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第5章 二次函数 章末重难点复习（4个知识点+12种题型）
一、要点梳理
要点一、二次函数的定义
一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.
要点诠释：
如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.
要点二、二次函数的图象与性质
1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
　　①；②；③；④，
　　其中；⑤.（以上式子a≠0）
　　几种特殊的二次函数的图象特征如下：
函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标
当时
开口向上
当时
开口向下 (轴) (0，0)
(轴) (0，)
(，0)
(，)
()
2.抛物线的三要素：
　　开口方向、对称轴、顶点.
　　(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.
　　(2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.
3.抛物线中，的作用：
　　(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.
　　(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，
　 　　故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；
③(即、异号)时，对称轴在轴右侧.
　　(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.
　 　　当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：
　 　　①，抛物线经过原点； ②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.
　　以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 .
4.用待定系数法求二次函数的解析式：
　　(1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.
　　(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
　　(可以看成的图象平移后所对应的函数.)
　　(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：
　 　　（a≠0）.(由此得根与系数的关系：).
要点诠释：
求抛物线（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．
要点三、二次函数与一元二次方程的关系
　　函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.
　　(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；
　　(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；
　　(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根.
　　　 通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：
的图象
的解 方程有两个不等实数解 方程有两个相等实数解
方程没有实数解
要点诠释：
二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定.
　 (1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；
　　(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；
　　(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根.
要点四、利用二次函数解决实际问题
(
E
)利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.
　　利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：
　　(1)建立适当的平面直角坐标系；
　　(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；
　　(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；
　　(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.
要点诠释：（例:y= - x2+2x+3）
常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、线段最大、最大面积（铅垂法）-S△ABC=CDAE、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.
【典型例题】
【考点1 二次函数的概念】
【例1】下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】二次函数的定义：形如且a，b，c为常数的函数，叫做二次函数，再根据定义逐一进行判断即可．
【详解】解：，自变量的最高次数是1，故A不符合题意；
，当时，不是二次函数，故B不符合题意；
，符合二次函数的定义，故C符合题意；
不是整式形式的函数，故D不符合题意；
故选C
【变式1】若是二次函数，则等于　　
A． B．2 C． D．不能确定
【分析】根据二次函数的定义求解即可．
【答案】解：由题意，得
m2﹣2＝2，且m﹣2≠0，
解得m＝﹣2，
故选：A．
【考点2 二次函数与一次函数图象】
【例2】二次函数y＝ax2+b的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
【分析】直接利用二次函数图象得出a，b的符号，进而利用一次函数的图象性质得出答案．
【解答】解：如图所示：抛物线开口向下，交y轴的正半轴，则a＜0，b＞0，
故一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限．
故选：C．
【变式2】已知m，n是常数，且n＜0，二次函数y＝mx2+nx+m2﹣4的图象是如图中三个图象之一，则m的值为（　　）
A．2 B．±2 C．﹣3 D．﹣2
【分析】可根据函数的对称轴，以及当x＝0时，y的值来确定符合题意的函数式，进而确定m的值．
【解答】解：∵y＝mx2+nx+m2﹣4，
∴x，
因为n＜0，所以对称轴不可能是x＝0，所以第一个图不正确．
二，三两个图都过原点，
∴m2﹣4＝0，
m＝±2．
第二个图中m＞0，开口才能向上．
对称轴为：x0，
所以m可以为2．
第三个图，m＜0，开口才能向下，
x0，而从图上可看出对称轴大于0，从而m＝﹣2不符合题意．
故选：A．
【考点3 二次函数的增减性】
【例3】点均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由抛物线解析式可得抛物线对称轴及开口方向， 从而可得, 由时,随增大而减小,可得,进而求解.
【详解】解：∵ ,
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，
∵关于直线对称,
∴,
∵时, 随增大而减小,
∴,
∴,
故选:B.
【变式3】已知点A（b﹣m，y1），B（b﹣n，y2），C（b，y3）都在二次函数y＝﹣x2+2bx+c的图象上，若0＜m＜n，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2
【分析】逐次比较A、B、C三个点离函数对称轴距离即可求解．
【解答】解：抛物线开口向下，对称轴为直线x＝b，
∵0＜m＜n，
∴点B离对称轴最远，点A离对称轴近，
∴y2＜y3＜y1，
故选：B．
【考点4 二次函数图象的平移】
【例4】将抛物线先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据平移规律“左加右减，上加下减”即可得到答案．
【详解】解：根据平移规律“左加右减，上加下减”得到平移后的抛物线为，
即，
故选C．
【变式4】将抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移3个单位长度后，经过点（﹣2，5），则4a﹣2b﹣1的值是 　2　．
【分析】根据二次函数的平移得出平移后的表达式，再将点（﹣2，5）代入，得到4a﹣2b＝3，最后整体代入求值即可．
【解答】解：将抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移3个单位长度后，
表达式为：y＝ax2+bx+2，
∵经过点（﹣2，5），代入得：4a﹣2b＝3，
则4a﹣2b﹣1＝3﹣1＝2．
故答案为：2．
【考点5 二次函数与一元二次方程之间的关系】
【例5】如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是

【答案】
【分析】首先确定两个图象的交点横坐标，再判断图象的位置，当直线在抛物线下方时，一次函数值小于二次函数值，即可求出不等式的解集．
【详解】观察图象可知当，时，．
在交点之间时，一次函数的图象在抛物线下方，即，
所以不等式的解集是．
故答案为：．
【变式5】已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c＝0的一个解的范围是　6.18＜x＜6.19　．
x 6.17 6.18 6.19 6.20
y ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.04
【分析】根据表格中自变量、函数的值的变化情况，得出当y＝0时，相应的自变量的取值范围即可．
【解答】解：由表格数据可得，当x＝6.18时，y＝﹣0.01，当x＝6.19时，y＝0.02，
于是可得，当y＝0时，相应的自变量x的取值范围为6.18＜x＜6.19，
故答案为：6.18＜x＜6.19．
【考点6 二次函数解析式】
【例6】已知二次函数，当时，当时，求这个二次函数的解析式．
【答案】
【分析】把2组对应值分别代入得到关于b、c的方程组，然后解方程组即可．
【详解】解：根据题意得，
解得，
所以二次函数的解析式为．
【变式6】已知二次函数（是常数）．
(1)当时，求二次函数图象与轴的交点坐标；
(2)若，是该二次函数图象上的两个不同点，求的值和该二次函数解析式．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）把代入得出，再把代入得出，求出x的值即可；
（2）根据，是该二次函数图象上的两个不同点，得出该函数的对称轴是直线，从而得出，求出m的值即可得出答案．
【详解】（1）解：当时，，
当时，得，
解得：，，
即二次函数图象与轴的交点坐标为，．
（2）解：∵，是该二次函数图象上的两个不同点，
∴该函数的对称轴是直线，
∵二次函数，
∴，
解得，，
∴该二次函数解析式是．
【考点7 二次函数的图象与a，b，c的关系】
【例7】已知二次函数的图像如图，有下列5个结论：
①；②；③；④；⑤（的实数），其中正确的结论个数有（ ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：由对称知，当时，函数值大于0，即，故③正确；
由图象可知：图象开口向下，对称轴在y轴左侧，与y轴交于正半轴，
则，，，故，故①错误；
当时，，即，当时，，即，故②错误；
当时函数值小于0，，且，
即，代入得，得，故④正确；
当时，的值最大．此时，，
而当时，，
所以，
故，即，故⑤正确．
综上所述，③④⑤正确．
故选：B．
【变式7】二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①abc＜0；②4a+2b+c＞0；③5a﹣b+c＝0；④若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为﹣8，其中正确的结论有（　　）
A．①②③④ B．①②③⑤ C．②③④⑤ D．①②④⑤
【分析】①抛物线对称轴在y轴左侧，则ab同号，而c＜0，即可求解；
②x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，即可求解；
③5a﹣b+c＝5a﹣4a﹣5a≠0，即可求解；
④y＝a（x+5）（x﹣1）+1，相当于由原抛物线y＝ax2+bx+c向上平移了1个单位，即可求解；
⑤若方程|ax2+bx+c|＝1，即：若方程ax2+bx+c＝±1，当ax2+bx+c﹣1＝0时，由韦达定理得：其两个根的和为﹣4，即可求解．
【解答】解：二次函数表达式为：y＝a（x+2）2﹣9a＝ax2+4ax﹣5a＝a（x+5）（x﹣1），
①抛物线对称轴在y轴左侧，则ab同号，而c＜0，则abc＜0，故正确；
②函数在y轴右侧的交点为x＝1，x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，故正确；
③5a﹣b+c＝5a﹣4a﹣5a≠0，故错误；
④y＝a（x+5）（x﹣1）+1，相当于由原抛物线y＝ax2+bx+c向上平移了1个单位，故有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1，正确；
⑤若方程|ax2+bx+c|＝1，即：若方程ax2+bx+c＝±1，当ax2+bx+c﹣1＝0时，用韦达定理得：其两个根的和为﹣4，同理当ax2+bx+c+1＝0时，其两个根的和也为﹣4，故正确．
故选：D．
【考点8 二次函数的应用—销售问题】
【例8】一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件．设每件服装降价x元，
(1)则每天销售量增加________件，每件服装盈利________元（用含x的代数式表示）；
(2)在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？
(3)求其最大利润．
【答案】(1)，
(2)元
(3)
【分析】（1）根据每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件即可得到答案．
（2）设每件服装降价x元，则每件的销售利润为元，平均每天的销量为件，根据题意列出等式；
（3）设利润为，由（2）可得利润的表达式为，利用二次函数的性质得到最大值，即可得到答案．
【详解】（1）解：设每件服装降价x元，由于每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件，
故则每天销售量增加件，每件服装盈利元．
故答案为：，．
（2）解：设每件服装降价x元，则每件的销售利润为元，平均每天的销量为件，
依题意得，
整理得，
解得，，
由于要对顾客更有利，
．
故答案为：每件服装降价元时，商家平均每天能盈利1200元．
（3）解：设利润为．
由（2）可得利润的表达式为，
化简得，
当时，有最大值．
．
【变式8】某商店销售一种商品，经市场调查发现：在实际销售中，售价x为整数，且该商品的月销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价x（元/件）、月销售量y（件）、月销售利润w（元）的部分对应值如表：
售价x（元/件） 40 45
月销售量y（件） 300 250
月销售利润w（元） 3000 3750
注：月销售利润＝月销售量×（售价﹣进价）
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当该商品的售价是多少元时，月销售利润最大？并求出最大利润；
（3）现公司决定每销售1件商品就捐赠m元利润（m≤6）给“精准扶贫”对象，要求：在售价不超过52元时，每天扣除捐赠后的日销售利润随售价x的增大而增大，求m的取值范围．
【分析】（1）设出函数解析式，用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据表中数据可以求出每件进价，设该商品的月销售利润为w元，根据利润＝单件利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求出函数最值；
（3）根据总利润＝（单件利润﹣m）×销售量列出函数解析式，再根据x≤52时，每天扣除捐赠后的日销售利润随售价x的增大而增大，利用函数性质求m的取值范围．
【解答】解：（1）设一次函数解析式为y＝kx+b，
根据题意，得
，
解得：，
所以y与x的函数表达式为y＝﹣10x+700；
（2）由表中数据知，每件商品进价为30（元），
设该商品的月销售利润为w元，
则w＝（x﹣30）y＝（x﹣30）（﹣10x+700）＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x﹣50）2+4000，
∵﹣10＜0，
∴当x＝50时，w最大，最大值为4000，
∴当该商品的售价是50元时，月销售利润最大，最大利润为4000元；
（3）根据题意得：w＝（x﹣30﹣m）（﹣10x+700）＝﹣10x2+（1000+10m）x﹣21000﹣700m，
对称轴为直线x50，
∵﹣10＜0，
∴当x≤50时，w随x的增大而增大，
∵x≤52时，每天扣除捐赠后的日销售利润随售价x的增大而增大，
∴5051.5，
解得：m＞3，
∵3＜m≤6，
∴m的取值范围为3＜m≤6．
【考点9 二次函数的应用—面积问题】
【例9】在美化校园的活动中，某兴趣小组用总长为28米的围栏材料，一面靠墙，围成一个矩形花园，墙长8米，设的长为米，矩形花园的面积为平方米．

(1)写出关于的函数表达式，并求出自变量的取值范围；
(2)当为多少时，取得最大值，最大值是多少？
【答案】(1)，
(2)当时，有最大值，最大值为80
【分析】（1）表示出的长，再根据长方形的面积公式求解；
（2）根据二次函数的性质结合x的范围求解即可．
【详解】（1）∵，
∴，
∴关于的函数表达式为；
∵x满足，
∴，
（2）∵，且，
∴当时，S随着x的增大而减小，
当时，有最大值，最大值为80．
【变式9】在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用32m 长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝xm．
（1）若花园的面积为252m2，求x的值；
（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是17m 和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值．
【分析】（1）根据AB＝x米可知BC＝（32﹣x）米，再根据矩形的面积公式即可得出结论；
（2）根据P处有一棵树与墙CD、AD的距离分别是18米和8米求出x的取值范围，再根据（1）中的函数关系式即可得出结论．
【解答】解：（1）设AB＝x米，可知BC＝（32﹣x）米，根据题意得：x（32﹣x）＝252．
解这个方程得：x1＝18，x2＝14，
答：x的长度18m或14m．
（2）设周围的矩形面积为S，
则S＝x（32﹣x）＝﹣（x﹣16）2+256．
∵在P处有一棵树与墙CD，AD的距离是17m和6米，
∴6≤x≤15．
∴当x＝15时，S最大＝﹣（15﹣16）2+256＝255（平方米）．
答：花园面积的最大值是255平方米．
【考点10 二次函数的应用—抛物线问题】
【例10】足球比赛中，某运动员将在地面上的足球对着球门踢出，图中的抛物线是足球的飞行高度关于飞行时间的函数图象（不考虑空气的阻力）．已知足球飞出时，足球的飞行高度是，足球从飞出到落地共用时．

(1)求与之间的函数解析式；
(2)足球的飞行高度能否达到？请说明理由．
【答案】(1)与之间的函数解析式为
(2)不能，理由见解析
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意求出抛物线的顶点坐标，进而比较求解即可．
【详解】（1）设抛物线的关系式为，将，，代入得：
，解得，
∴y关于x的函数关系式为；
（2）抛物线的对称轴为直线，
当时，，
∵，
∴足球的飞行高度不能达到4.88米．
【变式10】如图所示的是小青同学设计的一个动画示意图，某弹球P（看作一点）从数轴上表示﹣8的点A处弹出后，呈抛物线y＝﹣x2﹣8x状下落，落到数轴上后，该弹球继续呈现原抛物线状向右自由弹出，但是第二次弹出高度的最大值是第一次高度最大值的一半，第三次弹出的高度最大值是第二次高度最大值的一半，…，依次逐渐向右自由弹出．
（1）根据题意建立平面直角坐标系，并计算弹球第一次弹出的最大高度．
（2）当弹球P在数轴上两个相邻落点之间的距离为4时，求此时下落的抛物线的解析式．
【分析】（1）根据题意建立坐标系，根据函数解析式求出最大值即可；
（2）分别求出弹球第二次、第三次的解析式，以及落地见的距离，当落地之间距离为4时求出解析式即可．
【解答】解：（1）根据弹球弹出的位置和函数解析式建立如图所示坐标系：
∵抛物线解析式为y＝﹣x2﹣8x＝﹣（x﹣4）2+16，
∴函数最大值为16，
∴弹球第一次弹出的最大高度为16；
（2）当y＝0时，则﹣x2﹣8x＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣8，
∴第一次相邻两落点之间的距离为：|﹣8﹣0|＝8，
设第二次弹出时，弹球下落的抛物线的解析式为y＝﹣x（x﹣b），
当x时，y＝168，
∴（）＝8，
解得b＝4或b＝﹣4（舍去），
∴所求抛物线的解析式为y＝﹣x（x﹣4），
∴第二次相邻两落点之间的距离为4，
设第三次弹出时，弹球下落的抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣4）（x﹣c），
当x时，y＝164，
解得c＝44或c＝44（舍去），
∴所求抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣4）（x﹣44），
∴第三次相邻两落点之间的距离为|44﹣4|＝4，
∴相邻两落点之间的距离为4时，弹球下落抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣4）（x﹣44）．
【考点11 二次函数与图形面积的综合】
【例11】如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a为常数，且a＜0）与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C，顶点为D，直线BD与y轴相交于点E．
（1）求证OCOE；
（2）M为线段OB上一点，N为线段BE上一点，当a时，求△CMN的周长的最小值；
（3）若Q为第一象限内抛物线上一动点，小林猜想：当点Q与点D重合时，四边形ABQC的面积取得最大值．请判断小林猜想是否正确，并说理由．
【分析】（1）将A（﹣1，0），B（3，0）两点代入抛物线关系式，用a表示出b，c，用a表示出点C，点D的坐标，求出直线BD的关系式，即可表示出E点坐标，用a表示出OC．OE，即可得出结论；
（2）当a时，抛物线为yx2+x，作点C关于BE的对称点C′，关于x轴的对称点C″，连接C′C″，与OB交为M，与BE交点为N，此时△CMN的周长最小，连接C′E，求出点C′的坐标，根据△CMN周长的最小值为CM+CN+MN＝C″M+C′N+MN＝C′C″，算出最小值即可；
（3）过Q作QK⊥x轴，交BC于点K，设点Q的横坐标为x，用x表示出QK，再将四边形分成两个三角形，用x表示出两个三角形的面积，可求出当x取时，S四边形ABQC有最大值，对比D点的横坐标，说明小林猜想错误．
【解答】（1）证明：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a为常数，且a＜0）与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴，
解得，
∴抛物线为y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，
∴C（0，﹣3a），D（1，﹣4a），
设直线BD的解析式为y＝k1x+b1，把B、D两点的坐标分别代入得：
，解得，
直线BD为y＝2ax﹣6a，
∴E（0，﹣6a），
∴OC＝3a，OE＝6a，
∴OCOE；
（2）解：当a时，抛物线为yx2+x，作点C关于BE的对称点C′，关于x轴的对称点C″，连接C′C″，与OB交为M，与BE交点为N，此时△CMN的周长最小，连接C′E，如图所示：
此时C（0，），直线BE为y＝﹣x+3，点E（0，3），
∵OB＝3，
∴OB＝OE＝3，
∵∠BOE＝90°，
∴∠OEB＝∠OBE＝45°，
∵CC′⊥BE，
∴∠CEB＝∠ECC′＝45°，
∵BE垂直平分CC′，
∴CE＝C′E＝3．CN＝C′N，
∴∠CEB＝∠C′EB＝45°，
∴∠CEC′＝90°，
∴CE⊥y轴，
∴点C′（，3），
∵C关于x轴的对称点C″为（0，），
∴CM＝C″M，
∴△CMN周长的最小值为：
CM+CN+MN＝C″M+C′N+MN＝C′C″；
（3）解：小林猜想不正确，理由如下：
过Q作QK⊥x轴，交BC于点K，
∵B（3，0），C（0，﹣3a），
∴直线BC为y＝ax﹣3a，
设点Q的横坐标为x，则Q（x，ax2﹣2ax﹣3a），K（x，ax﹣3a），
∴QK＝ax2﹣2ax﹣3a﹣（ax﹣3a）＝ax2﹣3ax，
∴S四边形ABQC＝S△ABC+S△BQC4×（﹣3a）（ax2﹣3ax）×3a（x）26a，
∵a＜0，
∴当点Q的横坐标为x时，S四边形ABQC有最大值，
∵点D的横坐标是1，
∴四边形ABQC的面积取得最大值时，点Q与点D不重合，小林猜想不正确．
【变式11】如图，已知抛物线yx2+bx+c与y轴交于点C（0，2），对称轴为x＝2，直线y＝kx（k＞0）分别交抛物线于点A，B（点A在点B的左边），直线y＝mx+n分别交y轴、x轴于点D，E（4，0），交抛物线y轴右侧部分于点F，交AB于点P，且OC＝CD．
（1）求抛物线及直线DE的函数表达式；
（2）若G为直线DE下方抛物线上的一个动点，连接GD，GF，求当△GDF面积最大时，点G的坐标及△GDF面积的最大值；
【分析】（1）先根据点C的坐标，确定c的值，根据抛物线的对称轴为x＝2．得出b的值，即可得出抛物线的解析式；根据OC＝CD，得出点D的坐标，利用待定系数法即可得直线DE的函数解析式；
（2）过点G作GQ∥y轴，交DE于点Q，联立，求出点F的横坐标，设点G（t，t2﹣t+2），则点Q（t，﹣t+4），GQt2+2，即可表示出S△GDFt2+2．求出结果即可；
【解答】解：（1）∵抛物线yx2+bx+c与y轴交于点C（0，2），
∴c＝2，
∵抛物线的对称轴为x＝2，
∴2，
∴b＝﹣1，
∴抛物线的函数表达式为：yx2﹣x+2，
∵OC＝CD，
∴D（0，4），
又∵直线y＝mx+n分别交y轴、x轴于点D，E（4，0），
∴，
∴，
∴直线DE的函数表达式为y＝﹣x+4；
（2）过点G作GQ∥y轴，交DE于点Q，如图所示：
联立，
解得x1＝2，x2＝﹣2，
∴点F的横坐标为2，
设点G（t，t2﹣t+2），则点Q（t，﹣t+4），
GQ＝﹣t+4﹣（t2﹣t+2）t2+2，
∴S△GDF＝S△GQF﹣S△GQD
（t2+2）（2t）（t2+2）（﹣t），
（t2+2）×2
t2+2．
∴当x＝0时，即点G的坐标为（0，2）时，△GDF面积有最大值为2
【考点12 与二次函数有关的等腰三角形存在性问题】
【例12】如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别是y轴正半轴，x轴正半轴上两动点，OA＝2k，OB＝2k+3，以AO，BO为邻边构造矩形AOBC，抛物线y3x+k交y轴于点D，P为顶点，PM⊥x轴于点M．
（1）求OD，PM的长（结果均用含k的代数式表示）．
（2）当PM＝BM时，求该抛物线的表达式．
（3）在点A在整个运动过程中，若存在△ADP是等腰三角形，请求出所有满足条件的k的值．
【分析】（1）点D在yx2+3x+k上，且在y轴上，即y＝0求出点D坐标，根据抛物线顶点公式，求出即可；
（2）先用k表示出相关的点的坐标，根据PM＝BM建立方程即可；
（3）先用k表示出相关的点的坐标，根据△ADP是等腰三角形，分三种情况，AD＝AP，DA＝DP，PA＝PD计算；
【解答】解：（1）把x＝0，代入y3x+k，
∴y＝k．
∴OD＝k．
∵k+3，
∴PM＝k+3；
（2）由抛物线的表达式知，其对称轴为x＝2，
∴OM＝2，BM＝OB﹣OM＝2k+3﹣2＝2k+1．
又∵PM＝k+3，PM＝BM，
∴k+3＝2k+1，
解得k＝2．
∴该抛物线的表达式为y3x+2；
（3）①当点P在矩形AOBC外部时，如图1，
过P作PK⊥OA于点K，当AD＝AP时，
∵AD＝AO﹣DO＝2k﹣k＝k，
∴AD＝AP＝k，KA＝KO﹣AO＝PM﹣AO＝k+3﹣2k＝3﹣k
KP＝OM＝2，在Rt△KAP中，KA2+KP2＝AP2
∴（3﹣k）2+22＝k2，解得k．
②当点P在矩形AOBC内部时，
当AP＝AD时，同法可得（k﹣3）2+22＝k2，解得k．
当PD＝AP时，过P作PH⊥OA于H，
AD＝k，HDk，HO＝DO+HD，
又∵HO＝PM＝k+3，
∴k+3，
解得k＝6．
当DP＝DA时，过D作PQ⊥PM于Q，
PQ＝PM﹣QM＝PM﹣OD＝k+3﹣k＝3
DQ＝OM＝2，DP＝DA＝k，
在Rt△DQP中，DP．
∴k＝PD，
故k或6或．
【变式12】如图1，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）交x轴于点A（﹣1，0），点B（4，0），交y轴于点C．连接BC，过点A作AD∥BC交抛物线于点D（异于点A）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作PE∥y轴，交AD于点E，过点E作EG⊥BC于点G，连接PG．求△PEG面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，将抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）水平向右平移个单位，得到新抛物线y1，在y1的对称轴上确定一点M，使得△BDM是以BD为腰的等腰三角形，请写出所有符合条件的点M的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．
【分析】（1）用待定系数法直接可得抛物线的函数表达式；
（2）过点G作GH⊥PE于H，根据勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，则AC⊥BC，由EG⊥BC得AC＝BG，根据等角的余角相等得∠ACO＝∠GEH，证明△ACO≌△GEH，可得GH＝AO＝1，用待定系数法求出直线BC为yx+2，根据AD∥BC得直线AD为yx，设P（m，m2m+2），则E（m，m），从而得PEm2+2m，即可求出△PEG面积为PE GHm2+m，根据二次函数性质即得答案．
（3）求出点D的坐标D（5，﹣3），设点M的坐标为（3，t），可得BD2＝（5﹣4）2+32＝10，BM2＝（4﹣3）2+t2＝1+t2，MD2＝（5﹣3）2+（t+3）2＝t2+6t+13，分两种情况：①当BD＝BM时，②当BD＝MD时，根据等腰三角形的性质即可求解．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（4，0）代入抛物线y＝ax2+bx+2得：
，解得，
∴抛物线的函数表达式为yx2x+2；
（2）过点G作GH⊥PE于H，
∵抛物线yx2x+2交y轴于点C．
∴C（0，2），
∵A（﹣1，0），B（4，0），
∴AB＝5，AC，BC2，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC，
∵AD∥BC，EG⊥BC，
∴AC＝BG，
∵PE∥y轴，
∴∠OCG＝∠EFG，
∵∠ACO+∠OCG＝90°，∠GEH+∠EFG＝90°，
∴∠ACO＝∠GEH，
∵∠AOC＝∠GHE＝90°，
∴△ACO≌△GEH（AAS），
∴GH＝AO＝1，
设直线BC为y＝kx+n，将C（0，2），B（4，0）代入得：
，解得，
∴直线BC为yx+2，
∵AD∥BC，A（﹣1，0），
∴直线AD为yx，
设P（m，m2m+2），则E（m，m），
∴PEm2+2m，
∴△PEG面积为PE GHm2+m（m﹣2）2，
∵0，
∴m＝2时，△PEG面积的最大值为，
此时点P的坐标为（2，3）；
（3）∵抛物线yx2x+2（x）2水平向右平移个单位，得到新抛物线y1（x﹣3）2，
∴y1的对称轴为x＝3，
联立直线AD为yx，抛物线yx2x+2，解得或，
∴D（5，﹣3），
设点M的坐标为（3，t），
∴BD2＝（5﹣4）2+32＝10，
BM2＝（4﹣3）2+t2＝1+t2，
MD2＝（5﹣3）2+（t+3）2＝t2+6t+13，
①当BD＝BM时，
∴BD2＝BM2，
∴1+t2＝10，
∴t＝±3，
∴点M的坐标为（3，3）或（3，﹣3），
∵点（3，3）与B，D共线，
∴点M的坐标为（3，﹣3）；
②当BD＝MD时，
∴BD2＝MD2，
∴t2+6t+13＝10，
∴t＝﹣3±，
∴点M的坐标为（3，﹣3）或（3，﹣3）；
综上所述，点M的坐标为（3，﹣3）或（3，﹣3）或（3，﹣3）．第5章 二次函数 章末重难点复习（4个知识点+12种题型）
一、要点梳理
要点一、二次函数的定义
一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.
要点诠释：
如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.
要点二、二次函数的图象与性质
1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
　　①；②；③；④，
　　其中；⑤.（以上式子a≠0）
　　几种特殊的二次函数的图象特征如下：
函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标
当时
开口向上
当时
开口向下 (轴) (0，0)
(轴) (0，)
(，0)
(，)
()
2.抛物线的三要素：
　　开口方向、对称轴、顶点.
　　(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.
　　(2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.
3.抛物线中，的作用：
　　(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.
　　(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，
　 　　故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；
③(即、异号)时，对称轴在轴右侧.
　　(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.
　 　　当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：
　 　　①，抛物线经过原点； ②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.
　　以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 .
4.用待定系数法求二次函数的解析式：
　　(1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.
　　(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
　　(可以看成的图象平移后所对应的函数.)
　　(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：
　 　　（a≠0）.(由此得根与系数的关系：).
要点诠释：
求抛物线（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．
要点三、二次函数与一元二次方程的关系
　　函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.
　　(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；
　　(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；
　　(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根.
　　　 通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：
的图象
的解 方程有两个不等实数解 方程有两个相等实数解
方程没有实数解
要点诠释：
二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定.
　 (1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；
　　(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；
　　(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根.
要点四、利用二次函数解决实际问题
(
E
)利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.
　　利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：
　　(1)建立适当的平面直角坐标系；
　　(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；
　　(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；
　　(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.
要点诠释：（例:y= - x2+2x+3）
常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、线段最大、最大面积（铅垂法）-S△ABC=CDAE、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.
【典型例题】
【考点1 二次函数的概念】
【例1】下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】若是二次函数，则等于　　
A． B．2 C． D．不能确定
【考点2 二次函数与一次函数图象】
【例2】二次函数y＝ax2+b的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
【变式2】已知m，n是常数，且n＜0，二次函数y＝mx2+nx+m2﹣4的图象是如图中三个图象之一，则m的值为（　　）
A．2 B．±2 C．﹣3 D．﹣2
【考点3 二次函数的增减性】
【例3】点均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【变式3】已知点A（b﹣m，y1），B（b﹣n，y2），C（b，y3）都在二次函数y＝﹣x2+2bx+c的图象上，若0＜m＜n，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2
【考点4 二次函数图象的平移】
【例4】将抛物线先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【变式4】将抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移3个单位长度后，经过点（﹣2，5），则4a﹣2b﹣1的值是 　　．
【考点5 二次函数与一元二次方程之间的关系】
【例5】如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是

【变式5】已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c＝0的一个解的范围是　 　．
x 6.17 6.18 6.19 6.20
y ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.04
【考点6 二次函数解析式】
【例6】已知二次函数，当时，当时，求这个二次函数的解析式．
【变式6】已知二次函数（是常数）．
(1)当时，求二次函数图象与轴的交点坐标；
(2)若，是该二次函数图象上的两个不同点，求的值和该二次函数解析式．
【考点7 二次函数的图象与a，b，c的关系】
【例7】已知二次函数的图像如图，有下列5个结论：
①；②；③；④；⑤（的实数），其中正确的结论个数有（ ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式7】二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①abc＜0；②4a+2b+c＞0；③5a﹣b+c＝0；④若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为﹣8，其中正确的结论有（　　）
A．①②③④ B．①②③⑤ C．②③④⑤ D．①②④⑤
【考点8 二次函数的应用—销售问题】
【例8】一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件．设每件服装降价x元，
(1)则每天销售量增加________件，每件服装盈利________元（用含x的代数式表示）；
(2)在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？
(3)求其最大利润．
【变式8】某商店销售一种商品，经市场调查发现：在实际销售中，售价x为整数，且该商品的月销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价x（元/件）、月销售量y（件）、月销售利润w（元）的部分对应值如表：
售价x（元/件） 40 45
月销售量y（件） 300 250
月销售利润w（元） 3000 3750
注：月销售利润＝月销售量×（售价﹣进价）
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当该商品的售价是多少元时，月销售利润最大？并求出最大利润；
（3）现公司决定每销售1件商品就捐赠m元利润（m≤6）给“精准扶贫”对象，要求：在售价不超过52元时，每天扣除捐赠后的日销售利润随售价x的增大而增大，求m的取值范围．
【考点9 二次函数的应用—面积问题】
【例9】在美化校园的活动中，某兴趣小组用总长为28米的围栏材料，一面靠墙，围成一个矩形花园，墙长8米，设的长为米，矩形花园的面积为平方米．
(1)写出关于的函数表达式，并求出自变量的取值范围；
(2)当为多少时，取得最大值，最大值是多少？

【变式9】在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用32m 长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝xm．
（1）若花园的面积为252m2，求x的值；
（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是17m 和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值．
【考点10 二次函数的应用—抛物线问题】
【例10】足球比赛中，某运动员将在地面上的足球对着球门踢出，图中的抛物线是足球的飞行高度关于飞行时间的函数图象（不考虑空气的阻力）．已知足球飞出时，足球的飞行高度是，足球从飞出到落地共用时．
(1)求与之间的函数解析式；
(2)足球的飞行高度能否达到？请说明理由．

【变式10】如图所示的是小青同学设计的一个动画示意图，某弹球P（看作一点）从数轴上表示﹣8的点A处弹出后，呈抛物线y＝﹣x2﹣8x状下落，落到数轴上后，该弹球继续呈现原抛物线状向右自由弹出，但是第二次弹出高度的最大值是第一次高度最大值的一半，第三次弹出的高度最大值是第二次高度最大值的一半，…，依次逐渐向右自由弹出．
（1）根据题意建立平面直角坐标系，并计算弹球第一次弹出的最大高度．
（2）当弹球P在数轴上两个相邻落点之间的距离为4时，求此时下落的抛物线的解析式．
【考点11 二次函数与图形面积的综合】
【例11】如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a为常数，且a＜0）与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C，顶点为D，直线BD与y轴相交于点E．
（1）求证OCOE；
（2）M为线段OB上一点，N为线段BE上一点，当a时，求△CMN的周长的最小值；
（3）若Q为第一象限内抛物线上一动点，小林猜想：当点Q与点D重合时，四边形ABQC的面积取得最大值．请判断小林猜想是否正确，并说理由．
【变式11】如图，已知抛物线yx2+bx+c与y轴交于点C（0，2），对称轴为x＝2，直线y＝kx（k＞0）分别交抛物线于点A，B（点A在点B的左边），直线y＝mx+n分别交y轴、x轴于点D，E（4，0），交抛物线y轴右侧部分于点F，交AB于点P，且OC＝CD．
（1）求抛物线及直线DE的函数表达式；
（2）若G为直线DE下方抛物线上的一个动点，连接GD，GF，求当△GDF面积最大时，点G的坐标及△GDF面积的最大值；
【考点12 与二次函数有关的等腰三角形存在性问题】
【例12】如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别是y轴正半轴，x轴正半轴上两动点，OA＝2k，OB＝2k+3，以AO，BO为邻边构造矩形AOBC，抛物线y3x+k交y轴于点D，P为顶点，PM⊥x轴于点M．
（1）求OD，PM的长（结果均用含k的代数式表示）．
（2）当PM＝BM时，求该抛物线的表达式．
（3）在点A在整个运动过程中，若存在△ADP是等腰三角形，请求出所有满足条件的k的值．
【变式12】如图1，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）交x轴于点A（﹣1，0），点B（4，0），交y轴于点C．连接BC，过点A作AD∥BC交抛物线于点D（异于点A）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作PE∥y轴，交AD于点E，过点E作EG⊥BC于点G，连接PG．求△PEG面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，将抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）水平向右平移个单位，得到新抛物线y1，在y1的对称轴上确定一点M，使得△BDM是以BD为腰的等腰三角形，请写出所有符合条件的点M的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．

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