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专题05 相似三角形中A字型与8字型模型（4个知识点+4种题型）
一、模型梳理
1、“A”字模型
　
条件：如图，DE∥BC；
结论：△ADE∽△ABC ＝＝.
2、反“A”字模型
条件：如图2，∠AED＝∠B；
结论：△ADE∽△ACB ＝＝.
3、“8”字模型
条件：如图1，AB∥CD；
结论：△AOB∽△COD ＝＝.
4、反“8”字模型
条件：如图2，∠A＝∠D；
结论：△AOB∽△DOC ＝＝.
二、题型突破
题型一、“A”字模型与反“A”字模型
例1.如图，点D，E 在BC 上，且,求证：
【变式1】如图，△ABD中，∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm．某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，运动的时间为ts．
（1）求t为何值时，△AMN的面积是△ABD面积的；
（2）当以点A，M，N为顶点的三角形与△ABD相似时，求t值．
题型二、“8”字模型与反“8”字模型
例2.如图，已知：，垂足分别为，与交于点，过点作，垂足为．
(1)求证：；
(2)连接，求证：平分．
【变式2】如图，在中，，是边上的中线，垂直平分，分别交，于，，连接，．
(1)求证：．
(2)当，时，求线段的长．
题型三、平行双“8”字模型
例3.如图，在中，点分别在上，且．
（1）求证：；
（2）若点在上，与交于点，求证：．
【变式3】如图，四边形是平行四边形， 点E是延长线上一点， 连结，，，分别与，交于点F， G．
(1)若，， 求的长．
(2)求证：．
题型四、“A”字模型与“8”字模型综合
例4.如图，在 ABCD中，AC，BD交于点O，点M是AD的中点，连接MC交BD于点N，ON＝1．
求证：△DMN∽△BCN；
求BD的长；
若△DCN的面积为2，直接写出四边形ABNM的面积．
【变式4-1】如图，四边形ABCD为正方形，且E是边BC延长线上一点，过点B作BF⊥DE于F点，交AC于H点，交CD于G点．
(1)求证：△BGC∽△DGF；
(2)求证：；
(3)若点G是DC中点，求的值．
【变式4-2】【模型学习】
构造“平行8字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种方法．例如：如图①，D是的边上一点，E是的中点，过点C作，交的延长线于点F，可得到．
【初步运用】
（1）如图②，在正方形中，点E是上一点，点F是的延长线上一点，且满足，连接交于点G，过点E作交于点M，则和的数量关系为__________；
【深入探究】
（2）如图②，在（1）的条件下，连接并延长，交于点H，若，，求正方形的边长；
【拓展迁移】
（3）如图③，在矩形中，，点E在上，点F在的延长线上，且满足，连接交于点G．判断与之间的数量关系．专题05 相似三角形中A字型与8字型模型（4个知识点+4种题型）
一、模型梳理
1、“A”字模型
　
条件：如图，DE∥BC；
结论：△ADE∽△ABC ＝＝.
2、反“A”字模型
条件：如图2，∠AED＝∠B；
结论：△ADE∽△ACB ＝＝.
3、“8”字模型
条件：如图1，AB∥CD；
结论：△AOB∽△COD ＝＝.
4、反“8”字模型
条件：如图2，∠A＝∠D；
结论：△AOB∽△DOC ＝＝.
二、题型突破
题型一、“A”字模型与反“A”字模型
例1.如图，点D，E 在BC 上，且,求证：
【分析】利用平行关系，找出对应角相等，即可证明相似．
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，，
∴．
【点拨】本题考查相似三角形的判定，解题关键找到需要的条件．
【变式1】如图，△ABD中，∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm．某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，运动的时间为ts．
（1）求t为何值时，△AMN的面积是△ABD面积的；
（2）当以点A，M，N为顶点的三角形与△ABD相似时，求t值．
【答案】（1），；（2）t＝3或
【分析】（1）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，根据三角形的面积公式列出方程可求出答案；
（2）分两种情况，由相似三角形的判定列出方程可求出t的值．
【详解】解：（1）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，
∴△AMN的面积＝AN AM＝×（12﹣2t）×t＝6t﹣t2，
∵∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm
∴△ABD的面积为AB AD＝×6×12＝36，
∵△AMN的面积是△ABD面积的，
∴6t﹣t2＝，
∴t2﹣6t+8＝0，
解得t1＝4，t2＝2，
答：经过4秒或2秒，△AMN的面积是△ABD面积的；
（2）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，
若△AMN∽△ABD，
则有，即，
解得t＝3，
若△AMN∽△ADB，
则有，即，
解得t＝，
答：当t＝3或时，以A、M、N为顶点的三角形与△ABD相似．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质和一元二次方程的应用，正确进行分类讨论是解题的关键．
题型二、“8”字模型与反“8”字模型
例2.如图，已知：，垂足分别为，与交于点，过点作，垂足为．
(1)求证：；
(2)连接，求证：平分．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（）证明和可得，，相加即可求证；
（）证明可得，又由平行线等分线段定理得，即得，进而可得，即得到，即可得，即可求证；
本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线等分线段定理，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
同理可得，，
∴，
∴；
（2）证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴平分．
【变式2】如图，在中，，是边上的中线，垂直平分，分别交，于，，连接，．
(1)求证：．
(2)当，时，求线段的长．
【答案】(1)见分析 (2)
【分析】
（1）如图（见分析），先根据线段垂直平分线的性质可得，，，再根据三角形全等的判定定理证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，然后根据相似三角形的判定即可得证；
（2）如图（见分析），延长至，使，连接，，先根据线段垂直平分线的判定与性质可得，再根据三角形全等的判定定理证出，根据全等三角形的性质可得，，然后根据平行线的判定与性质可得，最后在中，利用勾股定理即可得．
(1)证明：∵垂直平分，
∴，，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．
(2)解：如图，延长至，使，连接，．
则垂直平分，
，
是边上的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题考查了相似三角形的判定、三角形全等的判定定理与性质、线段垂直平分线的判定与性质等知识点，较难的是题（2），构造全等三角形和直角三角形是解题关键．
题型三、平行双“8”字模型
例3.如图，在中，点分别在上，且．
（1）求证：；
（2）若点在上，与交于点，求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）直接利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证得结论；
（2）根据相似三角形的性质和平行线的判定方法可得EF∥BC，于是可得△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，再根据相似三角形的性质即可推出结论．
【详解】解：（1）在△AEF和△ABC中，
∵，，
∴△AEF∽△ABC；
（2）∵△AEF∽△ABC，
∴∠AEF=∠ABC，
∴EF∥BC，
∴△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，
∴,，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，属于常考题型，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．
【变式3】如图，四边形是平行四边形， 点E是延长线上一点， 连结，，，分别与，交于点F， G．
(1)若，， 求的长．
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，解题的关键是利用平行四边形性质证三角形相似求解．
（1）根据平行四边形的性质，可得，，，从而可证，利用相似三角形性质求解，即可求得的长；
（2）根据平行四边形的性质，可证，，从而可得，，再可得，从而证得．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，，
，，，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：在平行四边形中，，，
，，
，
，
，
，
，
．
题型四、“A”字模型与“8”字模型综合
例4.如图，在 ABCD中，AC，BD交于点O，点M是AD的中点，连接MC交BD于点N，ON＝1．
求证：△DMN∽△BCN；
求BD的长；
若△DCN的面积为2，直接写出四边形ABNM的面积．
【答案】(1)见分析 (2) 6 (3) 5
【分析】
（1）根据平行四边形的性质可得ADBC，从而证明8字模型相似三角形△DMN∽△BCN；
（2）由△DMN∽△BCN，可得到DN：BN=1：2，设OB=OD=x，表示出BN与DN，求出x的值，即可确定出BD的长；
（3）根据△MND∽△CNB且相似比为1：2，得到CN=2MN，BN=2DN．已知△DCN的面积，则由线段之比，得到△MND与△CNB的面积，从而得到S△ABD=S△BCD=S△BCN+S△CND，最后由S四边形ABNM=S△ABD-S△MND求解．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ADBC，
∴∠DMN=∠BCN，∠MDN=∠NBC，
∴△DMN∽△BCN；
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，OB=OD＝BD，
∵△DMN∽△BCN，
∴，
∵M为AD中点，
∴AD=2DM，
∴BC=2DM，
∴BN=2DN，
设OB=OD=x，
∴BD=2x，
∴BN=OB+ON=x+1，DN=OD-ON=x-1，
∴x+1=2（x-1），解得：x=3，
∴BD=2x=6，
∴BD的长为6；
解：∵△MND∽△CNB，
∴DM：BC=MN：CN=DN：BN=1：2，
∵△DCN的面积为2，
∴S△MND=S△CND=1，S△BNC=2S△CND=4，∴S△ABD=S△BCD=S△BCN+S△CND=4+2=6，
∴S四边形ABNM=S△ABD-S△MND=6-1=5，
∴四边形ABNM的面积为5．
【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方，等高三角形面积的比等于其对应底的比是解题的关键．
【变式4-1】如图，四边形ABCD为正方形，且E是边BC延长线上一点，过点B作BF⊥DE于F点，交AC于H点，交CD于G点．
(1)求证：△BGC∽△DGF；
(2)求证：；
(3)若点G是DC中点，求的值．
【答案】(1) 见分析 (2) 见分析 (3)
【分析】
（1）由正方形性质和题干已知垂直条件得直角相等，后由对顶角相等，进而得到△BGC∽△DCF．
（2）由第一问的结论可得到相似比，既有，然后因为正方形四边相等，进行等量代换即可求出证明出结论．
（3）通过ASA判定出△BGC≌△DEC，进而根据第一问结论可得△BGC∽△DGF，然后通过相似比设未知数，赋值，即可求出的值．
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形∴
∵
∴
∴，
又∵，
∴△BGC∽△DCF．
证明：由（1）知△BGC∽△DGF，
∴，
∴
∵四边形ABCD是正方形，
∴
∴．
解：由（1）知△BCC∽△DGF，
∴，
在△BGC与△DEC中，
∴△BGC≌△DEC（ASA）
∴
∵G是CD中点
∴
∴
∵△BGC∽△DGF
∴
在Rt△BGC中，
设，
则，
∴
∴
【点拨】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质等知识点，熟练运用相似三角形判定和性质是解题的关键．
【变式4-2】【模型学习】
构造“平行8字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种方法．例如：如图①，D是的边上一点，E是的中点，过点C作，交的延长线于点F，可得到．
【初步运用】
（1）如图②，在正方形中，点E是上一点，点F是的延长线上一点，且满足，连接交于点G，过点E作交于点M，则和的数量关系为__________；
【深入探究】
（2）如图②，在（1）的条件下，连接并延长，交于点H，若，，求正方形的边长；
【拓展迁移】
（3）如图③，在矩形中，，点E在上，点F在的延长线上，且满足，连接交于点G．判断与之间的数量关系．
【答案】（1）；（2）正方形边长为15；（3）
【分析】（1）证明，可得出；
（2）连接，，，证明，得出，由等腰三角形的性质得出，则是的中垂线，可得出，由勾股定理求出，设，则，得出方程，解得，然后由，求解即可；
（3）过点作交于点，证明，得，从而可证明，然后证明，得，设，，则，，由勾股定理，得，，最后由，得，即，则，即可得出结论．
【详解】解：（1）四边形是正方形，
，，
，
，
又，
，
，
，
，
又，
，
；
（2）如图2，连接，，，
正方形中，，，
，
又，
，
，
由（2）知，
，
是的中垂线，
，
，，
，
，
设，则，
，
，
，
，
解得，即，
，即正方形的边长为15；
（3），
理由如下：过点作交于点，如图3，
∵矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，，则，，
由勾股定理，得，，
∵，
∴，即，
∴，
∴．

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