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28.5弧长和扇形面积的计算
（30分提至70分使用）
1弧长公式
在半径为( R )的圆中，的圆心角所对的弧长( l )的计算公式为：
其中，( n )为圆心角的度数，( R )为圆的半径。
扇形面积公式
由半径为( R )的圆的一部分（两条半径和一段弧）组成的图形称为扇形。
的圆心角所对的扇形面积( S )的计算公式为：
其中，( n )为圆心角的度数，( R )为圆的半径。
公式中的注意事项
公式中( n )的单位是“度”，计算时无需将其转化为弧度；
弧长和面积的结果需保留或根据题目要求取近似值；
应用公式时需明确圆心角( n )和半径( R )的对应关系，避免混淆不同圆或扇形的参数。
求弧长
1．如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径R是5，则该圆锥的底面圆半径是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图①是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图②所示是一条圆弧，圆弧的半径，圆心角，则（ ）
A． B． C． D．
3．如图，四边形内接于，连接，若的半径为5．则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．圆心角为，半径为3的扇形弧长为（ ）
A． B． C． D．
5．在半径为的中，的圆心角所对的弧长为（ ）
A． B． C． D．
求扇形半径
6．的圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径是（ ）
A．3 B．8 C．9 D．10
7．已知扇形的面积为，扇形的弧长是，则该扇形半径为（ ）
A．6 B．4 C．2 D．
8．在中，如果的圆心角所对的弧长是，那么的半径是（ ）
A． B． C． D．
9．若扇形的弧长为，，则扇形的半径为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
10．传统服饰日益受到关注，如图①为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图②马面裙可以近似地看作扇形的一部分，其中的长度为米，裙长米，圆心角，则的长为（ ）
A．1米 B．米 C．2米 D．米
求圆心角
11．一个扇形的半径为，弧长等于，则扇形的圆心角度数为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在半径为的中，劣弧的长为，则（ ）
A． B． C． D．
13．如图，这是某人通过定滑轮拉升货物A的示意图(拉绳与滑轮之间无滑动)，已知定滑轮的半径为6．若货物A上升了，则此定滑轮旋转的度数是（ ）
A． B． C． D．
14．一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的直径是，当重物上升时，问滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度为（ ）（假设绳索与滑轮之间没有摩擦，取）
A． B． C． D．
15．将一把折扇展开，可抽象看成一个扇形．若该扇形的半径为3，弧长为，则这个扇形的圆心角的度数为（ ）
A． B． C． D．
求扇形面积
16．如图，点C在上，直径，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．8π B．4π C．12π D．2π
17．如图，将长为的铁丝首尾相接围成半径为的扇形，则（ ）
A． B． C． D．
18．用一个圆心角为，半径为的扇形做一个圆锥的侧面，则该圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
19．钟面上的分针的长为2，从9点到9点20分，分针在钟面上扫过的面积是（　 ）
A． B． C． D．
20．如图，以点为圆心的两个同心圆中，点，在大圆上，点，在小圆上， 和的长度分别是．若，则扇形的面积与扇形的面积的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不能确定
圆锥的相关计算
21．广西斗笠是当地传统手工编织的实用雨具，其形状常可抽象成圆锥．如图，斗笠的底面半径是，母线长，则圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
22．琪琪为玩具娃娃制作了一个圆锥形生日帽，如图所示，是圆锥的母线，为底面直径，已知母线，圆锥的侧面积为，则的长为（ ）
A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm
23．如图，如果从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为（ ）
A． B． C． D．
24．某博物馆修复一把古代铜锁，锁头的装饰部分为圆锥形（如图）．已知装饰部分的底面圆的半径为3厘米，母线长为5厘米，则该圆锥形装饰的面积为（ ）
A．平方厘米 B．平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米
25．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，则该圆锥的母线长为（ ）．
A． B． C． D．28.5弧长和扇形面积的计算
（30分提至70分使用）
1弧长公式
在半径为( R )的圆中，的圆心角所对的弧长( l )的计算公式为：
其中，( n )为圆心角的度数，( R )为圆的半径。
扇形面积公式
由半径为( R )的圆的一部分（两条半径和一段弧）组成的图形称为扇形。
的圆心角所对的扇形面积( S )的计算公式为：
其中，( n )为圆心角的度数，( R )为圆的半径。
公式中的注意事项
公式中( n )的单位是“度”，计算时无需将其转化为弧度；
弧长和面积的结果需保留或根据题目要求取近似值；
应用公式时需明确圆心角( n )和半径( R )的对应关系，避免混淆不同圆或扇形的参数。
求弧长
1．如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径R是5，则该圆锥的底面圆半径是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】本题主要考查圆锥的侧面展开图及弧长公式，熟练掌握圆锥的侧面展开图及弧长公式是解题的关键；由题意易得该扇形的弧长为，然后根据圆的周长公式可进行求解．
【详解】解：由题意得：该扇形的弧长为，
根据圆锥侧面展开图的特征可知：扇形弧长即为圆锥底面圆的周长，所以该圆锥底面圆的半径为；
故选A．
2．如图①是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图②所示是一条圆弧，圆弧的半径，圆心角，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了弧长的计算，解题的关键是掌握弧长公式．利用弧长公式，代入圆心角和半径计算即可．
【详解】解：由弧长公式，其中，，
则的长为（）．
故选：B．
3．如图，四边形内接于，连接，若的半径为5．则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，求弧长．连接，根据圆周角定理可得，再根据圆内接四边形的性质可得，从而得到，然后弧长公式计算即可．
【详解】解：连接，
∵，，
∴，
∴，
∵四边形内接于，
∴，
∴，
∴，
∵的半径为5，
∴的长为．
故选：C
4．圆心角为，半径为3的扇形弧长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键；直接使用扇形弧长公式计算即可．
【详解】解：由题意得：扇形弧长为，
故选B．
5．在半径为的中，的圆心角所对的弧长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了弧长公式，熟记弧长公式是解题的关键．直接使用弧长公式计算即可．
【详解】解：根据题意，半径为的中，的圆心角所对的弧长为 ：．
故选：C．
求扇形半径
6．的圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径是（ ）
A．3 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【分析】此题主要考查了弧长计算，关键是掌握弧长公式（为圆心角，为半径），根据弧长公式即可求解．
【详解】解：设此弧所在圆的半径为，依题意，
．
解得．
故选：D．
7．已知扇形的面积为，扇形的弧长是，则该扇形半径为（ ）
A．6 B．4 C．2 D．
【答案】B
【分析】本题考查了扇形面积与弧长公式的应用，解答本题的关键是掌握扇形面积的计算公式．根据扇形的面积公式（其中为面积，为弧长，为半径），结合已知的弧长和面积，直接解方程即可求得半径．
【详解】设扇形的半径为，
根据扇形的面积公式，
解得．
故选：．
8．在中，如果的圆心角所对的弧长是，那么的半径是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查弧长公式，根据圆心角对应的弧长公式，代入已知条件求解半径即可．
【详解】解：根据弧长公式：，其中，
代入得：
解得：
故选：A．
9．若扇形的弧长为，，则扇形的半径为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】B
【分析】本题考查了弧长公式，弧长公式为，分别是圆心角，半径，据此列式代数进行计算，即可作答．
【详解】解：依题意，设扇形的半径为，
∵扇形的弧长为，，
则
∴
解得，
故选：B
10．传统服饰日益受到关注，如图①为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图②马面裙可以近似地看作扇形的一部分，其中的长度为米，裙长米，圆心角，则的长为（ ）
A．1米 B．米 C．2米 D．米
【答案】B
【分析】本题考查了弧长公式．由题意知，，求得，得到米即可．
【详解】解：由题意知，，
解得，
∵裙长为米，
∴米，
故选：B．
求圆心角
11．一个扇形的半径为，弧长等于，则扇形的圆心角度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查弧长公式的应用，根据弧长公式 ，代入半径 和弧长 求解圆心角
【详解】解：设圆心角度数为
根据 ，
可得：，
整理可得：，
化简得：，
两边乘以 可得：，
，
扇形的圆心角度数为 ．
故选：B．
12．如图，在半径为的中，劣弧的长为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是弧长的计算、圆周角定理的应用，掌握弧长公式和圆周角定理是解题的关键．
连接、，根据弧长公式求出的度数，根据圆周角定理解答即可．
【详解】解：连接、，
设的度数为，
则，
解得，，
，
故选：C．
13．如图，这是某人通过定滑轮拉升货物A的示意图(拉绳与滑轮之间无滑动)，已知定滑轮的半径为6．若货物A上升了，则此定滑轮旋转的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了弧长公式，解题的关键是掌握弧长公式：．
设此定滑轮旋转的度数为，则由弧长公式得到，据此即可求解．
【详解】解：设此定滑轮旋转的度数为，则，
解得，
∴此定滑轮旋转的度数为．
故选：D．
14．一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的直径是，当重物上升时，问滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度为（ ）（假设绳索与滑轮之间没有摩擦，取）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】重物上升，说明点转过的路径长为，然后根据弧长公式计算即可．
本题考查了弧长的计算和生活中的旋转现象，关键是熟练掌握弧长公式．
【详解】解：设旋转的角度为，
根据题意得，，
解得，
所以半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度为．
故选：D．
15．将一把折扇展开，可抽象看成一个扇形．若该扇形的半径为3，弧长为，则这个扇形的圆心角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查弧长公式，根据弧长公式（n为圆心角的度数，r为扇形的半径）求解即可．
【详解】解：设这个扇形的圆心角的度数为n，
根据题意，得，
解得，
故选：C．
求扇形面积
16．如图，点C在上，直径，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．8π B．4π C．12π D．2π
【答案】A
【分析】本题考查圆周角定理、扇形面积公式，熟练掌握其定理和面积公式是解题的关键．
根据题意可得是的中线，进而证得，根据圆周角定理可得
，利用扇形面积公式进行求解即可．
【详解】解：是的中点，
是的中线，
故选：A．
17．如图，将长为的铁丝首尾相接围成半径为的扇形，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了扇形的面积公式的应用，能够正确运用扇形的面积公式进行计算是解题的关键．
根据扇形的面积公式弧长×半径进行列式代入数值，进行计算，即可作答．
【详解】解：由题意知，半径，弧长，
∴弧长×半径，
故选：A．
18．用一个圆心角为，半径为的扇形做一个圆锥的侧面，则该圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算，根据扇形面积公式求出扇形面积，根据圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系解答即可，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解题的关键．
【详解】解：因为用一个圆心角为，半径为的扇形做一个圆锥的侧面，
∴该圆锥的侧面积为，
故选：．
19．钟面上的分针的长为2，从9点到9点20分，分针在钟面上扫过的面积是（　 ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了钟面角，扇形的面积，先求出从9点到9点20分，分针转过的角度，再由扇形的面积公式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：从9点到9点20分，分针转过的角度为，
故钟面上的分针的长为2，从9点到9点20分，分针在钟面上扫过的面积是，
故选：B．
20．如图，以点为圆心的两个同心圆中，点，在大圆上，点，在小圆上， 和的长度分别是．若，则扇形的面积与扇形的面积的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】A
【分析】本题考查了扇形的面积，根据扇形面积等于弧长与半径乘积的一半即可判断求解，掌握扇形的面积计算方法是解题的关键．
【详解】解：设大圆半径为，小圆半径为，则，，
∵，，
∴，
故选：．
圆锥的相关计算
21．广西斗笠是当地传统手工编织的实用雨具，其形状常可抽象成圆锥．如图，斗笠的底面半径是，母线长，则圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查求圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面积公式：，进行计算即可．
【详解】解：由题意，该斗笠的侧面面积为；
故选：C．
22．琪琪为玩具娃娃制作了一个圆锥形生日帽，如图所示，是圆锥的母线，为底面直径，已知母线，圆锥的侧面积为，则的长为（ ）
A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm
【答案】C
【分析】本题考查圆锥的侧面积，，熟练掌握圆锥侧面积公式是解题关键．根据圆锥的侧面积公式列方程即可得答案．
【详解】解：∵母线，圆锥的侧面积为，
∴，
解得．
故选：C．
23．如图，如果从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了弧长公式、求圆锥的底面半径、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
先求出剩下的扇形的角度，再由弧长公式计算可得剩下的扇形的弧长，从而求出圆锥的底面半径，最后由勾股定理计算即可得解．
【详解】解：∵从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，
∴剩下的扇形的角度为，
∴剩下的扇形的弧长为，
∴圆锥的底面半径为，
∴圆锥的高为，
故选：B．
24．某博物馆修复一把古代铜锁，锁头的装饰部分为圆锥形（如图）．已知装饰部分的底面圆的半径为3厘米，母线长为5厘米，则该圆锥形装饰的面积为（ ）
A．平方厘米 B．平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米
【答案】B
【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算，根据圆锥侧面积公式计算即可得解，熟练掌握相关公式是解此题的关键．
【详解】解：由题意可得：该圆锥形装饰的面积为（平方厘米），
故选：B．
25．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，则该圆锥的母线长为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，然后解关于的方程即可．
【详解】解：根据题意得，
解得，，
即该圆锥母线的长为3cm．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．

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