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28.2过三点的圆
（30分提至70分使用）
1. 过三点的圆的定义
经过不在同一条直线上的三个点可以确定一个唯一的圆。
2. 确定圆的条件
不在同一直线上的三点确定一个圆：给定不在同一直线上的三个点 ( A )、( B )、( C )，存在且仅存在一个圆经过这三个点。
在同一直线上的三点不能确定圆：若三点在同一条直线上，则不存在同时经过这三个点的圆。
3. 三角形的外接圆与外心
三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。
外心的性质：三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等，即外心到 ( A )、( B )、( C ) 的距离 ( OA = OB = OC )（( O ) 为外心）。
4. 过三点作圆的方法（尺规作图步骤）
连接不在同一直线上的三点 ( A )、( B )、( C )，得到三角形 ( ABC )。
分别作边 ( AB ) 和边 ( AC ) 的垂直平分线和。
设与的交点为 ( O )，则 ( O ) 为所求圆的圆心。
以 ( O ) 为圆心，以 ( OA )（或 ( OB )、( OC )）为半径作圆，此圆即为经过 ( A )、( B )、( C ) 三点的圆。
5. 外心的位置与三角形的类型关系
锐角三角形：外心在三角形内部。
直角三角形：外心在斜边的中点处。
钝角三角形：外心在三角形外部。
判断确定圆的条件及个数
1．下列条件中，只能确定一个圆的是（　　）
A．过定点A
B．过定点A、B，且半径为R
C．过不在同一直线上的三点
D．过不在同一直线上的四点
【答案】C
【分析】本题考查了确定圆的条件，根据过不在同一直线上的三点能确定一个圆进行判断后即可．
【详解】A．过定点A可以画无数个圆，故不符合题意；
B．过定点A、B，且半径为R，设A、B两点间的距离为d，当半径时，可以作两个圆；当半径时，可以作一个圆；当半径时，无法作圆．因此该条件不能唯一确定一个圆，不符合题意；
C．过不在同一直线上的三点能确定一个圆，故符合题意；
D．过不在同一直线上的四点不一定能画出一个圆，故不符合题意．
故选C．
2．下列条件中，能确定一个圆的是（　　）
A．以点O为圆心 B．以为半径
C．以点O为圆心，为半径 D．经过已知点M
【答案】C
【分析】本题考查了圆的相关概念．
确定一个圆有两个重要因素，一是圆心，二是半径，据此可以得到答案．
【详解】解：∵圆心确定，半径确定后才可以确定圆，
∴C选项正确，
故选：C．
3．已知，则过点，，且半径为的圆有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
【答案】A
【分析】本题考查了圆的几何性质，过两点、的圆的圆心必在线段的垂直平分线上，且到、的距离等于半径，据此即可求解．
【详解】解：∵半径为的圆的直径为，
∴过点，，且半径为的圆没有
故选：A．
4．过同一平面内A，B，C三个点作圆，可以作出的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．0个或1个
【答案】D
【分析】本题考查确定圆的条件，分三点共线和不共线求解即可．
【详解】解：若平面内A，B，C三个点共线，则过三点不能作出一个圆，
若平面内A，B，C三个点不共线，则过这三点能作出1个圆，
故过同一平面内A，B，C三个点作圆，可以作出的个数为0个或1个．
故选：D．
5．如图，已知线段，，点在线段上，下列说法正确的是（ ）
A．经过点，，，只能作一个圆
B．经过点，，，只能作一个圆
C．经过点，以的长为半径只能作一个圆
D．经过点，，以的长为半径只能作一个圆
【答案】B
【分析】本题考查的是确定圆的条件，熟记不在同一直线上的三点确定一个圆是解题的关键．根据确定圆的条件，逐项分析即可判断．
【详解】解：A、经过点，，，不能作圆，故本选项说法错误，不符合题意；
B、经过点，，，只能作一个圆，说法正确，符合题意；
C、经过点，以的长为半径能作无数个圆，故本选项说法错误，不符合题意；
D、经过点，，以的长为半径能作两个圆，故本选项说法错误，不符合题意；
故选：B．
三角形外接圆的概念辨析
6．对于三角形的外心，下列说法正确的是（　　）
A．它到三角形三边的距离相等
B．它是三角形三条高的交点
C．它一定在该三角形的内部
D．它到三角形三个顶点的距离相等
【答案】D
【分析】本题考查了三角形外心的定义．根据三角形的外心是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点的距离相等，它是三角形三条边垂直平分线的交点，据此即可求得答案．
【详解】解：三角形的外心是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点的距离相等，它是三角形三条边垂直平分线的交点，故A、B错误；D正确；锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形外部，故C错误．
故选：D．
7．根据图中圆规的作图痕迹，只用直尺就可确定的外心的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形外心的定义．
根据三角形外心是三角形三条垂直平分线的交点进行求解即可．
【详解】解：∵三角形外心是三角形三条垂直平分线的交点，
∴四个选项中只有A选项作图方法是垂直平分线的尺规作图，
故选：A．
8．以下命题：①经过三点一定可以作一个圆；②优弧一定大于劣弧③相等的弦所对的弧也相等；④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等；其中错误的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】本题考查了圆的相关概念以及三角形外心的性质，解题的关键是准确掌握圆的确定、弧的大小比较、弦与弧的关系以及三角形外心的定义．
根据圆的确定条件、优弧与劣弧的定义、弦与弧的关系以及三角形外心的性质，对每个命题进行分析判断，统计错误命题的个数．
【详解】命题①：经过不在同一直线上的三点可以作一个圆，若三点在同一直线上，则不能作圆，所以该命题错误；
命题②：在同圆或等圆中，优弧一定大于劣弧，缺少“同圆或等圆”的条件，该命题错误；
命题③：在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧（优弧和劣弧）分别相等，缺少“同圆或等圆”的条件，该命题错误；
命题④：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，根据垂直平分线的性质，外心到三角形三个顶点的距离相等，该命题正确．
综上，错误的命题有①②③，共3个，
故选：B．
9．下列说法错误的是（ ）
A．过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆
B．任意一个圆都有无数个内接三角形
C．任意一个三角形都有无数个外接圆
D．同一圆的内接三角形的外心都在同一个点上
【答案】C
【分析】本题考查圆的确定，根据不在同一直线上的三个点确定一个圆求解即可．
【详解】解：A、不在同一直线上的三个点确定一个圆，故说法正确；
B、任意一个圆都有无数个内接三角形，故说法正确；
C、根据不在同一直线上的三个点确定一个圆得到任意一个三角形都有一个外接圆，故说法错误；
D、同一圆的内接三角形的外心都在这个圆的圆心上，故说法正确．
故选：C．
10．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点在小正方形的顶点上，则的外心是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的外心的定义，根据三角形三边垂直平分线相交于一点，这一点叫做它的外心，据此解答即可求解，掌握三角形的外心的定义是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，
由勾股定理得，，，，
∴，
∴点是的外心，
故选：．
求三角形外心坐标
11．如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的外心坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查三角形的外心，熟练掌握三角形的外心是解题的关键；根据三角形的外心可分别作出线段的垂直平分线，它们的交点即为三角形的外心，进而问题可求解．
【详解】解：如图，
由图可知：的外心坐标是；
故选B．
12．如图，在平面直角坐标系中，，，．则的外心坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的外心，解题的关键是掌握三角形的外心的定义．根据三角心的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，分别作、的垂直平分线交于点，即可求解．
【详解】解：如图，分别作、的垂直平分线交于点，点即为所求，
故选：C．
13．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为：，，，经画图操作可知，的外心坐标应是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了三角形外心的知识，注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，解此题的关键是数形结合思想的应用．首先由的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作与的垂线，两垂线的交点即为的外心．
【详解】解：的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，
作图得：
与的垂直平分线交点即为的外心，
的外心坐标是，
故选：D．
14．如图，已知点是的外心，，连接，，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用外心的概念，转换为求等腰三角形的顶角即可．
【详解】方法一、如图，连接，

∵点是的外心，
∴，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
方法二、如图，

∵点是的外心，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】此题考查了三角形的外心，内角和，等腰三角形的性质，解题的关键是熟记以上知识及其应用．
15．如图，在平面直角坐标系中，△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°，AB⊥x轴，M为Rt△ABC的外心．若点A的坐标为（3，4），点M的坐标为（﹣1，1），则点B的坐标为（　　）
A．（3，﹣1） B．（3，﹣2） C．（3，﹣3） D．（3，﹣4）
【答案】B
【分析】根据M为直角三角形的外心．∠ABC＝90°，得出点M为AC中点，利用中点坐标公式求出点C（-5，-2），根据AB⊥x轴，得出点A，B的横坐标相同都是3，根据BC∥x轴，得出点B、C的纵坐标相同都是-2即可．
【详解】解：∵M为Rt△ABC的外心．∠ABC＝90°，
∴点M为AC中点，
∵点A的坐标为（3，4），点M的坐标为（﹣1，1），
设点C横坐标为（x,y）,
∴，
解得x=-5，y=-2，
∴点C（-5，-2），
∵AB⊥x轴，
∴点A，B的横坐标相同都是3，
∵∠ABC＝90°，
∴BC∥x轴，
∴点B、C的纵坐标相同都是-2，
∴点B（3，-2）．
故选：B．
【点睛】本题考查直角三角形的外心，中点坐标公式，平行x轴或y轴的点坐标特征，掌握直角三角形的外心的性质，中点坐标公式，平行x轴或y轴的点坐标特征是解题关键．
画图
16．如图，在中，．先作的平分线交边于点P，再以点P为圆心，长为半径作（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】本题考查尺规作图（角平分线的作法、圆的作法），解题的关键是熟练掌握角平分线和圆的尺规作图方法．
先作出的平分线，确定点，再以为圆心、为半径作圆．
【详解】解：如图所示，⊙P为所求的圆；
17．小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树、、，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．请你帮小明把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】作图见解析
【分析】本题考查了作三角形的外接圆，作出的外接圆即可求解，掌握三角形外接圆的作法是解题的关键．
【详解】解：①分别以、为圆心，以大于为半径画圆，两圆相交于、两点，连接；
②分别以、为圆心，以大于为半径画圆，两圆相交于、两点，连接；
③直线与相交于点，以为圆心，以的长为半径画圆，则即为花坛的位置．
18．把三角形向右平移5格，新的三角形3个顶点分别用，和表示．再以为圆心，以为半径，画一个圆．
【答案】见解析
【分析】本题是考查作平移后的图形、根据指定圆心和半径画圆．根据图形平移的特征，把三角形的三个顶点分别向右平移5格，画出对应顶点、、，然后首尾连结这三点，就是三角形向右平移5格后的三角形；再以为圆心，以为半径画圆．
【详解】
19．已知．尺规作图：作的外接圆．
【答案】见解析
【分析】本题考查中垂线性质，三角形外接圆，尺规作图，掌握相关知识是解决问题的关键．由于三角形的外心是三角形三边中垂线的交点，可作的任意两边的垂直平分线，它们的交点即为的外接圆的圆心（设圆心为；以..为圆心、长为半径作圆，即可得出的外接圆．
【详解】解：作的任意两边的垂直平分线，它们的交点即为的外接圆的圆心（设圆心为；以为圆心、长为半径作圆，即可得出的外接圆．如图所示．
20．如图，已知为等腰三角形，点E为的中点，请用尺规作图法，作的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．作线段的垂直平分线交直线于O，以O为圆心，为半径作，即为所求．
【详解】解：作线段的垂直平分线交直线于O，以O为圆心，为半径作，即为所求．28.2过三点的圆
（30分提至70分使用）
1. 过三点的圆的定义
经过不在同一条直线上的三个点可以确定一个唯一的圆。
2. 确定圆的条件
不在同一直线上的三点确定一个圆：给定不在同一直线上的三个点 ( A )、( B )、( C )，存在且仅存在一个圆经过这三个点。
在同一直线上的三点不能确定圆：若三点在同一条直线上，则不存在同时经过这三个点的圆。
3. 三角形的外接圆与外心
三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。
外心的性质：三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等，即外心到 ( A )、( B )、( C ) 的距离 ( OA = OB = OC )（( O ) 为外心）。
4. 过三点作圆的方法（尺规作图步骤）
连接不在同一直线上的三点 ( A )、( B )、( C )，得到三角形 ( ABC )。
分别作边 ( AB ) 和边 ( AC ) 的垂直平分线和。
设与的交点为 ( O )，则 ( O ) 为所求圆的圆心。
以 ( O ) 为圆心，以 ( OA )（或 ( OB )、( OC )）为半径作圆，此圆即为经过 ( A )、( B )、( C ) 三点的圆。
5. 外心的位置与三角形的类型关系
锐角三角形：外心在三角形内部。
直角三角形：外心在斜边的中点处。
钝角三角形：外心在三角形外部。
判断确定圆的条件及个数
1．下列条件中，只能确定一个圆的是（　　）
A．过定点A
B．过定点A、B，且半径为R
C．过不在同一直线上的三点
D．过不在同一直线上的四点
2．下列条件中，能确定一个圆的是（　　）
A．以点O为圆心 B．以为半径
C．以点O为圆心，为半径 D．经过已知点M
3．已知，则过点，，且半径为的圆有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
4．过同一平面内A，B，C三个点作圆，可以作出的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．0个或1个
5．如图，已知线段，，点在线段上，下列说法正确的是（ ）
A．经过点，，，只能作一个圆
B．经过点，，，只能作一个圆
C．经过点，以的长为半径只能作一个圆
D．经过点，，以的长为半径只能作一个圆
三角形外接圆的概念辨析
6．对于三角形的外心，下列说法正确的是（　　）
A．它到三角形三边的距离相等
B．它是三角形三条高的交点
C．它一定在该三角形的内部
D．它到三角形三个顶点的距离相等
7．根据图中圆规的作图痕迹，只用直尺就可确定的外心的是（ ）
A． B．
C． D．
8．以下命题：①经过三点一定可以作一个圆；②优弧一定大于劣弧③相等的弦所对的弧也相等；④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等；其中错误的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
9．下列说法错误的是（ ）
A．过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆
B．任意一个圆都有无数个内接三角形
C．任意一个三角形都有无数个外接圆
D．同一圆的内接三角形的外心都在同一个点上
10．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点在小正方形的顶点上，则的外心是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
求三角形外心坐标
11．如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的外心坐标是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在平面直角坐标系中，，，．则的外心坐标为（ ）
A． B． C． D．
13．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为：，，，经画图操作可知，的外心坐标应是（ ）
A． B． C． D．
14．如图，已知点是的外心，，连接，，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
15．如图，在平面直角坐标系中，△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°，AB⊥x轴，M为Rt△ABC的外心．若点A的坐标为（3，4），点M的坐标为（﹣1，1），则点B的坐标为（　　）
A．（3，﹣1） B．（3，﹣2） C．（3，﹣3） D．（3，﹣4）
画图
16．如图，在中，．先作的平分线交边于点P，再以点P为圆心，长为半径作（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
17．小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树、、，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．请你帮小明把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
18．把三角形向右平移5格，新的三角形3个顶点分别用，和表示．再以为圆心，以为半径，画一个圆．
19．已知．尺规作图：作的外接圆．
20．如图，已知为等腰三角形，点E为的中点，请用尺规作图法，作的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）

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