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27.2反比例函数的图像和性质
（30分提至70分使用）
反比例函数的图像
反比例函数（）的图像是双曲线，它有两个分支，分别位于两个象限。
反比例函数图像的位置与 ( k ) 的关系
当 ( k > 0 ) 时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限；
当 ( k < 0 ) 时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限。
反比例函数的性质
增减性：
当 ( k > 0 ) 时，在每个象限内，( y ) 随 ( x ) 的增大而减小；
当 ( k < 0 ) 时，在每个象限内，( y ) 随 ( x ) 的增大而增大。
对称性：反比例函数的图像既是中心对称图形（对称中心是原点），也是轴对称图形（对称轴是直线 ( y = x ) 和 ( y = -x )）。
与坐标轴的交点：反比例函数的图像与 ( x ) 轴、( y ) 轴都没有交点，因为 ( x ) 和 ( y ) 都不能为 0。
判断反比例函数图像
1．反比例函数的图象一定经过的点是（ ）
A． B． C． D．
2．矩形面积为，相邻两边长为和，则y与x的函数图象大致是（ ）
A．第一象限的直线 B．第一象限的双曲线
C．第一、三象限的双曲线 D．第二象限的曲线
3．如图，的边，边上的高，的面积为5，则y与x的函数图象大致是(　　)
A． B．
C． D．
4．在平面直角坐标系中，函数的图象与坐标轴的交点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
已知图像，判断解析式
5．如图，该图像对应的函数表达式可能是（ ）
A． B． C． D．
6．已知y是关于x的反比例函数，点是反比例函数图象上的点，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图所示，函数图象对应的函数解析式可能是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，反比例函数的图象经过点，当时，的取值范围是( )
A．或 B． C． D．
9．反比例函数的图象经过点．，则下列与点A在同一图象的点是（ ）
A． B． C． D．
已知双曲线分布的象限，求参数范围
10．若反比例函数的图象在第二、四象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，这是反比例函数 的图象，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
12．若反比例函数的图象位于第一、三象限，则k的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
13．若双曲线 的一支位于第三象限，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
判断反比例函数的增减性
14．关于反比例函数，下列说法错误的是（ ）
A．当时，的值随值的增大而减小
B．当时，有最小值
C．当时，
D．它的图象位于第一、三象限
15．对于反比例函数，下列结论正确的是（ ）
A．点在该函数的图象上 B．该函数的图象分别位于第一、三象限
C．当时，随的增大而减小 D．当时，随的增大而增大
16．若反比例函数的图象经过点，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
17．关于函数有如下结论：①函数图象一定经过点；②函数图象在第一、三象限；③函数值y随x的增大而减小；④当时，y的取值范围为．其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
18．已知反比例函数的图象上有两点，且 ， 则的值（ ）
A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能确定
19．若点在反比例函数的图像上，则，，大小关系是（　　）
A． B． C． D．
比较反比例函数值或自变量的大小
20．在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，则，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
21．反比例函数的图象经过点，，则（ ）
A． B．
C． D．和的大小无法比较
22．点，在反比例函数的图像上，若，则，，0的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
23．已知，，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系用“”连接的结果是（ ）
A． B． C． D．27.2反比例函数的图像和性质
（30分提至70分使用）
反比例函数的图像
反比例函数（）的图像是双曲线，它有两个分支，分别位于两个象限。
反比例函数图像的位置与 ( k ) 的关系
当 ( k > 0 ) 时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限；
当 ( k < 0 ) 时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限。
反比例函数的性质
增减性：
当 ( k > 0 ) 时，在每个象限内，( y ) 随 ( x ) 的增大而减小；
当 ( k < 0 ) 时，在每个象限内，( y ) 随 ( x ) 的增大而增大。
对称性：反比例函数的图像既是中心对称图形（对称中心是原点），也是轴对称图形（对称轴是直线 ( y = x ) 和 ( y = -x )）。
与坐标轴的交点：反比例函数的图像与 ( x ) 轴、( y ) 轴都没有交点，因为 ( x ) 和 ( y ) 都不能为 0。
判断反比例函数图像
1．反比例函数的图象一定经过的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，通过将各点坐标代入函数关系式 进行验证，满足等式的点即为图象所经过的点.
【详解】解：∵ 点 在反比例函数 图象上当且仅当 ，
对于选项 A：，
∵ ，
∴ 点 不在图象上；
对于选项 B：，
∵ ，
∴ 点 不在图象上；
对于选项 C：，
∵ ，
∴ 点 不在图象上；
对于选项 D：，
∵ ，
∴ 点 在图象上；
故选 ：D.
2．矩形面积为，相邻两边长为和，则y与x的函数图象大致是（ ）
A．第一象限的直线 B．第一象限的双曲线
C．第一、三象限的双曲线 D．第二象限的曲线
【答案】B
【分析】本题主要考查了反比例函数在几何图形中的应用，矩形的性质根据矩形面积公式得出y与x的反比例关系，再结合反比例函数的图象性质判断．
【详解】解：∵矩形面积为，相邻两边长为和，
∴，即，
∴y是x的反比例函数，
矩形的边长为正数，
，，
∴y与x的函数图象大致是第一象限的双曲线，
故选：B．
3．如图，的边，边上的高，的面积为5，则y与x的函数图象大致是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的图象．现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．根据三角形的面积公式得到x和y的关系式，再判断是何种函数，由自变量的取值范围进而得到函数的图象．
【详解】解：∵的面积为5，，，
则，
∴，
∴的长为y， 边上的高为x是反比例函数，
∴函数图象是双曲线；
∵，，
∴该反比例函数的图象位于第一象限．
故选：A．
4．在平面直角坐标系中，函数的图象与坐标轴的交点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的图象和性质进行解答即可．
【详解】解：∵函数的图象在第一、三象限，
∴函数的图象与坐标轴的交点个数是
故选：A．
已知图像，判断解析式
5．如图，该图像对应的函数表达式可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的图像．根据函数图像的形状和所处的位置判断即可．
【详解】解：函数的图像为双曲线，所以为反比例函数的图像，
∵图像位于第二、四象限，
∴对应的函数的解析式可能是．
故选：A．
6．已知y是关于x的反比例函数，点是反比例函数图象上的点，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．“反比例函数图象上的点的横纵坐标的积是定值”，据此即可求解﹒
【详解】解：∵y是关于x的反比例函数，点是反比例函数图象上的点，
∴﹒
故选：B．
7．如图所示，函数图象对应的函数解析式可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的图象，了解反比例函数的图象与系数的关系是解答本题的关键．
根据函数的图象的形状和所处的位置判断即可．
【详解】解：函数的图象为双曲线，所以为反比例函数的图象，
∵图象位于第二、四象限，
∴对应的函数的解析式可能是．
故选：C．
8．如图，反比例函数的图象经过点，当时，的取值范围是( )
A．或 B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是反比例函数的性质，直接根据反比例函数的图象即可得出结论．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴当时，或．
故选：A．
9．反比例函数的图象经过点．，则下列与点A在同一图象的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数图象与性质，反比例函数，先运用待定系数法求出的值，再逐项分析，即可作答．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，与点A在同一图象的点的乘积，即选项的值为，即为答案，
A、，故该选项不符合题意；
B、，故该选项符合题意；
C、，故该选项不符合题意；
D、，故该选项不符合题意；
故选：B
已知双曲线分布的象限，求参数范围
10．若反比例函数的图象在第二、四象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】考查反比例函数的图象性质．解题关键是明确“反比例函数，当时图象在第二、四象限”；易错点是混淆k的正负所对应的象限．
首先反比例函数中，；其次由图象在第二、四象限，得，即；最后解不等式得．
【详解】∵反比例函数 的图象在第二、四象限，
∴ ，
解得 ，
故选：C．
11．如图，这是反比例函数 的图象，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的图象分布在二、四象限可得，求出的取值范围进而即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：∵反比例函数的图象分布在二、四象限，
∴，
∴，
∴的值可以是，
故选：．
12．若反比例函数的图象位于第一、三象限，则k的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质：对于，当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限，由此可解．
【详解】解：反比例函数的图象位于第一、三象限，
，
解得，
故选：A．
13．若双曲线 的一支位于第三象限，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查已知反比例函数所经过的象限求参数，根据双曲线的一支位于第三象限，得到，即可得到答案．
【详解】解：∵双曲线 的一支位于第三象限，
∴，
∴，
故选：B．
判断反比例函数的增减性
14．关于反比例函数，下列说法错误的是（ ）
A．当时，的值随值的增大而减小
B．当时，有最小值
C．当时，
D．它的图象位于第一、三象限
【答案】B
【分析】本题考查反比例函数的性质，包括图象所在象限、增减性及函数值范围，熟练掌握反比例函数的形式，是解题的关键．根据可知图象位于第一、三象限，且在每一象限内随的增大而减小．
【详解】解：∵，
∴图象位于第一、三象限，故D正确，不符合题意；
∵在每一象限内，随的增大而减小，
∴当时，随x增大而减小，故A正确，不符合题意；
当时，；当时，；
∵随增大而减小，
∴当时，，故C正确，不符合题意；
当时，
∵ ，随增大而减小，
∴当时，为最大值；
当无限接近于0时，值无限小，无最小值，故B错误，符合题意．
故选：B．
15．对于反比例函数，下列结论正确的是（ ）
A．点在该函数的图象上 B．该函数的图象分别位于第一、三象限
C．当时，随的增大而减小 D．当时，随的增大而增大
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．
根据反比例函数的性质逐项分析即可．
【详解】解：∵反比例函数中，，∴图象位于第二、四象限；且在每个象限内，y随x的增大而增大．
对于A：当时，，∴点不在图象上，故不正确；
对于B：∵，∴图象在第二、四象限，不在第一、三象限，故不正确；
对于C：∵图象在第二、四象限，∴当时，y随x的增大而增大，不是减小，故不正确；
对于D：∵图象在第二、四象限，∴当时， y随x的增大而增大，故正确．
故选D．
16．若反比例函数的图象经过点，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是根据反比例函数的系数判断图象所在象限，以及在每一象限内的增减性．
先根据反比例函数判断函数所在象限，再分析各点所在象限的函数值正负，最后根据同一象限内的增减性比较函数值大小．
【详解】解：∵反比例函数（）的图象经过点、、，
∴（∵），
，
，
∴．
又∵在第二象限内，随的增大而增大，且，
∴当从增大到时，值增大，即，
∴，
故选：D．
17．关于函数有如下结论：①函数图象一定经过点；②函数图象在第一、三象限；③函数值y随x的增大而减小；④当时，y的取值范围为．其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，增减性，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据，得出函数图象一定经过点；又因为，则函数图象在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小；先求出当时，则，再结合函数图象性质进行分析，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴函数图象一定经过点，
故①符合题意；
∵此函数中，
∴函数图象在第一、三象限，
故②符合题意；
∵
∴在每个象限内或在双曲线的每一支上，函数值y随x的增大而减小，
故③不符合题意；
∵，
∴当时，则
∴当时，y的取值范围为，
∴故④不符合题意；
故选：B．
18．已知反比例函数的图象上有两点，且 ， 则的值（ ）
A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能确定
【答案】D
【分析】本题考查反比例函数的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．当时，反比例函数在同一象限内y随x的增大而增大，此性质只适用于两点在同一象限，据此判断即可．
【详解】解：，
∴反比例函数在同一象限内y随x的增大而增大，
题目已知，
但无法确定两点是否在同一象限，
∴无法确定的大小关系．
故选：D．
比较反比例函数值或自变量的大小
19．若点在反比例函数的图像上，则，，大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，将点A、B、C三个点的横坐标分别代入解析式求出y的值即可得出结论．
【详解】解：∵点在反比例函数的图像上，
∴；；；
∴．
故选：D．
20．在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，则，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的性质．根据反比例函数（）在第二象限内，随的增大而增大解答即可．
【详解】解：∵，且，
∴在第二象限内，随的增大而增大；
∵，
∴．
故选：A．
21．反比例函数的图象经过点，，则（ ）
A． B．
C． D．和的大小无法比较
【答案】A
【分析】本题考查了比较反比例函数值或自变量的大小，把点，代入进行计算，再比较的大小，即可作答．
【详解】解：∵点和在反比例函数上，
∴，，
∵，
∴
故选：A．
22．点，在反比例函数的图像上，若，则，，0的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数的性质求解更简便．
根据反比例函数的性质判断出、的正负情况，然后比较大小即可．
【详解】解：反比例函数的，
反比例函数图象位于第一、三象限，
，
，，
．
故选：A．
23．已知，，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系用“”连接的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，熟知反比例函数图象和性质是解题的关键．根据，，，都在反比例函数的图象上，将点的坐标分别代入函数解析式即可比较大小．
【详解】解：∵，，，都在反比例函数的图象上，
∴将点的坐标分别代入得，
，，．
，
．
故选：A．

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