资源简介

15.1 不等式的的性质
知识点 相关题型
不等式的定义 列不等式表示常见的不等关系（含交通图示）
不等式性质1——三歧性 利用性质1、2比较两个量的大小关系
不等式性质2——传递性 利用不等式性质3、4、5判断不等式的变形是否正确
不等式性质3——同加减 其他性质比较大小
不等式性质4——同乘除一个正数 利用比差法比较两个量的大小
不等式性质5——同乘除一个负数
其他性质
1.不等式的定义
用等号“=”连接的式子叫作等式，类似地，用不等号“>”“<”“≥”“≤”连接的式子，叫作不等式.不等式与等式一样，都是研究数量关系的工具.
除“>”和“<”外，不等号还有“≥”和“≤”.a≥b表示a>b或a=b,读作“a大于(或)等于b”.同样地，a≤b表示a2.不等式的性质
①不等式的性质1（实数的三歧性）
对于任意给定的两个数a、b,在a>b、a这个性质看似简单，实则意义重大。它是实数运算、排序、比较大小、不等式变形的理论基础.
三歧性的几何意义
数轴上任意两点，要么重合（相等），要么一个在左（更小），要么一个在右（更大），直观体现了数轴上的点与实数一一对应的关系。
②不等式的性质2（传递性）
如果a>b,b>c,那么a>c.
拓展：如果c③不等式性质3不等式的两边同加(或减)一个数，不等号的方向不变.
不等式性质3是移项法则的理论依据。
几何意义(数轴直观理解)
数轴上，实数a,b对应的点分别为A,B,若a>b,则点A在点B右侧。
两边同时加c,相当于将点A,B沿数轴同方向平移|c|个单位(c>0向右移，c<0向左移),平移后两点的相对位置不变，故a+c仍在b+c右侧，即a+c>b+c。
④不等式性质4不等式的两边同乘(或除以)一个正数，不等号的方向不变.
⑤不等式性质5不等式的两边同乘(或除以)一个负数，不等号的方向改变.
不等式性质④、⑤是化系数为1和去分母法则的理论依据。
3.不等式性质的拓展
名称 内容 易错点
对称性
同向可加性 是“”不是“”
可乘方性 a，b同号，n为正数
可开放性 a，b同为正
倒数的性质 a，b同号
4.利用作差法比较大小
【题型1：列不等式表示常见的不等关系】
【例1】（24-25七年级下·上海·期中）“的3倍比小”用不等式表示为 ．
【变式1】（24-25七年级下·上海嘉定·期中）的2倍与的和小于5.用不等式表示为 ．
【变式2】（24-25七年级下·上海金山·期末）用适当的不等式表示“大于”为 ．
【题型2：交通图示】
【例2】（24-25八年级下·贵州毕节·月考）如图，在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车高的标志，你知道通过该桥洞的车高的范围吗？表示为 ．
【变式1】（24-25七年级下·河北邢台·月考）如图是某幼儿园附近道路对汽车的限速标志，若用表示汽车的速度，则与应满足的关系为 ．
【题型3：利用不等式性质1、2比较大小】
【例3】设a>b>0，用“”或“”填空，并用不等式性质或借助数轴来说明理由.
a____-2;
a-2____b-5;
【变式1】比较下列数的大小
（1）3______5, 3.14_____（2）x2_____0,
【变式2】（24-25七年级下·上海普陀·期末）用适当的不等号填空：如果，那么 ．
【题型4：利用不等式性质3、4、5对不等式进行变形】
【例4】（25-26七年级下·山东·期中）若，则 （填“>”、“<”或“=”）．
【变式1】（24-25七年级下·上海金山·期中）用不等号填空，如果，那么 （填“＞”或“＜”）
【变式2】（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如果，那么 ．（填“”或“”或“”或“”）
【题型5：其他应用】
【例5】（24-25七年级下·上海松江·期中）如果，，那么 ．（填入“>”、“<”或“=”）
【变式1】有理数a，b，c，d在数轴上的位置如图所示，正确比较下列各组量的大小关系
(1)a b ，c 0，d b,___1;
(2)a+c___0, ac___0, ad___b, a-c___a,
(3)a2___c2 ,|d|___|b| ， |a+d|___|d| |a|___a ;
【变式2】若，下列式子中正确的有（ ）
①， ②， ③，
④ ， ⑤．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【题型6：作差法】
【例6】比较大小
2a+1_____2(a+1) （2）3a2-a+1___2a2-2a-4
【变式1】比较与的大小
【变式2】比较大小
一、单选题
1．小华乘坐电梯时，留意到电梯内的限重标志（如图），上面标注着“限载”．若电梯内所有乘客与所携带物品的总质量为，则下列选项中对该标志解释准确的是（ ）
A． B． C． D．
2．若，且，则的值可能是（ ）
A． B． C． D．
3．若，且，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．下列表达式中是不等式的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列不等式变形中，正确的是（ ）
A．由得 B．由得
C．由得 D．由得
6．实数，，在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．若，则 （填“”或“”号）．
8．若，则 ．（填“>”“<”或“=”）
9．已知，，，则 ．
10．若，且，则的取值范围是 ．
11．当 时，不等式的解集是．
12．将不等式化为“”或“”的形式为 ．
13．若，且，，设，则t的取值范围为 ．
14．如果，则 ．（填或）
15．如图，数轴上两点对应的数分别为，则 （填“>”、“”或“”）．
16．利用不等式的性质，填空．若，，则 ．
17．实数a，b在数轴上的位置如下图所示，则 （填“”“”或“”）．
18．已知a，b为有理数，下列结论：①若，则；②若，则；③若，则；④，，则；⑤若，则．其中正确的是 ．（填序号）
三、解答题
19．若，试比较与的大小，并说明理由．
20．先阅读下面的解题过程，再解题．
已知，试比较与的大小．
解：∵，①
∴．②
∴．③
(1)上述解题过程中，从步骤________开始出现错误（填写序号）；
(2)请写出正确的解题过程．
21．将下列不等式化成“”或“”的形式：
(1)；
(2)；
(3)．
22．【教材呈现】如表是华师版七年级下册数学教材第页的部分内容．
例利用不等式的性质说明下列结论的正确性： （1）如果，，那么； 解：（1）因为，所以． 又因为，所以． 由①②，可得． 由数的大小比较可知，不等式关系其有传递性，即如果且，那么，它也可以作为推理的依据．
通过例，利用不等式的传递性，我们可以证出不等式的同向可加性．
根据上述性质解决问题：若，，则的取值范围是______；
若，，则的取值范围是______；
【性质应用】已知，且，，求的取值范围，补全解答过程：
解：由，得．
将代入得，
，
即．
又因为，
所以．
求解过程缺失
【拓展提升】已知，且，，则的取值范围是______．15.1 不等式的的性质
知识点 相关题型
不等式的定义 列不等式表示常见的不等关系（含交通图示）
不等式性质1——三歧性 利用性质1、2比较两个量的大小关系
不等式性质2——传递性 利用不等式性质3、4、5判断不等式的变形是否正确
不等式性质3——同加减 其他性质比较大小
不等式性质4——同乘除一个正数 利用比差法比较两个量的大小
不等式性质5——同乘除一个负数
其他性质
1.不等式的定义
用等号“=”连接的式子叫作等式，类似地，用不等号“>”“<”“≥”“≤”连接的式子，叫作不等式.不等式与等式一样，都是研究数量关系的工具.
除“>”和“<”外，不等号还有“≥”和“≤”.a≥b表示a>b或a=b,读作“a大于(或)等于b”.同样地，a≤b表示a2.不等式的性质
①不等式的性质1（实数的三歧性）
对于任意给定的两个数a、b,在a>b、a这个性质看似简单，实则意义重大。它是实数运算、排序、比较大小、不等式变形的理论基础.
三歧性的几何意义
数轴上任意两点，要么重合（相等），要么一个在左（更小），要么一个在右（更大），直观体现了数轴上的点与实数一一对应的关系。
②不等式的性质2（传递性）
如果a>b,b>c,那么a>c.
拓展：如果c③不等式性质3不等式的两边同加(或减)一个数，不等号的方向不变.
如果a>b,那么a+m>b+m,a-m>b-m.
不等式性质3是移项法则的理论依据。
几何意义(数轴直观理解)
数轴上，实数a,b对应的点分别为A,B,若a>b,则点A在点B右侧。
两边同时加c,相当于将点A,B沿数轴同方向平移|c|个单位(c>0向右移，c<0向左移),平移后两点的相对位置不变，故a+c仍在b+c右侧，即a+c>b+c。
④不等式性质4不等式的两边同乘(或除以)一个正数，不等号的方向不变.
如果a>b,m>0,那么am>bm ,
⑤不等式性质5不等式的两边同乘(或除以)一个负数，不等号的方向改变.
如果a>b,m<0,那么am不等式性质④、⑤是化系数为1和去分母法则的理论依据。
3.不等式性质的拓展
名称 内容 易错点
对称性
同向可加性 是“”不是“”
可乘方性 a，b同号，n为正数
可开放性 a，b同为正
倒数的性质 a，b同号
4.利用作差法比较大小
若→；
若→；
若→。
【题型1：列不等式表示常见的不等关系】
【例1】（24-25七年级下·上海·期中）“的3倍比小”用不等式表示为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了列不等式，根据题意列出不等式即可，理解题意是解题的关键．
【详解】解：由题意得，，
故答案为：．
【变式1】（24-25七年级下·上海嘉定·期中）的2倍与的和小于5.用不等式表示为 ．
【答案】
【分析】本题考查了不等式的定义，根据题意列出不等式是关键；
【详解】解：不等式表示为：
故答案为：.
【变式2】（24-25七年级下·上海金山·期末）用适当的不等式表示“大于”为 ．
【答案】
【分析】本题考查了列不等式，解题关键是掌握不等式的定义．根据题意用“”，列出不等式即可．
【详解】解：不等式表示“大于”为：
故答案为：．
【题型2：交通图示】
【例2】（24-25八年级下·贵州毕节·月考）如图，在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车高的标志，你知道通过该桥洞的车高的范围吗？表示为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查不等式的定义，根据标志牌的含义列不等式即可求解．
【详解】解：由题意得：，
故答案为：．
【变式1】（24-25七年级下·河北邢台·月考）如图是某幼儿园附近道路对汽车的限速标志，若用表示汽车的速度，则与应满足的关系为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查不等式的概念，用不等号将两个整式连接起来所成的式子，叫做不等式．根据题意可知汽车的速度不超过，即汽车的速度小于等于，然后用符号表示即可．
【详解】解：根据题意知速度不超过，即小于等于，
故用不等式表示为，
故答案为：．
【题型3：利用不等式性质1、2比较大小】
【例3】设a>b>0，用“”或“”填空，并用不等式性质或借助数轴来说明理由.
a____-2;
a-2____b-5;
【解析】；已知（、均为正数，且在数轴上位于右侧）：
(1) ，而，故（传递性）；
(2) ，在数轴上位于右侧，a向左移两个单位，b向左移5个单位，a仍在b的右边，故。
答案：(1)；(2)；(3)。
【变式1】比较下列数的大小
（1）3______5, 3.14_____（2）x2_____0,
【分析】实数的三歧性是实数比较大小的理论基础，所以（1）问中的大小关系是确定的；
（2）中的不是代表一个数，所以它与0的大小关系不唯一，这与三歧性不矛盾.
解析：（1）3<5, 3.14<（2）0,
【变式2】（24-25七年级下·上海普陀·期末）用适当的不等号填空：如果，那么 ．
【答案】
【分析】本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质是正确解答的前提．
根据不等式的性质可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
【题型4：利用不等式性质3、4、5对不等式进行变形】
【例4】（25-26七年级下·山东·期中）若，则 （填“>”、“<”或“=”）．
【答案】＞
【分析】由，可得，结合，可得，从而可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
【变式1】（24-25七年级下·上海金山·期中）用不等号填空，如果，那么 （填“＞”或“＜”）
【答案】
【分析】本题考查了不等式的性质，利用不等式的性质解答即可得到结果．熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．不等式的基本性质：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式2】（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如果，那么 ．（填“”或“”或“”或“”）
【答案】
【分析】本题考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的性质．
根据不等式的性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【题型5：其他应用】
【例5】（24-25七年级下·上海松江·期中）如果，，那么 ．（填入“>”、“<”或“=”）
【答案】＞
【分析】本题考查的是不等式的同向可加性，熟记不等式的基本性质是解题关键．
根据不等式的基本性质直接求解即可
【详解】解：∵，，
∴＞，
故答案为：＞．
【变式1】有理数a，b，c，d在数轴上的位置如图所示，正确比较下列各组量的大小关系
(1)a b ，c 0，d b,___1;
(2)a+c___0, ac___0, ad___b, a-c___a,
(3)a2___c2 ,|d|___|b| ， |a+d|___|d| |a|___a ;
【解析】：(1)a (2)a+c<0, ac>0, ada；（有理数的运算法则）
(3)<,|d|a ;（其他性质）
【变式2】若，下列式子中正确的有（ ）
①， ②， ③，
④ ， ⑤．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】①根据倒数的性质判断；
②根据有理数乘法法则判断；
③根据有理数乘法法则判断；
④a,b同号可判断商为正，b的绝对值较大可判断比值；
⑤根据不等式性质5，同乘“-1”可判断.
【解析】正确的有①、③、⑤
所以选B
【题型6：作差法】
【例6】比较大小
2a+1_____2(a+1) （2）3a2-a+1___2a2-2a-4
【解析】（1）作差：故。
(2) 作差：=； 因，所以>0,故.
【变式1】比较与的大小
解析：∵（）-（）=
∴
【变式2】比较大小
【解析】（1）1-； 因为
所以
一、单选题
1．小华乘坐电梯时，留意到电梯内的限重标志（如图），上面标注着“限载”．若电梯内所有乘客与所携带物品的总质量为，则下列选项中对该标志解释准确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了不等号的理解，根据“限载”表示物体总质量不超过，即可作答．
【详解】解：“限载”表示物体总质量不超过，
若电梯内所有乘客与所携带物品的总质量为，则，
故选：B．
2．若，且，则的值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
根据不等式的性质得到，在，0，1，2中，即可得到答案．
【详解】解：，且，
，
在，0，1，2中，
故选：A．
3．若，且，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查不等式的性质：不等式基本性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式基本性质2：不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变；不等式基本性质3：不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向变．根据不等式的性质3求解即可，注意时也成立．
【详解】解：∵，且，
∴，解得，
故选：D．
4．下列表达式中是不等式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：、、、、．
【详解】解：选项A，根据不等式的定义，是不等式，故该选项正确，符合题意；
选项B，只是一个整式，不是不等式，故该选项不正确，不符合题意；
选项C，是一个等式，不是不等式，故该选项不正确，不符合题意；
选项D，只是一个有理数，不是不等式，故该选项不正确，不符合题意．
故选：A．
5．下列不等式变形中，正确的是（ ）
A．由得 B．由得
C．由得 D．由得
【答案】A
【分析】本题考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键；
根据不等式的基本性质对各选项进行计算，并作出正确的判断．
【详解】A．由，不等式两边都加上，不等号的方向不变，所以原式说法正确，故该选项符合题意；
B． 由，不等式两边都乘以，不等号的方向改变，所以原式说法错误，故该选项不符合题意；
C． 由，不等式两边都乘以2，不等号的方向不改变，所以原式说法错误，故该选项不符合题意；
D．不等式两边都乘以，不等号的方向不改变，所以原式说法错误，故该选项不符合题意；
故选：A．
6．实数，，在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了数轴，绝对值，不等式的性质，根据数轴分别判断a，b，c的正负，然后判断即可，解题的关键是结合数轴判断判断，，的正负及知识点的应用．
【详解】由数轴可得，，，
A、，原选项判断错误，不符合题意，
B、，原选项判断正确，符合题意，
C、，原选项判断错误，不符合题意，
D、，原选项判断错误，不符合题意，
故选：B．
二、填空题
7．若，则 （填“”或“”号）．
【答案】
【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解答本题的关键．
根据不等式的基本性质解答即可．
【详解】解：，
，
，
故答案为：．
8．若，则 ．（填“>”“<”或“=”）
【答案】
【分析】本题主要考查不等式的性质，根据不等式的性质解答即可．
【详解】解：∵，
∴不等式两边加上7可得，
故答案为：．
9．已知，，，则 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查的是绝对值的性质、有理数的加法法则，分类讨论是解题的关键．先依据绝对值的性质得到和的值，然后结合，分类计算即可．
【详解】解：，，
，．
又，
，．
当，时，．
当，时， ．
故答案为：或．
10．若，且，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据不等式的基本性质解答即可．
【详解】解：，且，
，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，掌握不等式的基本性质是解答本题的关键．
11．当 时，不等式的解集是．
【答案】/大于2
【分析】本题考查了不等式的解集，解题的关键是掌握不等式两边同乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．由已知的不等式的解集与不等式的基本性质可知，解此不等式即可．
【详解】解：由题意可知时，不等式的解集是，
解得．
故答案为：．
12．将不等式化为“”或“”的形式为 ．
【答案】
【分析】本题考查不等式的基本性质，解题的关键是根据不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变这一性质来求解．
利用不等式的基本性质，将不等式两边同时除以3，从而将其化为的形式．
【详解】对于不等式，根据不等式的基本性质：不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变，
在不等式两边同时除以3，即，计算可得．
故答案为：．
13．若，且，，设，则t的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是不等式的性质，方程思想的应用，求解及是解本题的关键．由条件可得，先求解b的取值范围，再把化为，再结合不等式的基本性质可得答案．
【详解】解：，，
∴，
解得：， 而，
，
∵，
，
∴
，
，
，
，
∴t的取值范围是：．
故答案为：．
14．如果，则 ．（填或）
【答案】
【分析】本题考查了不等式的性质“性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”，熟练掌握不等式的性质是解题关键．根据不等式的性质求解即可得．
【详解】解：∵，
∴（不等式的两边同乘以，不等号的方向改变），
∴（不等式的两边同减去1，不等号的方向不变），
故答案为：．
15．如图，数轴上两点对应的数分别为，则 （填“>”、“”或“”）．
【答案】
【分析】本题考查的是利用数轴比较大小，不等式的性质，由题意可得，，，可得，进一步可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
故答案为：
16．利用不等式的性质，填空．若，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查不等式的性质．熟练掌握不等式的两边同乘同一个负数，不等号的方向发生改变解题即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，即，
故答案为：．
17．实数a，b在数轴上的位置如下图所示，则 （填“”“”或“”）．
【答案】
【分析】本题考查了根据数轴判断字母的大小，不等式的性质．先求出a，b的大小，再不等式两边都除以即可．
【详解】由数轴可知，，
则，
两边都除以得，即．
故答案为：．
18．已知a，b为有理数，下列结论：①若，则；②若，则；③若，则；④，，则；⑤若，则．其中正确的是 ．（填序号）
【答案】①②④⑤
【分析】本题考查了有理数的性质、平方运算、倒数关系、绝对值比较及不等式性质的综合应用，解题的关键是通过举反例或逻辑推导验证每个结论的正确性，尤其要注意符号对运算结果的影响．
通过对每个结论逐一分析：①利用平方相等的两数关系判断；②由分式等式推导出两数关系验证；③通过举正负不同的有理数反例判断；④结合两数大小和和的符号分析绝对值关系；⑤根据给定的、范围，利用不等式性质比较各代数式大小．
【详解】解：①由，根据平方性质，互为相反数的两数平方相等，故，①正确；
②由得（），故，②正确；
③若，，满足，但，故③错误；
④因且，若，则，矛盾，故，④正确；
⑤由，得，；，即；，即；，
故，⑤正确．
故答案为：①②④⑤．
三、解答题
19．若，试比较与的大小，并说明理由．
【答案】，理由见解析
【分析】本题考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．根据不等式的基本性质2，在不等式的两边都乘以3，得，再根据不等式的基本性质1，在不等式的两边都减去7，即可得．
【详解】解：．理由如下：
根据不等式的基本性质2，在不等式的两边都乘以3，不等号的方向不变，即，
再根据不等式的基本性质1，在不等式的两边都减去7，不等号的方向不变，即．
20．先阅读下面的解题过程，再解题．
已知，试比较与的大小．
解：∵，①
∴．②
∴．③
(1)上述解题过程中，从步骤________开始出现错误（填写序号）；
(2)请写出正确的解题过程．
【答案】(1)②
(2)见解析
【分析】本题考查了不等式的基本性质，解题关键是掌握不等式的基本性质．
（1）根据不等式的基本性质求解；
（2）利用不等式的基本性质求解．
【详解】（1）解：根据不等式两边同乘以一个负数，不等号要改变方向，可得上述解题过程中，从步骤②开始出现错误，
故答案为：②；
（2）∵，
∴．
∴．
21．将下列不等式化成“”或“”的形式：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查不等式的性质，掌握性质是解决问题的关键．
（1）不等式两边同时减去即可,
（2）不等式两边同时乘即可,
（3）不等式两边同时减去，整理后不等式两边同时除以4即可．
【详解】（1）解：不等式两边同时减去，解得；
（2）不等式两边同时乘，
得，
整理得：；
（3）不等式两边同时减去，
得，
整理得，
不等式两边同时除以4，得．
22．【教材呈现】如表是华师版七年级下册数学教材第页的部分内容．
例利用不等式的性质说明下列结论的正确性： （1）如果，，那么； 解：（1）因为，所以． 又因为，所以． 由①②，可得． 由数的大小比较可知，不等式关系其有传递性，即如果且，那么，它也可以作为推理的依据．
通过例，利用不等式的传递性，我们可以证出不等式的同向可加性．
根据上述性质解决问题：若，，则的取值范围是______；
若，，则的取值范围是______；
【性质应用】已知，且，，求的取值范围，补全解答过程：
解：由，得．
将代入得，
，
即．
又因为，
所以．
求解过程缺失
【拓展提升】已知，且，，则的取值范围是______．
【答案】【教材呈现】，；【性质应用】见解析；【拓展提升】
【分析】教材呈现：根据不等式的性质进行计算即可；
性质应用：先根据已知条件把用表示出来，再根据和求出的取值范围，然后再根据不等式的性质进行解答即可；
拓展提升：先根据已知条件把用表示出来，再根据和求出的取值范围，然后再根据不等式的性质进行解答即可．
本题主要考查了不等式和等式的性质，解题关键是熟练掌握不等式的基本性质．
【详解】解：教材呈现：
，，
，即，
，，
，即，
故答案为：，；
性质应用：
由，得，
将代入得，
，
，
，
，
，
，
，
；
拓展提升：
，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．

展开更多......

收起↑