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15.3角的平分线
（30分提至70分使用）
角的平分线的定义
从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。
若射线(OC)是的平分线，则。
角的平分线的性质定理
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
角的平分线的判定定理
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
角的平分线的尺规作图
以角的顶点(O)为圆心，任意长为半径画弧，分别交角的两边于点(A)、(B)；
分别以点(A)、(B)为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在角的内部相交于点(C)；
画射线(OC)，则射线(OC)就是这个角的平分线。
角平分线的性质定理
1．如图，平分，于点C，且，已知点A到y轴的距离是3， 那么点A 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，的三边、、的长分别为、、，三角形的三条角平分线将分为三个三角形，若的面积为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，，平分交于点D，若，则点D到的距离为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
4．如图，在中，平分，交于点，于，，则长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．在三条公路，，围成的一块三角形平地上修建一个停车场，若要使停车场到三条公路的距离相等，则这个停车场应修建在（ ）
A．三条角平分线的交点处 B．三条中线的交点处
C．三边垂直平分线的交点处 D．三条高线的交点处
角平分线的判定定理
6．如图，，点D在内，于点E，于点F，连接，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．两个完全一样的三角板如图摆放，它们的顶点重合于点，则点一定在（ ）
A．的平分线上 B．边的高上
C．边的垂直平分线上 D．边的中线上
8．如图，中，，，于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，，，若，，，则为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，两把完全相同的长方形直尺按如图方式摆放，把其中一把直尺边缘和射线重合，而另一把直尺的下边缘与射线重合，记两把尺的接触点为点．上边缘与射线相交于点，连接．若，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
作角平分线
11．如图，已知有一个，角的内部有一点C，现在想要在图中找到一个点P，满足条件，并且点P到射线的距离和点P到射线的距离相等，请你在下图中作出点P（尺规作图）
12．如图所示，七年级和八年级有两个班的学生在、处参加植树活动，要在道路、的交叉区域内设一个茶水供应点，使到、两条道路的距离相等，而且要使，请你用尺规作图的方法找出点（不写画法，但保留作图痕迹)
13．如图，在△中，是边上一点．尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）
(1)在图1中，作的平分线交于点；
(2)在图2中，在上找一点，使得．
14．要在两个城镇A、B的附近修建一个加油站．如图，按设计要求，加油站到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等，加油站应修建在什么位置？（尺规作图，不写画法，保留作图痕迹）
15．如图，在中，
(1)在边上找一点，使得点到边的距离与到边的距离相等的，只规作图，保留作图痕迹，标注有关字母；不用写作法和证明）；
(2)在（1）的条件下，若，求的面积．
角平分线性质的实际应用
16．如图，某市区南北走向的解放路，龙潭路与东西走向的人民路交汇于B，C两点，现想建造一加油站P，使得加油站到三条公路的距离相等．请你用所学的知识确定P点的位置（用直尺、圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
17．太和中学校园内有一块直角三角形(RtABC)空地，如图所示，园艺师傅以角平分线AD为界，在其两侧分别种上了不同的花草，在ABD区域内种植了月季花，在△ACD区域内种植了牡丹花，并量得两直角边AB＝10m，AC＝6m，分别求月季花与牡丹花两种花草的种植面积．
18．尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）
已知公路m，公路n以及两个城镇A，B的位置如图所示，现要修建一座信号发射塔，按要求，发射塔到两个城镇A，B的距离相等，到两条公路m，n的距离也相等，发射塔C应该建在什么位置 请用尺规作图找出其中一个符合条件的点．
19．如图所示，点，是一个总厂的两个分厂，现要在道路，的交叉区域内建一个仓库点，使点到两条道路的距离相等，且使.请你找出点的位置（保留作图痕迹），并说明理由.
20．如图，中，，平分交于点，，，求到的距离．15.3角的平分线
（30分提至70分使用）
角的平分线的定义
从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。
若射线(OC)是的平分线，则。
角的平分线的性质定理
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
角的平分线的判定定理
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
角的平分线的尺规作图
以角的顶点(O)为圆心，任意长为半径画弧，分别交角的两边于点(A)、(B)；
分别以点(A)、(B)为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在角的内部相交于点(C)；
画射线(OC)，则射线(OC)就是这个角的平分线。
角平分线的性质定理
1．如图，平分，于点C，且，已知点A到y轴的距离是3， 那么点A 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，写出平面直角坐标系中点的坐标，作轴于，由角平分线的性质定理可得，再结合点到轴的距离是3，写出坐标即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，作轴于，
∵平分，于点，轴于，
∴，
∵点到轴的距离是3，
∴点的坐标为，
故选：D．
2．如图，的三边、、的长分别为、、，三角形的三条角平分线将分为三个三角形，若的面积为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键．过点作、、的垂线，垂足分别为、、，由角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：如图，过点作、、的垂线，垂足分别为、、，
、、是的三条角平分线，
，
，的面积为，
，
，
的面积
，
故选：D
3．如图，在中，，平分交于点D，若，则点D到的距离为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，点到直线的距离，作于，由角平分线的性质定理可得，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，作于，
∵在中，，平分，，
∴，
∴点D到的距离为，
故选：B．
4．如图，在中，平分，交于点，于，，则长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】此题考查了角平分线的性质，掌握角平分线性质是解题的关键．
由平分，且，根据角平分线的性质，可得．
【详解】解：在中，平分，且，
．
故选：C．
5．在三条公路，，围成的一块三角形平地上修建一个停车场，若要使停车场到三条公路的距离相等，则这个停车场应修建在（ ）
A．三条角平分线的交点处 B．三条中线的交点处
C．三边垂直平分线的交点处 D．三条高线的交点处
【答案】A
【分析】本题考查三角形的内角平分线的性质，三角形中到三边的距离相等的点是三条内角平分线的交点，由此可得答案.
【详解】解：由三角形的内角平分线的性质，这个停车场应修建在三条角平分线的交点处，
故选：A．
角平分线的判定定理
6．如图，，点D在内，于点E，于点F，连接，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了角平分线的判定，注意：到角的两边距离相等的点在角平分线上．
根据角平分线的判定定理可得平分，再计算角度即可．
【详解】解：∵，，，
∴平分，
又∵，
∴，
故选：D．
7．两个完全一样的三角板如图摆放，它们的顶点重合于点，则点一定在（ ）
A．的平分线上 B．边的高上
C．边的垂直平分线上 D．边的中线上
【答案】A
【分析】本题考查的是角平分线的判定，掌握到角的两边的距离相等的点在角平分线上是解题的关键．
作射线，根据角平分线的判定定理得到平分，得到答案．
【详解】解：作射线，
由题意得，，，，
平分，
故选：A．
8．如图，中，，，于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查三角形内角和及角平分线的判定定理，熟练掌握三角形内角和及角平分线的判定定理是解题的关键；由题意易得，然后可得平分，进而问题可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，，
∴平分，
∴；
故选A．
9．如图，，，若，，，则为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了角平分线的判定定理，熟练掌握角平分线的判定定理是解题关键．根据角平分线的判定定理可得是的角平分线，由此即可得．
【详解】解：∵，，，，且点在的内部，
∴是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
10．如图，两把完全相同的长方形直尺按如图方式摆放，把其中一把直尺边缘和射线重合，而另一把直尺的下边缘与射线重合，记两把尺的接触点为点．上边缘与射线相交于点，连接．若，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了角的平分线的判定定理，平行线的性质，熟练掌握角的平分线的判定定理是解题的关键．设上面的直尺与射线的交点为E，直尺宽度为h，过点作于点，则，根据角平分线的判定定理得到平分，进而得出的大小，再利用平行线的性质即可求解．
【详解】解：如图，设上面的直尺与射线的交点为E，直尺宽度为h，过点作于点，
则，
∴平分，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
作角平分线
11．如图，已知有一个，角的内部有一点C，现在想要在图中找到一个点P，满足条件，并且点P到射线的距离和点P到射线的距离相等，请你在下图中作出点P（尺规作图）
【答案】见解析
【分析】本题考查了尺规作图---作角平分线和线段的垂直平分线，以及角平分线和线段的垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握尺规作平分线和线段的垂直平分线的步骤．
根据得到点在线段的垂直平分线上，由点P到射线的距离和点P到射线的距离相等，得到点也在的平分线上，则交点即为点，再根据尺规作线段的垂直平分线和的平分线的步骤作图即可．
【详解】解：如图，点即为所求；
12．如图所示，七年级和八年级有两个班的学生在、处参加植树活动，要在道路、的交叉区域内设一个茶水供应点，使到、两条道路的距离相等，而且要使，请你用尺规作图的方法找出点（不写画法，但保留作图痕迹)
【答案】见解析
【分析】此题考查了线段垂直平分线以及角平分线，要使点到点，的距离相等，根据线段垂直平分线性质定理的逆定理可知点应该在线段的垂直平分线上； 要使点到两条道路的距离相等，根据角平分线性质定理的逆定理可得点在的角平分线上，据此分别作出的垂直平分线以及的角平分线，两线的交点即为满足条件的点．
【详解】解：（1）作出的平分线； （2）连接，作的垂直平分线交于点，点就是所求的点．
13．如图，在△中，是边上一点．尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）
(1)在图1中，作的平分线交于点；
(2)在图2中，在上找一点，使得．
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析
【分析】本题主要考查了尺规作角平分线，尺规作线段垂直平分线．
（1）作的角平分线交于点E，则为所求线段；
（2）作的垂直平分线交于M，则点M满足条件．
【详解】（1）解：即为所求作线段；
（2）解：作的垂直平分线交于M，如下图：
则，
，
∴点M即为所求作．
14．要在两个城镇A、B的附近修建一个加油站．如图，按设计要求，加油站到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等，加油站应修建在什么位置？（尺规作图，不写画法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质与作图步骤是解题关键．
分别作出线段的中垂线，作角平分线，进而得出其交点P即为所求，为加油站位置．
【详解】解：如图所示，P点即为所求，为加油站位置．
15．如图，在中，
(1)在边上找一点，使得点到边的距离与到边的距离相等的，只规作图，保留作图痕迹，标注有关字母；不用写作法和证明）；
(2)在（1）的条件下，若，求的面积．
【答案】(1)见详解
(2)14
【分析】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）理解题意，根据点到边的距离与到边的距离相等的，故作的角平分线交边于点，即可作答．
（2）根据角平分线的性质，以及三角形面积公式进行列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：如图，线段即为所求：
（2）解：由（1）得，
∵，
∴，
∵，
∴，，
则的面积．
角平分线性质的实际应用
16．如图，某市区南北走向的解放路，龙潭路与东西走向的人民路交汇于B，C两点，现想建造一加油站P，使得加油站到三条公路的距离相等．请你用所学的知识确定P点的位置（用直尺、圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】见详解
【分析】本题考查了角平分线的判定，角平分线的尺规作图，理解题意：加油站P，使得加油站到三条公路的距离相等，且结合到角两边距离相等的点在角的平分线上，即作出的角平分线，它们交于一点，即为点P，进行作答．
【详解】解：P点的位置如图所示：
17．太和中学校园内有一块直角三角形(RtABC)空地，如图所示，园艺师傅以角平分线AD为界，在其两侧分别种上了不同的花草，在ABD区域内种植了月季花，在△ACD区域内种植了牡丹花，并量得两直角边AB＝10m，AC＝6m，分别求月季花与牡丹花两种花草的种植面积．
【答案】，
【分析】过点分别作，是垂足，根据角平分线的性质可得，进而根据求得，进而根据三角形面积公式求解可．
【详解】解：过点分别作，是垂足．
由，得，，
是的平分线，
．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，理解角平分线的性质是解题的关键．
18．尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）
已知公路m，公路n以及两个城镇A，B的位置如图所示，现要修建一座信号发射塔，按要求，发射塔到两个城镇A，B的距离相等，到两条公路m，n的距离也相等，发射塔C应该建在什么位置 请用尺规作图找出其中一个符合条件的点．
【答案】见解析
【分析】利用角平分线的性质以及作法和线段垂直平分线的作法与性质分别得出即可．
【详解】解：如图所示：C1，C2即为所求．
【点睛】此题主要考查了应用设计与作图，熟练应用角平分线以及线段垂直平分线的性质是解题关键．
19．如图所示，点，是一个总厂的两个分厂，现要在道路，的交叉区域内建一个仓库点，使点到两条道路的距离相等，且使.请你找出点的位置（保留作图痕迹），并说明理由.
【答案】详见解析
【分析】要使点P到M，N的距离相等，根据线段垂直平分线性质定理的逆定理可知点P应该在线段MN的垂直平分线上；要使点P到两条道路的距离相等，根据角平分线性质定理的逆定理可得点P在∠BAC的角平分线上，据此分别作出MN的垂直平分线以及∠BAC的角平分线，两线的交点即为满足条件的点.
【详解】解：如图所示，点就是所要求作的点
理由：∵点在的平分线上，
∴点到两条道路，的距离相等
∵点在线段的垂直平分线上，
∴.
【点睛】本题考查垂直平分线性质定理的逆定理和角平分线性质定理的逆定理.理解定理并会用尺规作一个角的角平分线和一条线段的垂直平分线是解决此题的关键.
20．如图，中，，平分交于点，，，求到的距离．
【答案】
【分析】过点作于点，由，cm，求得cm，再由角平分线的性质定理即可求得到的距离．
【详解】如图，过点作于点，
，cm，
cm，
又平分，∠C=90°，
cm，
即到的距离cm．
【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，熟练运用角平分线的性质定理是解决问题的关键．

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