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课时30 求阴影图形的面积
一、割补法求图形面积
知识剖析
割补法求图形面积：
圆环面积＝大圆面积－ 小圆面积
2、阴影面积＝ 整体－空白
启发探索
1 .学校有一个圆形花坛，直径是，绕花坛修一条宽的小路，这条小路的面积是 平方米．（取）
【答案】
【解析】
答：这条小路的面积是．
2 .一个圆环，内圆直径是分米，环宽分米，这个圆环的面积是 平方分米。（取）
【答案】 21.98
【解析】 内圆直径为分米，半径为分米，则外圆半径内圆半径环宽，(分米)。根据圆环面积外圆面积内圆面积，计算可得，(平方分米)。也可以根据环形面积公式推导，
(平方分米)。
3 .如图阴影部分的面积是 平方米。（单位：米 ，取）
【答案】 343
【解析】 解：（平方米）
答：阴影部分的面积是平方米。
练习题1
1 .一个圆环，外圆直径是厘米，环宽厘米，环形面积是 平方厘米．（取）
【答案】
【解析】 外圆半径：（厘米），内圆半径：（厘米），环形面积：（平方厘米）．
故答案为：．
2 .一块圆形菜地的周长的是，这块圆形菜地的半径是 ，面积是 ，如果要在菜地的正中央挖一个半径为的圆形小湖用于浇水灌溉，那么实际种菜的面积是 ．（取）
【答案】
【解析】
，
，
种菜面积：
．
3 .如图，圆的周长是.厘米，圆的面积与长方形的面积正好相等．图中阴影部分的周长是 厘米．（取）
【答案】
【解析】 如图，设，，由已知，于是有．阴影部分的周长为圆周长（厘米）．
4 .计算阴影部分的周长．（）
【答案】．
【解析】()()．
故答案为：．
5 .—个环形的内圆直径是，外圆半径是，这个环形的面积是 ．（取）
【答案】
【解析】 这个环形的面积大圆的面积小圆的面积（平方厘米）．
二、圆环面积及其应用
追本溯源
同学们对圆已经有了很深刻的理解了，与圆相关的内容都绕不开一个东西，那就是圆周率“”，同学们知道为什么要用希腊字母“”表示圆周率么？这其中有什么历史么？
很早以前，人们就发现圆的周长和直径的比是一个常数，与圆的大小无关，我们把这个 常数称为圆周率．年英国的威廉·琼斯首先使用“”表示圆周率，“”是希腊字母中的第个，是希腊语“圆周”的第一个字母．但是他的符号并未被大家认可和采用．直到年，大数学家欧拉在书信和论文中使用“”来代表圆周率，所以大家也默认用“”来表示圆周率了，并且一直把这个习惯保留到了今天．
知识剖析
圆环: 圆环面积= 大圆面积- 小圆面积
注意:圆环面积可用半径 平方差表示
π（-）
温故知新
1 .半圆的圆心角是 度，占它所在圆的 （填分数）．
现有一半圆的半径是，求它的面积，应该先求出圆的面积，再算出半圆的面积是 ．（保留）
【答案】
【解析】 半圆的圆心角是，占所在圆的，要求它的面积，可以先求出整个圆的面积再除以求出，保留化简后的结果应该是．
探索
1 .如图所示，两个同心圆的半径分别是和，求阴影部分的面积．（结果用含的式子表示）
【答案】．
【解析】．
例题
1 .如图所示，一个圆形花坛半径是米，在外围修建一条宽米的小路，求小路覆盖的面积．（取）
【答案】．
【解析】（平方米）．
2 .下图中扇环的面积为 平方厘米，其中大圆半径是厘米，小圆半径是厘米．（取）
【答案】
【解析】 扇环面积：（平方厘米）．
或：（平方厘米）．
拓展
1 .如图，小圆切线线段的长度为厘米，请问圆环面积为 平方厘米（取3.14）（提示：直角三角形中，斜边平方等于直角边平方和）

【答案】
【解析】，（平方厘米）
铺垫
1 .圆的半径为，以圆心为顶点，半径为边长做一个正方形．若正方形的面积为，求圆的面积．（取）
【答案】．
【解析】 正方形的面积为，但无法得知半径为多少，先保留整体；
圆的面积，将整体代入，得．
挑战
1 . 大圆半径为，小圆半径为，两个同心圆构成一个环形．以圆心为顶点，半径为边长作一个正方形；再以为顶点，以为边长作一个小正方形．图中阴影部分的面积为平方厘米，求环形 的面积．（取）
【答案】平方厘米．
【解析】 方法一：环形的面积应该用大圆的面积减去小圆的面积，但分别求出两个圆的面积显然不可能．题中已知阴影部分的面积，也就是（平方厘米），那么环形的面积为：
（平方厘米）．
方法二：图中阴影部分的面积就是分别以两个圆半径为边长的正方形的面积差，环形面积，可推出环形面积．所以环形面积为（平方厘米）．
（厘米）
（平方厘米）
答：环形的面积是平方厘米．
练习题2
1 .下图中有一个圆环，由两个同心圆组成，两个圆的半径分别为米和米，求阴影部分的面积．（取）
【答案】平方米 ．
【解析】 大圆的面积：；小圆的面积：；阴影部分的面积可以看成是大圆去掉小圆后剩余的部分，即阴影整体空白，面积为：平方米．
2 .下图中大圆半径是，小圆半径是．图中阴影部分的面积是 （取）．
【答案】
【解析】．
3 .如图所示，有四个同心圆，已知最小圆的半径是，这四个圆的半径从小到大是公差为的等差数串，求阴影部分的面积之和．（取）
【答案】
【解析】 小圆环的面积是：，大圆环的面积是：，所以阴影部分的面积之和为：．
三、弓形面积
知识剖析
圆形衍生图形： ①常见衍生图形： 弯角 、 弓形 、谷形、金鱼 ②弯角、弓形面积：整体减 空白
谷形、金鱼面积：转化成求 弓形
例题
1 .如图，大正方形的面积为，被平均分成个相同的小正方形．请依次求出每个小正方形内阴影部分的面积、、、．（取）
【答案】；；；．
【解析】 （）弯角，面积为小正方形减扇形，，
（）弓形，面积为扇形减等腰直角三角形，；
（）谷形，面积为两个弓形，即；
或者从容斥原理角度理解：面积为两个扇形减正方形．
（）阴影部分像鱼的形状，右上角为鱼头，左下角为鱼尾，将鱼头一分为二分别补到鱼尾处，阴影部分就变成一个弓形，即．
2 .已知大圆半径为，求下图阴影部分面积．（取）
【答案】．
【解析】 阴影部分为个金鱼，将金鱼变换为弓形，如下图所示．根据圆中方可知，阴影面积为．
例题
1 .下图是一个半径为的四分之一圆和两个半径为的半圆周构成的图形，那么，它的阴影部分的面积为 ．（保留）
【答案】
【解析】 两个半圆重合的面积为．
拓展
1 .如图，在方格表中，分别以、为圆心，半径是、，圆心角都是度的两段圆弧与正方形的边界围成了一个“带形”，那么这个带形的面积是多少 （保留)
【答案】
【解析】
练习题3
1 .求下列图形中阴影的面积．（取）
【答案】，，．
【解析】
．
2 .下图是一个大半圆，则阴影部分的面积是 ．（取）
【答案】
【解析】 阴影部分的面积等于大半圆的面积减去直角三角形的面积再减去小半圆的面积：
．
3 .计算图中阴影部分的面积．（单位：厘米，取）
【答案】厘米．
【解析】
平方厘米．课时30 求阴影图形的面积
一、割补法求图形面积
知识剖析
割补法求图形面积：
圆环面积＝大圆面积－ 小圆面积
2、阴影面积＝ 整体－空白
启发探索
1 .学校有一个圆形花坛，直径是，绕花坛修一条宽的小路，这条小路的面积是 平方米．（取）
2 .一个圆环，内圆直径是分米，环宽分米，这个圆环的面积是 平方分米。（取）
3 .如图阴影部分的面积是 平方米。（单位：米 ，取）
练习题1
1 .一个圆环，外圆直径是厘米，环宽厘米，环形面积是 平方厘米．（取）
2 .一块圆形菜地的周长的是，这块圆形菜地的半径是 ，面积是 ，如果要在菜地的正中央挖一个半径为的圆形小湖用于浇水灌溉，那么实际种菜的面积是 ．（取）
3 .如图，圆的周长是.厘米，圆的面积与长方形的面积正好相等．图中阴影部分的周长是 厘米．（取）
4 .计算阴影部分的周长．（）
5 .—个环形的内圆直径是，外圆半径是，这个环形的面积是 ．（取）
二、圆环面积及其应用
追本溯源
同学们对圆已经有了很深刻的理解了，与圆相关的内容都绕不开一个东西，那就是圆周率“”，同学们知道为什么要用希腊字母“”表示圆周率么？这其中有什么历史么？
很早以前，人们就发现圆的周长和直径的比是一个常数，与圆的大小无关，我们把这个 常数称为圆周率．年英国的威廉·琼斯首先使用“”表示圆周率，“”是希腊字母中的第个，是希腊语“圆周”的第一个字母．但是他的符号并未被大家认可和采用．直到年，大数学家欧拉在书信和论文中使用“”来代表圆周率，所以大家也默认用“”来表示圆周率了，并且一直把这个习惯保留到了今天．
知识剖析
圆环: 圆环面积= 大圆面积- 小圆面积
注意:圆环面积可用半径 平方差表示
π（-）
温故知新
1 .半圆的圆心角是 度，占它所在圆的 （填分数）．
现有一半圆的半径是，求它的面积，应该先求出圆的面积，再算出半圆的面积是 ．（保留）
探索
1 .如图所示，两个同心圆的半径分别是和，求阴影部分的面积．（结果用含的式子表示）
例题
1 .如图所示，一个圆形花坛半径是米，在外围修建一条宽米的小路，求小路覆盖的面积．（取）
2 .下图中扇环的面积为 平方厘米，其中大圆半径是厘米，小圆半径是厘米．（取）
拓展
1 .如图，小圆切线线段的长度为厘米，请问圆环面积为 平方厘米（取3.14）（提示：直角三角形中，斜边平方等于直角边平方和）

铺垫
1 .圆的半径为，以圆心为顶点，半径为边长做一个正方形．若正方形的面积为，求圆的面积．（取）
挑战
1 . 大圆半径为，小圆半径为，两个同心圆构成一个环形．以圆心为顶点，半径为边长作一个正方形；再以为顶点，以为边长作一个小正方形．图中阴影部分的面积为平方厘米，求环形 的面积．（取）
练习题2
1 .下图中有一个圆环，由两个同心圆组成，两个圆的半径分别为米和米，求阴影部分的面积．（取）
2 .下图中大圆半径是，小圆半径是．图中阴影部分的面积是 （取）．
3 .如图所示，有四个同心圆，已知最小圆的半径是，这四个圆的半径从小到大是公差为的等差数串，求阴影部分的面积之和．（取）
三、弓形面积
知识剖析
圆形衍生图形： ①常见衍生图形： 弯角 、 弓形 、谷形、金鱼 ②弯角、弓形面积：整体减 空白
谷形、金鱼面积：转化成求 弓形
例题
1 .如图，大正方形的面积为，被平均分成个相同的小正方形．请依次求出每个小正方形内阴影部分的面积、、、．（取）
2 .已知大圆半径为，求下图阴影部分面积．（取）
例题
1 .下图是一个半径为的四分之一圆和两个半径为的半圆周构成的图形，那么，它的阴影部分的面积为 ．（保留）
拓展
1 .如图，在方格表中，分别以、为圆心，半径是、，圆心角都是度的两段圆弧与正方形的边界围成了一个“带形”，那么这个带形的面积是多少 （保留)
练习题3
1 .求下列图形中阴影的面积．（取）
2 .下图是一个大半圆，则阴影部分的面积是 ．（取）
3 .计算图中阴影部分的面积．（单位：厘米，取）

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