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4.1无理数
（30分提至70分使用）
一、无理数的概念
无限不循环小数叫做无理数。
二、无理数的特征
无限性：小数部分的位数是无限的，没有终止的时候。
不循环性：小数部分没有重复出现的数字序列（循环节）。
三、常见的无理数类型
开方开不尽的数：如、、等（注意：带根号的数不一定是无理数，如是有理数）。
含的数：如、、等（是无限不循环小数）。
特定结构的无限不循环小数：如（相邻两个1之间依次多一个0）、等。
四、无理数与有理数的区别
有理数：整数和分数统称为有理数，有理数都可以表示为有限小数或无限循环小数，也可以表示为两个整数的比（即分数形式，其中 (p)、(q) 是整数，且）。
无理数：不能表示为两个整数的比，其小数形式是无限不循环的。
一、单选题
1．在，，，，（相邻两个1之间0的个数逐次加1）中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列四个数中，属于无理数的是（ ）
A．0 B． C．π D．
3．已知是无理数，但是有理数，则下列各式中是有理数的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列各数中是无理数的为（ ）
A．5 B． C．3.1415926 D．
二、填空题
5．下列各数1.5、1.01001、、…(每两个2之间增加一个6)、0、，其中有理数有 个．
6．在，，0.101001，，这几个数中，无理数有 个．
三、解答题
7．把下列各数序号填入相应的集合中：①﹣3.14，②﹣2π，③，④0.618，⑤，⑥0，⑦﹣1，⑧6%，⑨+3，⑩．
负分数集合{_________……}；
正整数集合{___________……}；
无理数集合{___________……}．
8．（1）两个有理数相加、相减、相乘、相除，结果一定还是有理数吗？说明理由．
（2）两个无理数相加、相减、相乘、相除，结果一定还是无理数吗？举例说明．4.1无理数
（30分提至70分使用）
一、无理数的概念
无限不循环小数叫做无理数。
二、无理数的特征
无限性：小数部分的位数是无限的，没有终止的时候。
不循环性：小数部分没有重复出现的数字序列（循环节）。
三、常见的无理数类型
开方开不尽的数：如、、等（注意：带根号的数不一定是无理数，如是有理数）。
含的数：如、、等（是无限不循环小数）。
特定结构的无限不循环小数：如（相邻两个1之间依次多一个0）、等。
四、无理数与有理数的区别
有理数：整数和分数统称为有理数，有理数都可以表示为有限小数或无限循环小数，也可以表示为两个整数的比（即分数形式，其中 (p)、(q) 是整数，且）。
无理数：不能表示为两个整数的比，其小数形式是无限不循环的。
一、单选题
1．在，，，，（相邻两个1之间0的个数逐次加1）中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了无理数：无限不循环小数；根据定义逐个判断各数即可．
【详解】解：∵ 是分数，属于有理数；
∵是无限不循环小数，属于无理数；
∵ ，是分数，属于有理数；
∵ 是循环小数，属于有理数；
∵ （相邻两个1之间0的个数逐次加1）是无限不循环小数，属于无理数；
∴ 无理数有和（相邻两个1之间0的个数逐次加1）共2个．
故选：B．
2．下列四个数中，属于无理数的是（ ）
A．0 B． C．π D．
【答案】C
【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1），根据无理数定义逐项判断即可．
【详解】解：A．0是整数，属于有理数，故不符合题意；
B．是分数，属于有理数，故不符合题意；
C．π是无理数，故符合题意；
D．是小数，属于有理数，故不符合题意．
故选：C．
3．已知是无理数，但是有理数，则下列各式中是有理数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查多项式的运算，多项式乘多项式．由已知条件展开 得到 为有理数，从而 为有理数，据此求解即可．理解有理数加或减有理数结果为有理数是解题的关键．
【详解】解：∵ 为有理数，
∴ 为有理数（有理数加有理数仍为有理数），
A、不确定是不是有理数，故A不符合题意；
B、是有理数，故B符合题意；
C、不确定是不是有理数，故C不符合题意；
D、不确定是不是有理数，故D不符合题意．
故选：B．
4．下列各数中是无理数的为（ ）
A．5 B． C．3.1415926 D．
【答案】D
【分析】本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数，不能表示为两个整数的比．整数、分数和有限小数均为有理数；π是无理数，因此2π也是无理数，据此判断即可．
【详解】解：A．5是整数，属于有理数；
B．是分数，属于有理数；
C．3.1415926是有限小数，属于有理数；
D．是无理数．
故选：D．
二、填空题
5．下列各数1.5、1.01001、、…(每两个2之间增加一个6)、0、，其中有理数有 个．
【答案】4
【分析】本题考查有理数的定义，解题的关键是根据 “整数和分数（包括有限小数、无限循环小数）是有理数，无限不循环小数是无理数” 的定义判断每个数的类型．
逐个分析所给数的类型，判断哪些是有理数，统计有理数的个数．
【详解】解：根据有理数的定义：整数和分数（包括有限小数．无限循环小数）是有理数，无限不循环小数是无理数，
对每个数分析如下：
1.5是有限小数，属于有理数；1.01001是有限小数，属于有理数；是无限不循环小数，属于无理数；（每两个2之间增加一个6）是无限不循环小数，属于无理数；0是整数，属于有理数；是分数，化为小数是无限循环小数，属于有理数．
综上，有理数有1.5、1.01001、，共4个．
故答案为：4．
6．在，，0.101001，，这几个数中，无理数有 个．
【答案】1
【分析】本题考查了无理数的定义，注意开方开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．根据无理数的定义（无限不循环小数），逐个判断每个数即可．
【详解】解：是有限小数，可以化为分数，因此是有理数；
是整数，因此是有理数；
0.101001 是有限小数，因此是有理数；
是分数，因此是有理数；
中， 是无理数，减去有理数 1 后结果仍为无理数，
因此，无理数只有 1 个，
故答案为 1．
三、解答题
7．把下列各数序号填入相应的集合中：①﹣3.14，②﹣2π，③，④0.618，⑤，⑥0，⑦﹣1，⑧6%，⑨+3，⑩．
负分数集合{_________……}；
正整数集合{___________……}；
无理数集合{___________……}．
【答案】见解析．
【分析】根据负分数，正整数，无理数的定义进行分类即可得到答案．
【详解】解：①﹣3.14是负分数，②﹣2π，是无理数，③是负分数，④0.618是正分数，⑤是正分数，⑥0是整数，⑦﹣1是负整数，⑧6%是正分数，⑨+3是正整数，⑩是无理数．
负分数集合{①③……}；
正整数集合{⑨……}；
无理数集合{②⑩……}．
【点睛】本题主要考查了实数的分类，解题的关键在于能够熟练掌握负分数所有小于0的分数组成的数集，正整数所有大于0的整数组成的数集，无理数无限不循环的小数组成的数集．
8．（1）两个有理数相加、相减、相乘、相除，结果一定还是有理数吗？说明理由．
（2）两个无理数相加、相减、相乘、相除，结果一定还是无理数吗？举例说明．
【答案】（1）两个有理数相加、相减、相乘、相除（分母为除外），结果还是有理数；理由见解析；（2）两个无理数相加相减、相乘、相除，结果未必是无理数，说明见解析．
【分析】（1）根据有理数的四则运算法则，即可求解；
（2）举例加上等于4，乘以等于1，减去的差等于-1，除以等于2，结果都不是无理数，即可求解．
【详解】解：（1）两个有理数相加、相减、相乘、相除（分母为除外），结果还是有理数；
∵两个有理数相加、相减、相乘、相除（分母为除外），结果一定还是有限小数或无限循环小数，属于有理数；
（2）两个无理数相加相减、相乘、相除，结果不一定是无理数，如加上等于4，乘以等于1，减去的差等于-1，除以等于2，结果都不是无理数．
【点睛】本题主要考查了有理数和无理数的四则运算法则，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．

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