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专题十六 相交线与平行线专题讲义
【题型一】相交线与平行线
【例1】（2025 莲池区一模）根据语句“直线l1与直线l2相交，点M在直线l1上，直线l2不经过点M．”画出的图形是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据直线l1与直线l2相交，点M在直线l1上，直线l2不经过点M进行判断，即可得出结论．
【解答】解：A．直线l2不经过点M，故本选项不合题意；
B．点M在直线l1上，故本选项不合题意；
C．点M在直线l1上，故本选项不合题意；
D．直线l1与直线l2相交，点M在直线l1上，直线l2不经过点M，故本选项符合题意；
故选：D．
【变式1】27．（2025 高新区模拟）平面上两条直线的位置关系是　 　 或　 　 ．
【变式2】（2023 衡水二模）如图，若线段PC与线段OA有一个公共点，则点C可以是（　　）
A．点D B．点E C．点Q D．点M
【变式3】（2025 方城县三模）在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a与c的位置关系是 ．
【题型二】对顶角、邻补角
【例1】（2025 河南）如图所示，有一个六边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所量内角的度数为（　　）
A．100° B．110° C．120° D．130°
【分析】由量角器可知，∠1＝120°，再利用对顶角相等求解即可．
【解答】解：如图，延长BO，
由量角器可知，∠AOD＝120°，
∴∠BOC＝∠AOD＝120°，
即所量内角的度数为120°，
故选：C．
【变式1】（2025 贵州）下列图中能说明∠1＝∠2一定成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【变式2】（2024 日照）如图，直线AB，CD相交于点O．若∠1＝40°，∠2＝120°，则∠COM的度数为（　　）
A．70° B．80° C．90° D．100°
【变式3】（2024 齐齐哈尔）将一个含30°角的三角尺和直尺如图放置，若∠1＝50°，则∠2的度数是（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【题型三】垂线
【例1】（2025 陕西）如图，点O在直线AB上，OC⊥OD．若∠1＝40°，则∠2的度数为（　　）
A．120° B．130° C．140° D．150°
【分析】求出∠AOD＝50°，再根据平角的定义求解．
【解答】解：∵OC⊥OD，
∴∠COD＝90°，
∴∠AOD＝90°﹣∠1＝50°，
∴∠2＝180°﹣AOD＝130°．
故选：B．
【变式1】（2024 北京）如图，直线AB和CD相交于点O，OE⊥OC．若∠AOC＝58°，则∠EOB的大小为（　　）
A．29° B．32° C．45° D．58°
【变式2】（2024 雅安）如图，直线AB，CD交于点O，OE⊥AB于O，若∠1＝35°，则∠2的度数是（　　）
A．55° B．45° C．35° D．30°
【题型四】垂线段最短
【例1】（2025 广西模拟）金秋十月，小明同学捡到一片沿直线被折断了的银杏叶（如图），他发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（　　）
A．两点确定一条直线
B．两点之间，线段最短
C．垂线段最短
D．经过一点有无数条直线
【分析】由线段的性质：两点之间，线段最短，即可得到答案．
【解答】解：能正确解释这一现象的数学知识是：两点之间，线段最短．
故选：B．
【变式1】（2025 朝阳区二模）如图，用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（　　）
A．两点之间，线段最短
B．经过一点有无数条直线
C．两点确定一条直线
D．垂线段最短
【变式2】（2025 北京校级二模）下列各选项能用“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”来解释的现象是（　　）
A．测量跳远成绩
B．木板上弹墨线
C．两钉子固定木条
D．弯曲河道改直
【题型五】点到直线的距离
【例1】（2025 武汉三模）如图，笔直小路DE的一侧栽种有两棵小树BM，CN，小明测得AB＝3m，AC＝5m，则点A到DE的距离可能为（　　）
A．5m B．4m C．3m D．2m
【分析】先指出点A到DE的斜线段和垂线段，根据垂线的性质：垂线段最短进行解答即可．
【解答】解：∵AB，AC是点A到DE的斜线段，表示点A到DE的距离的线段是垂线段，
根据垂线性质：垂线段最短，
∴A到DE的距离小于AB，
∵AB＝3，
∴A到DE的距离可能为2，
故选：D．
【变式1】（2025 武安市二模）如图，线段BA垂直于直线AC于点A，线段AD垂直于射线BC于点D，直线AC交射线BD于点则点C．则点B到直线AC的距离为（　　）
A．线段AB的长 B．线段BD的长
C．线段AD的长 D．线段AC的长
【变式2】（2025 闽侯县校级模拟）如图，点A，D在直线m上，点B，C在直线n上，AB⊥n，AC⊥m，BD⊥m，点A到直线BD的距离是（　　）
A．线段AD的长度 B．线段BC的长度
C．线段AB的长度 D．线段BD的长度
【变式3】（2025 清镇市模拟）如图，点P在直线l外，点A，B，C，D在直线l上，且PA＝3.6，PB＝3.2，PC＝3，PD＝3.8，则点P到直线l的距离是（　　）
A．3 B．3.2 C．3.6 D．3.8
【题型六】同位角、内错角、同旁内角
【例1】（2025 攀枝花）如图，直线a截直线b、c所得的一对同位角是（　　）
A．∠2与∠3 B．∠1与∠4 C．∠5与∠7 D．∠1与∠8
【分析】根据同位角的定义判断即可．
【解答】解：A、∠2与∠3是同旁内角，故此选项不符合题意；
B、∠1与∠4不是同位角，故此选项不符合题意；
C、∠5与∠7是同位角，故此选项符合题意；
D、∠1与∠8不是同位角，故此选项不符合题意；
故选：C．
【变式1】（2023 淄博）将含30°角的直角三角板按如图所示放置到一组平行线中，若∠1＝70°，则∠2等于（　　）
A．60° B．50° C．40° D．30°
【变式2】（2025 慈利县一模）关于如图中各角的说法不正确的是（　　）
A．∠1与∠2是同旁内角 B．∠1与∠4是内错角
C．∠3与∠5是对顶角 D．∠2与∠3是邻补角
【变式3】（2025 云岩区校级模拟）如图，已知∠ABC与∠DEF，其中AB与EF相交，下列结论中错误的是（　　）
A．∠1与∠2是同旁内角 B．∠3与∠6是对顶角
C．∠2与∠5是内错角 D．∠3与∠5是同位角
【题型七】平行公理及推论
【例1】（2024 常州）如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力F1、F2，则F1的力臂OA大于F2的力臂OB．这一判断过程体现的数学依据是（　　）
A．垂线段最短
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．两点确定一条直线
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【分析】根据垂线段最短判断即可．
【解答】解：F1的力臂OA大于F2的力臂OB．这一判断过程体现的数学依据是垂线段最短．
故选：A．
【变式1】（2025 霸州市模拟）如图，平面内，画已知直线l的平行线，能画的条数有（　　）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
【题型八】平行线的判定
【例1】（2024 德州）已知∠AOB，点P为OA上一点，用尺规作图，过点P作OB的平行线．下列作图痕迹不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据所给作图痕迹，结合平行线的判定，依次进行判断即可．
【解答】解：如图所示，
∵OM平分∠AOB，
∴∠AOM＝∠BOM，
又∵PO＝PM，
∴∠AOM＝∠PMO，
∴∠PMO＝∠BOM，
∴PM∥OB．
故A选项不符合题意．
如图所示，
∵OP＝OM，
∴∠OPM＝∠OMP．
又∵PN平分∠APM，
∴∠APN＝∠MPN．
据此无法得到判定PN∥OB的条件．
故B选项符合题意．
如图所示，
∵OP＝ON＝PM＝MN，
∴四边形OPMN是菱形，
∴PM∥OB．
故C选项不符合题意．
如图所示，
根据作图步骤可知，
这里作了一个角（∠APM）等于已知角（∠O），
∵∠APM＝∠O，
∴PM∥OB．
故D选项不符合题意．
故选：B．
【变式1】（2025 唐山校级二模）如图，把AB，CD，EF三根木条钉在一起，使之可以在连接点M，N处自由旋转，若∠1＝60°，∠2＝80°，则如何旋转木条AB才能使它与木条CD平行．以下说法正确的是（　　）
小明说：把木条AB绕点M逆时针旋转20°；
小刚说：把木条AB绕点M顺时针旋转150°．
A．小明的操作正确，小刚的操作错误
B．小明的操作错误，小刚的操作正确
C．小明和小刚的操作都正确
D．小明和小刚的操作都错误
【变式2】（2025 重庆校级三模）如图，能判断EF∥AB的条件是（　　）
A．∠EFC＝∠B B．∠ADE＝∠B C．∠ADE＝∠EFC D．∠DEF＝∠EFC
【变式3】（2025 德州）如图，∠DAC是△ABC的外角，射线AE在∠DAC的内部，添加一个条件 　 　 ，使得AE∥BC．（写出一种情况即可）
【题型九】平行线的性质
【例1】（2025 淄博）已知：如图，AB∥CD，∠1＝36°，∠2＝60°，则∠3的度数是（　　）
A．36° B．34° C．26° D．24°
【分析】由AB∥CD，根据三角形外角的性质和平行线的性质可得∠3+∠1＝∠ECB＝∠2＝60°，即可得∠3＝24°．
【解答】解：由AB∥CD，∠1＝36°，∠2＝60°，
得∠3+∠1＝∠ECB＝∠2＝60°，
得∠3＝24°．
故选：D．
【变式1】（2025 东营区）2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图片为滑雪比赛的精彩瞬间，抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖AB和滑雪板DE平行，滑雪杖AB与大腿BC的夹角为30°，小腿CE与滑雪板DE的夹角为80°，则大腿与小腿的夹角∠C的度数为（　　）
A．80° B．90° C．100° D．110°
【变式2】（2025 苏州）如图，在A，B两地间修一条笔直的公路，从A地测得公路的走向为北偏东70°．若A，B两地同时开工，要使公路准确接通，则∠α的度数应为（　　）
A．100° B．105° C．110° D．115°
【变式3】（2025 河北）榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式．如图是某个构件的截面图，其中AD∥BC，∠ABC＝70°，则∠BAD＝（　　）
A．70° B．100° C．110° D．130°
【题型十】平行线的判定与性质
【例1】（2025 宁夏）如图，直线l1，l2被直线l3所截，根据“同位角相等，两直线平行”判定l1∥l2，需要的条件是（　　）
A．∠1＝∠2 B．∠1＝∠3 C．∠1＝∠4 D．∠2＝∠3
【分析】根据同位角相等，两直线平行，结合图形，逐一判断各选项，可得到结果．
【解答】解：∠1＝∠2（对顶角相等），不符合“同位角相等，两直线平行”，故A选项错误，不符合题意；
∠1≠∠3，故B选项错误，不符合题意；
∠1＝∠4，符合“同位角相等，两直线平行”，得到l1∥l2，故C选项正确，符合题意；
∠2≠∠3，故D选项错误，不符合题意，
故选：C．
【变式1】（2025 福建）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，∠BAC＝∠EDF＝90°，∠B＝45°，∠DEF＝60°．当AD∥BC时，∠ADE的大小为（　　）
A．5° B．15° C．25° D．35°
【变式2】（2025 常州）如图，将两块相同的直角三角尺按图示摆放，则AB与CD平行．这一判断过程体现的数学依据是（　　）
A．垂线段最短
B．内错角相等，两直线平行
C．两点确定一条直线
D．平行于同一条直线的两条直线平行
【题型十一】平行线之间的距离
【例1】（2024 邯郸二模）如图，已知点A在直线a上，C、B两点在直线b上，且a∥b，∠ABC是个钝角，若AB＝5，则a、b两直线的距离可以是（　　）
A．8 B．6 C．5 D．4
【分析】根据平行线之间的距离的定义即可得到答案．
【解答】解：根据平行线之间的距离的定义可得a、b两直线的距离应该小于5，
故选：D．
【变式1】（2025 南京模拟）在水平面内确定一条直线为基准线，规定：对该平面内不重合两点M，N，若以MN为斜边能作出直角三角形，且其中一条直角边垂直于基准线，则称两条直角边长度之和为点M，N的直角距离；若M，N两点所在的直线垂直或平行于基准线，则线段MN的长度为点M，N的直角距离．记点M，N的直角距离[MN]．如图，直线CD与基准线AB交于点O，点P在直线CD上，PQ垂直于AB，垂足为Q，且OQ＝2PQ，EF∥CD，，则[EF]的值为　3　 ．
【变式2】（2025 云岩区校级模拟）如图，已知直线a∥b∥c，直线d与它们分别垂直且相交于A，B，C三点，若AC＝8，BC＝5，则平行线a，b之间的距离是 　 　 ．
【变式3】（2025 南昌二模）近年来，中国机器狗技术发展迅速．图1是某一型号的机器狗正常站立时的实物图，图2是它的侧面示意图，机身AD，大腿AB，DE和小腿BC，EF在它们之间的连接处可以转动调节姿态，调节过程中，机身、大腿、小腿的长度都不会发生变化，但位置、及以各接口处为顶点的角的大小可能发生改变．经测量，AD＝40cm，AB＝DE＝BC＝EF＝20cm．
（1）当机器狗处于正常站立时，机身AD平行于地面CF，∠ABC＝∠DEF＝120°，机器狗的高度可以看成A，C两点间的距离，求此时机器狗的高度．
（2）图3是机器狗坐下时的实物图，图4是其侧面示意图，此时，小腿EF紧贴地面，AB∥DE，BC∥EF，只调节机身AD与小腿EF所在直线形成的锐角，当其超过65°时，机器狗需要重新调整其他部分参数，才能坐得稳．请你通过推理计算，判断当BC与EF之间的距离为时，要使其坐得稳，该机器狗是否需要调整其他部分参数．
【课后练习】
1．（2025 广州）如图，直线AB，CD相交于点O，若∠1＝36°，则∠2的度数为　144　 °．
2．（2024 广西）已知∠1与∠2为对顶角，∠1＝35°，则∠2＝　 　 °．
3光线AO照射到镜面MN上，反射光线为OB，点B在PD上，若∠AOC＝35°，则∠OBD的度数为（　　）
A．35° B．45° C．55° D．65°
4．（2025 湖北模拟）如图，生活中，有以下两个现象，对于这两个现象的解释，正确的是（　　）
A．两个现象均可用两点之间线段最短来解释
B．现象1用垂线段最短来解释，现象2用经过两点有且只有一条直线来解释
C．现象1用垂线段最短来解释，现象2用两点之间线段最短来解释
D．现象1用经过两点有且只有一条直线来解释，现象2用垂线段最短来解释
5．（2024 资阳）在△ABC中，∠A＝60°，AC＝4．若△ABC是锐角三角形，则边AB长的取值范围是 　 　 ．
6．（2025 青秀区二模）如图，已知直线a，b被直线c所截，则∠1的同位角是（　　）
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
7．（2025 溧阳市校级模拟）如图，污水处理厂要从A处把处理过的水引入排水沟PQ，做法如下：过点A作AB⊥PQ于点B，沿着AB方向铺设排水管道可用料最省．能准确解释这一现象的数学知识是（　　）
A．两点之间线段最短
B．两点确定一条直线
C．垂线段最短
D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
7．（2024 南通）如图，点D在△ABC的边AB上，DF经过边AC的中点E，且EF＝DE．求证：CF∥AB．
8．（2025 甘肃）如图1，三根木条a，b，c相交成∠1＝80°，∠2＝110°，固定木条b，c，将木条a绕点A顺时针转动至如图2所示，使木条a与木条b平行，则可将木条a旋转（　　）
A．30° B．40° C．60° D．80°
9．（2024 自贡）如图，在△ABC中，DE∥BC，∠EDF＝∠C．
（1）求证：∠BDF＝∠A；
（2）若∠A＝45°，DF平分∠BDE，请直接写出△ABC的形状．
10．（2025 巴中）如图，已知∠1＝40°，∠B＝50°，AB⊥AC，AD＝BC．
（1）求证：AD∥BC；
（2）求∠D的度数．
11．（2025 江西）（1）计算：|﹣3|（﹣1）；
（2）如图，已知点C在AE上，AB∥CD，∠1＝∠2．求证：AE∥DF．
12．（2024 盐城）已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，AE∥BF，AE＝BF．
若 　 　 ，则AB＝CD．
请从①CE∥DF；②CE＝DF；③∠E＝∠F这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由．
13．（2025 永州模拟）如图，四边形BCDE中，BC∥DE，∠EBC＝120°，BE＝2，若BA平分∠EBC，则BC与DE之间的距离是　 　 ．专题十六 相交线与平行线专题讲义
【题型一】相交线与平行线
【例1】（2025 莲池区一模）根据语句“直线l1与直线l2相交，点M在直线l1上，直线l2不经过点M．”画出的图形是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据直线l1与直线l2相交，点M在直线l1上，直线l2不经过点M进行判断，即可得出结论．
【解答】解：A．直线l2不经过点M，故本选项不合题意；
B．点M在直线l1上，故本选项不合题意；
C．点M在直线l1上，故本选项不合题意；
D．直线l1与直线l2相交，点M在直线l1上，直线l2不经过点M，故本选项符合题意；
故选：D．
【变式1】27．（2025 高新区模拟）平面上两条直线的位置关系是　相交　 或　平行　 ．
【分析】在同一平面内不重合的两条直线，有两种位置关系：相交或平行．
【解答】解：在同一平面内不重合的两条直线，有两种位置关系：相交或平行．
故填相交、平行．
【变式2】（2023 衡水二模）如图，若线段PC与线段OA有一个公共点，则点C可以是（　　）
A．点D B．点E C．点Q D．点M
【分析】把P与各点的连线段画出来即可得到答案．
【解答】解：如图，
若线段PC与线段OA有一个公共点，则点C可以是D，
故选：A．
【变式3】（2025 方城县三模）在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a与c的位置关系是 a∥c ．
【分析】根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行即可求解．
【解答】解：∵a⊥b，b⊥c，
∴a∥c．
故答案为a∥c．
【题型二】对顶角、邻补角
【例1】（2025 河南）如图所示，有一个六边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所量内角的度数为（　　）
A．100° B．110° C．120° D．130°
【分析】由量角器可知，∠1＝120°，再利用对顶角相等求解即可．
【解答】解：如图，延长BO，
由量角器可知，∠AOD＝120°，
∴∠BOC＝∠AOD＝120°，
即所量内角的度数为120°，
故选：C．
【变式1】（2025 贵州）下列图中能说明∠1＝∠2一定成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】比较角的大小，根据相关知识点逐一进行判断即可．
【解答】解：A、对顶角相等，故∠1＝∠2，符合题意；
B、根据三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角可得：∠2＞∠1，不符合题意；
C、平角的定义得到∠2＝90°，直角大于锐角，故∠2＞∠1，不符合题意；
D、由图可知，∠2＜∠1，不符合题意；
故选：A．
【变式2】（2024 日照）如图，直线AB，CD相交于点O．若∠1＝40°，∠2＝120°，则∠COM的度数为（　　）
A．70° B．80° C．90° D．100°
【分析】根据对顶角相等以及图形中角的和差关系进行计算即可．
【解答】解：∵∠2＝∠BOC＝120°，∠1+∠COM＝∠BOC，∠1＝40°，
∴∠COM＝120°﹣40°＝80°．
故选：B．
【变式3】（2024 齐齐哈尔）将一个含30°角的三角尺和直尺如图放置，若∠1＝50°，则∠2的度数是（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】由对顶角的性质得到∠3＝∠1＝50°，∠2＝∠4，求出∠4＝90°﹣∠3＝40°，即可得到∠2的度数．
【解答】解：∵∠3＝∠1＝50°，
∴∠4＝90°﹣∠3＝40°，
∴∠2＝∠4＝40°．
故选：B．
【题型三】垂线
【例1】（2025 陕西）如图，点O在直线AB上，OC⊥OD．若∠1＝40°，则∠2的度数为（　　）
A．120° B．130° C．140° D．150°
【分析】求出∠AOD＝50°，再根据平角的定义求解．
【解答】解：∵OC⊥OD，
∴∠COD＝90°，
∴∠AOD＝90°﹣∠1＝50°，
∴∠2＝180°﹣AOD＝130°．
故选：B．
【变式1】（2024 北京）如图，直线AB和CD相交于点O，OE⊥OC．若∠AOC＝58°，则∠EOB的大小为（　　）
A．29° B．32° C．45° D．58°
【分析】根据垂直的定义得出∠COE＝∠DOE＝90°，再由对顶角相等得出∠BOD＝∠AOC＝58°，由∠EOB＝90°﹣∠BOD进行计算即可．
【解答】解：∵OE⊥OC，
∴∠COE＝∠DOE＝90°，
∵∠BOD＝∠AOC＝58°，
∴∠EOB＝90°﹣58°＝32°．
故选：B．
【变式2】（2024 雅安）如图，直线AB，CD交于点O，OE⊥AB于O，若∠1＝35°，则∠2的度数是（　　）
A．55° B．45° C．35° D．30°
【分析】已知OE⊥AB，∠1＝35°，可得∠AOC的度数，因为对顶角∠2＝∠AOC，即得∠2的度数．
【解答】解：∵OE⊥AB，∠1＝35°，
∴∠AOC＝55°，
∴∠2＝∠AOC＝55°，
故选：A．
【题型四】垂线段最短
【例1】（2025 广西模拟）金秋十月，小明同学捡到一片沿直线被折断了的银杏叶（如图），他发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（　　）
A．两点确定一条直线
B．两点之间，线段最短
C．垂线段最短
D．经过一点有无数条直线
【分析】由线段的性质：两点之间，线段最短，即可得到答案．
【解答】解：能正确解释这一现象的数学知识是：两点之间，线段最短．
故选：B．
【变式1】（2025 朝阳区二模）如图，用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（　　）
A．两点之间，线段最短
B．经过一点有无数条直线
C．两点确定一条直线
D．垂线段最短
【分析】由线段的性质：两点之间，线段最短，即可判断
【解答】解：用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是：两点之间，线段最短．
故选：A．
【变式2】（2025 北京校级二模）下列各选项能用“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”来解释的现象是（　　）
A．测量跳远成绩
B．木板上弹墨线
C．两钉子固定木条
D．弯曲河道改直
【分析】根据垂线段最短、两点确定一条直线和两点之间、线段最短逐项判断即得答案．
【解答】解：A、测量跳远成绩可以用“垂线段最短”来解释，故本选项符合题意；
B、木板上弹墨线可以用“两点确定一条直线”来解释，故本选项不符合题意；
C、两钉子固定木条可以用“两点确定一条直线”来解释，故本选项不符合题意；
D、弯曲河道改直可以用“两点之间，线段最短”来解释，故本选项不符合题意，
故选：A．
【题型五】点到直线的距离
【例1】（2025 武汉三模）如图，笔直小路DE的一侧栽种有两棵小树BM，CN，小明测得AB＝3m，AC＝5m，则点A到DE的距离可能为（　　）
A．5m B．4m C．3m D．2m
【分析】先指出点A到DE的斜线段和垂线段，根据垂线的性质：垂线段最短进行解答即可．
【解答】解：∵AB，AC是点A到DE的斜线段，表示点A到DE的距离的线段是垂线段，
根据垂线性质：垂线段最短，
∴A到DE的距离小于AB，
∵AB＝3，
∴A到DE的距离可能为2，
故选：D．
【变式1】（2025 武安市二模）如图，线段BA垂直于直线AC于点A，线段AD垂直于射线BC于点D，直线AC交射线BD于点则点C．则点B到直线AC的距离为（　　）
A．线段AB的长 B．线段BD的长
C．线段AD的长 D．线段AC的长
【分析】根据点到直线的距离的定义结合图形选择即可．
【解答】解：根据点到直线的距离的定义可知：
点B到直线AC的距离是线段AB的长．
故选：A．
【变式2】（2025 闽侯县校级模拟）如图，点A，D在直线m上，点B，C在直线n上，AB⊥n，AC⊥m，BD⊥m，点A到直线BD的距离是（　　）
A．线段AD的长度 B．线段BC的长度
C．线段AB的长度 D．线段BD的长度
【分析】根据点到直线的距离可得结论．
【解答】解：∵BD⊥m，点A在直线m上，
∴点A到直线BD的距离是线段AD的长度．
故选：A．
【变式3】（2025 清镇市模拟）如图，点P在直线l外，点A，B，C，D在直线l上，且PA＝3.6，PB＝3.2，PC＝3，PD＝3.8，则点P到直线l的距离是（　　）
A．3 B．3.2 C．3.6 D．3.8
【分析】直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，由此即可判断．
【解答】解：∵PC⊥l，
∴P到直线l的距离是线段PC的长是3．
故选：A．
【题型六】同位角、内错角、同旁内角
【例1】（2025 攀枝花）如图，直线a截直线b、c所得的一对同位角是（　　）
A．∠2与∠3 B．∠1与∠4 C．∠5与∠7 D．∠1与∠8
【分析】根据同位角的定义判断即可．
【解答】解：A、∠2与∠3是同旁内角，故此选项不符合题意；
B、∠1与∠4不是同位角，故此选项不符合题意；
C、∠5与∠7是同位角，故此选项符合题意；
D、∠1与∠8不是同位角，故此选项不符合题意；
故选：C．
【变式1】（2023 淄博）将含30°角的直角三角板按如图所示放置到一组平行线中，若∠1＝70°，则∠2等于（　　）
A．60° B．50° C．40° D．30°
【分析】由直线a∥b∥c，利用“两直线平行，同位角相等”可求出∠3的度数，再利用三角形外角的性质可求出∠4的度数，结合对顶角相等即可得出∠2的度数．
【解答】解：如图，
∵直线a∥b∥c，
∴∠3＝∠1＝70°．
∴∠4＝∠3﹣30°＝70°﹣30°＝40°，
∴∠2＝∠4＝40°．
故选：C．
【变式2】（2025 慈利县一模）关于如图中各角的说法不正确的是（　　）
A．∠1与∠2是同旁内角 B．∠1与∠4是内错角
C．∠3与∠5是对顶角 D．∠2与∠3是邻补角
【分析】根据同位角、内错角、对顶角的定义判断即可求解．
【解答】解：A、∠1与∠2是同旁内角，原说法正确，故此选项不符合题意；
B、∠1与∠4不是内错角，原说法错误，故此选项符合题意；
C、∠3与∠5是对顶角，原说法正确，故此选项不符合题意；
D、∠2与∠3是邻补角，原说法正确，故此选项不符合题意．
故选：B．
【变式3】（2025 云岩区校级模拟）如图，已知∠ABC与∠DEF，其中AB与EF相交，下列结论中错误的是（　　）
A．∠1与∠2是同旁内角 B．∠3与∠6是对顶角
C．∠2与∠5是内错角 D．∠3与∠5是同位角
【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角；有公共顶点，且角的两边互为反向延长线的两个角互为对顶角；据此分别进行分析可得答案．
【解答】解：A、∠1与∠2是同旁内角，原说法正确，不符合题意；
B、∠3与∠6是对顶角，原说法正确，不符合题意；
C、∠2与∠5不是内错角，原说法错误，符合题意；
D、∠3与∠5是同位角，原说法正确，不符合题意；
故选：C．
【题型七】平行公理及推论
【例1】（2024 常州）如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力F1、F2，则F1的力臂OA大于F2的力臂OB．这一判断过程体现的数学依据是（　　）
A．垂线段最短
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．两点确定一条直线
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【分析】根据垂线段最短判断即可．
【解答】解：F1的力臂OA大于F2的力臂OB．这一判断过程体现的数学依据是垂线段最短．
故选：A．
【变式1】（2025 霸州市模拟）如图，平面内，画已知直线l的平行线，能画的条数有（　　）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
【分析】根据平行线的定义、平行公理及推论即可得出答案．
【解答】解：平面内，画已知直线l的平行线，能画的条数有无数条．
故选：D．
【题型八】平行线的判定
【例1】（2024 德州）已知∠AOB，点P为OA上一点，用尺规作图，过点P作OB的平行线．下列作图痕迹不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据所给作图痕迹，结合平行线的判定，依次进行判断即可．
【解答】解：如图所示，
∵OM平分∠AOB，
∴∠AOM＝∠BOM，
又∵PO＝PM，
∴∠AOM＝∠PMO，
∴∠PMO＝∠BOM，
∴PM∥OB．
故A选项不符合题意．
如图所示，
∵OP＝OM，
∴∠OPM＝∠OMP．
又∵PN平分∠APM，
∴∠APN＝∠MPN．
据此无法得到判定PN∥OB的条件．
故B选项符合题意．
如图所示，
∵OP＝ON＝PM＝MN，
∴四边形OPMN是菱形，
∴PM∥OB．
故C选项不符合题意．
如图所示，
根据作图步骤可知，
这里作了一个角（∠APM）等于已知角（∠O），
∵∠APM＝∠O，
∴PM∥OB．
故D选项不符合题意．
故选：B．
【变式1】（2025 唐山校级二模）如图，把AB，CD，EF三根木条钉在一起，使之可以在连接点M，N处自由旋转，若∠1＝60°，∠2＝80°，则如何旋转木条AB才能使它与木条CD平行．以下说法正确的是（　　）
小明说：把木条AB绕点M逆时针旋转20°；
小刚说：把木条AB绕点M顺时针旋转150°．
A．小明的操作正确，小刚的操作错误
B．小明的操作错误，小刚的操作正确
C．小明和小刚的操作都正确
D．小明和小刚的操作都错误
【分析】根据小明的操作，能使∠1＝80°，可得AB∥CD；根据小刚的操作∠1＝90°，∠1≠∠2，故AB不平行CD．
【解答】解：小明：把木条绕点M逆时针旋转20°，
此时∠1的度数为60°+20°＝80°，
此时∠1＝∠2，
∴AB∥CD，
小刚：把木条绕点M顺时针旋转150°，
此时∠1的度数为150°﹣60°＝90°，
∵90°≠80°，
∴AB不平行CD，
故选：A．
【变式2】（2025 重庆校级三模）如图，能判断EF∥AB的条件是（　　）
A．∠EFC＝∠B B．∠ADE＝∠B C．∠ADE＝∠EFC D．∠DEF＝∠EFC
【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可．
【解答】解：∵∠EFC＝∠B，
∴EF∥AB，
故A符合题意；
∵∠ADE＝∠B，
∴DE∥BC，
故B不符合题意；
由∠ADE＝∠EFC，不能判定EF∥AB，
故C不符合题意；
∵∠DEF＝∠EFC，
∴DE∥BC，
故D不符合题意；
故选：A．
【变式3】（2025 德州）如图，∠DAC是△ABC的外角，射线AE在∠DAC的内部，添加一个条件 　∠DAE＝∠B（答案不唯一）　 ，使得AE∥BC．（写出一种情况即可）
【分析】当添加条件∠DAE＝∠B时，则可依据“同位角相等，两直线平行”判定AE∥BC；当添加条件∠EAC＝∠C时，则可依据“内错角相等，两直线平行”判定AE∥BC；当添加条件∠EAB+∠B＝180°时，则可依据“同旁内角互补，两直线平行”判定AE∥BC，由此即可得出答案（答案不唯一）．
【解答】解：当添加条件∠DAE＝∠B时，则AE∥BC，理由如下：
∵∠DAE＝∠B，
∴AE∥BC，
当添加条件∠EAC＝∠C时，则AE∥BC，理由如下：
∵∠EAC＝∠C，
∴AE∥BC，
当添加条件∠EAB+∠B＝180°时，则AE∥BC，理由如下：
∵∠EAB+∠B＝180°，
∴AE∥BC．
故答案为：∠DAE＝∠B（答案不唯一）．
【题型九】平行线的性质
【例1】（2025 淄博）已知：如图，AB∥CD，∠1＝36°，∠2＝60°，则∠3的度数是（　　）
A．36° B．34° C．26° D．24°
【分析】由AB∥CD，根据三角形外角的性质和平行线的性质可得∠3+∠1＝∠ECB＝∠2＝60°，即可得∠3＝24°．
【解答】解：由AB∥CD，∠1＝36°，∠2＝60°，
得∠3+∠1＝∠ECB＝∠2＝60°，
得∠3＝24°．
故选：D．
【变式1】（2025 东营区）2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图片为滑雪比赛的精彩瞬间，抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖AB和滑雪板DE平行，滑雪杖AB与大腿BC的夹角为30°，小腿CE与滑雪板DE的夹角为80°，则大腿与小腿的夹角∠C的度数为（　　）
A．80° B．90° C．100° D．110°
【分析】过C作CM∥AB，得到CM∥DE，推出∠BCM＝∠B＝30°，∠ECM＝∠E＝80°，即可求出∠BCM+∠ECM＝110°．
【解答】解：过C作CM∥AB，
∵AB∥DE，
∴CM∥DE，
∴∠BCM＝∠B＝30°，∠ECM＝∠E＝80°，
∴∠BCM+∠ECM＝30°+80°＝110°．
故选：D．
【变式2】（2025 苏州）如图，在A，B两地间修一条笔直的公路，从A地测得公路的走向为北偏东70°．若A，B两地同时开工，要使公路准确接通，则∠α的度数应为（　　）
A．100° B．105° C．110° D．115°
【分析】利用平行线的性质得出∠A+∠B＝180°，进而得出答案．
【解答】解：∵使公路准确接通，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝70°，
∴∠B＝110°．
即∠α的度数应为110°．
故选：C．
【变式3】（2025 河北）榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式．如图是某个构件的截面图，其中AD∥BC，∠ABC＝70°，则∠BAD＝（　　）
A．70° B．100° C．110° D．130°
【分析】由平行线的性质推出∠BAD+∠ABC＝180°，即可求出∠BAD的度数．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∵∠ABC＝70°，
∴∠BCD＝110°．
故选：C．
【题型十】平行线的判定与性质
【例1】（2025 宁夏）如图，直线l1，l2被直线l3所截，根据“同位角相等，两直线平行”判定l1∥l2，需要的条件是（　　）
A．∠1＝∠2 B．∠1＝∠3 C．∠1＝∠4 D．∠2＝∠3
【分析】根据同位角相等，两直线平行，结合图形，逐一判断各选项，可得到结果．
【解答】解：∠1＝∠2（对顶角相等），不符合“同位角相等，两直线平行”，故A选项错误，不符合题意；
∠1≠∠3，故B选项错误，不符合题意；
∠1＝∠4，符合“同位角相等，两直线平行”，得到l1∥l2，故C选项正确，符合题意；
∠2≠∠3，故D选项错误，不符合题意，
故选：C．
【变式1】（2025 福建）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，∠BAC＝∠EDF＝90°，∠B＝45°，∠DEF＝60°．当AD∥BC时，∠ADE的大小为（　　）
A．5° B．15° C．25° D．35°
【分析】结合三角形外角性质，根据平行线的判定定理与性质定理求解即可．
【解答】解：根据题意得，∠ACB＝45°，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB＝45°，
∵∠DEF＝∠DAC+∠ADE＝60°，
∴∠ADE＝15°，
故选：B．
【变式2】（2025 常州）如图，将两块相同的直角三角尺按图示摆放，则AB与CD平行．这一判断过程体现的数学依据是（　　）
A．垂线段最短
B．内错角相等，两直线平行
C．两点确定一条直线
D．平行于同一条直线的两条直线平行
【分析】根据内错角相等，两直线平行直接得到答案．
【解答】解：由题意得∠A＝∠D，
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
故选：B．
【题型十一】平行线之间的距离
【例1】（2024 邯郸二模）如图，已知点A在直线a上，C、B两点在直线b上，且a∥b，∠ABC是个钝角，若AB＝5，则a、b两直线的距离可以是（　　）
A．8 B．6 C．5 D．4
【分析】根据平行线之间的距离的定义即可得到答案．
【解答】解：根据平行线之间的距离的定义可得a、b两直线的距离应该小于5，
故选：D．
【变式1】（2025 南京模拟）在水平面内确定一条直线为基准线，规定：对该平面内不重合两点M，N，若以MN为斜边能作出直角三角形，且其中一条直角边垂直于基准线，则称两条直角边长度之和为点M，N的直角距离；若M，N两点所在的直线垂直或平行于基准线，则线段MN的长度为点M，N的直角距离．记点M，N的直角距离[MN]．如图，直线CD与基准线AB交于点O，点P在直线CD上，PQ垂直于AB，垂足为Q，且OQ＝2PQ，EF∥CD，，则[EF]的值为　3　 ．
【分析】根据题意得出EF与基准线的较小夹角的正切为，进而可得E，F的直角距离，即可求解．
【解答】解：OQ＝2PQ，EF∥CD，，如图，作点E作基准线AB的平行线EG，过点F作FG⊥EG于点G，
依题意，∠E＝∠POQ，
又∵OQ＝2PQ，PQ⊥OQ，
∴，
∴设FG＝a，则EG＝2a，
在直角三角形EFG中，由勾股定理得：，
∵，
∴a＝1，
∴[EF]＝EG+FG＝2+1＝3，
故答案为：3．
【变式2】（2025 云岩区校级模拟）如图，已知直线a∥b∥c，直线d与它们分别垂直且相交于A，B，C三点，若AC＝8，BC＝5，则平行线a，b之间的距离是 　3　 ．
【分析】依据直线a∥b∥c，直线d与它们分别垂直且相交于A，B，C三点，即可得到AB长为直线a和b之间的距离，BC长为直线b和c之间的距离，AC长为直线a和c之间的距离，再根据AC＝8，BC＝5，即可得出直线a与直线b之间的距离为3．
【解答】解：∵直线a∥b∥c，直线d与它们分别垂直且相交于A，B，C三点，
∴AB长为直线a和b之间的距离，BC长为直线b和c之间的距离，AC长为直线a和c之间的距离，
又∵AC＝8，BC＝5，
∴AB＝8﹣5＝3，
即直线a与直线b之间的距离为3．
故答案为：3．
【变式3】（2025 南昌二模）近年来，中国机器狗技术发展迅速．图1是某一型号的机器狗正常站立时的实物图，图2是它的侧面示意图，机身AD，大腿AB，DE和小腿BC，EF在它们之间的连接处可以转动调节姿态，调节过程中，机身、大腿、小腿的长度都不会发生变化，但位置、及以各接口处为顶点的角的大小可能发生改变．经测量，AD＝40cm，AB＝DE＝BC＝EF＝20cm．
（1）当机器狗处于正常站立时，机身AD平行于地面CF，∠ABC＝∠DEF＝120°，机器狗的高度可以看成A，C两点间的距离，求此时机器狗的高度．
（2）图3是机器狗坐下时的实物图，图4是其侧面示意图，此时，小腿EF紧贴地面，AB∥DE，BC∥EF，只调节机身AD与小腿EF所在直线形成的锐角，当其超过65°时，机器狗需要重新调整其他部分参数，才能坐得稳．请你通过推理计算，判断当BC与EF之间的距离为时，要使其坐得稳，该机器狗是否需要调整其他部分参数．
【分析】（1）连接AC，过点B作BG⊥AC于点G，则AC＝2AG，∠ABG＝60°，解直角三角形求出AG的长即可得到答案；
（2）连接BE，过点B作BM⊥EF于点M，可证明四边形ABED是平行四边形．则BE＝AD＝40cm，BE∥AD．解直角三角形得到∠BEM＝60°，即可得到结论．
【解答】解：（1）如图，连接AC，过点B作BG⊥AC于点G，
∵AB＝BC＝20cm，∠ABC＝120°，
∴AC＝2AG，∠ABG＝60°，
∴，
∴．
答：此时机器狗的高度为；
（2）如图，连接BE，过点B作BM⊥EF于点M，
∵AB∥DE，AB＝DE，
∴四边形ABED是平行四边形．
∴BE＝AD＝40cm，BE∥AD．
∴∠BEF的度数就是直线AD与EF的夹角的度数．
∵．
∴．
∴∠BEM＝60°，
∵65°＞60°，
∴不需要调整其他部分参数．
【课后练习】
1．（2025 广州）如图，直线AB，CD相交于点O，若∠1＝36°，则∠2的度数为　144　 °．
【分析】根据邻补角的定义进行计算即可．
【解答】解：∵∠1+∠2＝180°，而∠1＝36°，
∴∠2＝180°﹣36°＝144°，
故答案为：144．
2．（2024 广西）已知∠1与∠2为对顶角，∠1＝35°，则∠2＝　35　 °．
【分析】根据对顶角的定义即可作答．
【解答】解：∵∠1与∠2为对顶角，∠1＝35°，
∴∠2＝∠1＝35°．
故答案为：35．
3光线AO照射到镜面MN上，反射光线为OB，点B在PD上，若∠AOC＝35°，则∠OBD的度数为（　　）
A．35° B．45° C．55° D．65°
【分析】利用光的反射得∠BOD＝∠AOC＝35°，根据垂直的定义得∠ODB＝90°，再利用三角形内角和即可得出答案．
【解答】解：∵∠AOC＝35°，
∴∠BOD＝∠AOC＝35°，
∵PD⊥CD，
∴∠ODB＝90°，
∴∠OBD＝180°﹣90°﹣35°＝55°．
故选：C．
4．（2025 湖北模拟）如图，生活中，有以下两个现象，对于这两个现象的解释，正确的是（　　）
A．两个现象均可用两点之间线段最短来解释
B．现象1用垂线段最短来解释，现象2用经过两点有且只有一条直线来解释
C．现象1用垂线段最短来解释，现象2用两点之间线段最短来解释
D．现象1用经过两点有且只有一条直线来解释，现象2用垂线段最短来解释
【分析】分别根据垂线段的性质以及两点之间线段最短的性质判断即可．
【解答】解：现象1用垂线段最短来解释，现象2用两点之间线段最短来解释，
故选：C．
5．（2024 资阳）在△ABC中，∠A＝60°，AC＝4．若△ABC是锐角三角形，则边AB长的取值范围是 　2＜AB＜8　 ．
【分析】根据垂线段最短可知当BC⊥AB时，AB最短，当BC⊥AC时，AB最长，进而确定AB的取值范围即可．
【解答】解：如图，当CB1⊥AB1时，此时AB最短，AB1AC＝2，
当B2C⊥AC时，此时AB最长，AB2＝2AC＝8，
所以边AB长的取值范围是2＜AB＜8，
故答案为：2＜AB＜8．
6．（2025 青秀区二模）如图，已知直线a，b被直线c所截，则∠1的同位角是（　　）
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
【分析】根据同位角的定义判断即可．
【解答】解：∠1的同位角是∠3，
故选：B．
7．（2025 溧阳市校级模拟）如图，污水处理厂要从A处把处理过的水引入排水沟PQ，做法如下：过点A作AB⊥PQ于点B，沿着AB方向铺设排水管道可用料最省．能准确解释这一现象的数学知识是（　　）
A．两点之间线段最短
B．两点确定一条直线
C．垂线段最短
D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
【分析】由垂线的性质：垂线段最短，即可判断．
【解答】解：过点A作AB⊥PQ于点B，沿着AB方向铺设排水管道可用料最省．能准确解释这一现象的数学知识是：垂线段最短．
故选：C．
7．（2024 南通）如图，点D在△ABC的边AB上，DF经过边AC的中点E，且EF＝DE．求证：CF∥AB．
【分析】证明△ADE≌△CFE（SAS），得出∠ADE＝∠CFE，得到CF∥AB．
【解答】证明：∵E是AC的中点，
∴AE＝CE，
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（SAS），
∴∠ADE＝∠CFE，
∴CF∥AB．
8．（2025 甘肃）如图1，三根木条a，b，c相交成∠1＝80°，∠2＝110°，固定木条b，c，将木条a绕点A顺时针转动至如图2所示，使木条a与木条b平行，则可将木条a旋转（　　）
A．30° B．40° C．60° D．80°
【分析】根据两直线平行同位角相等，求出旋转后∠2的度数，然后用旋转前∠2的度数减去旋转后∠2的度数即可得到木条a旋转的度数．
【解答】解：如图2所示，
∵a∥b，
∴旋转后∠2＝∠1＝80°，
∴要使木条a与b平行，木条a绕点A顺时针旋转的度数是110°﹣80°＝30°．
故选：A．
9．（2024 自贡）如图，在△ABC中，DE∥BC，∠EDF＝∠C．
（1）求证：∠BDF＝∠A；
（2）若∠A＝45°，DF平分∠BDE，请直接写出△ABC的形状．
【分析】（1）根据DE∥BC，得到∠C＝∠AED，再根据∠EDF＝∠C，得到∠AED＝∠EDF，从而得到DF∥AC，得出∠BDF＝∠A；
（2）通过（1）得出∠BDF＝45°，再根据角平分线，得出∠BDE＝90°＝∠B，由此得出△ABC是等腰直角三角形．
【解答】（1）证明：∵DE∥BC，
∴∠C＝∠AED，
∵∠EDF＝∠C，
∴∠AED＝∠EDF，
∴DF∥AC，
∴∠BDF＝∠A；
（2）解：∵∠A＝45°，
∴∠BDF＝45°，
∵DF平分∠BDE，
∴∠BDE＝2∠BDF＝90°，
∵DE∥BC，
∴∠B＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形．
10．（2025 巴中）如图，已知∠1＝40°，∠B＝50°，AB⊥AC，AD＝BC．
（1）求证：AD∥BC；
（2）求∠D的度数．
【分析】（1）先求出∠ACB的度数，再结合平行线的判定即可解决问题；
（2）根据题意，得出四边形ABCD是平行四边形，据此可解决问题．
【解答】（1）证明：∵AB⊥AC，∠B＝50°，
∴∠ACB＝90°﹣50°＝40°．
又∵∠1＝40°，
∴∠1＝∠ACB，
∴AD∥BC；
（2）解：∵AD＝BC，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D＝∠B＝50°．
11．（2025 江西）（1）计算：|﹣3|（﹣1）；
（2）如图，已知点C在AE上，AB∥CD，∠1＝∠2．求证：AE∥DF．
【分析】（1）根据有理数加减混合运算法则求解即可；
（2）根据平行线的判定定理与性质定理求证即可．
【解答】（1）解：原式＝3+1+1＝5；
（2）证明：∵AB∥CD，
∴∠ACD＝∠1，
∵∠1＝∠2，
∴∠ACD＝∠2，
∴AE∥DF．
12．（2024 盐城）已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，AE∥BF，AE＝BF．
若 　③　 ，则AB＝CD．
请从①CE∥DF；②CE＝DF；③∠E＝∠F这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由．
【分析】选择①，利用AAS证明△AEC≌△BFD，即可得到AC＝BD，减去公共边BC，得到AB＝CD；
选择②，无法证明；
选择③，利用ASA证明△AEC≌△BFD，即可得到AC＝BD，减去公共边BC，得到AB＝CD．
【解答】证明：选择①，
∵AE∥BF，
∴∠A＝∠FBD，
∵CE∥DF，
∴∠ACE＝∠D，
在△AEC和△BFD中，
，
∴△AEC≌△BFD（AAS），
∴AC＝BD，
∴AB＝CD；
选择③，
∵AE∥BF，
∴∠A＝∠FBD，
在△AEC和△BFD中，
，
∴△AEC≌△BFD（ASA），
∴AC＝BD，
∴AB＝CD．
13．（2025 永州模拟）如图，四边形BCDE中，BC∥DE，∠EBC＝120°，BE＝2，若BA平分∠EBC，则BC与DE之间的距离是　　 ．
【分析】作BF⊥DE于点F，根据平行线的性质得∠B＝60°，在Rt△BEF中，根据BE＝2，可求出BF，即可得出答案．
【解答】解：如图，作BF⊥DE于点F，
∵BC∥DE，
∴∠E+∠EBC＝180°，
∵∠EBC＝120°，
∴∠B＝60°，
在Rt△BEF中，sin∠E，
∵BE＝2，
∴sin60°，
∴BF，
∴BC与DE之间的距离是．
故答案为：

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