解：在中，，，，
，即；
根据勾股定理可得,
．
【点睛】本题主要考查三角函数值求线段长及求三角函数值，掌握三角函数值的定义，利用勾股定理求线段长是解决问题的关键．
28．如图，在梯形ABCD中，，，，对角线AC与BD交于点E．点F是线段EC上一点，且．
(1)求证：；
(2)如果，，求FC的长．
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】（1）根据，可得△EAD∽△ECB，从而得到，再由，可得△ABE∽△DFE，从而得到 ，进而得到，即可求证；
（2）根据锐角三角函数，可得AC=9，从而得到，再由，可得AD=3，根据，可得 ，再由△EAD∽△ECB，可得 ， ，从而得到EC=6， ，再由，可得EF=4，即可求解．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴△EAD∽△ECB，
∴ ，即，
∵，∠AEB=∠DEF，
∴△ABE∽△DFE，
∴ ，
∴，
∴；
（2）解：∵， ，，
∴ ，即AC=9，
∴ ，
∵，
∴AD=3，
∵，
∴∠BAD=90°，
∴ ，
∵△EAD∽△ECB，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，，
∴EC=6， ，
∵，
∴ ，
∴EF=4，
∴FC=EC-EF=6-4=2．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，锐角三角函数，勾股定理等知识，根据题意，准确得到相似三角形是解题的关键．
29．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，．
求：（1）AC的值
（2）sinC的值．
【答案】（1）13；（2）
【分析】（1）首先根据的三角函数求出BD的长度，然后得出CD的长度，根据勾股定理求出AC的长度；
（2）由，代值计算即可．
【详解】（1）在中，，
∴，
∴，
∴；
（2）在中，．
【点睛】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系是解题的关键．
30．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E是BC的中点，AD⊥BC，垂足为点D，已知AB=20，；求：（1）求线段AE的长；（2）求cos∠DAE的值．
【答案】（1）12.5；（2）
【分析】（1）根据锐角三角函数，可得，再由直角三角形的性质，即可求解；
（2）根据直角三角形的面积，可得，再由锐角三角函数，即可求解．
【详解】解：（1），
，
，
，
，点E是BC的中点，
；
（2）， ，
∴ ，
∵，， AB=20，
∴，
．
【点睛】本题主要考查了锐角三角函数，直角三角形的性质，熟练掌握锐角三角函数，直角三角形的性质是解题的关键．

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