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1.4利用三角形全等测距离
（30分提至70分使用）
1. 测距离原理
利用三角形全等的性质：全等三角形的对应边相等。通过构造两个全等三角形，将无法直接测量的距离转化为可测量的对应边的长度。
2. 构造全等三角形的方法
操作步骤：
在待测距离的两点 ( A )、( B ) 中，选择 ( A ) 点，在 ( AB ) 所在直线外任取一点 ( C )；
连接 ( AC ) 并延长至 ( D )，使 ( CD = AC )；
连接 ( BC ) 并延长至 ( E )，使 ( CE = BC )；
连接 ( DE )，则 ( DE ) 的长度即为 ( AB ) 的距离。
理论依据：在和中，
由SAS（边角边）判定，因此 ( AB = DE )。
3. 关键步骤总结
确定目标：明确需要测量的不可达距离（如 ( AB )）；
构造全等：通过作对称点、延长线段等方式构造全等三角形（如）；
测量替代边：测量全等三角形中与目标距离对应的已知边（如 ( DE )），即得目标距离。
4. 核心思想
转化思想：将实际问题转化为数学模型（三角形全等），利用几何性质解决现实中的测量难题。
结合尺规作图的全等问题
1．（1）过的顶点A作高线和角平分线，若与的夹角为，且，求的度数；
（2）如图1，已知，，请用尺规作图，在图2画出，使，，并证明．
2．如图，小华想作出的平分线，但她没带圆规，手边只有刻度尺，请你帮她设计一个方法．（要求：作出图形，并写出简要的作图步骤，不需要证明）

3．如图，在4×4的正方形网格中，A，B，C，D，E是网格线交点．请画出一个△DEF，使得△DEF与△ABC全等．
4．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D为边BC上一点，CD＝AC，连接AD．
(1)用尺规作∠ADE＝∠B，射线DE交线段AC于点E（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若AB＝5，BD＝3，求AE的长．
5．人教版初中数学教科书八年级上册第35-36页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法：
已知：． 求作：，使得≌． 作法：如图． （1）画； （2）分别以点，为圆心，线段，长为半径画弧，两弧相交于点； （3）连接线段，，则即为所求作的三角形．
请你根据以上材料完成下列问题：
（1）完成下面证明过程（将正确答案填在相应的横线上）：
证明：由作图可知，在和中，
∴≌______．
（2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是______．（填序号）
①AAS；②ASA；③SAS；④SSS
倍长中线模型
6．如图，已知为的中线，，的周长为，则
(1)的周长为多少？
(2)的取值范围是多少？（直接写出答案）
7．已知如图，点在上，点在的延长线上，且，．求证：是等腰三角形．
8．小雨同学喜欢学习数学，他喜欢不断地主动探索思考，总结方法，探究问题的本质．学完三角形的中线，他主动进行探究：如图1，是的边的中点，连接，则为边上的中线．他尝试延长到点，使得，连接，发现．
请根据小雨的探究过程，解答下面的问题．
如图2，是的中线，在上，连接，与交于点，且．试说明．
9．如图，在中，D是的中点，E是上一点，，的延长线交于点F．求证：．
10．问题探究：
小圣遇到这样一个问题：如图1，中，是中线，求的取值范围．他的做法是：延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：
(1)小圣证明的判定定理是______；
(2)的取值范围是______；
方法运用：
(3)如图2，是的中线，在上取一点，连接并延长交于点，使，求证：．
旋转模型
11．如图，与都是等腰直角三角形，，，，交于点，连接，．
(1)求证：；
(2)可以看作是由绕某点旋转得到的，若，则旋转中心是点______，旋转角的度数为______．
12．如图，D为△ABC内一点，AB＝AC，∠BAC＝50°，将AD绕着点A顺时针旋转50°能与线段AE重合．
（1）求证：EB＝DC；
（2）若∠ADC＝115°，求∠BED的度数．
13．中，，以点A为中心，分别将线段，逆时针旋转得到线段，，连接，延长交于点．用等式表示线段与的数量关系，并加以证明．
14．如图，等边三角形的外部有一点P，且，将绕点B逆时针旋转60°得到，连接．
（1）求证：．
（2）若，，求P，C两点之间的距离．
15．已知在中，，在中．，，点、、在同一条直线上，与相交于点，连接．
(1)如图1，当时，求的度数；
(2)如图2，当时，完成下列问题：
①判断与的关系；
②若，，求线段的长．1.4利用三角形全等测距离
（30分提至70分使用）
1. 测距离原理
利用三角形全等的性质：全等三角形的对应边相等。通过构造两个全等三角形，将无法直接测量的距离转化为可测量的对应边的长度。
2. 构造全等三角形的方法
操作步骤：
在待测距离的两点 ( A )、( B ) 中，选择 ( A ) 点，在 ( AB ) 所在直线外任取一点 ( C )；
连接 ( AC ) 并延长至 ( D )，使 ( CD = AC )；
连接 ( BC ) 并延长至 ( E )，使 ( CE = BC )；
连接 ( DE )，则 ( DE ) 的长度即为 ( AB ) 的距离。
理论依据：在和中，
由SAS（边角边）判定，因此 ( AB = DE )。
3. 关键步骤总结
确定目标：明确需要测量的不可达距离（如 ( AB )）；
构造全等：通过作对称点、延长线段等方式构造全等三角形（如）；
测量替代边：测量全等三角形中与目标距离对应的已知边（如 ( DE )），即得目标距离。
4. 核心思想
转化思想：将实际问题转化为数学模型（三角形全等），利用几何性质解决现实中的测量难题。
结合尺规作图的全等问题
1．（1）过的顶点A作高线和角平分线，若与的夹角为，且，求的度数；
（2）如图1，已知，，请用尺规作图，在图2画出，使，，并证明．
【答案】（1）或；（2）见详解
【分析】（1）题考查了三角形内角和定理、直角三角形性质以及角平分线性质，要注意分类讨论．
（2）题考查尺规作图以及全等三角形的判定与性质，通过尺规作图构造全等三角形，再利用全等三角形性质得出对应角相等．
【详解】解：（1）当在内时，
是高线，，在中，
，
又，
，
是角平分线，
，
；
当在内时，
是高线，，在中，
，
又，
，
是角平分线，
，
；
（2） 如图，以为圆心，长为半径画弧，交的一边为；再以为圆心，长为半径画弧，交的另一边为，连接；即为所求作的三角形．
在和中，
，
，
．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的性质，角平分线的性质，尺规作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确应用三角形内角和定理和直角三角形的性质．
2．如图，小华想作出的平分线，但她没带圆规，手边只有刻度尺，请你帮她设计一个方法．（要求：作出图形，并写出简要的作图步骤，不需要证明）

【答案】见解析
【分析】利用证明，可得结论．
【详解】解：①利用刻度尺在、上分别截取，
②连接，利用刻度尺作出的中点F，
③作射线，
由作图可知：
，，，
∴，
∴，
则为的平分线．

【点睛】本题考查了全等三角形的应用及基本作图的知识，同学们注意仔细审题，理解这些作角平分线的方法，按照题目意思解答．
3．如图，在4×4的正方形网格中，A，B，C，D，E是网格线交点．请画出一个△DEF，使得△DEF与△ABC全等．
【答案】见解析
【分析】根据全等三角形的判定方法画出图形即可．
【详解】解：满足条件的三角形有4个，如图所示：（只要画出一种即可）
【点睛】本题考查作图——应用与设计图纸，全等三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
4．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D为边BC上一点，CD＝AC，连接AD．
(1)用尺规作∠ADE＝∠B，射线DE交线段AC于点E（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若AB＝5，BD＝3，求AE的长．
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】（1）利用作一个角等于已知角的作法，即可求解；
（2）根据等腰三角形的性质可得AC＝AB＝5．再由CD＝AC，可得CD＝AC＝AB＝5．再根据三角形的外角性质可得∠CDE＝∠BAD．可证得△ABD≌△DCE．即可求解．
【详解】（1）解：作图如图所示，∠ADE即为所作；
（2）解：∵∠B＝∠C，
∴AC＝AB＝5．
∵CD＝AC，
∴CD＝AC＝AB＝5．
∵∠ADC＝∠ADE＋∠CDE＝∠B＋∠BAD，
∵∠ADE＝∠B，
∴∠CDE＝∠BAD．
∴△ABD≌△DCE．
∴CE＝BD＝3．
∴AE＝AC-CE＝5-3＝2．
【点睛】本题主要考查了尺规作图，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
5．人教版初中数学教科书八年级上册第35-36页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法：
已知：． 求作：，使得≌． 作法：如图． （1）画； （2）分别以点，为圆心，线段，长为半径画弧，两弧相交于点； （3）连接线段，，则即为所求作的三角形．
请你根据以上材料完成下列问题：
（1）完成下面证明过程（将正确答案填在相应的横线上）：
证明：由作图可知，在和中，
∴≌______．
（2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是______．（填序号）
①AAS；②ASA；③SAS；④SSS
【答案】（1）；（2）④．
【分析】（1）先根据作图可知，再根据三角形全等的判定定理即可得；
（2）根据三边对应相等的两个三角形是全等三角形即可得．
【详解】（1）证明：由作图可知，在和中，
，
∴．
故答案为：．
（2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是，
故答案为：④．
【点睛】本题考查了利用定理判定三角形全等，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．
倍长中线模型
6．如图，已知为的中线，，的周长为，则
(1)的周长为多少？
(2)的取值范围是多少？（直接写出答案）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了根据三角形中线求长度、倍长中线模型以及三角形三边关系的应用，掌握相关结论即可；
（1）由题意得，根据的周长，推出即可求解；
（2）延长至点，使得，连接，证明，得出，；根据，即可求解；
【详解】（1）解：∵为的中线，
∴；
∵的周长；
∴；
∴的周长；
（2）解：延长至点，使得，连接，如图所示：
∵，，，
∴，
∴，；
在中，，
∴，
∴；
7．已知如图，点在上，点在的延长线上，且，．求证：是等腰三角形．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定，作出恰当的辅助线是解答此题的关键．
过点作于点，利用平行线的性质得出，进而利用得出，再利用全等三角形的性质以及等腰三角形的判定得出即可．
【详解】证明：过点作于点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
8．小雨同学喜欢学习数学，他喜欢不断地主动探索思考，总结方法，探究问题的本质．学完三角形的中线，他主动进行探究：如图1，是的边的中点，连接，则为边上的中线．他尝试延长到点，使得，连接，发现．
请根据小雨的探究过程，解答下面的问题．
如图2，是的中线，在上，连接，与交于点，且．试说明．
【答案】详见解析
【分析】本题考查了倍长中线法证明三角形的全等，根据延长到点，使得，连接，得出，且结合是的中线，得，证明，再通过等边对等角以及角的等量代换，即可作答．
【详解】解：如图，延长到点，使得，连接．
∵是的中线，
∴，
∵，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴．
9．如图，在中，D是的中点，E是上一点，，的延长线交于点F．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了倍长中线模型，延长到M，使，连接，证即可求证．
【详解】证明：如图，延长到M，使，连接
∵D是边的中点
∴
在和中
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
即
10．问题探究：
小圣遇到这样一个问题：如图1，中，是中线，求的取值范围．他的做法是：延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：
(1)小圣证明的判定定理是______；
(2)的取值范围是______；
方法运用：
(3)如图2，是的中线，在上取一点，连接并延长交于点，使，求证：．
【答案】(1)边角边
(2)
(3)证明过程见详解
【分析】本题主要考查三角形中线的性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角，等角对等边的知识的综合，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据三角形的判定方法即可求解；
（2）运用三角形三边关系“两边之差小于第三边，两边之和大于第三边”，由此即可求解；
（3）如图所示，延长至点，使得，可证，可得，再根据可证，由此即可求解．
【详解】（1）解：是的中线，
∴，
∵延长到，使，，
∴，
∴运用的是“边角边”判定定理证明，
故答案为：边角边．
（2）解：由（1）可知，，
∴，
在中，，
∴，即，
∵，
∴，
故答案为：．
（3）证明：如图所示，延长至点，使得，
∵是中点，且，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，且，
∴．
旋转模型
11．如图，与都是等腰直角三角形，，，，交于点，连接，．
(1)求证：；
(2)可以看作是由绕某点旋转得到的，若，则旋转中心是点______，旋转角的度数为______．
【答案】(1)证明见解析
(2)，
【分析】本题考查了全等三角形中的旋转模型，掌握旋转的相关性质是解题关键．
（1）推出，即可求证；
（2）旋转角为旋转前后对应线段形成的角度，据此即可求解．
【详解】（1）解：，
，
即，
，，
；
（2）解：由题意可得：旋转中心是点，
旋转角为或，
∴旋转角的度数为．
故答案为：，
12．如图，D为△ABC内一点，AB＝AC，∠BAC＝50°，将AD绕着点A顺时针旋转50°能与线段AE重合．
（1）求证：EB＝DC；
（2）若∠ADC＝115°，求∠BED的度数．
【答案】（1）见解析；（2）50°
【分析】（1）根据旋转的性质，可得AD=AE，∠DAE=∠BAC＝50°，从而得到∠BAE=∠CAD，可证得△BAE≌△CAD，即可求证；
（2）根据全等三角形的性质，可得∠BEA=∠ADC=115°，再由等腰三角形的性质，可得 ，即可求解．
【详解】证明（1）∵将AD绕着点A顺时针旋转50°能与线段AE重合，
∴AD=AE，∠DAE=∠BAC＝50°，
∴∠DAE-∠BAD=∠BAC-∠BAD，即∠BAE=∠CAD，
∵AB=AC，
∴△BAE≌△CAD，
∴EB=DC；
（2）∵△BAE≌△CAD，
∴∠BEA=∠ADC=115°，
∵∠DAE=50°，AD=AE，
∴ ，
∴∠BED=∠BEA-∠AED=115°-65°=50°．
【点睛】本题主要考查了图形旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
13．中，，以点A为中心，分别将线段，逆时针旋转得到线段，，连接，延长交于点．用等式表示线段与的数量关系，并加以证明．
【答案】，见解析
【分析】连接，根据旋转的性质可得：，从而得到，可得，进而得到，则，再由直角三角形的性质，可得，再由勾股定理得，即可求解．
【详解】解：线段与的数量关系是：．
证明：如图，连接，
根据题意得：，
，
，，
．
．
．
∵AF=AF，，
．
．
∴，
∵，
，
∴ ，
即．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质定理，旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键．
14．如图，等边三角形的外部有一点P，且，将绕点B逆时针旋转60°得到，连接．
（1）求证：．
（2）若，，求P，C两点之间的距离．
【答案】（1）见解析（2）5
【分析】（1）由旋转的性质可知，对应边相等，旋转角相等，用“边角边”证明三角形全等即可
（2）连接，根据已知条件构造直角三角形，用勾股定理求得的距离
【详解】（1）由旋转的性质可知，
（SAS）
（2）连接
为等边三角形
,
,
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，找到旋转角是解题的关键．
15．已知在中，，在中．，，点、、在同一条直线上，与相交于点，连接．
(1)如图1，当时，求的度数；
(2)如图2，当时，完成下列问题：
①判断与的关系；
②若，，求线段的长．
【答案】(1)
(2)①，；②
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
（1）证明得到，利用三角形内角和可得；
（2）①证明得到，，再由
，得到，即可得到，；
②由可得，由外角的性质和等腰三角形的性质可求，即可求解．
【详解】（1）解：，
，
，
在和中，
，
，
又，，，
；
（2）证明：①，
，
，
在和中，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
∴，；
②，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
．

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