资源简介

15.1轴对称图形
（30分提至70分使用）
1. 轴对称图形的定义
如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
2. 轴对称的定义
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或成轴对称），这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。
3. 轴对称图形与轴对称的区别与联系
区别：轴对称图形是对一个图形而言；轴对称是对两个图形而言。
联系：
都沿一条直线折叠后能够互相重合。
轴对称图形沿对称轴折叠后，对称轴两旁的部分可以看作是两个成轴对称的图形；成轴对称的两个图形整体可以看作一个轴对称图形。
4. 轴对称的性质
对称轴是对应点连线的垂直平分线。
对应线段相等，对应角相等。
对应图形的形状和大小完全相同。
5. 常见的轴对称图形及其对称轴数量
线段：2条（线段所在的直线；线段的垂直平分线）。
角：1条（角平分线所在的直线）。
等腰三角形：1条（底边上的高所在的直线，或顶角平分线所在的直线，或底边上的中线所在的直线）。
等边三角形：3条（每条边上的高所在的直线）。
长方形：2条（对边中点连线所在的直线）。
正方形：4条（两条对边中点连线所在的直线；两条对角线所在的直线）。
圆：无数条（过圆心的任意一条直线）。
6. 轴对称图形的画法
确定图形的关键点。
分别作出这些关键点关于对称轴的对称点（过关键点作对称轴的垂线并延长，使垂足到对称点的距离等于垂足到关键点的距离）。
按原图形的顺序连接各对称点，得到轴对称图形的另一半。
轴对称图形的识别
1．如意纹是中国文化中的一种吉祥纹样，这种纹样被赋予了象征美好愿望和幸福的含义，以下四个如意纹样中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列图形不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列图形是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．下面四个数学符号中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列图案中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
根据轴对称求解
6．如图，与交于点O，和关于直线对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，一束光线射入正方形网格背景布中，其反射光线为（ ）．
A．a B．b C．c D．d
8．如图，将沿直线折叠后，使得点与点重合，若的长为15，则的周长为（　　）
A．15 B．18 C．20 D．21
9．小明同学从镜子中看到的一组号码（如图），该号码表示的实际号码应该是（ ）
A．2653 B．5623 C．3562 D．3265
10．小明在镜中看到身后墙上的时钟如下，你认为实际时间最接近的是（ ）
A． B． C． D．
坐标与图形变化
11．年月日，中国以一场盛大阅兵，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年，阅兵式中多架飞机以轴对称的方式列阵长空（图一）象征着在民族复兴征程上夺取新的伟大胜利．如图二是现场飞机队形简略图，以飞机所在的直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，若飞机的坐标为，则飞机的坐标为（ ）
A． B． C． D．
12．点关于轴的对称点是点，点关于轴的对称点是点，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
13．在平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ）
A．点和关于轴对称
B．和表示同一个点
C．点坐标为，若，则点在轴上
D．若点在第三象限，则点的横坐标与纵坐标同号
14．如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点的坐标是，则经过第2025次变换后点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
15．已知点和关于轴对称，则（ ）
A． B．2 C． D．1
求对称轴条数
16．下列图形中，对称轴最多的图形是（ ）．
A． B． C． D．
17．数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线都是轴对称图形，其中有两条对称轴的是（ ）
A． B．
C． D．
18．下列轴对称图形中，对称轴条数最多的是（ ）
A． B． C． D．
19．下列图形中对称轴最多的是（ ）
A．等腰梯形 B．正方形 C．半圆形 D．等边三角形
20．在下列图形中，（　　）的对称轴的条数最多．
A．一般等腰三角形 B．长方形 C．等边三角形 D．正方形
轴对称综合题
21．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．
(1)画出关于轴对称的；
(2)直接写出点关于轴的对称点的坐标：________；
(3)求的面积．
22．如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，的顶点均在格点上．
(1)作出关于轴对称的；
(2)写出点的坐标
(3)求的面积．
23．如图，三个顶点的坐标分别为．
(1)画出关于轴成轴对称的三个顶点坐标分别为______，______，______；
(2)写出点关于过且平行于轴的直线对称的点的坐标_____．
24．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为．

(1)画出关于轴对称的，写出点的坐标；
(2)求出的面积；
(3)在轴上找一点，使最小，并写出点的坐标．
25．如图，已知，．
求作：以直线为对称轴，且与对称的．（保留作图痕迹，不要求写出作法）15.1轴对称图形
（30分提至70分使用）
1. 轴对称图形的定义
如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
2. 轴对称的定义
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或成轴对称），这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。
3. 轴对称图形与轴对称的区别与联系
区别：轴对称图形是对一个图形而言；轴对称是对两个图形而言。
联系：
都沿一条直线折叠后能够互相重合。
轴对称图形沿对称轴折叠后，对称轴两旁的部分可以看作是两个成轴对称的图形；成轴对称的两个图形整体可以看作一个轴对称图形。
4. 轴对称的性质
对称轴是对应点连线的垂直平分线。
对应线段相等，对应角相等。
对应图形的形状和大小完全相同。
5. 常见的轴对称图形及其对称轴数量
线段：2条（线段所在的直线；线段的垂直平分线）。
角：1条（角平分线所在的直线）。
等腰三角形：1条（底边上的高所在的直线，或顶角平分线所在的直线，或底边上的中线所在的直线）。
等边三角形：3条（每条边上的高所在的直线）。
长方形：2条（对边中点连线所在的直线）。
正方形：4条（两条对边中点连线所在的直线；两条对角线所在的直线）。
圆：无数条（过圆心的任意一条直线）。
6. 轴对称图形的画法
确定图形的关键点。
分别作出这些关键点关于对称轴的对称点（过关键点作对称轴的垂线并延长，使垂足到对称点的距离等于垂足到关键点的距离）。
按原图形的顺序连接各对称点，得到轴对称图形的另一半。
轴对称图形的识别
1．如意纹是中国文化中的一种吉祥纹样，这种纹样被赋予了象征美好愿望和幸福的含义，以下四个如意纹样中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查轴对称图形的定义，掌握知识点是解题的关键．
根据轴对称图形的定义，逐项分析判断即可．
【详解】解：A．该图形是轴对称图形，不符合题意；
B． 该图形是轴对称图形，不符合题意；
C． 该图形是轴对称图形，不符合题意；
D． 该图形不是轴对称图形，符合题意；
故选：D．
2．下列图形不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了轴对称图形的定义，如果把一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，这个图形就是轴对称图形，解决本题的关键是根据轴对称图形的定义进行判断．
【详解】解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故是轴对称图形，不符合题意；
B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，符合题意；
C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故是轴对称图形，不符合题意；
D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故是轴对称图形，不符合题意；
故选：B．
3．下列图形是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此可求解问题．
【详解】解：由题意得：符合轴对称图形的是D选项；
故选D．
4．下面四个数学符号中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了轴对称图形的概念，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此进行分析即可；理解定义，找到对称轴是解题的关键．
【详解】解：A、B、C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，故不符合题意；
D选项中的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，故符合题意；
故选：D．
5．下列图案中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查轴对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键．
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此进行判断即可．
【详解】解：选项A、C、D都能够找到一条直线，该图形沿着这条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，选项B找不到一条直线对折后直线两旁的部分能够互相重合，
因此，A、C、D都是轴对称图形，B不是轴对称图形，
故选：B．
根据轴对称求解
6．如图，与交于点O，和关于直线对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键；因此此题可根据轴对称的性质进行排除选项即可．
【详解】解：连接，如图所示：
根据轴对称的性质可知：，，，
∴，
∴不一定成立的是；
故选A．
7．如图，一束光线射入正方形网格背景布中，其反射光线为（ ）．
A．a B．b C．c D．d
【答案】B
【分析】本题考查了轴对称的性质．
根据入射光线与反射光线关于法线对称作答即可．
【详解】解：如图，
∵入射光线与反射光线关于法线对称，
∴其反射光线为b，
故选：B．
8．如图，将沿直线折叠后，使得点与点重合，若的长为15，则的周长为（　　）
A．15 B．18 C．20 D．21
【答案】D
【分析】本题考查的是折叠的性质，熟知折叠前后对应线段相等是解题的关键．
由折叠的性质可得，再根据三角形周长公式即可求解．
【详解】解：∵将沿直线折叠，使得点与点重合，
∴，
∵，的长为15，
∴的周长．
故选：D．
9．小明同学从镜子中看到的一组号码（如图），该号码表示的实际号码应该是（ ）
A．2653 B．5623 C．3562 D．3265
【答案】D
【分析】本题考查了镜面对称的性质，解题的关键是正确将镜像号码进行水平翻转并转换对应字符．把镜子中的号码水平翻转（左右镜像），同时转换每个字符的镜像对应，得到实际号码．
【详解】
解：镜面对称为水平翻转（左右镜像），将镜子里的号码进行水平翻转后，字符的镜像对应为，即组合得到实际号码为3265．
故选：D．
10．小明在镜中看到身后墙上的时钟如下，你认为实际时间最接近的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题主要明白镜面对称的特点是：上下前后方向一致，左右方向相反．根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右顺序颠倒，且关于镜面对称．把镜中的表针的时刻再还原到实际即可选择．
【详解】解：如图，
接近的有A、C，A是，C是，最接近的是C．
故选：C．
坐标与图形变化
11．年月日，中国以一场盛大阅兵，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年，阅兵式中多架飞机以轴对称的方式列阵长空（图一）象征着在民族复兴征程上夺取新的伟大胜利．如图二是现场飞机队形简略图，以飞机所在的直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，若飞机的坐标为，则飞机的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标规律，根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求解，解题的关键是熟记，关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
【详解】解：由题知，点和点关于轴对称，
因为点坐标为，
所以点的坐标为
故选：．
12．点关于轴的对称点是点，点关于轴的对称点是点，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查看点关于坐标轴对称的坐标特点，掌握关于y轴对称时，横坐标互为相反数，纵坐标不变；关于x轴对称时，横坐标不变，纵坐标互为相反数是解题的关键．
先求点A关于y轴的对称点B，再求点B关于x轴的对称点C的坐标即可．
【详解】解：∵点关于y轴的对称点是B，
∴；
∵点关于x轴的对称点是C，
∴．
故选C．
13．在平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ）
A．点和关于轴对称
B．和表示同一个点
C．点坐标为，若，则点在轴上
D．若点在第三象限，则点的横坐标与纵坐标同号
【答案】D
【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征，掌握相关知识是解决问题的关键．根据对称点，点所在象限，坐标轴上的点坐标特点逐项判断即可．
【详解】解：∵ 两个点关于y轴对称时，横坐标互为相反数，纵坐标相同；而点和横坐标相同，纵坐标互为相反数，∴ 它们关于x轴对称，并非关于y轴对称，故A错误；
∵ 点和的横坐标和纵坐标均不相同，∴ 它们不是同一个点，故B错误；
∵ 点中，若，则点M在x轴上，而非y轴上，故C错误；
∵ 第三象限内点的横坐标和纵坐标均小于0，∴ 它们同号，故D正确．
故选：D．
14．如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点的坐标是，则经过第2025次变换后点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了轴对称的性质，点的坐标变换规律，读懂题目信息，观察出每四次对称为一个循环组依次循环是解题的关键；
观察图形可知每四次对称为一个循环组，依次循环，用除以，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点所在的象限，解答即可．
【详解】解：点第一次关于轴对称后在第二象限，
点第二次关于轴对称后在第三象限，
点第三次关于轴对称后在第四象限，
点第四次关于轴对称后在第一象限，即点回到原始位置，
所以，每四次对称为一个循环组依次循环，
，
经过第次变换后所得的点与第一次变换的位置相同，在第二象限，坐标为，
故选：C
15．已知点和关于轴对称，则（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】A
【分析】本题考查了关于轴对称点的坐标的特征；根据关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数解答即可．
【详解】解：点和关于轴对称，
，
．
故的值为．
故选：A．
求对称轴条数
16．下列图形中，对称轴最多的图形是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查轴对称图形，把一个图形沿着某条直线折叠，直线两边部分能够完全重合，那么这个图形是轴对称图形，这条直线是对称轴．据此判断每个图形的对称轴，即可解答．
【详解】解：等腰三角形有1条对称轴；
正方形有4条对称轴；
C选项中三个圆组成的图形有3条对称轴；
圆有无数条对称轴．
综上分析可知：对称轴最多的图形是圆．
故选：D．
17．数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线都是轴对称图形，其中有两条对称轴的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了轴对称图形的识别，找对称轴，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．
找出一条直线，沿该直线折叠使得直线两旁的部分能够完全重合，即为对称轴．
【详解】解：A、该图形只有1条对称轴，为轴所在的直线，故不符合题意；
B、该图形只有1条对称轴，为第一、三象限的角平分线，故不符合题意；
C、该图形有2条对称轴，为轴和轴所在的直线，故符合题意；
D、该图形只有1条对称轴，为轴所在的直线，故不符合题意；
故选：C．
18．下列轴对称图形中，对称轴条数最多的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查数轴对称图形的对称轴．确定每个图形的对称轴的数量，进行判断即可．掌握对称轴是使轴对称图形翻折后能够重合的直线，是解题的关键．
【详解】解：A中有无数条对称轴，B中有3条对称轴，C中有4条对称轴，D中有6条对称轴．
故选：A．
19．下列图形中对称轴最多的是（ ）
A．等腰梯形 B．正方形 C．半圆形 D．等边三角形
【答案】B
【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，直接利用轴对称图形的定义，分析四个图形对称轴的条数，即可作出判断．
【详解】解：A、等腰梯形有一条对称轴；
B、正方形有4条对称轴；
C、半圆形有1条对称轴；
D、等边三角形有3条对称轴．
所以对称轴最多的是正方形有4条对称轴．
故选：B．
20．在下列图形中，（　　）的对称轴的条数最多．
A．一般等腰三角形 B．长方形 C．等边三角形 D．正方形
【答案】D
【分析】本题考查了轴对称图形的概念，解题关键是理解概念并熟记常见几何图形的对称轴数量．
根据轴对称图形的定义“平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫轴对称图形，这条直线叫做对称轴”判断即可得出结论．
【详解】解：A、一般等腰三角形有一条对称轴；
B、长方形有两条对称轴；
C、等边三角形有三条对称轴；
D、正方形有四条对称轴；
故选：D．
轴对称综合题
21．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．
(1)画出关于轴对称的；
(2)直接写出点关于轴的对称点的坐标：________；
(3)求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了坐标与图形变换—轴对称，坐标与图形：
（1）根据轴对称图形的性质作图即可求解；
（2）根据坐标与图形即可求解；
（3）用所在的长方形面积减去周围三个三角形的面积即可求解．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：∵点，
∴点关于轴的对称点的坐标为；
故答案为：
（3）解：的面积为．
22．如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，的顶点均在格点上．
(1)作出关于轴对称的；
(2)写出点的坐标
(3)求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)，，
(3)
【分析】本题考查了画轴对称图形，写出点的坐标，三角形的面积
（1）直接利用关于轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案;
（2）根据坐标系写出点的坐标；
（3）使用割补法，将三角形分割成一个长方形和三个直角三角形，再计算面积即可．
【详解】（1）解：如图所示，
（2），，．
（3）的面积为
23．如图，三个顶点的坐标分别为．
(1)画出关于轴成轴对称的三个顶点坐标分别为______，______，______；
(2)写出点关于过且平行于轴的直线对称的点的坐标_____．
【答案】(1)作图见详解，，，
(2)
【分析】本题考查对称作图，数形结合，掌握对称性质是解决问题的关键．
（1）作出的三个顶点关于轴对称的三个顶点，连接三个顶点即可得到，数形结合即可得到三个顶点的坐标；
（2）先过点作轴的平行线，再作点关于这条直线的对称点，数形结合即可得到对称点的坐标．
【详解】（1）解：如图所示：
即为所求，则，，，
故答案为：，，；
（2）解：如图所示：
，
故答案为：．
24．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为．

(1)画出关于轴对称的，写出点的坐标；
(2)求出的面积；
(3)在轴上找一点，使最小，并写出点的坐标．
【答案】(1)作图见解析，
(2)
(3)作图见解析，
【分析】本题考查了作轴对称图形，点的坐标，割补法求三角形的面积，根据成轴对称图形的特征进行求解，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据轴对称的性质，分别找出点，再依次连接，得出，即可作答．
（2）运用割补法进行列式计算，即可作答．
（3）先连接交轴于一点，即为点，此时最小，即可作答．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
∴；
（2）解：依题意，；
（3）解：如图所示，点即为所求，
；
因为，
所以连接交轴于一点，即为点，
此时最小，
观察平面直角坐标系，得．
25．如图，已知，．
求作：以直线为对称轴，且与对称的．（保留作图痕迹，不要求写出作法）
【答案】见详解
【分析】本题主要考查轴对称的性质，根据题意作点A关于直线的对称点，结合轴对称的性质，可知点B与点C本身就是其对称点，即和，连接和即可．
【详解】解：如图，

展开更多......

收起↑