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4.4实数
（30分提至70分使用）
实数的概念及分类
无理数：无限不循环小数叫做无理数。例如：，，（相邻两个(1)之间依次多一个(0)）等。
实数：有理数和无理数统称为实数。
分类：
按定义分：有理数：整数和分数（有限小数或无限循环小数）
无理数：无限不循环小数
按大小分：正实数 0 负实数
实数的性质
实数与数轴上的点一一对应。
数(a)的相反数是(-a)（(a)为实数）。
非零实数(a)的倒数是。
正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，(0)的绝对值是(0)。即：
实数的运算
实数可以进行加、减、乘、除（除数不为(0)）、乘方运算，正数和(0)可以进行开平方运算，任意实数可以进行开立方运算。
运算律和运算法则：有理数的运算律和运算法则在实数范围内仍然适用。例如：加法交换律，乘法结合律等。
混合运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的。
实数的分类
1．下列各数中：1.2， ， 0， ，1.010010001，，，0.35，，正分数的个数为（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【分析】本题主要考查有理数的分类，正分数是指大于0的分数，包括有限小数、无限循环小数和百分数等，但排除整数、无理数和负数，据此解答即可．
【详解】解：1.2（有限小数）、1.010010001（有限小数）、、0.35（有限小数）是正分数；
是无理数，不是分数；0是整数；是负数；是负数；是整数，不是分数，
∴正分数有4个．
故选：B．
2．在下列实数中：，，，，0，，（相邻两个1之间0的个数逐次加），无理数的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】本题考查的是无理数的概念，解题关键是依据无理数 “无限不循环小数” 的定义，区分有理数与无理数．
先明确无理数是 “无限不循环小数”，再逐一判断每个数的类型，统计无理数的个数．
【详解】解：逐一分析各数：
：分数，是有理数；
是无限不循环小数，故是无理数；
：是无限不循环小数，故是无理数；
：分数，是有理数；
0：整数，是有理数；
：有限小数，是有理数；
（相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 1）：是无限不循环小数，是无理数．
综上所述共有3个无理数．
故选：B．
3．下列说法错误的是（ ）
A．实数包括有理数和无理数 B．有理数是有限小数
C．无限不循环小数是无理数 D．数轴上的点与实数一一对应
【答案】B
【分析】根据实数的基本概念，数轴与实数的关系，解答即可．
本题考查实数的基本概念和分类，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】解：A. 实数包括有理数和无理数，正确，不符合题意；
B. 整数和分数统称有理数，错误，符合题意；
C. 无限不循环小数是无理数，正确，不符合题意；
D. 数轴上的点与实数一一对应，正确，不符合题意；
故选：B．
4．下列各数中，是有理数的是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了实数的分类，有理数是能表示为两个整数之比的数，选项A为分数形式，因此是有理数，选项B、C、D均无法表示为整数之比，故为无理数．
【详解】解：对于A：∵是整数23与整数7的比， ∴是有理数；
对于B：∵4不是完全立方数，∴是无理数；
对于C：∵π是无理数，∴也是无理数；
对于D：∵是无理数，∴选项D是无理数．
故选：A．
5．下列说法：①是9的平方根；②实数可以分为正实数和负实数两类；③的立方根是；④负数没有平方根，其中正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查平方根和立方根定义，实数的分类等，熟练掌握平方根和立方根定义，是解题的关键．根据相关定义逐一判断每个说法的正确性即可．
【详解】解： ①是9的平方根，故①正确；
②实数包括正实数、负实数和零，故②错误；
③的立方根是，故③错误；
④在实数范围内，负数没有平方根，故④正确；
综上，正确说法有2个．
故选：B．
实数的性质
6．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，实数的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据算术平方根的定义，实数的性质分别判断即可．
【详解】解：A、，原写法错误，故本选项不符合题意；
B、，原写法错误，故本选项不符合题意；
C、，写法正确，故本选项符合题意；
D、，原写法错误，故本选项不符合题意；
故选：C．
7．下列说法错误的是（ ）
A．9的平方根是 B．1的立方根是1 C．的相反数是 D．π的绝对值是π
【答案】A
【分析】本题主要考查了平方根与立方根，一个数的立方根只有一个，一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
根据平方根以及立方根的概念进行判断即可．
【详解】解：A、9的平方根是，该选项说法错误；
B、1的立方根是1，该选项说法正确；
C．的相反数是，该选项说法正确；
D、π的绝对值是π，该选项说法正确；
故选：A．
8．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了算术平方根、实数的性质、立方根的意义等知识点，难度不大，熟记各相关知识点是解题的关键．
原式各项利用算术平方根、实数的性质、立方根的意义进行计算得到结果，即可进行判断．
【详解】解：A．，故本选项错误；
B．，故本选项错误；
C．，故本选项正确；
D．，故本选项错误．
故选：C．
9．化简的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了实数的性质，化简绝对值；先判断与1的大小，再化简绝对值，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴
故选：B．
10．的相反数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了求相反数．的相反数是，据此解答．
【详解】解：的相反数是．
故选：A
实数与数轴
11．如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了无理数，理解其定义是解题的关键．
根据无理数的定义解题即可．
【详解】解：由图可知，这个无理数在和之间，
A：，故该选项不合题意；
B：，故该选项符合题意；
C：，故该选项不合题意；
D：，故该选项不合题意．
故选：B ．
12．如图，在数轴上画一个边长为1的正方形，那么这个正方形的对角线长是，再以对角线长为半径，表示数1的点为圆心画一个半圆（图中虚线所示）与数轴交于、两点，则、两点表示的数是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】D
【分析】本题考查数轴上点表示的数，熟练掌握数轴上的点表示的数，右边的比左边的大是解题的关键．
数轴上的点表示的数，右边的比左边的大，故B表示的数比1大，同理A表示的比1小，即可得到答案．
【详解】解：由已知可得，A表示的数比1小，B表示的数比1大，
∴A表示的数是，B表示的数是，
故选：D．
13．如图所示，数轴上点P所表示的数可能是（ ）
A． B．10 C． D．3.1
【答案】C
【分析】本题考查实数与数轴，无理数的估算，夹逼法求出无理数的范围进行判断即可．
【详解】解：由数轴可知：点表示的数大于3.5，小于4，
A、∵，
∴，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、∵，
∴，符合题意；
D、，不符合题意；
故选C．
14．如图，在中，，边在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，的长为个单位长度，以为圆心，的长为半径画弧，与数轴交于点，则点表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理，利用勾股定理求得的长度，即的长度，即可得出结果．
【详解】解：点表示的数为，点表示的数为，
，
，，
，
点表示的数为，
故选：D．
15．若将，，，这四个无理数表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了实数与数轴，无理数的估算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先观察数轴，得出被如图所示的墨迹覆盖的数是到3之间，再结合每个选项的无理数进行分析，即可作答．
【详解】解：观察数轴，得出被如图所示的墨迹覆盖的数是到3之间，
∵，
故A选项不符合题意；
∵，
∴，
故B选项符合题意；
∵，
∴，
故C选项不符合题意；
∵，
∴，
故D选项不符合题意；
故选：B．
实数的大小比较
16．在数轴上表示下列各数的点中，距离原点最远的点表示的数是（ ）
A． B．0 C．1 D．
【答案】A
【分析】本题考查实数与数轴，比较实数的大小关系，求出各点到原点的距离，再比较大小即可．
【详解】解：到原点的距离为3，0到原点的距离为0，1到原点的距离为1，到原点的距离为，
∵，
∴，
∴，
∴距离原点最远的点表示的数是．
故选A．
17．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】考查算术平方根的性质（被开方数越大，算术平方根越大）．解题关键是将有理数转化为算术平方根形式，统一比较标准；易错点是忽略“将有理数化为相同形式”的步骤，直接凭直觉比较．
把转化为算术平方根形式（），结合、，比较被开方数：因为，根据算术平方根的性质，得，即．
【详解】解：∵，，，且，
∴，即．
18．下列实数中最大的是（ ）
A．3.14 B． C． D．
【答案】B
【详解】本题主要考查实数的大小比较及算术平方根，熟练掌握实数的大小比较及算术平方根是解题的关键；通过计算各选项的近似值，比较大小即可．
【分析】解：∵，，，
∴，
∴最大，
故选B．
19．下列四个数中，比大的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较是解题的关键；比较负数的大小，绝对值越小，数越大，然后问题可求解．
【详解】解：∵
∴
∴
∴比大的数是．
故选：A．
20．下列各数中，最小的数是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】B
【分析】本题主要考查实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较是解题的关键；通过比较各数的大小，负数小于零和正数，且比较负数的绝对值大小，绝对值大的负数反而小．
【详解】解：∵，
∴；
又∵，
∴；
且负数小于零和正数，
∴是最小的数；
故选B．
程序设计与实数运算
21．小明编写了一个程序，如图，若输入，则输出的值为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【分析】本题考查了程序式计算，熟练掌握程序式计算是解题的关键．根据流程图分别代入计算，根据计算结果判断即可．
【详解】解：根据题意得：，
∴，
∴，
∴的倒数为，
∴，
故选：A．
22．如图，小辰用计算机设计了一个数值转换器，当输入为64时，输出是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】本题考查了求一个数立方根和算术平方根，无理数的定义，正确理解流程图是解题的关键．
将输入，按照流程图计算，直至求出是无理数，输出即可．
【详解】解：当时，的立方根为，4的算术平方根为，是有理数；
2的算术平方根为，
故选：B．
23．小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入的值是有理数64时，输出的值是（ ）
A．8 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】本题考查程序流程图与实数的计算，根据流程图，进行计算，直至结果为无理数，输出即可．
【详解】解：按照流程依次输出：，是无理数，输出，
故值是；
故选D．
24．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为9，则最后输出的y值是（ ）

A． B． C．3 D．
【答案】B
【分析】本题考查实数的分类及运算，判断每步计算结果是否为无理数是解题的关键．
根据已知判断每一步输出结果即可得到答案．
【详解】解：由所示的程序可得：9的算术平方根是3，3是有理数，3的平方根是，是无理数，输出为y，
∴开始输入的x值为9，则最后输出的y值是．
故选：B．
25．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的数为81时，输出的数为（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了算术平方根，有理数，无理数的定义，求算术平方根，依据程序进行计算是解题的关键．根据算术平方根的求解，判断有理数以及无理数即可得出结果．
【详解】解：当输入的数为81时，取算术平方根，则，
9不是无理数，取算术平方根，则，
3不是无理数，取算术平方根，则，是无理数，
则输出的数为，
故选：D．
新定义下的实数运算
26．设a ，b是实数，定义* 的一种运算如下：，则下列结论错误的是（ ）
A．，则 B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了新定义，根据新定义可得，据此可判断A；根据新定义可得，据此可判断B；当时，，，据此可判断C；根据新定义可得，据此可判断D．
【详解】解：A、∵，
∴当，，
∴，
∴，原说法正确，故此选项不符合题意；
B、∵，
∴，
∴，原说法正确，故此选项不符合题意；
C、∵，
∴当时，，
，
∴此时等式不成立，原说法错误，符合题意；
D、∵，
∴，
∴，原说法正确，故此选项不符合题意；
故选：C．
27．定义一种新运算：，则的值为（ ）
A．25 B．1 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查新定义运算，直接根据新运算的定义代入数值计算即可．
将，代入即可求出答案．
【详解】∵ ，
∴
故选A．
28．若“*”是我们定义的一种新的运算符号，且规定．若，则x的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】本题主要考查了同底数幂乘法，理解新运算是解题的关键．
根据新运算的定义，将等式转化为同底数幂的形式，利用指数相等求解．
【详解】∵，
∴，
又∵，且，
∴，
∴，
∴．
29．对任意实数x，通常用表示不超过x的最大整数，如，，下列结论正确的是（ ）
① ② ③ ④
A．②③ B．①③ C．①②③ D．①③④
【答案】B
【分析】本题考查了定义新运算，理解新定义是解题的关键．
根据新定义，逐一判断各结论的正确性即可．
【详解】解：，故①正确；
，故②错误；
，故③正确；
当不是整数时，如，则，故④错误；
∴综上所述，结论正确的是①③．
故选：B．
30．若规定“”是一种数学运算符号，且，，，，…，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了新定义下的实数运算，数字类规律探索，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
根据阶乘的定义，可简化为，直接计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
故选：C．
实数的混合运算
31．计算：．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式、立方根的运算，解题关键是熟练掌握根式的运算法则（乘除、开方）．
先分别计算各项（化简根式、进行乘除运算），再合并结果．
【详解】
．
32．计算
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了实数的混合运算，积的乘方，整式的乘除运算掌握相关运算法则是解题关键．
（1）先计算算术平方根和立方根，再计算加减法即可；
（2）先计算积的乘方，再计算单项式乘单项式，最后计算单项式除单项式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
33．计算：
【答案】
【分析】本题考查了实数的混合运算（含绝对值、立方根、平方根、有理数的乘方），解题的关键是正确化简各部分运算项后再进行加减运算．
先化简为，计算、、，再将这些结果进行加减运算．
【详解】解：．
34．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)5
(2)
【分析】本题考查了实数的混合运算，绝对值，算术平方根和立方根，解题的关键是掌握以上运算法则．
（1）首先化简算术平方根，然后计算加减即可；
（2）先化简绝对值，计算立方根和算术平方根，再进行加减运算．
【详解】（1）
；
（2）
．
35．计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查了实数的混合运算、绝对值、零次幂、算术平方根等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键．
先根据有理数乘方、绝对值、零次幂、算术平方根化简，然后再计算即可．
【详解】解：
．4.4实数
（30分提至70分使用）
实数的概念及分类
无理数：无限不循环小数叫做无理数。例如：，，（相邻两个(1)之间依次多一个(0)）等。
实数：有理数和无理数统称为实数。
分类：
按定义分：有理数：整数和分数（有限小数或无限循环小数）
无理数：无限不循环小数
按大小分：正实数 0 负实数
实数的性质
实数与数轴上的点一一对应。
数(a)的相反数是(-a)（(a)为实数）。
非零实数(a)的倒数是。
正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，(0)的绝对值是(0)。即：
实数的运算
实数可以进行加、减、乘、除（除数不为(0)）、乘方运算，正数和(0)可以进行开平方运算，任意实数可以进行开立方运算。
运算律和运算法则：有理数的运算律和运算法则在实数范围内仍然适用。例如：加法交换律，乘法结合律等。
混合运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的。
实数的分类
1．下列各数中：1.2， ， 0， ，1.010010001，，，0.35，，正分数的个数为（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
2．在下列实数中：，，，，0，，（相邻两个1之间0的个数逐次加），无理数的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．下列说法错误的是（ ）
A．实数包括有理数和无理数 B．有理数是有限小数
C．无限不循环小数是无理数 D．数轴上的点与实数一一对应
4．下列各数中，是有理数的是（ ）
A． B． C．2 D．
5．下列说法：①是9的平方根；②实数可以分为正实数和负实数两类；③的立方根是；④负数没有平方根，其中正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
实数的性质
6．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．下列说法错误的是（ ）
A．9的平方根是 B．1的立方根是1 C．的相反数是 D．π的绝对值是π
8．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．化简的值为（ ）
A． B． C． D．
10．的相反数是（ ）
A． B． C． D．
实数与数轴
11．如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在数轴上画一个边长为1的正方形，那么这个正方形的对角线长是，再以对角线长为半径，表示数1的点为圆心画一个半圆（图中虚线所示）与数轴交于、两点，则、两点表示的数是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
13．如图所示，数轴上点P所表示的数可能是（ ）
A． B．10 C． D．3.1
14．如图，在中，，边在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，的长为个单位长度，以为圆心，的长为半径画弧，与数轴交于点，则点表示的数为（ ）
A． B． C． D．
15．若将，，，这四个无理数表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是（ ）
A． B． C． D．
实数的大小比较
16．在数轴上表示下列各数的点中，距离原点最远的点表示的数是（ ）
A． B．0 C．1 D．
17．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
18．下列实数中最大的是（ ）
A．3.14 B． C． D．
19．下列四个数中，比大的数是（ ）
A． B． C． D．
20．下列各数中，最小的数是（ ）
A． B． C．0 D．
程序设计与实数运算
21．小明编写了一个程序，如图，若输入，则输出的值为（ ）
A． B． C．3 D．
22．如图，小辰用计算机设计了一个数值转换器，当输入为64时，输出是（ ）
A． B． C．2 D．
23．小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入的值是有理数64时，输出的值是（ ）
A．8 B． C．2 D．
24．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为9，则最后输出的y值是（ ）

A． B． C．3 D．
25．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的数为81时，输出的数为（　　）
A．1 B． C． D．
新定义下的实数运算
26．设a ，b是实数，定义* 的一种运算如下：，则下列结论错误的是（ ）
A．，则 B．
C． D．
27．定义一种新运算：，则的值为（ ）
A．25 B．1 C． D．
28．若“*”是我们定义的一种新的运算符号，且规定．若，则x的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
29．对任意实数x，通常用表示不超过x的最大整数，如，，下列结论正确的是（ ）
① ② ③ ④
A．②③ B．①③ C．①②③ D．①③④
30．若规定“”是一种数学运算符号，且，，，，…，则的值为（ ）
A． B． C． D．
实数的混合运算
31．计算：．
32．计算
(1)
(2)
33．计算：
34．计算：
(1)
(2)
35．计算：．

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