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第9课 角平分线 期末总复习
【沪教版】
知识点 相关题型
角平分线定理 角平分线逆定理 角平分线的尺规作图
角平分线性质定理
角平分线+平行
角平分线+垂直
在角的两边上截取相等线段构造全等
双角平分线的导角模型
与三角形的内心有关的题目
1.角平分线定理
角平分线上的点到这个角的两边所在直线的距离相等.
2.角平分线逆定理
在角的内部，到角的两边所在直线距离相等的点，均在这个角的平分线上.
3.角平分线的尺规作图——本质是画了一组全等的三角形
4.与角平分线相关的几何模型
角平分线+平行 角平分线+垂直 （垂直于边） 角平分线+垂直 （垂直于角平分线） 角平分线+对角互补
△ECD是等腰 作垂直得QE=QF 利用三线合一得等腰 截长补短，证全等
双角平分线的导角模型
三角形内心 内角平分线交点 外角平分线交点 内角+外角平分线
P到三边距离相等 == ∠BPC=90+∠A ∠BPC=90°-∠BAC ∠BPC=∠BAC
【题型1：角平分线的尺规作图】
【例1】（23-24八年级上·河北石家庄·期末）根据下列三个尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（ ）
A．图1 B．图1与图2 C．图2与图3 D．图1与图3
【变式1】（25-26八年级上·上海·期中）下列作图中，点M到、两边距离相等的是（　　）
A． B．
C． D．
【变式2】（22-23八年级上·山东济宁·期中）图1是一个平分角的仪器，其中．
(1)如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边上，沿画一条射线，交于点P．是的平分线吗？请判断并说明理由．
(2)如图3，在（1）的条件下，过点P作⊥于点Q，若，的面积是60，求的长．
【题型2：三角形的内心】
【例2】（25-26八年级下·广东深圳·月考）到三角形三边距离相等的点是（ ）
A．三条边中线的交点 B．三条边的高的交点
C．三个角的角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点
【变式1】（24-25八年级下·河南郑州·期末）某镇政府为促进旅游发展，准备在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村，如图所示．要使度假村到三条公路的距离相等，这个度假村应修建在（ ）
A．三条高线的交点处 B．三边垂直平分线的交点处
C．三条中线的交点处 D．三条角平分线的交点处
【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图是某校的局部平面图，学校有三条小路和，已知与相交．学校计划修建一个亭子，使其到小路的距离均相等，则亭子可以选择的修建位置有（ ）
A．4处 B．3处 C．2处 D．1处
【题型3：与角平分线有关的面积类问题】
【例3】（25-26八年级上·安徽黄山·期中）如图，的三边、、的长分别为、、，三角形的三条角平分线将分为三个三角形，若的面积为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（25-26八年级上·湖北武汉·月考）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，若的面积是，，则的长为 ．
【变式2】（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，，以B为圆心，适当的长为半径画弧，交，于D，E两点，再分别以D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点F，射线交于点G，则的值为 ．
【题型4：角平分线的性质】
【例4】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，的平分线交于点D，若，则点D到的距离是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（25-26八年级上·上海·月考）如图，，的平分线与的平分线相交于点，作于点，若，则点到与的距离之和为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式2】（25-26八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，中，平分，且平分，于E，于F．如果，则的长是 ．
【题型5：角平分线判定定理的运用】
【例5】（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·月考）如图，，，，与的交点为，连接，下列结论：①；②；③平分；④平分．其中一定正确的结论有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
【变式1】（25-26八年级上·辽宁抚顺·月考）两把相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，记两把直尺的接触点为 P，其中一把直尺边缘和射线重合，另把直尺的下边缘与射线 重合，连接并延长．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（25-26八年级上·甘肃甘南·月考）如图，在四边形中，，为的中点，连接，，且平分，过点作于点．
(1)求证：平分；
(2)求证：．
【题型6：角平分线+平行】
【例6】（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，在中，和的平分线相交于点G，过点G作交于E，交于F，过点G作于D，下列五个结论：其中一定正确的结论有 （填序号）．
①；
②；
③；
④点G到各边的距离相等；
⑤设，，则．
【变式1】（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，已知，的平分线交于点D，交于点E，如果，，则 ．
【变式2】（20-21八年级上·陕西汉中·期末）如图，中，平分，于点E，于H，交的延长线于点F，若恰好平分．则下列结论中：
①是等腰三角形；②；③；④．
其中正确的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【题型7：角平分线+垂直】
【例7】（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，为内一点，平分，若，则的长为 ．
【变式1】（25-26八年级上·四川广元·期中）（1）【问题情境】如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，求证：；
（2）【问题探究】如图2，中，，，平分，，垂足在的延长线上，求证：；
【变式2】（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，于点D，且，，于点F，若，，则 ．
【题型8：截长补短】
【例8】（25-26八年级上·上海·期中）如图，中，，平分，．
求证：．
【变式1】（25-26八年级上·广东湛江·月考）如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，交于点O．
(1)求的度数；
(2)连接，试判断的形状，并给予证明；
(3)若，，求的值．
【变式2】（25-26八年级上·上海·月考）如图，在，，平分，于点，点在上，，，，则的长为 ．
【题型9：双角平分线的导角模型】
【例9】（25-26八年级上·浙江杭州·月考）如图，在中，D为上一点，满足，以点B为圆心，适当长为半径作弧分别与和交于点E和F，再分别以点E和F为圆心、大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点G，作射线交于点H．若，，则 ．
【变式1】（25-26七年级下·全国·期末）如图，的外角平分线和内角平分线相交于点P，若，则（ ）

A． B． C． D．
【变式2】（25-26八年级上·上海·期中）如图，在中，和的平分线、交于点，连接．
(1)求证：平分；
(2)？若成立，请证明：若不成立，请说明理由．
一、单选题
1．在三角形中，到三边距离相等的点是（ ）
A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条高线的交点 D．内部任意一点
2．如图，中，的平分线与的外角平分线相交于点D，连结，则下列结论中正确的是（ ）
A．平分的外角 B．平分
C． D．
3．如图，在中，的平分线交于点D，已知，若，则的面积为（ ）
A．12 B．18 C．20 D．24
4．如图，中，平分平分经过点O，与相交于点M，N，且，已知，则的周长为（ ）
A．6 B．7 C． D．
5．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出下列四个结论：①的面积等于的面积；②；③；④，其中正确结论有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，点是的平分线上一点，于点，点是线段上一点．已知，，点为上一点且满足，则的长度为（ ）
A． B． C．或 D．或
二、填空题
7．如图，在中，，平分，，则点D到的距离是 ．
8．如图，是的角平分线，于点，的面积是，，则的长是 ．
9．如图，左图是一个可调节平板支架，其结构示意图如右图所示，当平分时，点B到桌面的距离是，则点B到的距离是 ．
10．如图，中，的垂直平分线交的平分线于点D，过D作于点E，若，，则 ．
11．如图，D是的三个内角的平分线的交点，已知，则 ．
12．如图，平分，，点D是上的动点，若，则长度的最小值为 ．
三、解答题
13．如图，已知在四边形中，平分．
求证：
(1)；
(2)．
14．已知，平分．
(1)如图①，若，，求证：平分；
(2)如图②，若，求证：．第9课 角平分线 期末总复习
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知识点 相关题型
角平分线定理 角平分线逆定理 角平分线的尺规作图
角平分线性质定理
角平分线+平行
角平分线+垂直
在角的两边上截取相等线段构造全等
双角平分线的导角模型
与三角形的内心有关的题目
1.角平分线定理
角平分线上的点到这个角的两边所在直线的距离相等.
2.角平分线逆定理
在角的内部，到角的两边所在直线距离相等的点，均在这个角的平分线上.
3.角平分线的尺规作图——本质是画了一组全等的三角形
4.与角平分线相关的几何模型
角平分线+平行 角平分线+垂直 （垂直于边） 角平分线+垂直 （垂直于角平分线） 角平分线+对角互补
△ECD是等腰 作垂直得QE=QF 利用三线合一得等腰 截长补短，证全等
双角平分线的导角模型
三角形内心 内角平分线交点 外角平分线交点 内角+外角平分线
P到三边距离相等 == ∠BPC=90+∠A ∠BPC=90°-∠BAC ∠BPC=∠BAC
【题型1：角平分线的尺规作图】
【例1】（23-24八年级上·河北石家庄·期末）根据下列三个尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（ ）
A．图1 B．图1与图2 C．图2与图3 D．图1与图3
【答案】D
【分析】本题考查了作图—基本作图，全等三角形的判定与性质，利用基本作图可对图1和图2进行判断；利用基本作图和全等三角形的判定与性质可对图3进行判断，掌握角平分线的作法是解题的关键．
【详解】解：由图1可得，平分，符合题意；
由图2可得，点是的中点，所以是中线，不一定平分，不符合题意；
在图3中，
由作图可得，，，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴
∴平分，符合题意；
∴综上所述，能判断射线平分的是图1与图3．
故选：D．
【变式1】（25-26八年级上·上海·期中）下列作图中，点M到、两边距离相等的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的性质，作角平分线和垂线，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键．由角平分线的性质可得点M在的角平分线上，再根据角平分线的作法判断即可．
【详解】解：点M到、两边距离相等，
点M在的角平分线上，
由作法可知，选项C中为的角平分线，选项A、B、D均为作垂线，
故选：C．
【变式2】（22-23八年级上·山东济宁·期中）图1是一个平分角的仪器，其中．
(1)如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边上，沿画一条射线，交于点P．是的平分线吗？请判断并说明理由．
(2)如图3，在（1）的条件下，过点P作⊥于点Q，若，的面积是60，求的长．
【答案】(1)是的平分线，理由见解析
(2)
【分析】本题主要考查三角形全等的判定方法及角平分线的性质，能够熟练运用角平分线的性质得到高的长度是解题关键．
（1）利用三条对应边相等证明来得到即可．
（2）利用角平分线上的点到角两边的距离相等得到的高，再运用割补法及面积计算公式解题即可．
【详解】（1）解：是的平分线
理由如下：
在和中，
，
∴
∴，
∴平分．
（2）解： ∵平分，，
∴的高等于，
∵．
∴，
∵
∴．
【题型2：三角形的内心】
【例2】（25-26八年级下·广东深圳·月考）到三角形三边距离相等的点是（ ）
A．三条边中线的交点 B．三条边的高的交点
C．三个角的角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点
【答案】C
【分析】根据角平分线的性质和线段的垂直平分线的性质判断即可．
本题考查角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握角平分线的性质定理．
【详解】解：到三角形三边距离相等的点是三个角的角平分线的交点．
故选：C．
【变式1】（24-25八年级下·河南郑州·期末）某镇政府为促进旅游发展，准备在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村，如图所示．要使度假村到三条公路的距离相等，这个度假村应修建在（ ）
A．三条高线的交点处 B．三边垂直平分线的交点处
C．三条中线的交点处 D．三条角平分线的交点处
【答案】D
【分析】此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等．根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得度假村的修建位置在三条角平分线的交点处．
【详解】解：要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应该修在内角平分线的交点．
故选D．
【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图是某校的局部平面图，学校有三条小路和，已知与相交．学校计划修建一个亭子，使其到小路的距离均相等，则亭子可以选择的修建位置有（ ）
A．4处 B．3处 C．2处 D．1处
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等成为解题的关键．
由角平分线的交点到角边的距离相等，则两同旁内角平分线的交点满足条件；据此作图即可解答．
【详解】解：如图所示：
∵和的平分线的交点到距离相等，
∴这两个角的平分线的交点满足条件；
∵和的平分线的交点到AB、MN、PQ距离相等，
∴这两个角的平分线的交点满足条件；
∴满足这条件的点有2个．
故选：C．
【题型3：与角平分线有关的面积类问题】
【例3】（25-26八年级上·安徽黄山·期中）如图，的三边、、的长分别为、、，三角形的三条角平分线将分为三个三角形，若的面积为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键．过点作、、的垂线，垂足分别为、、，由角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：如图，过点作、、的垂线，垂足分别为、、，
、、是的三条角平分线，
，
，的面积为，
，
，
的面积
，
故选：D
【变式1】（25-26八年级上·湖北武汉·月考）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，若的面积是，，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了角平分线的作法和性质，三角形的面积，过点作于，由角平分线的性质可得，进而由三角形的面积可得，进而即可求解，掌握角平分线的作法和性质是解题的关键．
【详解】解：如图，过点作于，
∵，
∴，
又由作图可知是的角平分线，
∴，
∵的面积是，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式2】（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，，以B为圆心，适当的长为半径画弧，交，于D，E两点，再分别以D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点F，射线交于点G，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了用直尺和圆规作角平分线，角平分线的性质定理，添加辅助线，利用角平分线的性质定理求解是关键．过点G作于点M，于点N，根据角平分线的性质定理可得，再根据三角形面积公式即可求得答案．
【详解】解：过点G作于点M，于点N，
由作图步骤可知，平分，
，
．
故答案为：．
【题型4：角平分线的性质】
【例4】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，的平分线交于点D，若，则点D到的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质．
利用角平分线的性质进行求解即可．
【详解】解：∵是的平分线，，，
∴点D到的距离等于的长度，为，
故选：B．
【变式1】（25-26八年级上·上海·月考）如图，，的平分线与的平分线相交于点，作于点，若，则点到与的距离之和为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，平行线间的距离等等，掌握角平分线的性质是解题的关键．如图所示，过点P作于F，延长交于G，先证明，由角平分线的性质得到，，则，由此即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点P作于F，延长交于G，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
又∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴点P到与的距离之和为，
故选：D．
【变式2】（25-26八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，中，平分，且平分，于E，于F．如果，则的长是 ．
【答案】2
【分析】此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是准确作出辅助线，利用方程思想求解．
连接，由平分，于E，于F，根据角平分线的性质，即可得，又由且平分，根据线段垂直平分线的性质，可得，继而可证得，则可得，再证，即可得，然后设，由，即可得方程，解方程即可求得答案．
【详解】解：连接，
∵平分，，
∴，
∵且平分，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设，则，
∵，，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：2．
【题型5：角平分线判定定理的运用】
【例5】（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·月考）如图，，，，与的交点为，连接，下列结论：①；②；③平分；④平分．其中一定正确的结论有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】C
【分析】此题考查角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，关键是根据全等三角形的判定方法解答．
根据证明与全等，进而利用全等三角形的性质得出，即可判断①，结合三角形内角和定理即可判断②，过点作，垂足分别为，证明，根据全等三角形的判定和性质得出，进而利用角平分线的性质解答即可判断④．
【详解】解：∵，
，
即，
在与中
，
，
，故①正确；
∵，
∴，
∵，，
∴，故②正确；
过点作，垂足分别为，
，
，
，
，
在和中
，
，
，
平分，故④正确；
不能证明平分，故③错误；
故选：C．
【变式1】（25-26八年级上·辽宁抚顺·月考）两把相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，记两把直尺的接触点为 P，其中一把直尺边缘和射线重合，另把直尺的下边缘与射线 重合，连接并延长．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查角平分线的判定，根据题意，易得点到射线和射线的距离相等，均为长方形直尺的宽，进而得到平分，得到，即可．
【详解】解：由图和题意，得点到射线和射线的距离相等，均为长方形直尺的宽，
∴平分，
∴；
故选：B．
【变式2】（25-26八年级上·甘肃甘南·月考）如图，在四边形中，，为的中点，连接，，且平分，过点作于点．
(1)求证：平分；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）由平分，，，则，又为的中点，所以，则，然后通过角平分线的判定即可求证；
（）由（）可知：，然后证明，所以，同理，然后通过线段和差即可求证．
【详解】（1）证明：∵平分，，，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
∵，，
∴平分；
（2）证明：由（）可知：，
∵，，
∴
在和中，
，
∴，
∴，
同理可证，
∴，
即．
【题型6：角平分线+平行】
【例6】（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，在中，和的平分线相交于点G，过点G作交于E，交于F，过点G作于D，下列五个结论：其中一定正确的结论有 （填序号）．
①；
②；
③；
④点G到各边的距离相等；
⑤设，，则．
【答案】①④⑤
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形的内角和定理：①根据角平分线定义及可得出，，由此可得出结论；②由于与不一定相等，则与不一定相等，进而得到与不一定相等；③先根据角平分线的性质得出，再由三角形内角和定理即可得出结论；④根据角平分线的性质即可得出结论；⑤连接，根据三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】解：和的平分线相交于点G，
，
，
，
，
，
同理可得，
，故①正确；
∵与不一定相等，，
∴与不一定相等，
∴与不一定相等，故②错误；
和的平分线相交于点G，
，
，故③错误；
和的平分线相交于点G，
点G到的距离相等，到的距离相等，
点G到各边的距离相等，故④正确；
如图所示，连接，
点G到各边的距离相等，，，
，故⑤正确．
故答案为：①④⑤．
【变式1】（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，已知，的平分线交于点D，交于点E，如果，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，由，，得到，由平行线的性质得到，由角平分线的性质得到，所以，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式2】（20-21八年级上·陕西汉中·期末）如图，中，平分，于点E，于H，交的延长线于点F，若恰好平分．则下列结论中：
①是等腰三角形；②；③；④．
其中正确的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，以及平行线的性质，熟练应用三角形全等的判定和性质是解题的关键．通过角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，以及平行线的性质，逐一判断各结论，即可得到结果．
【详解】解：平分，，，
∴DE=DH，
，
，
平分，，
，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
故结论④正确，符合题意；
，
，
，
，
又，，
，
故结论③正确，符合题意；
，
，
又，
，
是等腰三角形，
故结论①正确，符合题意；
在等腰中，，平分，
，
故结论②正确，符合题意，
综上所述，四个结论均正确，
故选：A．
【题型7：角平分线+垂直】
【例7】（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，为内一点，平分，若，则的长为 ．
【答案】9
【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，比较简单，关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形，通过等量代换，即可推出结论．
延长与交于点E，由可推出，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形，可推出，根据，即可推出的长度．
【详解】延长与交于点E，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
又平分，
∴，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
．
故答案为：9．
【变式1】（25-26八年级上·四川广元·期中）（1）【问题情境】如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，求证：；
（2）【问题探究】如图2，中，，，平分，，垂足在的延长线上，求证：；
【答案】（1）见详解，（2）见详解，
【分析】（1）利用已知条件，证明，即可得出结论；
（2）延长交延长线于F，求出，证明，推出，再证明，进而可得结论；
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）证明：如图：延长交延长线于F，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是熟悉全等三角形的判定．
【变式2】（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，于点D，且，，于点F，若，，则 ．
【答案】9
【分析】本题主要考查角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质定理及全等三角形的性质与判定，熟练掌握角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质定理及全等三角形的性质与判定是解题的关键；连接，过点E作于点H，由题意易得，，则有，然后可得，，进而根据全等三角形的性质可进行求解．
【详解】解：连接，过点E作于点H，如图所示：
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为9．
【题型8：截长补短】
【例8】（25-26八年级上·上海·期中）如图，中，，平分，．
求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定；在AC上截取AM=AE，则△AMD≌△AED，从而得到AE=AM，ED=DM，根据角平分线的性质可得，进而证明得出，证明△DMC是等腰三角形从而得出结论．
【详解】证明：在AC上截取AM=AE，则△AMD≌△AED，从而得到AE=AM，ED=DM，
∵DC=DE
∴DC=DM
∵DE⊥AC
∴MC=2FC
∵平分，，，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴．
【变式1】（25-26八年级上·广东湛江·月考）如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，交于点O．
(1)求的度数；
(2)连接，试判断的形状，并给予证明；
(3)若，，求的值．
【答案】(1)
(2)是等腰三角形，证明见详解
(3)
【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定、角平分线的性质定理、三角形内角和及等积法，熟练掌握全等三角形的性质与判定、角平分线的性质定理、三角形内角和及等积法是解题的关键；
（1）由题意易得，，然后根据三角形内角和可进行求解；
（2）在上取一点F，使得，连接，由题意易得，则有，然后可得，进而可得，则问题可求证；
（3）过点F作，垂足分别为H、G，由（2）可知：，，，则有，，然后根据等积法可进行求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∴；
（2）解：是等腰三角形，证明如下：
在上取一点F，使得，连接，如图所示：
由（1）可知：，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（3）解：过点F作，垂足分别为H、G，如图所示：
由（2）可知：，，，
∴，，
∴，
∵，，
∴．
【变式2】（25-26八年级上·上海·月考）如图，在，，平分，于点，点在上，，，，则的长为 ．
【答案】3
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形判定与性质是解题的关键，根据题意易证得，，即可得到，进而可推算出的长．
【详解】解：∵，平分，，
∴，
在与中
∴，
∴，
在与中
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：3．
【题型9：双角平分线的导角模型】
【例9】（25-26八年级上·浙江杭州·月考）如图，在中，D为上一点，满足，以点B为圆心，适当长为半径作弧分别与和交于点E和F，再分别以点E和F为圆心、大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点G，作射线交于点H．若，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了角平分线的作图以及三角形的外角的定义及性质，由题意得出平分，是解题关键，再根据即可求解；
【详解】解：由题意得：平分，
∴；
∵，
∴，
∴，
故答案为：
【变式1】（25-26七年级下·全国·期末）如图，的外角平分线和内角平分线相交于点P，若，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质．
设，根据平分得到，进而得到，再根据平分得到，由三角形的外角的性质可得出，求出，进而可求出即可．
【详解】解：设，
∵平分，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【变式2】（25-26八年级上·上海·期中）如图，在中，和的平分线、交于点，连接．
(1)求证：平分；
(2)？若成立，请证明：若不成立，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质、三角形内角和定理以及三角形的外角性质等知识；
（1）过作于点，于点，于点，由角平分线的性质得，，则，再由角平分线的判定即可得出结论；
（2）过作于点，于点，于点，由角平分线的性质得，再证明，然后证明，即可得出结论．
【详解】（1）证明：如图1，过作于点，于点，于点，
平分，
，
平分，
，
，
平分；
（2）成立，证明如下：
设，
如图，过作于点，于点，于点，
和的平分线、交于点，
，
，，
，
、分别平分、，
，
∴∠EPD=∠APB=120
∵∠HPM=360-∠PHC-∠PMC-∠ACB=120
∴∠HPE=∠MPD
在和中，
，
，
．
一、单选题
1．在三角形中，到三边距离相等的点是（ ）
A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条高线的交点 D．内部任意一点
【答案】B
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟记角平分线的性质是解题的关键．
根据角平分线上的点到角的两边距离相等即可解答．
【详解】解：在三角形中，到三边距离相等的点是三条角平分线的交点．
故选：B．
2．如图，中，的平分线与的外角平分线相交于点D，连结，则下列结论中正确的是（ ）
A．平分的外角 B．平分
C． D．
【答案】A
【分析】过点D作于点E，于点N，于点G，利用角的平分线的判定和性质，解答即可．本题考查了角的平分线的判定和性质，熟练掌握性质和解析式是解题的关键．
【详解】解：过点D作于点E，于点N，于点G，
∵的平分线与的外角平分线相交于点D，
∴，，
∴，
∴点D一定在的角平分线上，
则平分的外角，
故选：A．
3．如图，在中，的平分线交于点D，已知，若，则的面积为（ ）
A．12 B．18 C．20 D．24
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线性质，根据角平分线的性质得出，根据三角形的面积公式求出即可．
【详解】解：∵中，，的角平分线交于点D，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴的面积为：，
故答案为：18．
4．如图，中，平分平分经过点O，与相交于点M，N，且，已知，则的周长为（ ）
A．6 B．7 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质和角平分线的定义，掌握等量代换是解决本题的关键．
根据角平分线的定义和平行线的性质可证，从而可得，然后根据等量代换可得：的周长，从而进行计算即可解答．
【详解】解：∵平分平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴的周长
，
故选B．
5．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出下列四个结论：①的面积等于的面积；②；③；④，其中正确结论有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题主要考查角平分线的性质定理、直角三角形的性质及三角形的中线与高，熟练掌握角平分线的性质定理、直角三角形的性质及三角形的中线与高是解题的关键；由题意易得，根据直角三角形的性质可得，，然后根据角平分线的性质定理可进行求解．
【详解】解：∵是高，是中线，是角平分线，
∴，故①正确；
∵，
∴，，
∴，，故②③正确；
过点F作于点M，如图所示：
∵是角平分线，，
∴，故④错误；
综上所述：正确的有3个；
故选：C．
6．如图，点是的平分线上一点，于点，点是线段上一点．已知，，点为上一点且满足，则的长度为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，过点作于，然后证明，则，再分当点在线段上时，当点在线段的延长线上时两种情况讨论可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，过点作于，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
当点在线段上时，如图，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
当点在线段的延长线上时，如图，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
综上可得：的长为或，
故选：D．
二、填空题
7．如图，在中，，平分，，则点D到的距离是 ．
【答案】5
【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上点到角两边的距离相等是解题的关键．过点D作于点E，根据角平分线的性质定理，即可求解．
【详解】解：过点D作于点E，
∵，平分，，
∴，
即点D到边的距离是5，
故答案为：5．
8．如图，是的角平分线，于点，的面积是，，则的长是 ．
【答案】6
【分析】本题考查了角平分线的性质， 过D作于F，根据角平分线的性质得出，然后根据三角形的面积公式求解即可．
【详解】解∶过D作于F，
又是的角平分线，，，
∴，
∵的面积是，
∴，
∴，
故答案为∶6．
9．如图，左图是一个可调节平板支架，其结构示意图如右图所示，当平分时，点B到桌面的距离是，则点B到的距离是 ．
【答案】12
【分析】本题考查的是角平分线的性质，根据角平分线的性质直接求出结论即可．
【详解】解：已知平分，点到的距离为，
根据角平分线的性质，点到的距离等于点到的距离，
所以点到的距离是．
故答案为：12．
10．如图，中，的垂直平分线交的平分线于点D，过D作于点E，若，，则 ．
【答案】3
【分析】连接、，作于，由角平分线的性质得出．证明，得出，同理，得出，进而得出答案．
【详解】解：连接、，作于，如图所示：
点在的垂直平分线上，
，
点在的平分线上，，，
∴DE=DH，
在和中，
，
，
，
同理可证，
，
，
，
，
，
；
故答案为：3．
【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是通过作辅助线构造全等三角形．
11．如图，D是的三个内角的平分线的交点，已知，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了角平分线的性质、三角形的面积等知识点，能根据角平分线的性质得出是解此题的关键．
根据角平分线的性质得出，再根据三角形的面积即可解答．
【详解】解：如图：过作于H，于E，于F，
∵点D是三个内角平分线的交点，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
12．如图，平分，，点D是上的动点，若，则长度的最小值为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了角平分线上的点到角两边的距离相等的性质，垂线段最短的性质，确定出最小时的位置是解题的关键．
根据垂线段最短可知，当时最短，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得，进而求解．
【详解】解：如下图所示：过点P作，垂足为点,
∵平分，，，
∴，
∵，
∴，
即当点D运动到点的位置时，长度最短，最小值为．
故答案为：．
三、解答题
13．如图，已知在四边形中，平分．
求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，关键是作出辅助线构造全等三角形，同时注意线段间的和差关系的运用．
（1）根据角平分线的性质可得到；可得，则，所以；
（2）已知，，可得，则得，最后证得即可．
【详解】（1）证明∶如图，过C作，交的延长线于F点，
平分，
．
，，
，．
，
．
．
，
．
（2）证明∶已知，
．
，，
．
，，
．
．
，，
．
14．已知，平分．
(1)如图①，若，，求证：平分；
(2)如图②，若，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）过点E作于点F，由平分可得，利用可证得，即可得到结论成立；
（2）延长和相交于点M，由，平分可得是等腰三角形，即，再由得，利用可证得，即可得到结论成立．
【详解】（1）证明：如图：过点E作于点F，则，
平分，，且，
，，
又，
，
，
，
，
平分；
（2）证明：如图，延长和相交于点M，
，平分，
，，
是等腰三角形，即，
又，
，即，
在和中，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线判定定理和性质定理，平行线性质，以及等角对等边，解题的关键是正确作出辅助线，构造出全等三角形进行解题．

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