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3.3勾股定理的应用举例
（30分提至70分使用）
最短路径问题
平面最短路径：在平面上，两点之间线段最短。若路径需沿直角边或特定边界运动（如矩形中的蚂蚁爬行），可通过“展开”图形将折线路径转化为直线段，再用勾股定理计算长度。
立体图形表面最短路径：例如圆柱侧面展开为矩形后，两点间最短路径为矩形对角线，其长度可由勾股定理（(r) 为底面半径，(h) 为圆柱高）或类似方法计算。
梯子问题
梯子斜靠在竖直墙面上时，梯子长度、梯子底部距墙距离、梯子顶端距地面高度构成直角三角形。例如：梯子长度为 (l)，底部距墙 (a)，则顶端高度；若顶端下滑距离已知，可通过勾股定理列方程求解底部滑动距离。
航海/行程问题
船在海上沿不同方向航行（如正东、正北），两船距离可通过勾股定理计算。例如：船A从港口向正东行驶 (a) 海里，船B向正北行驶 (b) 海里，此时两船距离为。
最短路径问题
1．如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯内的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在蜂蜜相对的正上方的点处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的应用，将玻璃杯侧面展开，结合勾股定理计算即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：将玻璃杯侧面展开如图所示：
由题意可得：，，，
∴，
故选：B．
2．如图，底面周长为，高为的圆柱体，在圆柱下底面有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点相对的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的应用最短路径问题，把圆柱体展开，连接，由两点之间线段最短，可知线段即为爬行的最短路径，再利用勾股定理解答即可求解，正确画出图形是解题的关键．
【详解】解：如图，圆柱体侧面展开图为长方形，连接，则线段即为爬行的最短路径，
，，，
∴，
即蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短距离是，
故选：．
3．某物流公司的全自动无人机需从仓库出发，向东飞行后，再向北飞行抵达社区配送点，由于中央区域有信号塔障碍，无人机必须严格沿正东、正北方向飞行．若升级后的导航系统支持直线飞行绕过障碍，则从仓库到社区配送点的最短路径为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键；
直接根据勾股定理求解即可．
【详解】解：由题意可知，从仓库到社区配送点的最短路径，
故选：B．
4．中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心，如图所示，每根雕龙木柱高为6米，在底面周长为1.5米的木柱上，有一条雕龙从柱底A点沿立柱表面盘绕3圈到达柱顶正上方的D点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为（ ）
A．7.5米 B．8米 C．9米 D．10米
【答案】A
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．将圆柱体侧面展开，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理计算即可得到答案．
【详解】解：如图，
根据题意可得，底面周长为米，柱身高为6米，
∵有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕3圈到达柱顶正上方的点，
米，（米），
（米），
故雕刻在木柱上的巨龙长至少为（米），
故选：A．
5．如图，一圆柱体的底面圆周长为6，高为5，是上底的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程是（　　）
A．4 B． C． D．13
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理中最短路径问题，解题的关键是理解圆柱展开图，结合两点间线段距离最短得到最小距离线段．将圆柱展开根据图像得到A，C两点的位置结合两点间距离公式及勾股定理直接求解即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，圆柱展开图如图所示，根据两点间线段距离最短，连接，即为最短距离，
∵圆柱体的底面圆周长为6，高为5，
∴，
在中，由勾股定理，得：，
故选：B．
求梯子滑落高度
6．某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙时，梯子到左墙的距离为，梯子顶端到地面的距离为，若梯子底端保持不动，将梯子斜靠在右墙上，梯子顶端到地面的距离为，求这两面直立墙壁之间的安全通道的宽的长度．（单位：）
【答案】
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，领会数形结合思想的应用．先根据勾股定理求出的长，同理可得出的长，进而可得出结论．
【详解】解：由题意得，，
，，
，
，
，
，
即这两面直立墙壁之间的安全通道的宽．
7．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”某校八（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米．
(1)求风筝的垂直高度．
(2)如果小明想让风筝沿方向下降9米，那么他应该往回收线多少米？
【答案】(1)米
(2)米
【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．
（1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度；
（2）如图，在上取点，使米，根据勾股定理求出，再计算即可；
【详解】（1）解：根据题意得：米，米，米，
在中，米，米，
∴（米），
∴（米），
∴风筝的垂直高度为米；
（2）如图，在上取点，使米，连接，
∴（米），
在中，（米），（米），
∴（米），
∴（米），
答：他应该往回收线米．
8．如图，一架米长的梯子斜靠在竖直的上，这时点B到墙底端C的距离为米．如果梯子的顶端沿墙面下滑米，那么点B是否也向外移动米？请通过计算说明．
【答案】点B不是向外移动米，说明见解析
【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，考查了勾股定理在直角三角形中的正确运用，本题中求出的长度是解题的关键．
在中，利用勾股定理可得米，从而得到米，然后在中，利用勾股定理可得的长度，即可求解．
【详解】解：点B不是向外移动米，说明如下：
根据题意得：米，米，米，
在中，（米），
∴（米），
在中，（米），
∴（米），
即点B向外移动米，
∴点B不是向外移动米．
9．如图，某钓鱼者和鱼线的水平距离的长是，露在水面上的鱼线长是，钓者想看看鱼钓上来的情况，就把鱼竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线为，此时钓鱼者和鱼线的水平距离是多少？鱼线移动的水平距离是多少
【答案】钓鱼者和鱼线的水平距离是，鱼线移动的水平距离是
【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．先在中利用勾股定理求出，即为，再在中利用勾股定理求出，即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
答：钓鱼者和鱼线的水平距离是，鱼线移动的水平距离是．
10．消防云梯的作用是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层救援现场，如图，已知一架云梯长斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙角的距离，消防员接到命令，按要求将云梯从顶部A下滑到位置上（云梯长度不改变），则底部B沿水平方向向前滑动到位置上，若，求的长度．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键．
在中，根据勾股定理可得的长，从而得到的长，然后在中，根据勾股定理可得的长，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，
在中，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴．
解决航海问题
11．在岛上有一个观测站，上午时观测站发现在岛正北方海里处有一艘船向正东方向航行，上午时，该船到达距岛海里的岛，且，求该船的航行速度．
【答案】该船的航行速度为海里时
【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由题意易得海里，海里，然后根据勾股定理可得海里，进而问题可求解．
【详解】解：由题意得，海里，海里，
在中，海里，
航行了小时，
船航行的速度海里时．
答：该船的航行速度为海里时．
12．如图，一艘轮船以16海里时的速度离开港口A向东南方向航行，另一艘轮船同时以12海里时的速度离开港口A向西南方向航行．那么，它们离开港口后，相距多远？
【答案】30海里
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，方向角，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
根据已知条件，构建直角三角形，利用勾股定理进行解答．
【详解】解：连接，
由题意得，海里，海里，
在中，，
由勾股定理得，
∴，
（海里）．
答：两船后相距30海里．
13．如图，小明在甲岛上的一个观测站处观测，发现在甲岛的正西方海里处点有一艘船向正北方驶去(即海里)，小时后，小明再次观察发现该船位于距离甲岛处观测站海里的处（即海里），求该船的行驶速度．
【答案】海里/小时
【分析】本题考查勾股定理，解决本题的关键是正确应用勾股定理求解；先根据勾股定理求出的长度，再根据路程时间关系求出速度即可．
【详解】解：在，，，，
根据勾股定理可得：，
即，
解得，
（海里/小时）
答：该船的行驶速度为海里/小时．
14．如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为13米，此人以米/秒的速度收绳，6秒后船移动到点的位置．
(1)求的长：
(2)求船向岸边移动了多少米？
【答案】(1)10米
(2)船向岸边移动了米
【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，正确计算是解题的关键．
（1）用绳子的长减去收起的绳长即可求解；
（2）先根据勾股定理求出，再根据求解即可．
【详解】（1）解：此人以米/秒的速度收绳，6秒后船移动到点的位置，
（米），
（2）解：在中，，米，米，由勾股定理得，
（米），
在中，米，米，由勾股定理得，
（米），
米.
答：船向岸边移动了米．
15．小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点，小王的赛车从点出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点出发，以3米/秒的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于米时，遥控信号会产生相互干扰，米，米．
(1)出发秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？
(2)当两赛车距点的距离之和为35米时，遥控信号是否会产生相互干扰？
【答案】(1)不会
(2)两赛车距点A的距离之和为35米时，遥控信号将会相互干扰，见解析
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）根据题意求得米，米，得到 米，米，根据勾股定理即可得到结论；
（2）设出发秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰，根据题意列方程即可得到结论．
【详解】（1）解：如图，
出发秒钟时，米，米
米，米
米，米
（米）
出发三秒钟时，遥控信号不会产生相互干扰；
（2）解：设出发秒钟时，两赛车距 A 点的距离之和为 35 米，
由题意得，，解得
此时，
此时，
即两赛车间的距离是25米，所以遥控信号将会受到干扰，
答：当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰．
判断是否受台风影响
16．如图，当居民楼A与马路行驶的汽车距离小于50米就会受到噪音污染．如果汽车以15米/秒的速度行驶经过，那么会给这栋居民楼带来6.4秒的噪音污染，请问A处的居民楼与马路相距多远？请画出示意图并说明理由．
【答案】图见解析，A处的居民楼与马路相距14米，理由见解析
【分析】本题考查了勾股定理的应用，等腰三角形的判定和性质，由题意画出图形如图，根据等腰三角形三线合一的性质可推出的长，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：如图所示，米，米，
过A作交于B，
∵，，
∴米，
在中，，
由勾股定理得：米，
答：A处的居民楼与马路相距14米．
17．据中央气象台消息，第21号台风“麦德姆”于2025年10月5日在广东徐闻第一次登陆．如图，海港C接到台风警报，一台风中心在沿着直线的方向以的速度移动，已知距台风中心的区域（包括边界）都属于受台风影响区，经工作人员测量：，，．问：
(1)海港C会不会受到台风的影响？
(2)若海港C会受到台风的影响，那么受台风影响的时间为多少小时？
【答案】(1)受台风影响，理由见解析
(2)受台风影响的时间为
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理、直角三角形的面积公式以及点到直线的距离在实际问题中的应用，解题的关键是通过计算海港到台风移动路径的最短距离判断是否受影响，再结合勾股定理求出台风影响的路径长度，进而计算持续时间．
（1）通过勾股定理逆定理判断为直角三角形，利用面积法求出C到的距离，比较与的大小，确定海港是否受影响；
（2）以C为圆心、为半径作圆，交于E、F，利用勾股定理求出的长度，得到的距离，再根据速度公式计算台风影响的持续时间．
【详解】（1）解：海港受台风影响．
理由：如图，过点作于点，
因为，，，,
所以是直角三角形．,
由三角形面积相等可得：，
即，
所以．
因为以台风中心为圆心周围以内(包括)为受影响区域，所以海港受台风影响．
（2）如图，设台风中心移动到点，处时刚好影响海港，连接，，则，
所以，因，
所以．
因为台风中心移动的速度为，
，
所以受台风影响的时间为．
18．2021年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且．经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响．
(1)海港C会受到台风影响吗？为什么？
(2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？
【答案】(1)海港C受台风影响，理由见解析
(2)8小时
【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用．
（1）过点C作于点D，利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，再利用三角形面积得出的长，进而得出海港是否受台风影响；
（2）在直线取点E，F使，则台风中心在线段上时，影响C港口，利用勾股定理得出的长，可得到的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．
【详解】（1）解：海港C受台风影响，理由如下：
如图，过点C作于点D，
∵，
∴，
∴是直角三角形，，
∴，
∴，
解得：，
∵以台风中心为圆心周围以内为受影响区域，且，
∴海港C受台风影响；
（2）解：如图，在直线上取点E，F使，则台风中心在线段上时，影响C港口，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵台风中心的移动速度为，
∴ 小时．
即台风影响该海港持续的时间为8小时．
19．如图，市气象站测得台风中心在市正东方向千米的处，以千米/时的速度向北偏西的方向移动，距台风中心千米范围内是受台风影响的区域．
(1)市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明；
(2)如果市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？
【答案】(1)市会受到台风的影响
(2)小时
【分析】本题考查了勾股定理，含角的直角三角形的性质，解题关键是掌握勾股定理，含角的直角三角形的性质．
（1）是否会受到影响，需要求得点A到台风所走路线的最短距离，根据垂线段最短，即作于C，再根据直角三角形的性质进行计算比较；
（2）需要计算出受影响的总路程，再根据时间=路程÷速度进行计算．
【详解】（1）解：过A作于C，
∵台风向北偏西的方向移动，
∴，
∵市气象站测得台风中心在市正东方向千米的处，
∴，
∴市会受到台风的影响；
（2）过A作，交于点D，E，
，
∵，A市气象站测得台风中心在A市正东方向千米的B处，以千米/时的速度向北偏西的方向移动，
∴受台风影响的路程为，
∴该市受台风影响的时间为：（小时），
∴如果市受这次台风影响，那么受台风影响的时间为小时．
20．如图，某沿海开放城市接到台风警报，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度向移动，已知城市到的距离．
(1)台风中心经过多长时间从点移到点？
(2)如果在距台风中心的圆形区域内都将有受到台风破坏的危险，正在点休闲的游客在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？
【答案】(1)
(2)游人在小时内撤离才可脱离危险
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．
（1）首先根据勾股定理计算的长，再根据时间路程速度进行计算即可；
（2）根据在范围内都要受到影响，先求出从点到受影响的距离与结束影响的距离，再根据时间路程速度计算，然后求出时间段即可．
【详解】（1）解：，，
在中，根据勾股定理得：
，
，
则台风中心经过从移动到点；
（2）解：如图，
距台风中心的圆形区域内都会受到不同程度的影响，
人们要在台风中心到达点之前撤离，
，
游人在内撤离才可脱离危险．3.3勾股定理的应用举例
（30分提至70分使用）
最短路径问题
平面最短路径：在平面上，两点之间线段最短。若路径需沿直角边或特定边界运动（如矩形中的蚂蚁爬行），可通过“展开”图形将折线路径转化为直线段，再用勾股定理计算长度。
立体图形表面最短路径：例如圆柱侧面展开为矩形后，两点间最短路径为矩形对角线，其长度可由勾股定理（(r) 为底面半径，(h) 为圆柱高）或类似方法计算。
梯子问题
梯子斜靠在竖直墙面上时，梯子长度、梯子底部距墙距离、梯子顶端距地面高度构成直角三角形。例如：梯子长度为 (l)，底部距墙 (a)，则顶端高度；若顶端下滑距离已知，可通过勾股定理列方程求解底部滑动距离。
航海/行程问题
船在海上沿不同方向航行（如正东、正北），两船距离可通过勾股定理计算。例如：船A从港口向正东行驶 (a) 海里，船B向正北行驶 (b) 海里，此时两船距离为。
最短路径问题
1．如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯内的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在蜂蜜相对的正上方的点处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，底面周长为，高为的圆柱体，在圆柱下底面有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点相对的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短距离是（ ）
A． B． C． D．
3．某物流公司的全自动无人机需从仓库出发，向东飞行后，再向北飞行抵达社区配送点，由于中央区域有信号塔障碍，无人机必须严格沿正东、正北方向飞行．若升级后的导航系统支持直线飞行绕过障碍，则从仓库到社区配送点的最短路径为（　　）
A． B． C． D．
4．中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心，如图所示，每根雕龙木柱高为6米，在底面周长为1.5米的木柱上，有一条雕龙从柱底A点沿立柱表面盘绕3圈到达柱顶正上方的D点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为（ ）
A．7.5米 B．8米 C．9米 D．10米
5．如图，一圆柱体的底面圆周长为6，高为5，是上底的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程是（　　）
A．4 B． C． D．13
求梯子滑落高度
6．某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙时，梯子到左墙的距离为，梯子顶端到地面的距离为，若梯子底端保持不动，将梯子斜靠在右墙上，梯子顶端到地面的距离为，求这两面直立墙壁之间的安全通道的宽的长度．（单位：）
7．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”某校八（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米．
(1)求风筝的垂直高度．
(2)如果小明想让风筝沿方向下降9米，那么他应该往回收线多少米？
8．如图，一架米长的梯子斜靠在竖直的上，这时点B到墙底端C的距离为米．如果梯子的顶端沿墙面下滑米，那么点B是否也向外移动米？请通过计算说明．
9．如图，某钓鱼者和鱼线的水平距离的长是，露在水面上的鱼线长是，钓者想看看鱼钓上来的情况，就把鱼竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线为，此时钓鱼者和鱼线的水平距离是多少？鱼线移动的水平距离是多少
10．消防云梯的作用是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层救援现场，如图，已知一架云梯长斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙角的距离，消防员接到命令，按要求将云梯从顶部A下滑到位置上（云梯长度不改变），则底部B沿水平方向向前滑动到位置上，若，求的长度．
解决航海问题
11．在岛上有一个观测站，上午时观测站发现在岛正北方海里处有一艘船向正东方向航行，上午时，该船到达距岛海里的岛，且，求该船的航行速度．
12．如图，一艘轮船以16海里时的速度离开港口A向东南方向航行，另一艘轮船同时以12海里时的速度离开港口A向西南方向航行．那么，它们离开港口后，相距多远？
13．如图，小明在甲岛上的一个观测站处观测，发现在甲岛的正西方海里处点有一艘船向正北方驶去(即海里)，小时后，小明再次观察发现该船位于距离甲岛处观测站海里的处（即海里），求该船的行驶速度．
14．如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为13米，此人以米/秒的速度收绳，6秒后船移动到点的位置．
(1)求的长：
(2)求船向岸边移动了多少米？
15．小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点，小王的赛车从点出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点出发，以3米/秒的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于米时，遥控信号会产生相互干扰，米，米．
(1)出发秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？
(2)当两赛车距点的距离之和为35米时，遥控信号是否会产生相互干扰？
判断是否受台风影响
16．如图，当居民楼A与马路行驶的汽车距离小于50米就会受到噪音污染．如果汽车以15米/秒的速度行驶经过，那么会给这栋居民楼带来6.4秒的噪音污染，请问A处的居民楼与马路相距多远？请画出示意图并说明理由．
17．据中央气象台消息，第21号台风“麦德姆”于2025年10月5日在广东徐闻第一次登陆．如图，海港C接到台风警报，一台风中心在沿着直线的方向以的速度移动，已知距台风中心的区域（包括边界）都属于受台风影响区，经工作人员测量：，，．问：
(1)海港C会不会受到台风的影响？
(2)若海港C会受到台风的影响，那么受台风影响的时间为多少小时？
18．2021年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且．经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响．
(1)海港C会受到台风影响吗？为什么？
(2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？
19．如图，市气象站测得台风中心在市正东方向千米的处，以千米/时的速度向北偏西的方向移动，距台风中心千米范围内是受台风影响的区域．
(1)市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明；
(2)如果市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？
20．如图，某沿海开放城市接到台风警报，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度向移动，已知城市到的距离．
(1)台风中心经过多长时间从点移到点？
(2)如果在距台风中心的圆形区域内都将有受到台风破坏的危险，正在点休闲的游客在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？

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