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22.4图形的位似变换
（30分提至70分使用）
一、位似图形的定义
如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形。这个交点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。
二、位似图形的性质
位似图形一定是相似图形，相似图形不一定是位似图形。
位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上。
位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于位似比。
位似图形的对应线段平行（或在同一条直线上）且成比例，其比值等于位似比。
位似图形的对应角相等。
位似图形的周长比等于位似比，面积比等于位似比的平方。
三、位似图形的画法
确定位似中心：位似中心可以在图形的内部、外部、边上或顶点上。
连接并延长位似中心和图形各顶点：过位似中心分别作经过原图形各顶点的射线。
根据位似比确定对应点位置：
若位似比 ( k > 0 )（同向位似），则在每条射线上，从位似中心开始，按位似比 ( k ) 截取线段，得到原图形各顶点的对应点。
若位似比 ( k < 0 )（反向位似），则在每条射线的反向延长线上，从位似中心开始，按位似比的绝对值 ( |k| ) 截取线段，得到原图形各顶点的对应点。
顺次连接各对应点：得到放大或缩小后的位似图形。
四、位似变换与坐标
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 ( k )，那么位似图形对应点的坐标的比等于 ( k ) 或 ( -k )。
即若原图形上点的坐标为 ( (x, y) )，则其位似图形上对应点的坐标为 ( (kx, ky) ) 或 ( )。
五、位似图形的应用
利用位似图形可以将一个图形放大或缩小。
解决与相似图形相关的实际问题，如测量不能直接到达的物体的高度或宽度（利用“标杆法”、“影子法”等时，可构造位似三角形）。
在平面直角坐标系中，根据位似中心和位似比确定图形变换后点的坐标。
位似图形的识别
1．方框中的两个图形不是位似图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．电影制作中，通过改变物体的大小来模拟远近变化，这类操作既可以帮助讲述故事，也可以增加电影的观赏性．这种原理利用到的图形变换是（ ）
A．位似变换 B．平移变换 C．对称变换 D．旋转变换
3．已知：，下列图形中，与不存在位似关系的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在正方形网格中，的位似图形可以是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，是幻灯机放映图片的示意图，在幻灯机放映图片的过程中，这两张图片之间的关系是（ ）
A．对称 B．平移 C．旋转 D．位似
求相似比
6．如图，与是位似图形，且位似中心为O，，若的周长为4，则的周长为（ ）
A．2 B．6 C．8 D．9
7．如图，和是以点O为位似中心的位似图形，若，则与的面积比为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，若与是位似图形，位似中心是原点O．若，，，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，与位似，点为位似中心，若，则（ ）
A． B． C． D．
10．在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心把缩小得到，使，则点E的对应点的坐标是（ ）
A． B． C．或 D．或
判断位似中心
11．如图，与是位似图形，则位似中心为（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
12．如图，在正方形网格图中，与是位似图形，则位似中心是（ ）
A．点R B．点P C．点Q D．点O
13．如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标是（ ）
A． B． C． D．
14．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，是由经过位似变换得到的，则位似中心的坐标为（ ）
A． B． C． D．
15．如图，与是位似图形，则位似中心可以是（ ）
A．点M B．点N C．点Q D．点P
求位似图形的对应坐标
16．在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（ ）
A． B．或
C．或 D．
17．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别是，，，．若四边形与四边形关于原点O位似，且四边形的周长是四边形周长的2倍，则点的坐标为（ ）
A． B．或 C．或 D．或
18．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，与是第一象限内以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OD上，若，点A的坐标为，则点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
19．如图，在平面直角坐标系中，与是以原点O为位似中心的位似图形，且与的周长之比为，若点A的坐标是，则点A的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
20．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，位似比为2，把扩大，则点A的对应点的坐标是（ ）
A． B． C．或 D．或
画位似图形
21．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点O为位似中心，在y轴右侧画出的位似图形（点A、B、C的对应点分别是点、、），使得与的相似比为．
22．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
(1)以点O为位似中心，在第三象限中画出，使与位似，且相似比为；
(2)直接写出点、和点的坐标：
（ ， ），（ ， ），（ ， ）．
23．如图，已知在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，和，和是一组位似图形，其位似中心为点．
(1)请在图中标出点，并直接写出点的坐标；
(2)若在第四象限，与是以点为位似中心的位似图形，且，请在图中画出，并写出点，的对应点，的坐标．
24．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
(1)以点为位似中心，在第四象限画出的位似图形，与的相似比为；
(2)若是内部任意一点，点在内部的对应点的坐标为______．
25．如图，在直角坐标系中，O是坐标原点，点B，C的坐标分别为，．
(1)以O为位似中心，在y轴的左侧作的位似图形，使与的位似比为2．
(2)写出点B，C的对应点，的坐标．22.4图形的位似变换
（30分提至70分使用）
一、位似图形的定义
如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形。这个交点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。
二、位似图形的性质
位似图形一定是相似图形，相似图形不一定是位似图形。
位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上。
位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于位似比。
位似图形的对应线段平行（或在同一条直线上）且成比例，其比值等于位似比。
位似图形的对应角相等。
位似图形的周长比等于位似比，面积比等于位似比的平方。
三、位似图形的画法
确定位似中心：位似中心可以在图形的内部、外部、边上或顶点上。
连接并延长位似中心和图形各顶点：过位似中心分别作经过原图形各顶点的射线。
根据位似比确定对应点位置：
若位似比 ( k > 0 )（同向位似），则在每条射线上，从位似中心开始，按位似比 ( k ) 截取线段，得到原图形各顶点的对应点。
若位似比 ( k < 0 )（反向位似），则在每条射线的反向延长线上，从位似中心开始，按位似比的绝对值 ( |k| ) 截取线段，得到原图形各顶点的对应点。
顺次连接各对应点：得到放大或缩小后的位似图形。
四、位似变换与坐标
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 ( k )，那么位似图形对应点的坐标的比等于 ( k ) 或 ( -k )。
即若原图形上点的坐标为 ( (x, y) )，则其位似图形上对应点的坐标为 ( (kx, ky) ) 或 ( )。
五、位似图形的应用
利用位似图形可以将一个图形放大或缩小。
解决与相似图形相关的实际问题，如测量不能直接到达的物体的高度或宽度（利用“标杆法”、“影子法”等时，可构造位似三角形）。
在平面直角坐标系中，根据位似中心和位似比确定图形变换后点的坐标。
位似图形的识别
1．方框中的两个图形不是位似图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了位似变换，位似与相似既有联系又有区别，相似仅要求两个图形形状完全相同，而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相较于一点．
【详解】解：对应点的连线相较于一点的两个相似多边形叫位似图形．
据此可得A、B、C三个图形中的两个图形都是位似图形；
而D的对应点的连线不能相较于一点，故不是位似图形，
故选：D．
2．电影制作中，通过改变物体的大小来模拟远近变化，这类操作既可以帮助讲述故事，也可以增加电影的观赏性．这种原理利用到的图形变换是（ ）
A．位似变换 B．平移变换 C．对称变换 D．旋转变换
【答案】A
【分析】本题考查图形变换的位似变换，特别是位似变换在实际场景（电影制作）中的应用．
【详解】首先分析题目中提到的电影制作中通过改变物体大小模拟远近变化这一现象；
然后依次回顾平移变换、对称变换、旋转变换和位似变换的定义和特点．
平移变换只是位置改变，大小和形状不变，B项不符合题意；
对称变换是关于某条直线对称，图形的大小也未发生改变，C项不符合题意；
旋转变换是绕定点旋转一定角度，同样不涉及大小的变化，D项不符合题意；
位似变换可以使图形按照一定比例放大或缩小，与电影中物体大小变化模拟远近的原理相符，A正确．BCD不符合题意．
故选A．
3．已知：，下列图形中，与不存在位似关系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查位似变换，正确把握位似图形的定义是解题关键．
根据位似图形的定义，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，进而判断得出答案．
【详解】解：A、与是位似关系，故此选项不合题意；
B、与是位似关系，故此选项不合题意；
C、与是位似关系，故此选项不合题意；
D、与对应边和不平行，故不存在位似关系，故此选项符合题意；
故选：D．
4．如图，在正方形网格中，的位似图形可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是位似图形，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形．先证明与相似，再根据位似图形的概念判断．
【详解】解：根据网格信息可知：的三边长分别为1，2，，
的三边长分别为2，4，，
与的三边对应成比例，
∴与相似，
∵与对应点连线相交于一点，对应边平行或在同一条直线上，
∴与是位似图形，
故选∶D．
5．如图，是幻灯机放映图片的示意图，在幻灯机放映图片的过程中，这两张图片之间的关系是（ ）
A．对称 B．平移 C．旋转 D．位似
【答案】D
【分析】本题考查的是位似变换、对称、平移和旋转，掌握它们的概念是解题的关键．
根据位似变换、对称、平移和旋转的概念判断即可．
【详解】解：图片可以看作图片A按一定的比例放大得到的，
所以这两张图片之间的关系是位似，
故选：D．
求相似比
6．如图，与是位似图形，且位似中心为O，，若的周长为4，则的周长为（ ）
A．2 B．6 C．8 D．9
【答案】B
【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的性质，由题意可得，且相似比为，结合相似三角形的性质即可得解，熟练掌握相似三角形的性质是解此题的关键．
【详解】解：∵与是位似图形，且位似中心为O，
∴，且相似比为，
∵的周长为4，
∴的周长为，
故选：B．
7．如图，和是以点O为位似中心的位似图形，若，则与的面积比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了位似变换和位似图形性质，位似图形必须是相似形，熟练掌握运用位似图形的性质及相似三角形的判定和性质是解题关键．
根据位似的性质得到，得出，利用相似三角形的性质可得，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得．
【详解】解：∵和是以点为位似中心的位似图形，
，
，
，
，
故选：D．
8．如图，在平面直角坐标系中，若与是位似图形，位似中心是原点O．若，，，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出位似比，再利用位似比求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
，
∵与是位似图形，位似中心是原点O，
∴，
∴，
∵，
∴点B的坐标为，
故选：B．
【点睛】本题考查了利用二次根式的性质化简，用勾股定理解三角形，利用相似求坐标，求两个位似图形的相似比等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
9．如图，与位似，点为位似中心，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质，两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．根据位似图形的概念得到，进而求出，根据位似变换的性质计算，得到答案．
【详解】解：∵与位似，，
∴，，
∴，
∴．
故选：C．
10．在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心把缩小得到，使，则点E的对应点的坐标是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】本题主要考查位似的性质，掌握位似的性质，用点坐标乘以相似比（正数相似比，负数相似比）是解题的关键．根据位似比的性质可知，用点E的坐标分别乘以即可求解．
【详解】以原点O为位似中心把缩小得到，使，
点的坐标为或，
即或．
故选：D．
判断位似中心
11．如图，与是位似图形，则位似中心为（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】A
【分析】本题考查了位似图形的位似中心，结合与是位似图形，故连接，它们都经过点，即可作答．
【详解】解：∵与是位似图形，
∴连接，它们都经过点，如图所示：
即位似中心为点，
故选：A．
12．如图，在正方形网格图中，与是位似图形，则位似中心是（ ）
A．点R B．点P C．点Q D．点O
【答案】D
【分析】本题考查确定位似中心，理解位似图形的概念是解题的关键．根据位似图形的概念，连接对应点，交点即是位似中心．
【详解】解：连接，交于点O，
∴点O是位似中心，
故选：D．
13．如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．连接，并延长与的延长线相交，交点坐标即为位似中心的坐标．
【详解】解：如图，连接，并延长与的延长线相交，交点即为位似中心，
由图可知，位似中心的坐标为，
故选：D．
14．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，是由经过位似变换得到的，则位似中心的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用已知坐标得出位似比，进而求出位似中心的坐标．
【详解】解：如图，连接并延长，交轴于点，
，
是由经过位似变换得到的，
相似比为，
则，即，
解得．
故位似中心P的坐标为．
故选：A.
【点睛】此题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，得出位似比是解题关键．
15．如图，与是位似图形，则位似中心可以是（ ）
A．点M B．点N C．点Q D．点P
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形的位似，掌握位似中心是位似点连线的交点是解题的关键．
根据位似中心是位似点连线的交点判断即可．
【详解】解：如图，根据位似中心是位似点连线的交点，可知点P为位似中心．
故选：D．
求位似图形的对应坐标
16．在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（ ）
A． B．或
C．或 D．
【答案】C
【分析】本题考查位似变换，掌握位似的性质是解决本题的关键．
以原点为位似中心，相似比为（即新图形是原图形的），点E的对应点坐标有两种情况：同向位似或反向位似，进行求解即可．
【详解】解：∵位似中心为原点O，相似比为，
∴点的对应点的坐标可能为同向位似：，或反向位似：．
∴的坐标为或．
故选C．
17．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别是，，，．若四边形与四边形关于原点O位似，且四边形的周长是四边形周长的2倍，则点的坐标为（ ）
A． B．或 C．或 D．或
【答案】B
【分析】本题考查了位似变换的概念和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
根据位似的性质可得，四边形与四边形的位似比为，再结合即可求出点的坐标．
【详解】解：∵四边形与四边形关于原点O位似，且四边形的周长是四边形周长的2倍，
∴四边形与四边形的位似比为，
又∵，
∴点的坐标为或，即或．
故选：B．
18．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，与是第一象限内以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OD上，若，点A的坐标为，则点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键．根据与以原点为位似中心，以及，得出与位似比为，再结合点A的坐标为，点D在第一象限，进而求出点D的坐标．
【详解】解：与是以原点O为位似中心的位似图形，
，
∵
∴
∴与位似比为，
点A的坐标为，点D在第一象限，
点D的坐标是，即，
故选：C
19．如图，在平面直角坐标系中，与是以原点O为位似中心的位似图形，且与的周长之比为，若点A的坐标是，则点A的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据位似图形的性质，若以原点为位似中心，且在位似中心的异侧的两个位似图形，相似比为，则对应的坐标比也为，即可解得点的坐标．
本题主要考查位似图形的性质，注意位似比与坐标比的关系是解题的关键．
【详解】解：∵与是以原点O为位似中心的位似图形，且与的周长之比为，若点A的坐标是
∴点的坐标为，即，
故选：D．
20．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，位似比为2，把扩大，则点A的对应点的坐标是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，位似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．熟练掌握位似变换的性质是解题关键．根据位似的性质，将点的横纵坐标均乘以2或即可求解．
【详解】解：∵点，，以原点为位似中心，位似比为2，把扩大，
∴点的对应点的坐标为或，即为或．
故选：D．
画位似图形
21．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点O为位似中心，在y轴右侧画出的位似图形（点A、B、C的对应点分别是点、、），使得与的相似比为．
【答案】见详解
【分析】本题考查了画位似图形，理解题意，根据位似图形的性质，分别找出点、、，再依次连接，得，即可作答．
【详解】解：依题意，如图所示：
22．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
(1)以点O为位似中心，在第三象限中画出，使与位似，且相似比为；
(2)直接写出点、和点的坐标：
（ ， ），（ ， ），（ ， ）．
【答案】(1)图见详解
(2)；；
【分析】本题主要考查位似，熟练掌握位似的性质是解题的关键；
（1）根据“与位似，且相似比为”可进行作图；
（2）根据平面直角坐标系可进行求解．
【详解】（1）解：所作如图所示：
（2）解：由坐标系可知：，，；
故答案为；；．
23．如图，已知在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，和，和是一组位似图形，其位似中心为点．
(1)请在图中标出点，并直接写出点的坐标；
(2)若在第四象限，与是以点为位似中心的位似图形，且，请在图中画出，并写出点，的对应点，的坐标．
【答案】(1)图见解析，
(2)图见解析，点的坐标为，点的坐标为
【分析】本题主要考查位似，熟练掌握位似是解题的关键；
（1）根据位似的性质可进行作图；
（2）根据位似的性质可进行作图．
【详解】（1）解：所作点如图所示：
∴由坐标系可知：点的坐标为；
（2）解：所作如图所示；由坐标系可知：点的坐标为，点的坐标为．
24．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
(1)以点为位似中心，在第四象限画出的位似图形，与的相似比为；
(2)若是内部任意一点，点在内部的对应点的坐标为______．
【答案】(1)图见解析；
(2)
【分析】本题考查的知识点是在坐标系中画位似图形、求位似图形的对应坐标，解题关键是熟练掌握位似的相关性质．
（1）根据位似比确定点的坐标，描点后顺次连接即可；
（2）根据位似的性质即可得到对应点的坐标．
【详解】（1）解：以点为位似中心，在第四象限作出与相似比为的位似图形，如下图所示：
（2）解：是内部任意一点，与的相似比为，且点为位似中心，
点在内部的对应点的坐标为．
故答案为：．
25．如图，在直角坐标系中，O是坐标原点，点B，C的坐标分别为，．
(1)以O为位似中心，在y轴的左侧作的位似图形，使与的位似比为2．
(2)写出点B，C的对应点，的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)，
【分析】本题考查位似变换，正确掌握位似图形的性质得出对应点位置是解答本题的关键．
（1）用位似比得出对应点位置，再顺次连接即可；
（2）根据位似变换的性质求出坐标即可．
【详解】（1）解：原点为位似中心，变换后为，
，横、纵坐标乘以，得变换后，
，横、纵坐标乘以，得变换后，
依次连接、、，得到的位似图形，如图所示，
（2）由（1）知，，．

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