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15.4等腰三角形
（30分提至70分使用）
等腰三角形的定义
有两边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。
等腰三角形的性质
等边对等角：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
若在中，，则。
三线合一：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“等腰三角形三线合一”）。
若在中，，AD是顶角的平分线，则AD也是底边BC上的中线和高，即，AD⊥ BC。
对称性：等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在的直线是它的对称轴。
等腰三角形的判定
定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形。
等角对等边：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。
若在中，，则。
等边三角形（特殊的等腰三角形）
定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形（也叫正三角形）。
性质：
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于。
等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴，每条边上的中线、高和所对角的平分线都重合。
判定：
三边都相等的三角形是等边三角形。
三个角都相等的三角形是等边三角形。
有一个角是的等腰三角形是等边三角形。
等边对等角
1．在中，，则（ ）度
A．80 B．60 C．50 D．50或80
2．如图，为等腰三角形，，是延长线上的一点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．等腰三角形一个角是，则它的顶角的度数是（ ）
A． B． C．或 D．或
4．在中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，，点D在上，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
三线合一
6．木工师傅将一个等腰直角三角尺如图放置（斜边贴在横梁上），在这把三角尺斜边的中点拴一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤，若线绳恰好经过三角尺的直角顶点，则可以判断横梁是水平的，能解释这一现象的数学知识是（ ）
A．垂线段最短 B．三角形具有稳定性
C．等腰三角形“三线合一” D．等边对等角
7．如图，在中，，，若，则的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
8．如图，在中，，，D为边上一点，连接，且，若，则的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
9．如图，，D是的中点，于点．则是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，的面积为，平分，于点，连接，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
等角对等边
11．三角形两个角的度数如图所示，则该三角形是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
12．如图，中，，，平分交于，于E，且，则等于（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
13．如图，在中，，和的平分线分别交于点，，若，，的周长为19，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
14．如图，一艘快艇从地出发，向正北方向航行5海里后到达地，然后右转继续航行到达地，若地在地北偏东方向上，，则的距离为（ ）
A．8海里 B．海里 C．7海里 D．海里
15．如图,中，角平分线交于交于E，若， ，则等于( )
A． B． C． D．
含30度角的直角三角形
16．已知中，，，，则的值为（）
A．5 B．8 C．10 D．以上都不对
17．如图，在中，，，，交于点D．若，则的长为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
18．如图，在中，，是高，，，则的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
19．如图，在中，，点为边的中点，于，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
20．如图，是等边三角形，是边上一点，于点，若，则的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
等腰三角形的性质和判定综合
21．如图，在中，，．请将这个三角形分成两个等腰三角形．
22．如图，点在线段的垂直平分线上，．求证：．
23．已知：如图，平分．求证：为等腰三角形．

24．如图，是等腰三角形的底边上的高，，交于点．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)求证：．
25．已知：如图在中，、两点在边上，且．求证：．
等边三角形的性质和判定综合
26．如图，在一个房间内，有一个长为米的梯子（图中）斜靠在墙上，此时梯子的倾斜角为，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子的倾斜角为，求的长．
27．如图，，，．
(1)求证：．
(2)若，求证是等边三角形．
28．如图，在等边中，与的角平分线交于点O，交于点D，且交于点E．
(1)是判断的形状，并说明理由．
(2)若，求的周长．
29．如图①，沙漏是古代的一种计时装置，图②是其部分示意图，已知是等边三角形，点，分别在，的延长线上，且，求证：是等边三角形．

30．如图，某建筑工地需在两墙之间架设测量设备．地面上有一可移动梯子，初始时梯子长为米，斜靠在左侧墙上，梯子底端固定在地面，顶端靠在墙上，此时梯子与地面的夹角为（即）．随后，工人将梯子底端保持不动，将顶端转向右侧墙，此时梯子与地面的夹角为（即）．图中所有点均在同一平面内，求两墙上的测量点和的距离（即的长度）．15.4等腰三角形
（30分提至70分使用）
等腰三角形的定义
有两边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。
等腰三角形的性质
等边对等角：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
若在中，，则。
三线合一：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“等腰三角形三线合一”）。
若在中，，AD是顶角的平分线，则AD也是底边BC上的中线和高，即，AD⊥ BC。
对称性：等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在的直线是它的对称轴。
等腰三角形的判定
定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形。
等角对等边：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。
若在中，，则。
等边三角形（特殊的等腰三角形）
定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形（也叫正三角形）。
性质：
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于。
等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴，每条边上的中线、高和所对角的平分线都重合。
判定：
三边都相等的三角形是等边三角形。
三个角都相等的三角形是等边三角形。
有一个角是的等腰三角形是等边三角形。
等边对等角
1．在中，，则（ ）度
A．80 B．60 C．50 D．50或80
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的性质与三角形内角和定理，解题的关键是利用等腰三角形两底角相等，结合三角形内角和为计算角度．
由得为等腰三角形，；根据三角形内角和，代入的度数计算．
【详解】解：∵，
∴是等腰三角形，．
又∵三角形内角和为，，
∴．
故选：C．
2．如图，为等腰三角形，，是延长线上的一点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，熟练运用三角形外角性质进行推理是解题的关键．
根据等腰三角形的性质得出，根据三角形的外角性质得出，，代入求出即可．
【详解】解：∵为等腰三角形，，
∴，
∵是延长线上的一点，，
∴，，
∴，
∴．
故选：A．
3．等腰三角形一个角是，则它的顶角的度数是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理，注意分类讨论．
根据等腰三角形的性质，已知角可能是顶角或底角，分两种情况讨论顶角的度数．
【详解】解：∵ 等腰三角形的一个角是，
∴ 当为顶角时，顶角为；
当为底角时，另一个底角也为，顶角为，
∴ 顶角为或，
故选：D．
4．在中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质与三角形内角和定理，解题的关键是利用等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和为计算顶角．
由可知为等腰三角形，与为底角且相等；先确定的度数，再根据三角形内角和定理求出，即可．
【详解】解：，
是等腰三角形，，
已知，则，
根据三角形内角和为，得．
故选：D．
5．如图，，点D在上，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形全等的性质，等边对等角，解题的关键是熟练掌握三角形全等的性质．
根据三角形全等的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
三线合一
6．木工师傅将一个等腰直角三角尺如图放置（斜边贴在横梁上），在这把三角尺斜边的中点拴一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤，若线绳恰好经过三角尺的直角顶点，则可以判断横梁是水平的，能解释这一现象的数学知识是（ ）
A．垂线段最短 B．三角形具有稳定性
C．等腰三角形“三线合一” D．等边对等角
【答案】C
【分析】本题考查等腰三角形性质的应用，根据是个等腰直角三角形可得，再根据点是的中点，即可得出，然后即可得出结论．解题的关键是掌握：等腰三角形的底边上的中线、底边上的高重合．
【详解】解：∵是等腰直角三角形，
∴，
∵点是的中点，即是的边上的中线，
∴（等腰三角形“三线合一”），
即横梁是水平的．
故选：C．
7．如图，在中，，，若，则的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】A
【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一性质是解决问题的关键．根据等腰三角三线合一的性质即可得到，进而可得的长．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
∴．
故选：A．
8．如图，在中，，，D为边上一点，连接，且，若，则的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】B
【分析】本题考查了等腰三角形的性质及含角的直角三角形的特征，熟练掌握等腰三角形的“三线合一”性质是解题的关键．
过点A作于点E，在中，利用含角的直角三角形的性质可以求出，根据等腰三角形的性质可求出，即可得的长．
【详解】解：过点A作于点E，
∴．
∵，
∴．
∴，
∵，，，
∴，
∴．
故选：B．
9．如图，，D是的中点，于点．则是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识点，熟记等腰三角形的性质是解题关键．先根据等腰三角形的性质得出，，再根据直角三角形的性质即可得的度数．
【详解】解：∵，D是的中点，
∴，，
∴，
，
∴，
∴，
；
故选：B．
10．如图，的面积为，平分，于点，连接，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形的面积，角平分线的定义，关键是判定是等腰三角形．延长交于，由三角形内角和定理得到，推出，由等腰三角形的性质推出，即可得到的面积面积的一半．
【详解】解：如下图所示，延长交于，
平分，
，
于点，
，
，
，
，
，
，，
．
故选：D．
等角对等边
11．三角形两个角的度数如图所示，则该三角形是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
【答案】C
【分析】本题考查了三角形内角和定理以及等腰三角形的判定，牢记“三角形内角和是”是解题的关键．
利用三角形内角和定理，可求出第三个内角的度数，结合，可得出该三角形是钝角三角形，且是等腰三角形，再对照四个选项，即可得出结论．
【详解】解：第三个内角的度数为，
，
∴该三角形是钝角三角形，且是等腰三角形．
故选：C．
12．如图，中，，，平分交于，于E，且，则等于（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】A
【分析】本题考查角平分线的性质定理．
根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后求出．
【详解】解：∵，平分交于，，
∴，
∴，
∵，，
∴
∴，
∴．
故选：A．
13．如图，在中，，和的平分线分别交于点，，若，，的周长为19，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
【答案】B
【分析】该题考查了等腰三角形的判定，根据角平分线的定义得出，根据，得出，等量代换得到，则，根据，，结合的周长，即可求解．
【详解】解：∵和的平分线分别交于点，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵的周长，
∴，
∴，
故选：B．
14．如图，一艘快艇从地出发，向正北方向航行5海里后到达地，然后右转继续航行到达地，若地在地北偏东方向上，，则的距离为（ ）
A．8海里 B．海里 C．7海里 D．海里
【答案】B
【分析】此题考查了三角形外角的性质，等角对等边，含角直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点．
如图所示，连接，首先得出，得到，然后求出，，进而求解即可．
【详解】如图所示，连接，
根据题意得，，
∴
∴
∴（海里）
∵
∴
∴海里
∴（海里）．
故选：B．
15．如图,中，角平分线交于交于E，若， ，则等于( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质以及等腰三角形的判定，解题的关键是利用平行线和角平分线的性质推出等腰三角形，进而得到线段相等的线段．
由是角平分线可得角相等，结合平行于，利用平行线的性质得到另一组角相等，从而判定是等腰三角形，得出，最后根据计算的长度．
【详解】解：∵是的角平分线，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
含30度角的直角三角形
16．已知中，，，，则的值为（）
A．5 B．8 C．10 D．以上都不对
【答案】C
【分析】本题考查了三角形内角和定理，含的直角三角形，熟知所对的直角边是斜边一半是解题的关键．
计算，确定三角形为直角三角形，利用角所对直角边等于斜边一半的性质求解．
【详解】解：如图，
，
，
，且为所对的直角边，
∴，
故选：C．
17．如图，在中，，，，交于点D．若，则的长为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】本题考查了含度角的直角三角形的性质：度角所对的直角边是斜边的一半，等边对等角，三角形的外角性质等知识点，由题意得；，求出，即可求解；
【详解】解：∵，，，
∴，，
∵，
∴；
∴，
∴；
∴，
故选：B
18．如图，在中，，是高，，，则的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】本题考查了含30度角直角三角形的性质，直角三角形两锐角互余．首先求出，然后求出，然后根据含30度角直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵是高，
∴，
∴，
∴在中，．
故选：B．
19．如图，在中，，点为边的中点，于，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了含度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．先根据等边三角形的判定和性质得出，再根据直角三角形中两锐角互余得出，根据角的直角三角形性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵点为边的中点，
∴，
故．
故选：C．
20．如图，是等边三角形，是边上一点，于点，若，则的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【分析】本题考查的是等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，含的直角三角形的性质，掌握“直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半”是解本题的关键．先求解，可得，从而可得答案．
【详解】解：∵是等边三角形，
，
，
，
，
，
故选：A．
等腰三角形的性质和判定综合
21．如图，在中，，．请将这个三角形分成两个等腰三角形．
【答案】见解析
【分析】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了三角形内角和、等腰三角形的性质．利用等腰三角形的性质和三角形内角和作图．
【详解】解：如图，、和、为所作．
22．如图，点在线段的垂直平分线上，．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质可得，根据等边对等角可得，进而证明，根据全等三角形的性质，即可得证．
【详解】证明：∵点在线段的垂直平分线上，
∴．
∴．
在和中，
∴．
∴．
23．已知：如图，平分．求证：为等腰三角形．

【答案】见解析
【分析】本题利用了等腰三角形的判定和平行线的性质；进行角的等量代换是正确解答本题的关键．
根据是的平分线得到 ，然后利用平行线性质得到 ，从而 ，进而证得是等腰三角形．
【详解】解：∵是的平分线，
∴，
又∵，
∴（两直线平行，内错角相等）
∴，
∴
∴是等腰三角形．
24．如图，是等腰三角形的底边上的高，，交于点．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据等腰三角形的三线合一得，再结合平行线的性质，得，即，进行作答．
（2）根据等腰三角形的性质得，再结合平行线的性质，得，故，又因为等角对等边，得，由（1）得是等腰三角形，则，即可作答．
【详解】（1）证明： 是等腰三角形的底边上的高，
，
，
根据平行线的性质得，，
，
是等腰三角形；
（2）解：是等腰三角形的底边上的高，
∴，
，
，
，
，
，
由（1）得是等腰三角形；
∴，
．
25．已知：如图在中，、两点在边上，且．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，解题的关键是作辅助线．
先过作于，而，根据三角形三线合一定理可得，再根据，可得，再根据垂直平分线的性质可得．
【详解】证明：如图，过作于，
，，
，
，
，即，
．
等边三角形的性质和判定综合
26．如图，在一个房间内，有一个长为米的梯子（图中）斜靠在墙上，此时梯子的倾斜角为，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子的倾斜角为，求的长．
【答案】米
【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，证明是等边三角形即可求解，掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：由题意得，，，米，
∴，
∴是等边三角形，
∴米．
27．如图，，，．
(1)求证：．
(2)若，求证是等边三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了等腰三角形和等边三角形的判定以及全等三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是掌握全等三角形的判定方法．解题时注意第②问中三角形内角和定理及平角定义的综合运用．
(1)先根据，，，判定，得出，进而得到为等腰三角形；
(2)根据，得出，再根据平角的定义，得到，最后判定等腰为等边三角形．
【详解】（1）解：在和中，
，
．
（2）解：在中，
，
又 ，，
，
，
是等边三角形．
28．如图，在等边中，与的角平分线交于点O，交于点D，且交于点E．
(1)是判断的形状，并说明理由．
(2)若，求的周长．
【答案】(1)为等边三角形；见解析
(2)27
【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线定义、平行线性质及三角形周长等知识，熟记等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质是解决问题的关键．
（1）由等边三角形的判定与性质，再结合平行线的性质即可得到答案；
（2）由角平分线定义、平行线性质得到，由等腰三角形性质可得，同理，再由的周长，数形结合即可得到答案．
【详解】（1）解：为等边三角形．理由如下：
∵为等边三角形，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴为等边三角形；
（2）解：∵，为等边三角形，
∴的周长为，
平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理，
∴，
∵为等边三角形，
∴的周长为．
29．如图①，沙漏是古代的一种计时装置，图②是其部分示意图，已知是等边三角形，点，分别在，的延长线上，且，求证：是等边三角形．

【答案】见解析
【分析】本题主要考查等边三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，然后根据等边三角形的判定定理可进行求证．
【详解】证明：因为是等边三角形，
所以．
所以．
因为，
所以是等边三角形．
30．如图，某建筑工地需在两墙之间架设测量设备．地面上有一可移动梯子，初始时梯子长为米，斜靠在左侧墙上，梯子底端固定在地面，顶端靠在墙上，此时梯子与地面的夹角为（即）．随后，工人将梯子底端保持不动，将顶端转向右侧墙，此时梯子与地面的夹角为（即）．图中所有点均在同一平面内，求两墙上的测量点和的距离（即的长度）．
【答案】米
【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，理解题意，熟练掌握相关知识是解题关键．证明三角形为等边三角形，然后由等边三角形的性质即可获得答案．
【详解】解：根据题意，可知米，
．
，
为等边三角形，
米．

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