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2.1轴对称及其性质
（30分提至70分使用）
1. 轴对称图形
定义：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
示例：等腰三角形（1条对称轴）、正方形（4条对称轴）、圆（无数条对称轴）等。
2. 两个图形成轴对称
定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。
3. 轴对称的性质
性质1：成轴对称的两个图形全等。如果两个图形关于某条直线对称，那么这两个图形的形状和大小完全相同。
性质2：对称轴是对应点连线的垂直平分线。如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴垂直平分任意一对对应点的连线。
性质3：对应线段相等，对应角相等。成轴对称的两个图形中，对应线段的长度相等，对应角的度数相等。
性质4：对应线段或其延长线相交，交点在对称轴上。如果成轴对称的两个图形中的对应线段（或其延长线）相交，那么交点一定在对称轴上。
4. 轴对称与轴对称图形的区别与联系
区别：轴对称是指两个图形之间的位置关系；轴对称图形是指一个图形自身具有的特性。
联系：两者都关于某条直线对称；如果把成轴对称的两个图形看作一个整体，那么它就是一个轴对称图形；如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两部分关于这条对称轴成轴对称。
5. 对称轴的作法
方法：对于成轴对称的两个图形，找到一对对应点，连接这对对应点，作所得线段的垂直平分线，即为对称轴。
依据：轴对称的性质2（对称轴是对应点连线的垂直平分线）。
6. 画轴对称图形
步骤：
确定原图形的关键点（如顶点、端点等）。
分别作出这些关键点关于对称轴的对称点（过关键点作对称轴的垂线并延长，使垂线上对称轴两侧的线段长度相等，得到对称点）。
按原图形的顺序连接各对称点，即可得到原图形关于对称轴对称的图形。
依据：轴对称的性质（对应点连线被对称轴垂直平分，对应线段相等）。
轴对称图形的识别
1．下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查轴对称图形，掌握知识点是解题的关键．
根据轴对称图形的定义，逐项分析判断即可．
【详解】、该图形是轴对称图形，符合题意；
、该图形不是轴对称图形，不符合题意；
、该图形不是轴对称图形，不符合题意；
、该图形不是轴对称图形，不符合题意；
故选．
2．下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查轴对称图形的概念，解题的关键是判断图形是否存在一条直线，使图形沿该直线折叠后两边完全重合．
根据轴对称图形的定义，逐一分析各选项图形是否存在对称轴．
【详解】解：轴对称图形的定义是：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形．
A、图形沿任意直线折叠后，两边无法完全重合，不是轴对称图形；
B、图形存在一条竖直的对称轴，沿该直线折叠后两边完全重合，是轴对称图形；
C、图形沿任意直线折叠后，两边无法完全重合，不是轴对称图形；
D、图形沿任条直线折叠后，两边无法完全重合，不是轴对称图形．
故选：B．
3．下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查轴对称图形的定义，解题的关键是理解“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形”．
根据轴对称图形的定义，逐一分析四个选项的图形是否存在这样的对称轴，进而确定正确选项．
【详解】解：轴对称图形的核心是存在一条对直线，使图形沿该直线折叠后两侧完全重合．
A、图形沿任意直线折叠，两侧均无法完全重合，不是轴对称图形；
B、图形沿任意直线折叠，两侧均无法完全重合，不是轴对称图形；
C、图形沿任意直线折叠，两侧均无法完全重合，不是轴对称图形；
D、存在一条直线，沿该直线折叠后，图形两侧能够完全重合，是轴对称图形．
故选：D．
4．下列图形不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了轴对称图形的定义，如果把一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，这个图形就是轴对称图形，解决本题的关键是根据轴对称图形的定义进行判断．
【详解】解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故是轴对称图形，不符合题意；
B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，符合题意；
C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故是轴对称图形，不符合题意；
D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故是轴对称图形，不符合题意；
故选：B．
5．数学中有许多精美的曲线，以下是“悬链线”、“黄金螺旋线”、“三叶玫瑰线”和“笛卡尔心形线”．其中是轴对称图形的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，解题的关键是掌握轴对称图形的定义．
根据轴对称图形的定义逐项进行判断即可，即平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形称为轴对称图形．
【详解】解：根据轴对称图形的定义得，
是轴对称图形的有①“悬链线”、③“三叶玫瑰线”和④“笛卡尔心形线”，
故选：C．
成轴对称的两个图形的识别
6．视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面每种组合的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了轴对称的定义，把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称，这条直线叫做对称轴，根据定义逐项判断即可．
【详解】A．可以找到一条直线，使两个图形沿这条直线折叠，能够完全重合，这两个图形能关于这条直线成轴对称，故选项不符合题意；
B．可以找到一条直线，使两个图形沿这条直线折叠，能够完全重合，这两个图形能关于这条直线成轴对称，故选项不符合题意；
C．找不到一条直线，使两个图形沿这条直线折叠，不能够完全重合，这两个图形不能关于直线成轴对称，故选项符合题意；
D．可以找到一条直线，使两个图形沿这条直线折叠，能够完全重合，这两个图形能关于这条直线成轴对称，故选项不符合题意；
故选：C．
7．视力表中的字母“”有各种不同的摆放形式，下面各种组合中的两个字母“”关于直线成轴对称的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了成轴对称图形的定义，掌握成轴对称的定义是解题的关键．
根据成轴对称的定义，看图中的两个字母沿直线对折后能否完全重合，据此逐项判断即可．
【详解】解：A、两个字母沿直线对折后能够完全重合，所以组合中的两个字母关于直线成轴对称，符合题意；
B、两个字母沿直线对折后不能完全重合，所以组合中的两个字母不关于直线成轴对称，不符合题意；
C、两个字母沿直线对折后不能完全重合，所以组合中的两个字母不关于直线成轴对称，不符合题意；
D、两个字母沿直线对折后不能完全重合，所以组合中的两个字母不关于直线成轴对称，不符合题意．
故选：A．
8．下列各选项中的两个图形属于轴对称的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是成轴对称图形的识别．利用成轴对称图形的概念（两个图形沿某条直线折叠，能够完全重合，就是成轴对称图形）可得答案．
【详解】解：A、两个图形沿某条直线折叠，能够完全重合，两个图形属于轴对称，符合题意；
B、找不到一条直线两个图形沿直线折叠，能够完全重合，两个图形不属于轴对称，不符合题意；
C、找不到一条直线两个图形沿直线折叠，能够完全重合，两个图形不属于轴对称，不符合题意；
D、找不到一条直线两个图形沿直线折叠，能够完全重合，两个图形不属于轴对称，不符合题意；
故选：A．
9．《哪吒之魔童闹海》以震撼特效、精彩故事、鲜活形象和浓厚文化，展现了中国动画电影的强劲实力．下列四个图中，能由左图经过轴对称得到的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了根据轴对称图形的概念依次分析各项即可得到结果．解答本题的关键是掌握熟练轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：能由左图经过轴对称得到的是第二个图形
故选：B．
10．将一张长方形的纸对折，然后用笔尖在上面扎出“E”，再把它铺平，你看到的图形可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查轴对称图形，正确利用轴对称图形的特点做题是解决此题的关键．根据题意可知，得到的是轴对称图形，然后认真观察图形，找出符合题意的选项即可 解答
【详解】解：A、将一张长方形的纸对折，再把它铺平后不能得到此图形，不符合题意；
B、将一张长方形的纸对折，再把它铺平后不能得到此图形，不符合题意；
C、将一张长方形的纸对折，再把它铺平后能得到此图形，符合题意；
D、将一张长方形的纸对折，再把它铺平后不能得到此图形，不符合题意；
故选：C ．
根据成轴对称图形的特征进行求解
11．如图，在中，，于，点关于直线的对称点是点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了直角三角形的性质，轴对称的性质，由直角三角形两锐角互余可得，进而由轴对称的性质可得，最后根据角的和差关系即可求解，掌握轴对称的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵点关于直线的对称点是点，
∴，
∴，
∴，
故选：．
12．如图，与交于点O，和关于直线对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键；因此此题可根据轴对称的性质进行排除选项即可．
【详解】解：连接，如图所示：
根据轴对称的性质可知：，，，
∴，
∴不一定成立的是；
故选A．
13．如图所示，与关于直线对称，且，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理，掌握轴对称的性质是解题关键．由轴对称的性质可知，，，再利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：与关于直线对称，，，
，，
．
故选：B．
14．如图，直线是一条河，，是两个新农村，欲在上某处修建一个水泵站向，两地供水，现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了轴对称与最短路径问题，作点M关于直线l的对称点，连接交直线l与点P，连接，此时点P的位置即为所求，据此可得答案．
【详解】解：作点M关于直线l的对称点，连接交直线l与点P，连接，
由轴对称的性质可得，
则，
由两点之间线段最短可知，当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，
故选：D．
15．如图，已知与关于直线对称，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了对称的性质，三角形的内角和定理．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．由对称的性质可得，，然后根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵与关于直线对称，，，
∴，，
∴，
故选：B．
求对称轴条数
16．下列图形中，对称轴最多的图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了轴对称图形，轴对称图形的性质，理解轴对称的性质是解题关键．根据轴对称的性质回答即可．
【详解】解：A.等腰三角形有1条对称轴，底边的垂直平分线是它的对称轴；
B.正方形有4条对称轴，经过对边中点的直线是对称轴，有2条；对角线所在直线是对称轴，有2条；
C.有3条对称轴，两圆圆心连线的垂直平分线是对称轴，有3条；
D.有无数条，经过圆心的直线是圆的对称轴．
故选：D．
17．数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线都是轴对称图形，其中有两条对称轴的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了轴对称图形的识别，找对称轴，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．
找出一条直线，沿该直线折叠使得直线两旁的部分能够完全重合，即为对称轴．
【详解】解：A、该图形只有1条对称轴，为轴所在的直线，故不符合题意；
B、该图形只有1条对称轴，为第一、三象限的角平分线，故不符合题意；
C、该图形有2条对称轴，为轴和轴所在的直线，故符合题意；
D、该图形只有1条对称轴，为轴所在的直线，故不符合题意；
故选：C．
18．下列图形中对称轴最多的是（ ）
A．等腰梯形 B．正方形 C．半圆形 D．等边三角形
【答案】B
【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，直接利用轴对称图形的定义，分析四个图形对称轴的条数，即可作出判断．
【详解】解：A、等腰梯形有一条对称轴；
B、正方形有4条对称轴；
C、半圆形有1条对称轴；
D、等边三角形有3条对称轴．
所以对称轴最多的是正方形有4条对称轴．
故选：B．
19．圆的对称轴有（ ）条．
A．1 B．2 C．3 D．无数条
【答案】D
【分析】本题考查圆的对称性，熟练掌握圆的对称轴是圆的直径所在的直线，是解题的关键．根据圆的对称轴是圆的直径所在的直线，即可得解．
【详解】解：圆的对称轴是圆的直径所在的直线，故圆有无数条对称轴．
故选：D．
20．下列图形中对称轴条数最少的是（ ）
A．正方形 B．长方形 C．等边三角形 D．圆
【答案】B
【分析】本题考查了轴对称图形的知识，如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．这条直线是它的对称轴．根据对称轴的概念，确定各个图形的对称轴的条数．
【详解】解：正方形有4条对称轴，长方形有2条对称轴，等边三角形有3条对称轴，圆形有无数条对称轴，
∴长方形对称轴条数最少，
故选：B．
画对称轴
21．如图．
(1)哪些图形是轴对称图形？你是怎样判断的？
(2)请把轴对称图形的对称轴画出来．
【答案】(1)（1）、（4）是轴对称图形
(2)见解析
【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
（1）根据轴对称图形的概念即可求解；
（2）根据对称轴的概念即可作图．
【详解】（1）解：根据轴对称图形的概念可得（1）、（4）是轴对称图形；
（2）解：对称轴如图所示：
22．下列图形中，哪些是轴对称图形？请画出轴对称图形的对称轴．
【答案】见解析．
【分析】本题考查了轴对称图形，对称轴的确定，根据轴对称图形的定义，画出对称轴即可，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】解：是轴对称的为：
，
画对称轴如下：
．
23．下列图形是轴对称图形的画出它们的对称轴．
【答案】图见解析
【分析】本题考查了画轴对称图形的对称轴，作出正确的对称轴是解决本题的关键．
根据轴对称图形的定义进行画图即可．
【详解】解：画对称轴如下：
24．按要求完成下列各小题．

(1)在图1中，画出灰色图形的对称轴直线；
(2)在图2各图中的适当位置涂灰一个小方格，使整个灰色图形关于直线成轴对称．
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析
【分析】本题考查轴对称的应用，熟练掌握轴对称图形的性质是解题关键．
（1）利用轴对称图形的性质画出对称轴即可；
（2）利用轴对称图形的性质补全图形即可．
【详解】（1）解：作图如下：

（2）解：作图如下：

25．指出如图所示的图形中各有多少条对称轴，并在各个轴对称图形上画出它们所有的对称轴．
【答案】对称轴分别有：2条，1条，1条；图见详解．
【分析】此题主要考查了轴对称变换，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．
直接利用轴对称图形的性质分别分析得出答案．
【详解】图（1）对称轴2条，
作图如下：
；
图（2）对称轴1条，
作图如下：
；
图（3）对称轴1条，
作图如下：
．2.1轴对称及其性质
（30分提至70分使用）
1. 轴对称图形
定义：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
示例：等腰三角形（1条对称轴）、正方形（4条对称轴）、圆（无数条对称轴）等。
2. 两个图形成轴对称
定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。
3. 轴对称的性质
性质1：成轴对称的两个图形全等。如果两个图形关于某条直线对称，那么这两个图形的形状和大小完全相同。
性质2：对称轴是对应点连线的垂直平分线。如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴垂直平分任意一对对应点的连线。
性质3：对应线段相等，对应角相等。成轴对称的两个图形中，对应线段的长度相等，对应角的度数相等。
性质4：对应线段或其延长线相交，交点在对称轴上。如果成轴对称的两个图形中的对应线段（或其延长线）相交，那么交点一定在对称轴上。
4. 轴对称与轴对称图形的区别与联系
区别：轴对称是指两个图形之间的位置关系；轴对称图形是指一个图形自身具有的特性。
联系：两者都关于某条直线对称；如果把成轴对称的两个图形看作一个整体，那么它就是一个轴对称图形；如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两部分关于这条对称轴成轴对称。
5. 对称轴的作法
方法：对于成轴对称的两个图形，找到一对对应点，连接这对对应点，作所得线段的垂直平分线，即为对称轴。
依据：轴对称的性质2（对称轴是对应点连线的垂直平分线）。
6. 画轴对称图形
步骤：
确定原图形的关键点（如顶点、端点等）。
分别作出这些关键点关于对称轴的对称点（过关键点作对称轴的垂线并延长，使垂线上对称轴两侧的线段长度相等，得到对称点）。
按原图形的顺序连接各对称点，即可得到原图形关于对称轴对称的图形。
依据：轴对称的性质（对应点连线被对称轴垂直平分，对应线段相等）。
轴对称图形的识别
1．下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列图形不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．数学中有许多精美的曲线，以下是“悬链线”、“黄金螺旋线”、“三叶玫瑰线”和“笛卡尔心形线”．其中是轴对称图形的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
成轴对称的两个图形的识别
6．视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面每种组合的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是（ ）
A． B．
C． D．
7．视力表中的字母“”有各种不同的摆放形式，下面各种组合中的两个字母“”关于直线成轴对称的是（ ）
A． B． C． D．
8．下列各选项中的两个图形属于轴对称的是（ ）
A． B． C． D．
9．《哪吒之魔童闹海》以震撼特效、精彩故事、鲜活形象和浓厚文化，展现了中国动画电影的强劲实力．下列四个图中，能由左图经过轴对称得到的是（ ）
A． B． C． D．
10．将一张长方形的纸对折，然后用笔尖在上面扎出“E”，再把它铺平，你看到的图形可能是（ ）
A． B． C． D．
根据成轴对称图形的特征进行求解
11．如图，在中，，于，点关于直线的对称点是点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，与交于点O，和关于直线对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
13．如图所示，与关于直线对称，且，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
14．如图，直线是一条河，，是两个新农村，欲在上某处修建一个水泵站向，两地供水，现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（ ）．
A． B．
C． D．
15．如图，已知与关于直线对称，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
求对称轴条数
16．下列图形中，对称轴最多的图形是（ ）
A． B． C． D．
17．数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线都是轴对称图形，其中有两条对称轴的是（ ）
A． B．
C． D．
18．下列图形中对称轴最多的是（ ）
A．等腰梯形 B．正方形 C．半圆形 D．等边三角形
19．圆的对称轴有（ ）条．
A．1 B．2 C．3 D．无数条
20．下列图形中对称轴条数最少的是（ ）
A．正方形 B．长方形 C．等边三角形 D．圆
画对称轴
21．如图．
(1)哪些图形是轴对称图形？你是怎样判断的？
(2)请把轴对称图形的对称轴画出来．
22．下列图形中，哪些是轴对称图形？请画出轴对称图形的对称轴．
23．下列图形是轴对称图形的画出它们的对称轴．
24．按要求完成下列各小题．

(1)在图1中，画出灰色图形的对称轴直线；
(2)在图2各图中的适当位置涂灰一个小方格，使整个灰色图形关于直线成轴对称．
25．指出如图所示的图形中各有多少条对称轴，并在各个轴对称图形上画出它们所有的对称轴．

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