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26.3解直角三角形
（30分提至70分使用）
一、解直角三角形的概念
在直角三角形中，除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形。
二、直角三角形中的边角关系
在中，，a、b、c分别是、、的对边。
三边之间的关系（勾股定理）：
两锐角之间的关系：
边角之间的关系（锐角三角函数）：
，
，
，
三、解直角三角形的基本类型与解法
已知两边：
已知两直角边(a、b)：
由，求出；
；
由勾股定理求出斜边c。
已知一直角边和斜边（如a、c）：
由，求出；
；
由勾股定理或求出另一直角边b。
已知一边和一锐角：
已知一直角边和一锐角（如a、）：
；
由，得；
由，得。
已知斜边和一锐角（如c、）：
；
由，得；
由，得。
解直角三角形的相关计算
1．在中，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．在中，，设，，所对的边分别为a，b，c，则（ ）
A． B． C． D．
3．如图，某兴趣小组测量小河两岸两点间的距离，在河的一岸与垂直的方向上取一点，测得，则河岸的长表示为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，的三个顶点分别在正方形网格的格点上，则下列三角函数值错误的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，某停车场入口的栏杆从水平位置绕点旋转到的位置．已知米，栏杆的旋转角，则旋转后点到点的水平距离为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
解非直角三角形
6．如图，在中，，，，则点到的距离是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，，，则的长为（ ）

A． B． C．4 D．5
8．如图，以的顶点O为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若，，，，则点A的坐标是（　　）
A．（，） B．（，）
C．（，） D．（，）
9．在锐角中，是高，如果，，那么的长为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为（ ）
A． B．12 C． D．6
构造直角三角形求不规则图形的边长或面积
11．如图，，，底边BC上的高为，底边QR上的高为，则有（ ）
A． B． C． D．以上都有可能
12．如图，某水库大坝的横断面是梯形，坝高，斜坡的坡比为，则斜坡（ ）
A．13m B．8m C．18m D．12m
13．利用计算机可以辅助数学学习，如图是小明利用几何画板软件，绘制的他家（点）到两个景点，的示意图，景点位于他家的东南（即南偏东）方向，景点位于他家的正南方向，并测得，，则景点位于景点的（ ）
A．南偏东方向 B．北偏东方向 C．北偏东方向 D．南偏东方向
14．如图1是一个小区入口的双翼闸机，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为8cm（如图2），双翼的边缘AC＝BD＝60cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（　　）
A．608 B．608 C．64 D．68
15．如图是重庆轻轨10号线龙头寺公园站入口扶梯建设示意图．起初工程师计划修建一段坡度为3:2的扶梯，扶梯总长为米．但这样坡度大陡，扶梯太长容易引发安全事故．工程师修改方案：修建、两段扶梯，并减缓各扶梯的坡度，其中扶梯和平台形成的为135°，从点看点的仰角为36.5°，段扶梯长米，则段扶梯长度约为（ ）米（参考数据：，，）
A．43 B．45 C．47 D．4926.3解直角三角形
（30分提至70分使用）
一、解直角三角形的概念
在直角三角形中，除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形。
二、直角三角形中的边角关系
在中，，a、b、c分别是、、的对边。
三边之间的关系（勾股定理）：
两锐角之间的关系：
边角之间的关系（锐角三角函数）：
，
，
，
三、解直角三角形的基本类型与解法
已知两边：
已知两直角边(a、b)：
由，求出；
；
由勾股定理求出斜边c。
已知一直角边和斜边（如a、c）：
由，求出；
；
由勾股定理或求出另一直角边b。
已知一边和一锐角：
已知一直角边和一锐角（如a、）：
；
由，得；
由，得。
已知斜边和一锐角（如c、）：
；
由，得；
由，得。
解直角三角形的相关计算
1．在中，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查直角三角形的边角关系，正确选择正弦函数是解题关键．在中，利用的正弦函数定义直接求解．
【详解】解：如图，在中，，
，
．
故选：B．
2．在中，，设，，所对的边分别为a，b，c，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了解直角三角形的相关计算，解题的关键在于正确掌握正弦、余弦、正切的定义．根据题意画出草图，结合正弦、余弦、正切的定义逐项判断，即可解题．
【详解】解：由题意，可画图如下：
A、，选项结论错误，不符合题意；
B、，选项结论错误，不符合题意；
C、，选项结论错误，不符合题意；
D、，选项结论正确，符合题意；
故选：D．
3．如图，某兴趣小组测量小河两岸两点间的距离，在河的一岸与垂直的方向上取一点，测得，则河岸的长表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，得，变形计算即可．
本题考查了正切函数的应用，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得，
又，
故，
故，
故选：B．
4．如图，的三个顶点分别在正方形网格的格点上，则下列三角函数值错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义及其增减性，计算时要将锐角置于直角三角形中并要充分利用格点．
根据锐角三角函数的定义，将放在直角三角形中，分别计算，可判断A、B、C，再根据锐角正切函数的增减性可判断D．
【详解】解：如图，过点A作于．
在中，，
，
，故A正确，不符合题意；
，故B正确，不符合题意；
，故C正确，不符合题意；
，
，故D错误，符合题意；
故选：D．
5．如图，某停车场入口的栏杆从水平位置绕点旋转到的位置．已知米，栏杆的旋转角，则旋转后点到点的水平距离为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】B
【分析】本题主要考查解直角三角形，旋转的性质 ；根据旋转的性质得到，，得到，即可求出．
【详解】解：根据题意得，，
∵，
∴，
∴米；
故选：B．
解非直角三角形
6．如图，在中，，，，则点到的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了解直角三角形和点到直线的距离，解题的关键是掌握解直角三角形和点到直线的距离定义．
过点A作，通过三角形内角和定理求出的度数，再在直角三角形中利用正弦求出点A到的距离．
【详解】解：过点作，垂足为D，
在中，，
，
在中，，
，
∴点A到的距离为．
故选：A．
7．如图，在中，，，，则的长为（ ）

A． B． C．4 D．5
【答案】D
【分析】作于，根据，，算出和，再根据，算出，最后根据计算即可．
【详解】如下图，作于，

在中，，，
，，
在中，，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了用锐角三角函数解非直角三角形，作垂直构造直角三角形是解题的关键．
8．如图，以的顶点O为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若，，，，则点A的坐标是（　　）
A．（，） B．（，）
C．（，） D．（，）
【答案】B
【分析】过点A作轴，垂足为B，根据正弦和余弦的定义，求出，，从而得到坐标．
【详解】解：如图，过点A作轴，垂足为B，
∴，，
∴，，
∴点A的坐标是（，），
故选B．
【点睛】本题考查了坐标与图形，解直角三角形，解题的关键是根据三角函数的定义求出，的长．
9．在锐角中，是高，如果，，那么的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角函数的定义即可得出，，从而得出即可．
【详解】解：，
在中，，
在中，，
，，
，
，
，
故选：B．

【点睛】本题考查了三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
10．如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为（ ）
A． B．12 C． D．6
【答案】B
【分析】过点作的垂线，垂足分别为，在，中，求得的长，进而证明是等腰三角形，即可求解．
【详解】解：如图，过点作的垂线，垂足分别为，
在中，，
在中，，
∵中，，，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选:B．
【点睛】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质与判定，解决问题的关键是将作辅助线，将斜三角形划分为直角三角形．
构造直角三角形求不规则图形的边长或面积
11．如图，，，底边BC上的高为，底边QR上的高为，则有（ ）
A． B． C． D．以上都有可能
【答案】B
【分析】由已知可知高所对的斜边都为5，由正弦的定义可得到高关于正弦的表达式，比较正弦值即可得到答案．
【详解】解：如图，分别作出两三角形的高
∵
∴
∵
∴
∵
∴
故选：B．
【点睛】本题考查解直角三角形，依题意作高构造直角三角形是解题的关键．
12．如图，某水库大坝的横断面是梯形，坝高，斜坡的坡比为，则斜坡（ ）
A．13m B．8m C．18m D．12m
【答案】A
【分析】根据斜坡BC的坡比为i=5：12和坝高，如图可求出BF的长度，在Rt△BCF中根据勾股定理可求出BC的长度．
【详解】如图，过点C作CF⊥AB，垂足为F．那么，
∵坝高，CF⊥AB，
∴DE=CF=5cm
又斜坡的坡比为
∴BF=12cm，
在RtBCF中
BC=
=
=13cm
【点睛】本题考查的直角三角形坡度的问题.解题的关键是理解坡度的定义．
13．利用计算机可以辅助数学学习，如图是小明利用几何画板软件，绘制的他家（点）到两个景点，的示意图，景点位于他家的东南（即南偏东）方向，景点位于他家的正南方向，并测得，，则景点位于景点的（ ）
A．南偏东方向 B．北偏东方向 C．北偏东方向 D．南偏东方向
【答案】B
【分析】过B作BD⊥AC于D，在Rt△ADB中，，∠DAB=45 利用三角函数求BD=AD=cos∠DAB AB，然后求出CD，再利用三角函数求出∠C=30 ，景点B在景点C的方向就知道了
【详解】过B作BD⊥AC于D，
在Rt△ADB中，，∠DAB=45 ，
∴BD=AD=cos∠DAB AB=，
∵，
∴CD=AC-AD=km，
在Rt△CDB中，
∵BD=1km，CD=km，
∴tan∠C=，
∵tan30 =，
∴∠C=30 ，
景点B在景点C北偏东30 方向，
故选择：B．
【点睛】本题考查利用解直角三角形确定方位角问题，掌握解直角三角形的方法，方位角的表示方法是解题关键．
14．如图1是一个小区入口的双翼闸机，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为8cm（如图2），双翼的边缘AC＝BD＝60cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（　　）
A．608 B．608 C．64 D．68
【答案】D
【分析】过点A作AE⊥PC于点E，过点B作BF⊥QD于点F，在Rt△AEC中，AC＝60cm，∠PCA＝30°，可求AE，由对称性可知：BF＝AE，通过闸机的物体最大宽度为2AE+AB即可．
【详解】过点A作AE⊥PC于点E，过点B作BF⊥QD于点F，
∵AC＝60cm，∠PCA＝30°，∴AEAC＝30（cm），由对称性可知：BF＝AE，
∴通过闸机的物体最大宽度为2AE+AB＝60+8＝68（cm）．
故选择：D．
【点睛】本题考查闸机的最大宽度，关键抓住两翼可以三角形处理，利用30°三角形解决问题．
15．如图是重庆轻轨10号线龙头寺公园站入口扶梯建设示意图．起初工程师计划修建一段坡度为3:2的扶梯，扶梯总长为米．但这样坡度大陡，扶梯太长容易引发安全事故．工程师修改方案：修建、两段扶梯，并减缓各扶梯的坡度，其中扶梯和平台形成的为135°，从点看点的仰角为36.5°，段扶梯长米，则段扶梯长度约为（ ）米（参考数据：，，）
A．43 B．45 C．47 D．49
【答案】B
【分析】首先构建直角三角形，然后利用三角函数值得出DG，即可得解.
【详解】作AH⊥EB于H，延长DC交AH于N，作DG⊥EB于G，如图所示：
∵∠ACD=135°
∴∠ACN=45°
在Rt△ACN中，AC=，∠ACN=45°
∴AN=CN=18
在Rt△ABH中，AB=，AH：BH=3:2，
设
∴
解得或（不符合题意，舍去）
∴AH=45
∴HN=AH-AN=45-18=27
∵四边形DGHN是矩形
∴DG=HN=27
在Rt△DEG中，
∴
故选：B.
【点睛】此题主要考查锐角三角函数的实际应用，熟练掌握，即可解题.

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