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第七单元 命题与证明题型总结讲义
【题型一】平行公理及推论
【例1】（2025春 襄城县期末）如图是一个可折叠的衣架，AB是水平地面，点A，B，M，N，P在同一平面内．当∠1＝∠2且∠3＝∠4时，可判定点N，P，M在同一条直线上，判定依据是（　　）
A．两点确定一条直线
B．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【分析】根据过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行解决问题即可．
【解答】解：当∠1＝∠2时，PM∥AB；∠3＝∠4时，PN∥AB，
根据“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”就可以确定点N，P，M在同一直线上．
故选：C．
【变式1】（2025 冷水滩区校级开学）三条直线a、b、c，若a∥b，b∥c，则a与c的位置关系是（　　）
A．a与c相交 B．a与c平行 C．a与c重合 D．无法确定
【分析】根据平行公理的推论直接得出结论．
【解答】解：∵a∥b，b∥c，
∴a∥c，
∴a与c平行，
故选：B．
【变式2】（2025 溧阳市校级模拟）如图，污水处理厂要从A处把处理过的水引入排水沟PQ，做法如下：过点A作AB⊥PQ于点B，沿着AB方向铺设排水管道可用料最省．能准确解释这一现象的数学知识是（　　）
A．两点之间线段最短
B．两点确定一条直线
C．垂线段最短
D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
【分析】由垂线的性质：垂线段最短，即可判断．
【解答】解：过点A作AB⊥PQ于点B，沿着AB方向铺设排水管道可用料最省．能准确解释这一现象的数学知识是：垂线段最短．
故选：C．
【变式3】（2025春 滨海新区校级月考）下列说法正确的是（　　）
A．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．垂直于同一条直线的两条直线互相平行
C．直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到直线的距离
D．同一平面内不相交的两条直线叫做平行线
【分析】利用平行公理、点到直线的距离、平行线的定义分别对四个选项进行判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：根据平行公理、点到直线的距离、平行线的定义逐项分析判断如下：
A、平面内经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故选项错误；
B、同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故选项错误；
C、直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故选项错误；
D、同一平面内，不相交的两条直线是平行线，正确；
故选：D．
【题型二】平行线的性质
【例1】（2025秋 蒙城县期中）如图，直线a∥b，直线c⊥d，若∠1＝a，则∠2＝（　　）
A．α+90° B．α﹣90° C．180°﹣α D．2α﹣180°
【分析】利用平行线的性质算出∠3，用补角、余角、对顶角推算出∠2的度数．
【解答】解：如下图
∵a∥b（已知），
∴∠1＝∠3＝α（两直线平行，同位角相等），
∴∠4＝180°﹣∠3＝180°﹣α，
∵直线c⊥d，
∴∠5＝90°，
∴∠2＝∠6＝90°﹣∠4＝90°﹣（180°﹣α）＝α﹣90°，
则∠2的度数α﹣90°，
故选：B．
【变式1】（2025秋 沙坪坝区校级期中）如图，已知直线l1∥l2，∠1＝130°，则∠2的度数为（　　）
A．120° B．60° C．130° D．50°
【分析】根据平行线的性质进行计算即可．
【解答】解：∵l1∥l2，
∴∠1+∠2＝180°．
又∵∠1＝130°，
∴∠2＝50°．
故选：D．
【变式2】（2024秋 钟山区期末）如图，a∥b，∠1＝48°，则∠2的度数是（　　）
A．42° B．48° C．72° D．132°
【分析】先利用对顶角相等求得∠3的度数，根据两直线平行同旁内角互补，即可求解．
【解答】解：∵a∥b，∠1＝48°，
∴∠3＝∠1＝48°（对顶角相等），
∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣48°＝132°，
故选：D．
【变式3】（2025 湖南一模）如图，直线a，b被直线c所截，若a∥b，∠1＝70°，则∠2的度数为（　　）
A．110° B．100° C．80° D．70°
【分析】先根据平行线的性质求出∠3的度数，再由邻补角的定义即可得出结论．
【解答】解：∵a∥b，∠1＝70°，
∴∠3＝∠1＝70°，
∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣70°＝110°．
故选：A．
【题型三】平行线的判定与性质
【例1】（2025秋 昭平县期中）如图，已知BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为点D，F，且∠1＝∠2．
（1）试判断DG与BC的位置关系，并说明理由；
（2）若∠ADG＝40°，求∠2的度数．
【分析】（1）根据在同一平面内，垂直于同条直线的两直线平行由BD⊥AC，EF⊥AC，得到EF∥BD，根据平行线的性质得∠CBD＝∠2，由于∠1＝∠2，则∠CBD＝∠1，然后根据内错角相等，两直线平行可判断DG∥BC；
（2）根据垂直的定义、平角的定义求出∠1＝50°，据此求解即可．
【解答】解：（1）DG∥BC，理由如下：
∵BD⊥AC，EF⊥AC，
∴EF∥BD，
∴∠CBD＝∠2，
∵∠1＝∠2，
∴∠CBD＝∠1，
∴DG∥BC；
（2）∵BD⊥AC，
∴∠CDB＝90°，
∵∠ADG＝40°，
∴∠1＝180°﹣40°﹣90°＝50°，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠1＝50°．
【变式1】（2025春 莆田期中）如图，已知∠A＝∠C，∠1+∠2＝180°，试猜想AB与CD之间有怎样的位置关系？并说明理由，请你将下列证明过程补充完整．
结论：AB∥CD．
证明：∵∠1+∠2＝180°（已知），
AD ∥BC （　同旁内角互补，两直线平行　 ），
∴∠C ＝∠EDA （两直线平行，同位角相等）．
又∵∠A＝∠C（已知），
∴∠A ＝∠EDA （等量代换），
∴AB∥CD（　内错角相等，两直线平行　 ）．
【分析】根据平行线的判定与性质进行判断即可．
【解答】猜想：AB∥CD．
证明：
∵∠1+∠2＝180°（已知），∠1与∠2是直线AD与直线BC被直线AB（或DC延长线）所截得到的同旁内角，
∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠C＝∠EDA（两直线平行，同位角相等）．
又∵∠A＝∠C（已知），
∴∠A＝∠EDA（等量代换），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：AD，BC，同旁内角互补，两直线平行；
C，EDA；
A，EDA；
内错角相等，两直线平行．
【变式2】（2025秋 北林区校级期中）如图，已知AD⊥BC于点D，EF⊥BC于点F，AD平分∠BAC．求证：∠E＝∠1．
【分析】由AD垂直于BC，EF垂直于BC，得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行得到AD与EF平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再由AD为角平分线得到一对角相等，等量代换即可得证．
【解答】证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知），
∴∠ADC＝90°，∠EFC＝90°（垂直的定义），即∠ADC＝∠EFC＝90°，
∴AD∥EF（同位角相等，两直线平行）．
∴∠1＝∠BAD（两直线平行，内错角相等），∠E＝∠CAD（两直线平行，同位角相等）．
又∵AD平分∠BAC（已知），
∴∠BAD＝∠CAD（角平分线的定义）．
∴∠1＝∠E（等量代换）．
【变式3】（2025秋 淮上区期中）如图，∠1+∠2＝180°，CE∥BG．
（1）求证：AB∥CD；
（2）求证：∠3＝∠B．
【分析】（1）根据平角的定义和平行线的判定定理即可得到结论；
（2）根据平行线的性质定理即可得到结论．
【解答】证明：（1）∵∠2+∠CDE＝180°，∠1+∠2＝180°，
∴∠CDE＝∠1，
∴AB∥CD；
（2）∵CE∥BG，
∴∠B＝∠CEA，
∵AB∥CD，
∴∠CEA＝∠3，
∴∠3＝∠B．
【题型四】命题与定理
【例1】（2025秋 昭平县期中）下列命题中，属于真命题的是（　　）
A．对顶角相等 B．若|a|＝|b|，则a＝b
C．如果ab＞0，则a＞0，b＞0 D．同位角相等
【分析】由绝对值的性质，对顶角相等，有理数的乘法法则，同位角的定义，即可判断．
【解答】解：A、此命题是真命题，故A符合题意；
B、若|a|＝|b|，则a＝±b，故B不符合题意；
C、有可能a＜0，b＜0，故C不符合题意；
D、两直线平行，同位角相等，故D不符合题意．
故选：A．
【变式1】（2024秋 莲池区期末）下列命题是真命题的是（　　）
A．9的平方根是3
B．是小于2的无理数
C．三角形的内角和是180°
D．数据﹣2，0，3，3的平均数是1.5
【分析】根据及平方根、无理数的大小估算、三角形内角和定理，平均数的定义逐一判断即可．
【解答】解：根据真假命题，涉及平方根、无理数的大小估算、三角形内角和定理，平均数逐项分析判断如下：
A、9的平方根是±3，原命题是假命题，不符合题意；
B、，即是大于2的无理数，原命题是假命题，不符合题意；
C、三角形的内角和是180°，原命题是真命题，符合题意；
D、数据﹣2，0，3，3的平均数是，原命题是假命题，不符合题意；
故选：C．
【变式2】（2025秋 广州月考）下列命题的逆命题为假命题的是（　　）
A．在三角形中，等边对等角
B．两直线平行，同位角相等
C．全等三角形的对应角相等
D．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
【分析】根据逆命题的概念，分别写出各个命题的逆命题，依次判断，即可求解，
【解答】解：A、逆命题为：在三角形中，等角对等边，是真命题，不符合题意，
B、逆命题为：同位角相等，两直线平行，是真命题，不符合题意，
C、逆命题为：对应角相等的三角形是全等三角形，是假命题，符合题意，
D、逆命题为：两条直角边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形，是真命题，不符合题意，
故选：C．
【变式3】（2025秋 蒙城县期中）下列命题中，真命题是（　　）
A．同角的余角相等
B．同位角相等
C．一个正数的平方根总是正数
D．如果两角相等，那么这两个角是对顶角
【分析】选项A是余角的性质，正确；选项B缺少两直线平行的条件，错误；选项C忽略负平方根，错误；选项D相等的角不一定是对顶角，错误．
【解答】解：根据真假命题的判断及各选项相关知识点逐项分析判断如下：
A、同角的余角相等，正确，故A为真命题，符合题意；
B、同位角相等需两直线平行，否则不一定相等，故B为假命题，不符合题意；
C、正数的平方根有正负两个，不总是正数，故C为假命题，不符合题意；
D、相等的角不一定是对顶角（如等腰三角形的底角），故D为假命题，不符合题意；
故选：A．
【题型五】反证法
【例1】（2025 湖南模拟）用反证法证明“如果a＞b＞0，则”是真命题时，应假设（　　）
A． B． C．a＜b D．a≤b
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，据此进行解答即可．
【解答】解：反证法证明“若a＞b＞0，则”时，假设，
故选：B．
【变式1】（2024秋 衡阳期末）用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：
①∠A+∠B+∠C＝90°+90°+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角（∠A、∠B、∠C）中有两个直角，不妨设∠A＝∠B＝90°．正确顺序的序号为（　　）
A．③②① B．①③② C．②③① D．③①②
【分析】根据反证法的一般步骤解答，判断即可．
【解答】解：反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：
假设三角形的三个内角（∠A、∠B、∠C）中有两个直角，不妨设∠A＝∠B＝90°；
则∠A+∠B+∠C＝90°+90°+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，∠A＝∠B＝90°不成立；
所以一个三角形中不能有两个直角，
故选：D．
【变式2】（2025春 兴庆区校级期中）下列说法错误的是（　　）
A．用反证法证明“a＞b”时，应假设a≤b
B．“同位角相等，两直线平行”的逆命题是真命题
C．三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三边的距离相等
D．边长为3，6的等腰三角形的周长为15
【分析】根据反证法、平行线的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形判断即可．
【解答】解：A、用反证法证明“a＞b”时，应假设a≤b，说法正确，不符合题意；
B、“同位角相等，两直线平行”的逆命题是：两直线平行，同位角相等，是真命题，故本选项说法正确，不符合题意；
C、三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，故本选项说法错误，符合题意；
D、边长为3，6的等腰三角形的周长为15，说法正确，不符合题意；
故选：C．
【变式3】（2025春 海曙区期末）用反证法证明“△ABC中，若∠A＞∠B＞∠C，则∠A＞60°”，第一步应假设（　　）
A．∠A＝60° B．∠A＜60° C．∠A≠60° D．∠A≤60°
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断；需注意的是∠A＞60°的反面有多种情况，应一一否定．
【解答】解：∠A与60°的大小关系有∠A＞60°，∠A＝60°，∠A＜60°三种情况，因而∠A＞60°的反面是∠A≤60°．因此用反证法证明“∠A＞60°”时，应先假设∠A≤60°．
故选：D．
【题型六】拐点模型（铅笔头模型、猪蹄模型）
【例1】（2025秋 北林区校级期中）如图，已知直线AB∥CD，E，F分别是AB，CD上的点，点G在直线AB，CD内部，且∠AEG＝30°，∠CFG＝45°．
（1）求∠EGF的度数．
（2）如图2，射线EG绕点E以每秒5°的速度逆时针旋转，交直线CD于点P，设运动时间为t秒（0＜t＜30）．当t＝21时，试探究EP与GF的位置关系，并说明理由．
（3）在（2）中，射线FG绕点F同时以每秒10°的速度顺时针旋转得到射线FQ．当FQ∥EP时，请直接写出t的值．
【分析】（1）过点G作HG∥AB，根据平行线的性质可得∠EGH＝∠AEG＝30°，∠HGF＝∠CFG＝45°，进而即可求解；
（2）根据t＝21得出∠GEP＝21×5°＝105°，进而求得∠AEP＝30°+105°＝135°，∠CPE＝45°根据∠GFC＝45°，即可得出结论；
（3）分两种情况讨论，当射线FG绕点F旋转小于180°时，当射线FG绕点F旋转大于180°时，分别讨论，即可求解．
【解答】解：（1）如图所示，过点G作HG∥AB
∵AB∥CD，
∴GH∥CD，
∵∠AEG＝30°，∠CFG＝45°．
∴∠EGH＝∠AEG＝30°，∠HGF＝∠CFG＝45°，
∴∠EGF＝30°+45°＝75°；
（2）EP∥GF，理由如下，
∵射线EG绕点E以每秒5°的速度逆时针旋转，t＝21，
∴∠GEP＝21×5°＝105°，
∴∠AEP＝30°+105°＝135°，
∴∠BEP＝45，
∵AB∥CD，
∴∠CPE＝∠BEP＝45°，
又∵∠GFC＝45°，
∴EP∥GF；
（3）如图所示，当射线FG绕点F旋转小于180°时，
∵∠GFQ＝10t°，∠GEP＝5t°，∠AEG＝30°，∠CFG＝45°，
∴∠AEP＝（30+5t）°，∠CFQ＝（45+10t）°，
∵AB∥CD，
∴∠AEP＝∠EPD，
又∵EP∥FQ，
∴∠EPF+∠CFQ＝180°，
∴30+5t+45+10t＝180，
解得：t＝7，
如图所示，当射线FG绕点F旋转大于180°时，
∵∠GFQ＝10t°＞180°，∠GEP＝5t°，∠AEG＝30°，∠CFG＝45°，
∴∠AEP＝（30+5t）°，∠CFQ＝360°﹣（45+10t）°＝（315﹣10t）°，
∵AB∥CD，EP∥FQ，
∴∠AEP+∠CPE＝180°，∠EPC＝∠PFQ，
又∠CFQ+∠PFQ＝180°，
∴∠CFQ＝∠AEP，
∴30+5t＝315﹣10t，
解得：t＝19，
综上可知，t的值为7或19．
【变式1】（2024秋 介休市期末）在一次数学综合实践活动课上，同学们进行了如下探究活动：将一块等腰直角三角板GEF的顶点G放置在直线AB上，旋转三角板．
（1）如图1，在GE边上任取一点P（不同于点G，E），过点P作CD∥AB，若∠1＝27°，求∠2的度数；
（2）如图2，过点E作CD∥AB，若HE平分∠CEF，HG平分∠AGF，求∠EHG的度数；
（3）将三角板绕顶点G转动，过点E作CD∥AB，并保持点E在直线AB的上方．在旋转过程中，探索∠AGF与∠CEF之间的数量关系（请直接写出你探索的结论）．
【分析】（1）根据平行线的性质可知∠1＝∠EGD＝27°，依据∠2+∠FGE+∠EGB＝180°，∠FGE＝45°，可求出∠2的度数；
（2）根据角平分线定义和平行线性质得到EHG＝180°﹣90°﹣45°＝45°即可；
（3）分三种情形：①如图3﹣1中，当点F在直线CD的上方时，②当点F在直线AB与直线CD之间时，∠AEF+∠FGC＝90°，③当点F在直线AB的下方时，分别利用平行线的性质解决问题即可．
【解答】解：（1）如图1中，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠EGB＝27°，
∵∠2+∠FGE+∠EGB＝180°，∠FGE＝45°，
∴∠2+45°+27°＝180°，
解得∠2＝108°．
（2）∵AB∥CD，
∴∠CEG+∠AGE＝180°，
又∵∠FEG+FGE＝90°，
∴∠CEF+∠FGH＝90°，
∵HE平分∠CEF，HG平分∠AGF，
∴∠HEF+∠HGF＝45°，
∴EHG＝180°﹣90°﹣45°＝45°．
（3）①如图3﹣1中，当点F在直线CD的上方时，过点F作MN∥AB．
∵MN∥AB，AB∥CD，
∴MN∥CD∥AB，
∴∠AGF＝∠NFG，∠CEF＝∠NFE，
∵∠NFG﹣∠NFE＝∠GFE＝90°，
∴∠AGF﹣∠CEF＝90°．
②当点F在直线AB与直线CD之间时，∠AEF+∠FGC＝90°．
③当点F在直线AB的下方时，过点F作MN∥AB．
∵MN∥AB，AB∥CD，
∴MN∥CD∥AB，
∴∠AGF＝∠NFG，∠CEF＝∠NFE，
∵∠NFE﹣GFN＝∠GFE＝90°，
∴∠CEF﹣∠AGF＝90°．
综上所述，①当点F在直线CD的上方时，∠AGF﹣∠CEF＝90°．②当点F在直线AB与直线CD之间时，∠AEF+∠FGC＝90°．③当点F在直线AB的下方时，∠CEF﹣∠AGF＝90°．
【变式2】（2025秋 海淀区校级期中）如图，AB∥CD，将一副直角三角板作如下摆放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°，下列结论：①GE∥MP；②∠EFN＝150°；③∠BEF＝65°；④∠AEG+∠PMN＝∠GPM．其中正确的是（　　）
A．①② B．①③④ C．①②④ D．③④
【分析】根据平行线的判定和性质进行解答，即可．
【解答】解：∵△EGF，△MPN是直角三角形，
∴∠EGF＝∠MPN＝90°，
∵∠GPM＝180°﹣∠MPN＝180°﹣90°＝90°，
∴∠GPM＝∠EGF，
∴GE∥MP，
∴①正确；
∵∠GEF＝60°，∠EGF＝90°，
∴∠EFG＝30°，
∵∠EFG+∠EFN＝180°，
∴∠EFN＝150°；
∴②正确；
过点G作AB∥JK，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥JK，
∴∠KGN＝∠MNP＝45°，∠AEG＝∠EGK，
∵∠EGF＝90°＝∠EGK+∠KGN，
∴∠EGK＝45°，
∴∠AEG＝45°，
∵∠GEF＝60°，
∴∠BEF＝180°﹣∠AEG﹣∠GEF＝180°﹣45°﹣60°＝75°；
∴③错误；
∵∠MNP＝45°，∠MPN＝90°，
∴∠PMN＝180°﹣∠MNP﹣∠MPN＝180°﹣90°﹣45°＝45°；
∵∠AEG＝45°，
∴∠AEG+∠PMN＝45°+45°＝90°＝∠GPM；
∴④正确；
综上所述，正确的为：①②④；
故选：C．
【变式3】（2024秋 衡阳校级期末）旅发大会期间，衡阳市对湘江两岸的灯光进行了提质改造，让城市夜景焕然一新．如图1所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射营造氛围．若灯A转动的速度是每秒3°，灯B转动的速度是每秒1°，假定湘江两岸是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN＝3：2．
（1）填空：∠BAN＝　72°　 ．
（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线首次到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
（3）如图2，若两灯同时转动，两灯射出的光束交于点C，且∠ACB＝120°，设转动时间为t秒，则在灯B射线首次到达BQ之前，请直接写出所有符合题意的t值．（图2仅起到举例作用，不代表C具体位置）
【分析】（1）根据∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：∠BAN＝3：2，即可得到∠BAN的度数；
（2）首先求出灯A射线旋转到AB的时间为108°÷3°＝36（秒），设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：当0＜t＜36时，当36＜t＜150时，根据题意列方程求解即可；
（3）分两种情形，根据平行线的性质，构建方程解决问题即可．
【解答】解：（1）∵∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：∠BAN＝3：2，
∴，
故答案为：72°；
（2）由条件可知射线BP第一次旋转至BQ的时间为180°÷1＝180（秒），
∵灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，
∴180﹣30＝150（秒），
∵∠BAN＝72°，
∴∠BAM＝180°﹣∠BAN＝108°，
∴灯A射线旋转到AB的时间为108°÷3°＝36（秒），
∴设A灯转动t（0＜t＜150）秒，两灯的光束互相平行，
①当0＜t＜36时，如图1，
∵PQ∥MN，
∴∠PBD＝∠BDA，
由条件可知∠CAM＝∠BDA，
∴∠CAM＝∠PBD，
∴3t＝1×（30+t），
解得：t＝15；
②当36＜t＜150时，如图2，
∵PQ∥MN，
∴∠PBD+∠BDA＝180°，
∴∠CAN＝∠BDA，
∴∠PBD+∠CAN＝180°，
∴1×（30+t）+（3t﹣180）＝180，
解得：t＝82.5，
综上所述，A灯旋转15秒或82.5秒时．两灯的光束互相平行．
（3）如图3，当点C在AB右边时，过点C作CD∥QP，
∴∠CBP＝∠BCD，
∵PQ∥MN，
∴∠DCA＝∠CAN，
∴∠BCA＝∠BCD+∠DCA＝∠CBP+∠CAN，
设灯A射线转动时间为t秒，则∠CBP＝t，∠CAM＝3t，
∴∠CAN＝180°﹣3t，
∴t+180°﹣3t＝120°，
解得t＝30；
如图4中，当点C在AB左边时，
同理可得，∠QBC+∠CAM＝∠BCA＝120°，
设灯A射线转动时间为t秒，则∠CBP＝t，∠CAM＝360°﹣3t，
∴180°﹣t+360°﹣3t＝120°，
解得t＝105，
综上所述，所有符合题意的t值为30或105．
【课后练习】
1．（2025春 怀宁县期末）下列结论正确的是（　　）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．平行于同一条直线的两直线平行
C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
D．不相交的两条直线必平行
【分析】根据平行线公理可得到A的正误；根据平行线的推论可得到B的正误；根据平行线的性质定理可得到C的正误；根据平行线的定义可得到D的正误．
【解答】解：A、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故此选项错误；
B、平行于同一条直线的两直线平行，故此选项正确；
C、两条直线被第三条直线所截，只有被截线互相平行时，才同位角相等，故此选项错误；
D、同一平面内，不相交的两条直线必定平行，故此选项错误．
故选：B．
2．（2025 本溪一模）光从一种介质斜射入另一种介质时，传播方向发生了偏折，这种现象叫作光的折射．如图，光从空气斜射入水中时，∠3＝76°，∠2＝27°，则∠1的度数是（　　）
A．76° B．63° C．49° D．23°
【分析】根据平行线的性质即可解决问题．
【解答】解：如图所示，
∵AB∥CE，∠3＝76°，
∴∠ADC＝∠3＝76°，
∴∠1+∠2＝76°．
又∵∠2＝27°，
∴∠1＝76°﹣27°＝49°．
故选：C．
3．（2024秋 高新区期末）如图，AB∥CD，若∠1＝52°，∠2＝120°，则∠3的度数为（　　）
A．68° B．60° C．52° D．48°
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补得出∠2+∠DAB＝180°，即可求出∠DAB的度数，再根据平角的定义即可求出∠3的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠2+∠DAB＝180°，
∵∠2＝120°，
∴∠DAB＝60°，
∵∠1＝52°，
∴∠3＝180°﹣∠1﹣∠DAB＝180°﹣52°﹣60°＝68°，
故选：A．
4．（2025秋 昭平县期中）探究题：
已知：AB∥CD．
（1）如图1，点E在AB与CD之间，问∠A、∠C与∠E有什么关系？请说明理由．
（2）如图2，点E在AB与CD之间，问∠A、∠C与∠E有什么关系？请说明理由．
（3）如图3，点E在AB与CD之外，此时∠A、∠C与∠E又有什么关系？直接写出结论．
（4）如图4，∠E+∠G与∠A+∠F+∠C之间有何关系？直接写出结论．
【分析】（1）根据平行线的性质即可解决问题；
（2）根据平行线的性质即可解决问题；
（3）根据平行线的性质即可解决问题；
（4）根据平行线的性质即可解决问题．
【解答】解：（1）∠A+∠C＝∠AEC，理由如下：
过点E作EF∥AB，
∵AB∥EF，AB∥CD，
∴EF∥CD，∠A＝∠AEF，
∴∠C＝∠CEF，
∴∠A+∠C＝∠AEF+∠CEF，
∴∠A+∠C＝∠AEC；
（2）∠A+∠C+∠AEC＝360°，理由如下：
过点E作EF∥AB，
∵AB∥EF，AB∥CD，
∴EF∥CD，∠A+∠AEF＝180°，
∴∠C+∠CEF＝180°，
∴∠A+∠C+∠AEF+∠CEF＝360°，
∴∠A+∠C+∠AEC＝360°；
（3）∠A＝∠C+∠E，理由如下：
如图所示，
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠DME．
∵∠DME＝∠C+∠E，
∴∠A＝∠C+∠E；
（4）∠A+∠EFG+∠C＝∠E+∠G，理由如下：
过点F作FH∥AB，
由（1）知，
∠A+∠EFH＝∠E，∠HFG+∠C＝∠G，
∴∠A+∠EFH+∠HFG+∠C＝∠E+∠G，
∴∠A+∠EFG+∠C＝∠E+∠G．
5．（2025春 麻章区校级期中）如图，直线l1，l2，l3交于一点，直线l4∥l1，若∠1＝125°，∠2＝85°，求∠3的度数．
【分析】根据平行线的性质进行计算即可．
【解答】解：∵l4∥l1，且∠1＝125°，
∴∠3+∠4＝∠1＝125°．
∵∠2＝85°，
∴∠4＝∠2＝85°，
∴∠3＝125°﹣∠4＝125°﹣85°＝40°．
6．（2025秋 铜梁区校级期中）如图，在三角形ABC中，D，E分别是边AC，AB上的点，连接BD，DE．点F在线段BD上，连接EF．已知∠1+∠2＝180°，DE∥BC．
（1）求证：∠ADE＝∠DEF；
（2）若∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，∠DEF＝∠FEB﹣10°，求∠1的度数．
【分析】（1）根据等量代换得到∠1＝∠DFE，根据”内错角相等，两直线平行“得到FE∥AC，进而得出∠ADE ＝∠DEF；
（2）由根据平行线的性质得到∠DEB+∠ABC＝180°，再结合题中的条件得到∠DEF＝50°＝∠ADE，然后根据BD平分∠ABC和平行线的性质得到∠CBD ＝∠BDE＝35°，进而得到∠ADB＝∠ADE+∠EDB＝85°，最后根据平角的定义即可求解．
【解答】（1）证明：∵∠1+∠2 ＝180°，∠DFE+∠2 ＝180°，
∴∠1＝∠DFE，
∴FE∥AC，
∴∠ADE＝∠DEF；
（2）解：由 （1）得：FE∥AC，
∵DE∥BC，
∴∠DEB+∠ABC ＝ 180°，
∵∠ABC ＝ 70°，
∴∠DEB＝∠DEF+∠FEB＝110°，
∵∠DEF＝∠FEB﹣10°，
∴∠DEF+10°＝∠FEB，
∴∠DEF+∠DEF+10°＝110°，
∴∠DEF＝ 50°＝∠ADE，
∵BD平分∠ABC，∠ABC＝70°，
∴∠CBD＝∠ABD＝35°，
∵DE∥BC，
∴∠CBD ＝∠BDE＝35°，
∴∠ADB＝∠ADE+∠EDB＝85°，
∴∠1＝180°﹣∠ADB＝ 95°．
7．（2024秋 驻马店校级期末）如图所示，l∥m，长方形ABCD的顶点B在直线m上，则∠α的度数为（　　）
A．65° B．20° C．25° D．35°
【分析】过点C作CE∥m，先由平行线的性质得到∠DCE＝65°，∠BCE＝α，再由长形的性质得到∠DCB＝∠DCE+∠BCE＝65°+α＝90°，解方程即可得解．
【解答】解：如图，过点C作CE∥m，
∵l∥m，
∴l∥m∥CE（平行于同一直线的两直线相互平行），
∴∠DCE＝65°，∠BCE＝α，
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠DCB＝∠DCE+∠BCE＝65°+α＝90°，
∴α＝25°，则∠α的度数为25°，
故选：C．
8．（2025春 洪山区期中）如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝65°，则∠4的度数为（　　）
A．50° B．65° C．115° D．130°
【分析】根据由题意可得AB∥CD，根据平行线的判定与性质，可得∠3＝∠5＝65°，又根据邻补角可得∠5+∠4＝180°，即可得出∠4的度数．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴AB∥CD，
∴∠3＝∠5，
又∠1＝∠2＝∠3＝65°，
∴∠5＝65°，
又∠5+∠4＝180°，
∴∠4＝115°．
故答案为：C．
9．（2025秋 五华区校级期中）如图，AB∥CD，AE与CD相交于点O，∠A＝45°，∠C＝∠E．则∠C的度数为（　　）
A．45° B．30° C．22.5° D．15°
【分析】先根据平行线的性质推出∠DOE＝45°，再利用三角形外角的性质结合∠C＝∠E，可得∠C+∠E＝2∠C＝45°，即可求解．
【解答】解：∵AB∥CD，∠A＝45°，
∴∠DOE＝45°，
∵∠DOE是△OCE的外角，∠C＝∠E，
∴∠C+∠E＝2∠C＝45°，
∴∠C＝22.5°．
故选：C．
10．（2025秋 蜀山区校级期中）填写证明过程中的推理或根据：
如图所示，已知：∠ADE＝∠B，∠1＝∠2，FG⊥AB．求证：CD⊥AB．
证明：∵FG⊥AB，
∴∠5＝90°．（　垂直的定义　 ）
∵∠ADE＝∠B，
∴DE∥BC．（　同位角相等，两直线平行　 ）
∴　∠1＝∠3　 ．（　两直线平行，内错角相等　 ）
又∵∠1＝∠2，
∠2＝∠3．（　等量代换　 ）
∴CD∥FG ．（　同位角相等，两直线平行　 ）
∴∠4＝∠5＝90°．（　两直线平行，同位角相等　 ）
∴CD⊥AB．
【分析】依据题意，根据题目提供信息，结合图形，由平行线的判定与性质逐个判断即可得解．
【解答】证明：∵FG⊥AB，
∴∠5＝90°．（垂直的定义）
∵∠ADE＝∠B，
∴DE∥BC．（同位角相等，两直线平行）
∴∠1＝∠3．（两直线平行，内错角相等）
又∵∠1＝∠2，
∠2＝∠3．（等量代换）
∴CD∥FG．（同位角相等，两直线平行）
∴∠4＝∠5＝90°．（两直线平行，同位角相等）
∴CD⊥AB．
故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；∠1＝∠3；两直线平行，内错角相等；等量代换；CD∥FG；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
11．（2025春 扬州期末）完成下面的推理说明：
已知：如图，BE∥CF，BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD．
求证：AB∥CD．
证明：∵BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD（已知），
∴∠1∠ABC，∠2∠BCD（ 　角平分线的定义　 ）．
∵BE∥CF （已知），
∴∠1＝∠2（ 　两直线平行，内错角相等　 ）．
∴∠BCD（等量代换）．
∴∠ABC＝∠BCD（ 　等式的性质　 ）．
∴AB∥CD（ 　内错角相等，两直线平行　 ）．
【分析】根据平行线的性质可得∠1＝∠2，根据角平分线的定义可得∠ABC＝∠BCD，再根据平行线的判定即可得出AB∥CD．
【解答】证明：∵BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD（已知），
∴∠1∠ABC，∠2∠BCD（角平分线的定义）
∵BE∥CF （已知），
∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等 ）．
∴∠BCD（等量代换）．
∴∠ABC＝∠BCD（等式的性质 ）．
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行 ）．
12．（2025秋 南关区校级期中）如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D．
求证：∠A＝∠F．
证明：∵∠1＝∠2 （已知），∠1＝∠3（ 　对顶角相等　 ），
∴∠2＝∠3（ 　等量代换　 ）．
∴BD∥CE （同位角相等，两直线平行）．
∴∠4＝　∠D （两直线平行，同位角相等）．
∵∠C＝∠D（已知），
∴　∠4　 ＝∠C（等量代换）．
∴DF∥AC（ 　内错角相等，两直线平行　 ）．
∴∠A＝∠F（ 　两直线平行，内错角相等　 ）．
【分析】根据平行线的判定与性质求解即可．
【解答】证明：∵∠1＝∠2 （已知），∠1＝∠3（对顶角相等），
∴∠2＝∠3（等量代换），
∴BD∥CE（同位角相等，两直线平行），
∴∠4＝∠D（两直线平行，同位角相等），
∵∠C＝∠D（已知），
∴∠4＝∠C（等量代换），
∴DF∥AC（内错角相等，两直线平行），
∴∠A＝∠F（两直线平行，内错角相等），
故答案为：对顶角相等；等量代换；CE；∠D；∠4；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
13．（2025秋 南关区校级期中）【问题感知】：
（1）如图1，若AB∥CD，AM平分∠BAC，求证：∠CAM＝∠CMA．请将下列证明过程补充完整：
证明：∵AM平分∠BAC，（已知），
∴∠CAM＝　∠BAM （角平分线的定义）．
∵AB∥CD（已知），
∴　∠CMA ＝∠BAM（两直线平行，内错角相等）．
∴∠CAM＝∠CMA（等量代换）．
【问题探索】：
（2）如图2，直线AB，CD被直线AC所截，AM平分∠BAC，∠CAM＝∠CMA，点E在射线AB上，点F在线段CM上，连接EF，若∠AEF＝∠C，求证：EF∥AC；
【衍生拓展】：
（3）如图3，将（2）中的点F移动到线段CM的延长线上，其他条件不变，连接ME，若∠CMA＝3∠MEF＝57°，求∠AME的度数．
【分析】（1）根据角平分线定义和平行线的性质进行解答即可；
（2）先证明AB∥CD，得出∠AEF＝∠EFD，在证明∠EFD＝∠C，根据平行线的判定得出结论即可；
（3）根据角平分线定义得出∠BAM＝∠CMA＝57°，∠BAC＝2×57°＝114°，根据平行线的性质求出∠C＝180°﹣∠BAC＝66°，求出∠AEM＝66°﹣19°＝47°，最后根据平行线的性质求出结果即可．
【解答】（1）证明：∵AM平分∠BAC，（已知），
∴∠CAM＝∠BAM（角平分线的定义），
∵AB∥CD（已知），
∴∠CMA＝∠BAM（两直线平行，内错角相等），
∴∠CAM＝∠CMA（等量代换），
故答案为：∠BAM，∠CMA．
（2）证明：∵AM平分∠BAC，
∴∠CAM＝∠BAM，
∵∠CAM＝∠CMA，
∴∠BAM＝∠CMA（等量代换），
∴AB∥CD，
∴∠AEF＝∠EFD（两直线平行，内错角相等），
∵∠AEF＝∠C，
∴∠EFD＝∠C（等量代换），
∴EF∥AC（同位角相等，两直线平行）；
（3）解：∵∠CMA＝3∠MEF＝57°，
∴根据（2）可知：∠BAM＝∠CMA＝57°，∠MEF＝19°，
∴∠BAC＝2×57°＝114°，
根据探索可知：AB∥CD，
∴∠C＝180°﹣∠BAC＝180°﹣114°＝66°，
∴∠AEF＝∠C＝66°，
∴∠AEM＝66°﹣19°＝47°，
∵AB∥CD，
∴∠AMC＝∠BAM＝57°，∠DME＝∠AEM＝47°（两直线平行，内错角相等），
∴∠AME＝180°﹣∠AMC﹣∠DME＝180°﹣57°﹣47°＝76°．
14．（2025秋 昆明期中）如图，BE是△ABC的角平分线，在AB上取点D，使DB＝DE．
（1）求证：DE∥BC；
（2）若∠A＝75°，∠AED＝40°，求∠DEB的度数．
【分析】（1）根据角平分线性质得到∠ABE＝∠CBE，根据DB＝DE，得到∠ABE＝∠DEB，求出∠CBE＝∠DEB，即可证出结论；
（2）根据三角形内角和定理得到∠ADE＝65°，根据DE∥BC，得到∠ADE＝∠ABC＝65°，根据角平分线得到，推出∠CBE＝∠DEB，即可求出．
【解答】（1）证明：∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵DB＝DE，
∴∠ABE＝∠DEB，
∴∠CBE＝∠DEB，
∴DE∥BC；
（2）∵∠A＝75°，∠AED＝40°，
∴∠ADE＝180°﹣∠AED﹣∠A＝65°，
由（1）知，DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC＝65°，
∵∠ABE＝∠CBE，
∴，
∵∠CBE＝∠DEB，
∴∠DEB＝32.5°．
15．（2024秋 濉溪县期末）补全下列推理过程：
如图，已知AB∥CE，∠A＝∠E，试说明：∠CGD＝∠FHB．
解：∵AB∥CE（已知）
∴∠A＝∠ADC（ 　两直线平行，内错角相等　 ）
∵∠A＝∠E（已知）
∴∠E＝∠ADC（ 　等量代换　 ）
∴AD∥EF（ 　同位角相等，两直线平行　 ），
∴∠CGD＝∠GHE（ 　两直线平行，同位角相等　 ）
∵∠FHB＝∠GHE（ 　对顶角相等　 ）
∴∠CGD＝∠FHB．
【分析】先根据平行线的性质得到∠A＝∠ADC，等量代换得到∠E＝∠ADC，即可证明AD∥EF得到∠CGD＝∠GHE，再由∠FHB＝∠GHE，即可证明∠CGD＝∠FHB．
【解答】解：∵AB∥CE（已知）
∴∠A＝∠ADC（两直线平行，内错角相等），
∵∠A＝∠E（已知），
∴∠E＝∠ADC（等量代换），
∴AD∥EF（同位角相等，两直线平行），
∴∠CGD＝∠GHE（两直线平行，同位角相等）．
∵∠FHB＝∠GHE（对顶角相等），
∴∠CGD＝∠FHB（等量代换）．
故答案为：两直线平行，内错角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；对顶角相等．
16．（2025春 龙南市期末）如图，已知∠DFB＝125°，∠ACB＝55°．
（1）求证：AC∥DE；
（2）若∠D＝∠A，∠ACD＝120°，求∠B的度数．
【分析】（1）根据同旁内角互补两直线平行可得答案；
（2）先说明CD∥AB，再得出∠BCD的度数，再根据平行线的性质得出答案．
【解答】（1）∵∠CFE＝∠DFB＝125°，∠ACB＝55°，
∴∠ACB+∠CFE＝125°+55°＝180°，
∴AC∥DE（同旁内角互补，两直线平行）；
（2）∵AC∥DE，
∴∠A＝∠DEB（两直线平行，同位角相等）．
∵∠A＝∠D，
∴∠D＝∠DEB（等量代换），
∴CD∥AB．
∵∠ACB＝55°，∠ACD＝120°，
∴∠BCD＝∠ACD﹣∠ACB＝65°，
∴∠B＝∠BCD＝65°．
17．（2025春 莱西市期末）如图，已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°．
（1）求证：AD∥CE；
（2）若DA平分∠BDC，CE⊥AE于点E，∠1＝64°，试求∠FAB的度数．
【分析】（1）直接利用平行线的判定与性质得出AB∥CD，进而得出∠ADC+∠3＝180°，即可得出答案；
（2）利用角平分线的定义结合已知得出∠FAD＝∠AEC＝90°，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵∠1＝∠BDC，
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），
∴∠2＝∠ADC（两直线平行，内错角相等），
∵∠2+∠3＝180°，
∴∠ADC+∠3＝180°（等量代换），
∴AD∥CE（同旁内角互补，两直线平行）；
（2）解：∵∠1＝∠BDC，∠1＝64°，
∴∠BDC＝64°，
∵DA平分∠BDC，
∴∠ADC∠BDC＝32°（角平分线定义），
∴∠2＝∠ADC＝32°（已证），
又∵CE⊥AE，
∴∠AEC＝90°（垂直定义），
∵AD∥CE（已证），
∴∠FAD＝∠AEC＝90°（两直线平行，同位角相等），
∴∠FAB＝∠FAD﹣∠2＝90°﹣32°＝58°．
18．（2025春 浔阳区校级期中）请补全推理过程，并填写依据．
已知：如图，∠1+∠2＝180°，∠C＝∠D．请说明：∠A＝∠F．
解：∵∠1+∠2＝180°（已知）．
∴BD∥CE（　同旁内角互补，两直线平行　 ）．
∴∠C＝∠ABD（　两直线平行，同位角相等　 ）．
又∵∠C＝∠D（已知）．
∴∠D＝　∠ABD （等量代换）．
∴AC∥DF （　内错角相等，两直线平行　 ）．
∴∠A＝∠F（　两直线平行，内错角相等　 ）．
【分析】先证BD∥CE，得出∠C＝∠ABD，进而推出∠D＝∠ABD，即可证得AC∥DF，于是问题得证．
【解答】解：∵∠1+∠2＝180°（已知）．
∴BD∥CE（同旁内角互补，两直线平行）．
∴∠C＝∠ABD（两直线平行，同位角相等）．
又∵∠C＝∠D（已知）．
∴∠D＝∠ABD（等量代换）．
∴AC∥DF（内错角相等，两直线平行）．
∴∠A＝∠F（两直线平行，内错角相等）．
故答案为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；∠ABD；DF；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
19．（2024秋 界首市期末）下列命题中，为假命题的是（　　）
A．对顶角相等
B．同旁内角互补
C．三角形的内角和为180°
D．三角形任意两边之和大于第三边
【分析】根据三角形的三边关系，三角形内角和定理，平行线的性质，对顶角性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、对顶角相等，原说法是真命题，故本选项不符合题意；
B、两直线平行，同旁内角互补，原说法是假命题，故本选项符合题意；
C、三角形的内角和为180°，原说法是真命题，故本选项不符合题意；
D、三角形任意两边之和大于第三边，原说法是真命题，故本选项不符合题意．
故选：B．
20．（2025秋 宁德期中）毕达哥拉斯学派发现了无理数，这是数学史上的一件大事，它导致了第一次数学危机：为什么不是有理数？阅读下列证明过程，并完成相应问题．
证明：设是有理数，那么存在两个互质的正整数p，q，使得，即，两边平方，得①．
∴p2含有因数3，
设p＝3m（m为正整数），则p2＝9m2，
∴②，
∴q2含有因数3，
∴q含有因数3，
这样p，q有公因数3，不互质，这与假设p，q互质矛盾．
∴不是有理数．
（1）将上面的证明过程补充完整．
①p2＝3q2 ；②q2＝3m2 ；
（2）类比上述的证明过程，推理说明不是有理数．
【分析】（1）根据题意补全证明过程，即可求解．
（2）用类比的思想，仿照证明“为什么不是有理数”来证明．
【解答】（1）解：补全证明过程：设是有理数，那么存在两个互质的正整数p，q，使得，即，两边平方，得①p2＝3q2．
∴p2含有因数3，
设p＝3m（m为正整数），则p2＝9m2，
∴②q2＝3m2，
∴q2含有因数3，
∴q含有因数3，
这样p，q有公因数3，不互质，这与假设p，q互质矛盾．
∴不是有理数；
故答案为：①p2＝3q2，②q2＝3m2；
（2）证明：设是有理数，那么存在两个互质的正整数a，b，使得，即．
两边立方，得a3＝3b3．
∴a3是3的倍数．
∵3是质数，
∴a是3的倍数．
设a＝3n（n为正整数），则a3＝27n3．
代入a3＝3b3中，得27n3＝3b3，即b3＝9n3．
∴b3是3的倍数．
∵3是质数，
∴b是3的倍数．这样a，b有公因数3，不互质，
这与假设a，b互质矛盾．
∴不是有理数．第七单元 命题与证明题型总结讲义
【题型一】平行公理及推论
【例1】（2025春 襄城县期末）如图是一个可折叠的衣架，AB是水平地面，点A，B，M，N，P在同一平面内．当∠1＝∠2且∠3＝∠4时，可判定点N，P，M在同一条直线上，判定依据是（　　）
A．两点确定一条直线
B．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【分析】根据过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行解决问题即可．
【解答】解：当∠1＝∠2时，PM∥AB；∠3＝∠4时，PN∥AB，
根据“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”就可以确定点N，P，M在同一直线上．
故选：C．
【变式1】（2025 冷水滩区校级开学）三条直线a、b、c，若a∥b，b∥c，则a与c的位置关系是（　　）
A．a与c相交 B．a与c平行 C．a与c重合 D．无法确定
【变式2】（2025 溧阳市校级模拟）如图，污水处理厂要从A处把处理过的水引入排水沟PQ，做法如下：过点A作AB⊥PQ于点B，沿着AB方向铺设排水管道可用料最省．能准确解释这一现象的数学知识是（　　）
A．两点之间线段最短
B．两点确定一条直线
C．垂线段最短
D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
【变式3】（2025春 滨海新区校级月考）下列说法正确的是（　　）
A．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．垂直于同一条直线的两条直线互相平行
C．直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到直线的距离
D．同一平面内不相交的两条直线叫做平行线
【题型二】平行线的性质
【例1】（2025秋 蒙城县期中）如图，直线a∥b，直线c⊥d，若∠1＝a，则∠2＝（　　）
A．α+90° B．α﹣90° C．180°﹣α D．2α﹣180°
【分析】利用平行线的性质算出∠3，用补角、余角、对顶角推算出∠2的度数．
【解答】解：如下图
∵a∥b（已知），
∴∠1＝∠3＝α（两直线平行，同位角相等），
∴∠4＝180°﹣∠3＝180°﹣α，
∵直线c⊥d，
∴∠5＝90°，
∴∠2＝∠6＝90°﹣∠4＝90°﹣（180°﹣α）＝α﹣90°，
则∠2的度数α﹣90°，
故选：B．
【变式1】（2025秋 沙坪坝区校级期中）如图，已知直线l1∥l2，∠1＝130°，则∠2的度数为（　　）
A．120° B．60° C．130° D．50°
【变式2】（2024秋 钟山区期末）如图，a∥b，∠1＝48°，则∠2的度数是（　　）
A．42° B．48° C．72° D．132°
【变式3】（2025 湖南一模）如图，直线a，b被直线c所截，若a∥b，∠1＝70°，则∠2的度数为（　　）
A．110° B．100° C．80° D．70°
【题型三】平行线的判定与性质
【例1】（2025秋 昭平县期中）如图，已知BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为点D，F，且∠1＝∠2．
（1）试判断DG与BC的位置关系，并说明理由；
（2）若∠ADG＝40°，求∠2的度数．
【分析】（1）根据在同一平面内，垂直于同条直线的两直线平行由BD⊥AC，EF⊥AC，得到EF∥BD，根据平行线的性质得∠CBD＝∠2，由于∠1＝∠2，则∠CBD＝∠1，然后根据内错角相等，两直线平行可判断DG∥BC；
（2）根据垂直的定义、平角的定义求出∠1＝50°，据此求解即可．
【解答】解：（1）DG∥BC，理由如下：
∵BD⊥AC，EF⊥AC，
∴EF∥BD，
∴∠CBD＝∠2，
∵∠1＝∠2，
∴∠CBD＝∠1，
∴DG∥BC；
（2）∵BD⊥AC，
∴∠CDB＝90°，
∵∠ADG＝40°，
∴∠1＝180°﹣40°﹣90°＝50°，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠1＝50°．
【变式1】（2025春 莆田期中）如图，已知∠A＝∠C，∠1+∠2＝180°，试猜想AB与CD之间有怎样的位置关系？并说明理由，请你将下列证明过程补充完整．
结论：AB∥CD．
证明：∵∠1+∠2＝180°（已知），
AD ∥BC （　 　 ），
∴∠C ＝∠ （两直线平行，同位角相等）．
又∵∠A＝∠C（已知），
∴∠A ＝∠ （等量代换），
∴AB∥CD（　 　 ）．
【变式2】（2025秋 北林区校级期中）如图，已知AD⊥BC于点D，EF⊥BC于点F，AD平分∠BAC．求证：∠E＝∠1．
【变式3】（2025秋 淮上区期中）如图，∠1+∠2＝180°，CE∥BG．
（1）求证：AB∥CD；
（2）求证：∠3＝∠B．
【题型四】命题与定理
【例1】（2025秋 昭平县期中）下列命题中，属于真命题的是（　　）
A．对顶角相等 B．若|a|＝|b|，则a＝b
C．如果ab＞0，则a＞0，b＞0 D．同位角相等
【分析】由绝对值的性质，对顶角相等，有理数的乘法法则，同位角的定义，即可判断．
【解答】解：A、此命题是真命题，故A符合题意；
B、若|a|＝|b|，则a＝±b，故B不符合题意；
C、有可能a＜0，b＜0，故C不符合题意；
D、两直线平行，同位角相等，故D不符合题意．
故选：A．
【变式1】（2024秋 莲池区期末）下列命题是真命题的是（　　）
A．9的平方根是3
B．是小于2的无理数
C．三角形的内角和是180°
D．数据﹣2，0，3，3的平均数是1.5
【变式2】（2025秋 广州月考）下列命题的逆命题为假命题的是（　　）
A．在三角形中，等边对等角
B．两直线平行，同位角相等
C．全等三角形的对应角相等
D．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
【变式3】（2025秋 蒙城县期中）下列命题中，真命题是（　　）
A．同角的余角相等
B．同位角相等
C．一个正数的平方根总是正数
D．如果两角相等，那么这两个角是对顶角
【题型五】反证法
【例1】（2025 湖南模拟）用反证法证明“如果a＞b＞0，则”是真命题时，应假设（　　）
A． B． C．a＜b D．a≤b
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，据此进行解答即可．
【解答】解：反证法证明“若a＞b＞0，则”时，假设，
故选：B．
【变式1】（2024秋 衡阳期末）用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：
①∠A+∠B+∠C＝90°+90°+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角（∠A、∠B、∠C）中有两个直角，不妨设∠A＝∠B＝90°．正确顺序的序号为（　　）
A．③②① B．①③② C．②③① D．③①②
【变式2】（2025春 兴庆区校级期中）下列说法错误的是（　　）
A．用反证法证明“a＞b”时，应假设a≤b
B．“同位角相等，两直线平行”的逆命题是真命题
C．三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三边的距离相等
D．边长为3，6的等腰三角形的周长为15
【变式3】（2025春 海曙区期末）用反证法证明“△ABC中，若∠A＞∠B＞∠C，则∠A＞60°”，第一步应假设（　　）
A．∠A＝60° B．∠A＜60° C．∠A≠60° D．∠A≤60°
【题型六】拐点模型（铅笔头模型、猪蹄模型）
【例1】（2025秋 北林区校级期中）如图，已知直线AB∥CD，E，F分别是AB，CD上的点，点G在直线AB，CD内部，且∠AEG＝30°，∠CFG＝45°．
（1）求∠EGF的度数．
（2）如图2，射线EG绕点E以每秒5°的速度逆时针旋转，交直线CD于点P，设运动时间为t秒（0＜t＜30）．当t＝21时，试探究EP与GF的位置关系，并说明理由．
（3）在（2）中，射线FG绕点F同时以每秒10°的速度顺时针旋转得到射线FQ．当FQ∥EP时，请直接写出t的值．
【分析】（1）过点G作HG∥AB，根据平行线的性质可得∠EGH＝∠AEG＝30°，∠HGF＝∠CFG＝45°，进而即可求解；
（2）根据t＝21得出∠GEP＝21×5°＝105°，进而求得∠AEP＝30°+105°＝135°，∠CPE＝45°根据∠GFC＝45°，即可得出结论；
（3）分两种情况讨论，当射线FG绕点F旋转小于180°时，当射线FG绕点F旋转大于180°时，分别讨论，即可求解．
【解答】解：（1）如图所示，过点G作HG∥AB
∵AB∥CD，
∴GH∥CD，
∵∠AEG＝30°，∠CFG＝45°．
∴∠EGH＝∠AEG＝30°，∠HGF＝∠CFG＝45°，
∴∠EGF＝30°+45°＝75°；
（2）EP∥GF，理由如下，
∵射线EG绕点E以每秒5°的速度逆时针旋转，t＝21，
∴∠GEP＝21×5°＝105°，
∴∠AEP＝30°+105°＝135°，
∴∠BEP＝45，
∵AB∥CD，
∴∠CPE＝∠BEP＝45°，
又∵∠GFC＝45°，
∴EP∥GF；
（3）如图所示，当射线FG绕点F旋转小于180°时，
∵∠GFQ＝10t°，∠GEP＝5t°，∠AEG＝30°，∠CFG＝45°，
∴∠AEP＝（30+5t）°，∠CFQ＝（45+10t）°，
∵AB∥CD，
∴∠AEP＝∠EPD，
又∵EP∥FQ，
∴∠EPF+∠CFQ＝180°，
∴30+5t+45+10t＝180，
解得：t＝7，
如图所示，当射线FG绕点F旋转大于180°时，
∵∠GFQ＝10t°＞180°，∠GEP＝5t°，∠AEG＝30°，∠CFG＝45°，
∴∠AEP＝（30+5t）°，∠CFQ＝360°﹣（45+10t）°＝（315﹣10t）°，
∵AB∥CD，EP∥FQ，
∴∠AEP+∠CPE＝180°，∠EPC＝∠PFQ，
又∠CFQ+∠PFQ＝180°，
∴∠CFQ＝∠AEP，
∴30+5t＝315﹣10t，
解得：t＝19，
综上可知，t的值为7或19．
【变式1】（2024秋 介休市期末）在一次数学综合实践活动课上，同学们进行了如下探究活动：将一块等腰直角三角板GEF的顶点G放置在直线AB上，旋转三角板．
（1）如图1，在GE边上任取一点P（不同于点G，E），过点P作CD∥AB，若∠1＝27°，求∠2的度数；
（2）如图2，过点E作CD∥AB，若HE平分∠CEF，HG平分∠AGF，求∠EHG的度数；
（3）将三角板绕顶点G转动，过点E作CD∥AB，并保持点E在直线AB的上方．在旋转过程中，探索∠AGF与∠CEF之间的数量关系（请直接写出你探索的结论）．
【变式2】（2025秋 海淀区校级期中）如图，AB∥CD，将一副直角三角板作如下摆放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°，下列结论：①GE∥MP；②∠EFN＝150°；③∠BEF＝65°；④∠AEG+∠PMN＝∠GPM．其中正确的是（　　）
A．①② B．①③④ C．①②④ D．③④
【变式3】（2024秋 衡阳校级期末）旅发大会期间，衡阳市对湘江两岸的灯光进行了提质改造，让城市夜景焕然一新．如图1所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射营造氛围．若灯A转动的速度是每秒3°，灯B转动的速度是每秒1°，假定湘江两岸是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN＝3：2．
（1）填空：∠BAN＝　 　 ．
（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线首次到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
（3）如图2，若两灯同时转动，两灯射出的光束交于点C，且∠ACB＝120°，设转动时间为t秒，则在灯B射线首次到达BQ之前，请直接写出所有符合题意的t值．（图2仅起到举例作用，不代表C具体位置）
【课后练习】
1．（2025春 怀宁县期末）下列结论正确的是（　　）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．平行于同一条直线的两直线平行
C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
D．不相交的两条直线必平行
2．（2025 本溪一模）光从一种介质斜射入另一种介质时，传播方向发生了偏折，这种现象叫作光的折射．如图，光从空气斜射入水中时，∠3＝76°，∠2＝27°，则∠1的度数是（　　）
A．76° B．63° C．49° D．23°
3．（2024秋 高新区期末）如图，AB∥CD，若∠1＝52°，∠2＝120°，则∠3的度数为（　　）
A．68° B．60° C．52° D．48°
4．（2025秋 昭平县期中）探究题：
已知：AB∥CD．
（1）如图1，点E在AB与CD之间，问∠A、∠C与∠E有什么关系？请说明理由．
（2）如图2，点E在AB与CD之间，问∠A、∠C与∠E有什么关系？请说明理由．
（3）如图3，点E在AB与CD之外，此时∠A、∠C与∠E又有什么关系？直接写出结论．
（4）如图4，∠E+∠G与∠A+∠F+∠C之间有何关系？直接写出结论．
5．（2025春 麻章区校级期中）如图，直线l1，l2，l3交于一点，直线l4∥l1，若∠1＝125°，∠2＝85°，求∠3的度数．
6．（2025秋 铜梁区校级期中）如图，在三角形ABC中，D，E分别是边AC，AB上的点，连接BD，DE．点F在线段BD上，连接EF．已知∠1+∠2＝180°，DE∥BC．
（1）求证：∠ADE＝∠DEF；
（2）若∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，∠DEF＝∠FEB﹣10°，求∠1的度数．
7．（2024秋 驻马店校级期末）如图所示，l∥m，长方形ABCD的顶点B在直线m上，则∠α的度数为（　　）
A．65° B．20° C．25° D．35°
8．（2025春 洪山区期中）如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝65°，则∠4的度数为（　　）
A．50° B．65° C．115° D．130°
9．（2025秋 五华区校级期中）如图，AB∥CD，AE与CD相交于点O，∠A＝45°，∠C＝∠E．则∠C的度数为（　　）
A．45° B．30° C．22.5° D．15°
10．（2025秋 蜀山区校级期中）填写证明过程中的推理或根据：
如图所示，已知：∠ADE＝∠B，∠1＝∠2，FG⊥AB．求证：CD⊥AB．
证明：∵FG⊥AB，
∴∠5＝90°．（　 　 ）
∵∠ADE＝∠B，
∴DE∥BC．（　 　 ）
∴　∠1＝∠3　 ．（　 　 ）
又∵∠1＝∠2，
∠2＝∠3．（　 　 ）
∴CD∥FG ．（　 　 ）
∴∠4＝∠5＝90°．（　 　 ）
∴CD⊥AB．
11．（2025春 扬州期末）完成下面的推理说明：
已知：如图，BE∥CF，BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD．
求证：AB∥CD．
证明：∵BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD（已知），
∴∠1∠ABC，∠2∠BCD（ 　 　 ）．
∵BE∥CF （已知），
∴∠1＝∠2（ 　 　 ）．
∴∠BCD（等量代换）．
∴∠ABC＝∠BCD（ 　 　 ）．
∴AB∥CD（ 　 　 ）．
12．（2025秋 南关区校级期中）如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D．
求证：∠A＝∠F．
证明：∵∠1＝∠2 （已知），∠1＝∠3（ 　 　 ），
∴∠2＝∠3（ 　 　 ）．
∴BD∥CE （同位角相等，两直线平行）．
∴∠4＝　 （两直线平行，同位角相等）．
∵∠C＝∠D（已知），
∴　 　 ＝∠C（等量代换）．
∴DF∥AC（ 　 　 ）．
∴∠A＝∠F（ 　 　 ）．
13．（2025秋 南关区校级期中）【问题感知】：
（1）如图1，若AB∥CD，AM平分∠BAC，求证：∠CAM＝∠CMA．请将下列证明过程补充完整：
证明：∵AM平分∠BAC，（已知），
∴∠CAM＝　 （角平分线的定义）．
∵AB∥CD（已知），
∴　 ＝∠BAM（两直线平行，内错角相等）．
∴∠CAM＝∠CMA（等量代换）．
【问题探索】：
（2）如图2，直线AB，CD被直线AC所截，AM平分∠BAC，∠CAM＝∠CMA，点E在射线AB上，点F在线段CM上，连接EF，若∠AEF＝∠C，求证：EF∥AC；
【衍生拓展】：
（3）如图3，将（2）中的点F移动到线段CM的延长线上，其他条件不变，连接ME，若∠CMA＝3∠MEF＝57°，求∠AME的度数．
14．（2025秋 昆明期中）如图，BE是△ABC的角平分线，在AB上取点D，使DB＝DE．
（1）求证：DE∥BC；
（2）若∠A＝75°，∠AED＝40°，求∠DEB的度数．
15．（2024秋 濉溪县期末）补全下列推理过程：
如图，已知AB∥CE，∠A＝∠E，试说明：∠CGD＝∠FHB．
解：∵AB∥CE（已知）
∴∠A＝∠ADC（ 　 　 ）
∵∠A＝∠E（已知）
∴∠E＝∠ADC（ 　 　 ）
∴AD∥EF（ 　 　 ），
∴∠CGD＝∠GHE（ 　 ）
∵∠FHB＝∠GHE（ 　 　 ）
∴∠CGD＝∠FHB．
16．（2025春 龙南市期末）如图，已知∠DFB＝125°，∠ACB＝55°．
（1）求证：AC∥DE；
（2）若∠D＝∠A，∠ACD＝120°，求∠B的度数．
17．（2025春 莱西市期末）如图，已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°．
（1）求证：AD∥CE；
（2）若DA平分∠BDC，CE⊥AE于点E，∠1＝64°，试求∠FAB的度数．
18．（2025春 浔阳区校级期中）请补全推理过程，并填写依据．
已知：如图，∠1+∠2＝180°，∠C＝∠D．请说明：∠A＝∠F．
解：∵∠1+∠2＝180°（已知）．
∴BD∥CE（　 　 ）．
∴∠C＝∠ABD（　 　 ）．
又∵∠C＝∠D（已知）．
∴∠D＝　 （等量代换）．
∴AC∥DF （　 　 ）．
∴∠A＝∠F（　 　 ）．
19．（2024秋 界首市期末）下列命题中，为假命题的是（　　）
A．对顶角相等
B．同旁内角互补
C．三角形的内角和为180°
D．三角形任意两边之和大于第三边
20．（2025秋 宁德期中）毕达哥拉斯学派发现了无理数，这是数学史上的一件大事，它导致了第一次数学危机：为什么不是有理数？阅读下列证明过程，并完成相应问题．
证明：设是有理数，那么存在两个互质的正整数p，q，使得，即，两边平方，得①．
∴p2含有因数3，
设p＝3m（m为正整数），则p2＝9m2，
∴②，
∴q2含有因数3，
∴q含有因数3，
这样p，q有公因数3，不互质，这与假设p，q互质矛盾．
∴不是有理数．
（1）将上面的证明过程补充完整．
① ；② ；
（2）类比上述的证明过程，推理说明不是有理数．

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