资源简介

第2课 实数（2） 期末总复习
【沪教版】
实数的概念
有理数和无理数统称为实数.有理数为有限小数或无限循环小数，无理数为无限不循环小数.
实数的分类
按性质分 按符号分
实数 实数
易错点：①是无理数（），因为可以化成无限循环小数属于有理数.
②是分数（），因为只是拥有分数的形式，但因为是个无限不循环小数，它的还是无限不循环小数，所以它是个无理数.
实数与数轴上的点一一对应
例1（25-26八年级上·上海黄浦·期中）下列说法正确的是（ ）
A．实数可分为有理数和无理数
B．的平方根是
C．数轴上的点与有理数一一对应
D．无理数与无理数的和一定是无理数
例2（25-26八年级上·上海·期中）在实数，，，1.1010010001…（每两个1之间依次增加一个0），，，中，无理数有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
例3（25-26八年级上·上海青浦·期中）下列说法正确的是（ ）
A．数轴上的每一个点都有一个有理数与它对应
B．1的平方根等于它的立方根
C．负数没有立方根
D．是13的一个平方根
例4（25-26八年级上·上海长宁·阶段练习）已知数轴上有、两点，分别表示的数为和，若点和点关于点对称，则点表示的数为（ ）
A． B． C． D．
例5（25-26八年级上·上海虹口·期中）如图1，由5个边长为1的小正方形组成的长方形，通过剪拼可以拼成一个正方形．
(1)正方形的边长的长在两个连续整数________和________之间；
(2)如图2，纸片上有数轴，把图1中的正方形放到数轴上，使得点与重合，点在数轴上表示的数是_______；
(3)在（2）的基础上以数2对应的点为折叠点，将数轴向右对折，则点与数______对应的点重合．
1．（25-26八年级上·上海宝山·期中）下列说法正确的是（ ）
A．的算术平方根是9 B．无理数和有理数统称为实数
C．立方根等于它本身的数是0和1 D．数轴上的每一个点都有一个有理数与它对应
2．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）下列说法错误的是（ ）
A．实数可分为正实数和负实数两类 B．正实数包括正有理数和正无理数
C．实数在数轴上都有唯一对应的点 D．数轴上任一点都有唯一对应的实数
3．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）下列说法中正确的有（ ）
①，，都是无理数； ②无理数包括正无理数、负无理数和零；
③实数分为正实数和负实数两类； ④绝对值最小的实数是0；
⑤一个数的平方根等于它本身，这个数是0或1；⑥有理数与数轴上的点一一对应．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
故选：A．
4.（25-26八年级上·上海·月考）已知点A、B、C、D在数轴上，其中A、B分别表示数和．点C向左平移4个单位长度后与点B重合．
(1)线段的长= ．
(2)点C表示的数是 ．
(3)对于数轴上三点，若其中两点关于另一点对称，则称这三点为“优美关系”，如果点A、点B、点D为优美关系，那么点D对应的实数为 ．
5.（25-26八年级上·上海奉贤·期中）小李同学在学习无理数时，将边长为1的两个正方形沿着他们的一条对角线剪开，得到四个形状、大小都相等的等腰直角三角形，再把这四个等腰直角三角形拼成了一个面积为2的正方形，由此得到了无理数．他受此启发：将一个由5个边长为的小正方形组成的长方形，通过剪拼组成了一个大的正方形（没有重叠和空隙）．
(1)图中大正方形的边长___________，边长介于两个连续整数_________和_________之间．
(2)如图是一个数轴，把图中大正方形旋转使得边落到数轴上，且点与重合，则点在数轴上表示的数为________________；
(3)在（2）的基础上，点在点的右侧，点表示数1，将数轴沿着点所在的某条直线翻折使得点恰好落在数轴上的点处，此时点所表示的数为____________．
实数绝对值的代数意义
实数绝对值的几何意义
|a|表示实数a在数轴上对应的点到原点的距离.
|a-b|表示实数a，b在数轴上所对应的两点之间的距离.
实数的相反数
绝对值相等、符号相反的两个实数互为相反数.两个数互为相反数则和为0.
实数的大小比较
②比差法：若a-b>0，则a>b
③比平方：若，则a>b
例1（25-26八年级上·上海浦东新·期中）已知数、在数轴上对应的点如图所示，化简 ．
例2（25-26八年级上·上海·期中）比较大小： ．（填“”、“”或“”）
例3（25-26八年级上·上海·阶段练习）已知实数、互为倒数，实数、互为相反数，实数的绝对值为，求的值．
例4（25-26八年级上·上海·期中）数学活动课上，同学们将数轴进行折叠、旋转等几何变换．请阅读下列素材，完成各题．
[素材1]灵动小组绘制了一条“灵动数轴”（如图），其中点A表示的数为a，点B表示的数为b，点C表示的数为c．已知a、b、c满足
(1)在“灵动数轴”中，________，________，________．
(2)折叠“灵动数轴”，使点B与点C重合，求此时与点A重合的点所表示的数．
1.（24-25七年级下·全国·阶段练习）的相反数是 ，绝对值是 ；若，则 ．
2．（25-26八年级上·上海普陀·期中）比较大小： ．（填“”、“”或“”）
3．（25-26八年级上·上海松江·期中）比较大小： 3（填“”，“”或者“”）．
4．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）将下列各数、、用“”连接： ．
5．（25-26八年级上·上海金山·期中）比较大小： ．
6.（25-26八年级上·上海闵行·期中）如图，点B，C在数轴上表示的数分别是4，，若点C关于点B的对称点为A，则数轴上点A表示的数是 ．
7．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）如图，面积为3的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，观察作图痕迹得点所表示的数为 .
8．（25-26八年级上·上海闵行·期中）如图①，由8个同样大小的正方体组成一个“二阶魔方”，整个魔方的体积为．图①中阴影部分是一个正方形，它的面积是魔方侧面面积的一半，若把正方形放到数轴上，如图②．使得点与重合．若以点为圆心，的长为半径画圆，与数轴交于点，那么点在数轴上表示的数为 ．
9．（25-26八年级上·上海·期中）点是数轴上的三个点，点所对应的数分别为、，点到点的距离是它到点B距离的2倍，则点C表示的数是 ．
1.实数的混合运算顺序
实数之间不仅可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且正数和0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.
同级运算：先乘方、开方，再乘除，后加减；有括号的先算括号内的.
2.运算律——同有理数的运算律
3.有关无理数的运算
对于涉及无理数的实数运算，如果没有指明运算结果保留几位小数，那么通常是利用实数的运算法则和运算律对算式进行化简，其结果可能是一个化简了的含无理数的算式.
如：2+仍等于2+、2×=2.
例1（25-26八年级上·全国·期末）计算：
(1)；
(2)．
例2（20-21八年级上·辽宁沈阳·期末）按如图所示的程序计算，若开始输入的值为9，则最后输出的y值是（ ）

A． B． C．3 D．
1．（25-26八年级上·上海·月考）计算：
2．（25-26八年级上·湖南长沙·开学考试）（1）计算：；
（2）解方程：．
3．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）计算：
4．（24-25八年级上·全国·期末）（1）解方程：；
（2）解方程：；
（3）计算：．
5.（25-26八年级上·江苏无锡·期中）计算：．
6．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）计算：．
．
7.（25-26八年级上·上海闵行·期中）如图是一个数值转换器（），其工作原理如图所示．
若输出的值是，则负整数的值为 ．
把一个数表示成a×1(1≤|a|<10,a是整数或小数，n是整数)的形式，这种记数方法叫作科学记数法.当a=1或a=-1时，“1”常省略不写，如0.000000001=1,-1000000=-10
例1（25-26八年级上·上海奉贤·期中）为满足高速通信需求，我国某企业成功开发出一款基站芯片，其处理一个基本数据单元仅需纳秒，已知一纳秒等于秒，则该芯片一秒可以处理 个基本数据单元．（用科学记数法表示）
例2（25-26八年级上·上海宝山·期中）我国的嫦娥六号探测器成功执行了月球背面采样返回任务，这是人类首次从月球背面采集样品并带回地球．月球距离地球的平均距离为384000千米，数据384000用科学记数法表示为 ．
例3（25-26八年级上·上海·期中）用科学记数法表示的数有 个整数位．
1.（25-26七年级上·上海浦东新·期中）用科学记数法表示数，正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26七年级上·上海·课后作业）计算，结果用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3.（19-20七年级上·四川乐山·期中）下列各式中，精确度相同的是（ ）
A．300万与3百万 B．与万
C．与3450 D．与
4．（19-20七年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（ ）
A．近似数与的精确度一样
B．近似数与2000的意义完全一样
C．精确到万分位
D．万与的精确度不同
5.（25-26八年级上·上海闵行·期中）若一个整数用科学记数法表示为，则原数中“0”有 个．
6．（24-25七年级上·湖北恩施·月考）近似数精确到 位．
7．（25-26八年级上·上海·阶段练习）的小数点与左起第一个非零数字之间有 个0．
8.（25-26八年级上·上海·月考）近似数精确到 位．第2课 实数（2） 期末总复习
【沪教版】
实数的概念
有理数和无理数统称为实数.有理数为有限小数或无限循环小数，无理数为无限不循环小数.
实数的分类
按性质分 按符号分
实数 实数
易错点：①是无理数（），因为可以化成无限循环小数属于有理数.
②是分数（），因为只是拥有分数的形式，但因为是个无限不循环小数，它的还是无限不循环小数，所以它是个无理数.
实数与数轴上的点一一对应
例1（25-26八年级上·上海黄浦·期中）下列说法正确的是（ ）
A．实数可分为有理数和无理数
B．的平方根是
C．数轴上的点与有理数一一对应
D．无理数与无理数的和一定是无理数
【答案】A
【分析】本题考查实数的分类、平方根、数轴表示以及无理数的性质，掌握基本概念是解题关键．
根据实数的分类、平方根的定义、数轴的性质以及无理数的性质进行判断．
【详解】解：A、实数包括有理数和无理数，这是实数的标准分类，故A正确，符合题意；
B、，2的平方根是，不是，故B错误，不符合题意；
C、数轴上的点与实数一一对应，而不是仅与有理数对应，故C错误，不符合题意；
D、无理数与无理数的和不一定是无理数，例如为有理数，故D错误，不符合题意．
故选：A．
例2（25-26八年级上·上海·期中）在实数，，，1.1010010001…（每两个1之间依次增加一个0），，，中，无理数有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【分析】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，等；开方开不尽的数；以及像（两个1之间依次多一个0）这样规律的数．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可得出答案．
【详解】解：，，
则，，，是有理数，
，1.1010010001…（每两个1之间依次增加一个0），，是无理数，共3个；
故选：D．
例3（25-26八年级上·上海青浦·期中）下列说法正确的是（ ）
A．数轴上的每一个点都有一个有理数与它对应
B．1的平方根等于它的立方根
C．负数没有立方根
D．是13的一个平方根
【答案】D
【分析】本题考查数轴、平方根和立方根的概念，掌握相关知识是解决问题的关键．根据实数与数轴的关系、平方根和立方根的定义逐一判断各选项．
【详解】解：∵ 数轴上的点与实数一一对应，
∴ 选项A错误；
∵ 1的平方根是，立方根是1，两者不相等，
∴ 选项B错误；
∵ 负数有立方根，且为负数，
∴ 选项C错误；
∵ 13的平方根是，
∴ 是13的一个平方根，选项D正确．
故选：D．
例4（25-26八年级上·上海长宁·阶段练习）已知数轴上有、两点，分别表示的数为和，若点和点关于点对称，则点表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了求数轴上两点之间的距离及实数在数轴上的表示，由题意可知A、B两点之间的距离是，点和点关于点对称，进而求出C的坐标，熟练掌握数轴上中点的意义是解题关键．
【详解】解：∵A，B两点表示的数为和，
∴A、B两点之间的距离是，
∴C点表示，
故选：C．
例5（25-26八年级上·上海虹口·期中）如图1，由5个边长为1的小正方形组成的长方形，通过剪拼可以拼成一个正方形．
(1)正方形的边长的长在两个连续整数________和________之间；
(2)如图2，纸片上有数轴，把图1中的正方形放到数轴上，使得点与重合，点在数轴上表示的数是_______；
(3)在（2）的基础上以数2对应的点为折叠点，将数轴向右对折，则点与数______对应的点重合．
【答案】(1)2，3
(2)
(3)
【分析】本题考查了实数与数轴，算术平方根，无理数的估算，读懂题意是解题的关键．
（1）根据题意可求出正方形的面积，进而得到正方形的边长，再利用夹逼法即可求出其范围；
（2）根据点A表示的数和正方形的边长即可得到点D表示的数；
（3）设点D与数对应的点重合，根据对折可得，，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得，正方形的面积为：，
∴边长为：，
∵，
∴，
∴的长在2和3之间；
故答案为：2，3；
（2）解：把图1中的正方形放到数轴上，使得点A与重合，则点D在数轴上表示的数为：；
故答案为：；
（3）解：设点D与数对应的点重合，
由题意得：，
解得：，
∴点D与数对应的点重合．
故答案为：．
1．（25-26八年级上·上海宝山·期中）下列说法正确的是（ ）
A．的算术平方根是9 B．无理数和有理数统称为实数
C．立方根等于它本身的数是0和1 D．数轴上的每一个点都有一个有理数与它对应
【答案】B
【分析】本题考查了实数的定义、算术平方根、立方根和数轴的性质．
根据实数的定义、算术平方根、立方根和数轴的性质逐个判断．
【详解】解：，9的算术平方根是3，不是9，A错误；
有理数和无理数统称为实数，B正确；
立方根等于本身的数有，0，1，C错误；
数轴上的点与实数一一对应，D错误；
故选：B．
2．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）下列说法错误的是（ ）
A．实数可分为正实数和负实数两类 B．正实数包括正有理数和正无理数
C．实数在数轴上都有唯一对应的点 D．数轴上任一点都有唯一对应的实数
【答案】A
【分析】本题考查了实数的分类和实数与数轴的对应关系，解题的关键是掌握实数的有关基础知识．
根据实数的分类，实数与数轴的对应关系对选项逐个判断即可．
【详解】解：A，实数包括正实数、负实数和零，零既不是正实数也不是负实数，选项错误，符合题意；
B，正实数包括正有理数和正无理数，选项正确，不符合题意；
C：实数与数轴上的点一一对应，每个实数都有唯一对应的点，选项正确，不符合题意；；
D：数轴上的每个点都有唯一对应的实数，选项正确，不符合题意；
故选：A．
3．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）下列说法中正确的有（ ）
①，，都是无理数； ②无理数包括正无理数、负无理数和零；
③实数分为正实数和负实数两类； ④绝对值最小的实数是0；
⑤一个数的平方根等于它本身，这个数是0或1；⑥有理数与数轴上的点一一对应．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】本题主要考查了实数的分类，无理数的定义，求一个数的算术平方根和平方根，实数与数轴的关系，根据可判断①；根据0是有理数可判断②；根据0是实数可判断③；根据绝对值的非负性可判断④；根据平方根的定义可判断⑤；根据实数与数轴上的点一一对应可判断⑥．
【详解】解：①是有理数，原说法错误；
②无理数包括正无理数、负无理数，不包括零，原说法错误；
③实数分为正实数、负实数和0三类，原说法错误；
④绝对值最小的实数是0，原说法正确；
⑤一个数的平方根等于它本身，这个数是0，原说法错误；
⑥实数与数轴上的点一一对应，原说法错误；
∴说法正确的只有1个，
故选：A．
4.（25-26八年级上·上海·月考）已知点A、B、C、D在数轴上，其中A、B分别表示数和．点C向左平移4个单位长度后与点B重合．
(1)线段的长= ．
(2)点C表示的数是 ．
(3)对于数轴上三点，若其中两点关于另一点对称，则称这三点为“优美关系”，如果点A、点B、点D为优美关系，那么点D对应的实数为 ．
【答案】(1)
(2)
(3)或1或
【分析】本题主要考查了实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键．
（1）线段的长等于较大的数减去较小的数，计算即可．
（2）点C向左平移4个单位长度后与点B重合，也就是点B向右平移4个单位长度得到点C解答即可．
（3）分三种情况考虑，利用数轴上点的特征和对称性解答即可．
【详解】（1）解：、B分别表示数和，
故答案为：；
（2）解：点C向左平移4个单位后与点B重合，
点C表示的数是
故答案为：；
（3）解：设点D表示的数为，
点A、点B、点D为优美关系，且点A、B分别表示数和．
当点B和点D关于点A对称时，则，
即，
解得；
当点B和点A关于点D对称时，则，
即，
解得；
当点A和点D关于点B对称时，则，
即，
解得；
点D对应的实数为或1或
故答案为：或1或
5.（25-26八年级上·上海奉贤·期中）小李同学在学习无理数时，将边长为1的两个正方形沿着他们的一条对角线剪开，得到四个形状、大小都相等的等腰直角三角形，再把这四个等腰直角三角形拼成了一个面积为2的正方形，由此得到了无理数．他受此启发：将一个由5个边长为的小正方形组成的长方形，通过剪拼组成了一个大的正方形（没有重叠和空隙）．
(1)图中大正方形的边长___________，边长介于两个连续整数_________和_________之间．
(2)如图是一个数轴，把图中大正方形旋转使得边落到数轴上，且点与重合，则点在数轴上表示的数为________________；
(3)在（2）的基础上，点在点的右侧，点表示数1，将数轴沿着点所在的某条直线翻折使得点恰好落在数轴上的点处，此时点所表示的数为____________．
【答案】(1)
(2)或；
(3)
【分析】本题考查了算术平方根的应用，实数与数轴，无理数的估算，数轴上两点间的距离，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据等面积法得大的正方形的面积，结合算术平方根的性质，得大的正方形的边长，然后运用无理数的估算，得出边长介于两个连续整数2和3之间；
（2）由（1）得，把图中大正方形旋转使得边落到数轴上，且点与重合，列式表达出点在数轴上表示的数为或；
（3）先整理得点在数轴上表示的数为，根据数轴上的两点间的距离进行列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：∵将一个由5个边长为的小正方形组成的长方形，通过剪拼组成了一个大的正方形，
∴大的正方形的面积为
∴大的正方形的边长为，
即
∵，
∴，
即边长介于两个连续整数2和3之间；
（2）解：由（1）得，
把图中大正方形旋转使得边落到数轴上，且点与重合，
则点在数轴上表示的数为或；
（3）解：在（2）的基础上，点在点的右侧，，点与重合，
∴点在数轴上表示的数为，
∵点表示数1，将数轴沿着点所在的某条直线翻折使得点恰好落在数轴上的点处，
设点所表示的数为，
∴，
∴，
解得，
即点所表示的数为．
实数绝对值的代数意义
实数绝对值的几何意义
|a|表示实数a在数轴上对应的点到原点的距离.
|a-b|表示实数a，b在数轴上所对应的两点之间的距离.
实数的相反数
绝对值相等、符号相反的两个实数互为相反数.两个数互为相反数则和为0.
实数的大小比较
①正数>0>负数
②比差法：若a-b>0，则a>b
③比平方：若，则a>b
例1（25-26八年级上·上海浦东新·期中）已知数、在数轴上对应的点如图所示，化简 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了实数的运算与数轴，算术平方根的非负性，化简绝对值等知识点，正确化简各式是解本题的关键．
观察数轴得：，可得，从而原式变形为，即可求解．
【详解】解：观察数轴得：，
∴，
∴
．
故答案为：3．
例2（25-26八年级上·上海·期中）比较大小： ．（填“”、“”或“”）
【答案】
【分析】本题主要考查实数的大小比较，熟练掌握两个负数比较大小，绝对值大的反而小是关键．根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小即可判断．
【详解】解：，且，
．
故答案为：．
例3（25-26八年级上·上海·阶段练习）已知实数、互为倒数，实数、互为相反数，实数的绝对值为，求的值．
【答案】
【分析】本题主要考查了相反数、倒数、绝对值的性质，求解代数式的值，正确掌握相关定义是解题关键．
根据相反数、倒数、绝对值的性质分别得出，然后代入计算即可解答．
【详解】解：∵实数、互为倒数，实数、互为相反数，实数的绝对值为，
∴，
∴，
∴．
例4（25-26八年级上·上海·期中）数学活动课上，同学们将数轴进行折叠、旋转等几何变换．请阅读下列素材，完成各题．
[素材1]灵动小组绘制了一条“灵动数轴”（如图），其中点A表示的数为a，点B表示的数为b，点C表示的数为c．已知a、b、c满足
(1)在“灵动数轴”中，________，________，________．
(2)折叠“灵动数轴”，使点B与点C重合，求此时与点A重合的点所表示的数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了数轴，非负数的应用，算术平方根的性质，理解题意是解题的关键．
（1）利用非负数的性质解答即可；
（2）利用对称性求得折痕处对应的数为，则利用点A对应的数与点重合的点距离的长度相等解答即可；
【详解】（1）解：∵，
，
，
，
故答案为：；
（2）解：∵点与点重合，
∴折痕处对应的数为，
∴与点重合的点所表示的数为．
1.（24-25七年级下·全国·阶段练习）的相反数是 ，绝对值是 ；若，则 ．
【答案】 / /
【分析】本题主要考查了实数的性质．根据相反数的定义以及绝对值的性质解答即可．
【详解】解：的相反数是，
的绝对值是；
∵，
∴．
故答案为：；；
2．（25-26八年级上·上海普陀·期中）比较大小： ．（填“”、“”或“”）
【答案】
【分析】本题主要考查实数大小的比较，关键要熟记实数大小的比较方法．通过将两个数转换为同分母形式，比较分子的大小即可．
【详解】解： ，
，
即 ．
故答案为：．
3．（25-26八年级上·上海松江·期中）比较大小： 3（填“”，“”或者“”）．
【答案】
【分析】本题考查了实数的大小比较，通过比较和的大小关系，根据立方根的定义进行判断即可．
【详解】∵ ，且 ，
∴ ，即，
故答案为：．
4．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）将下列各数、、用“”连接： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了实数的大小比较．根据实数的大小比较法则解答即可．
【详解】解：∵，，
∴．
故答案为：
5．（25-26八年级上·上海金山·期中）比较大小： ．
【答案】
【分析】本题考查分数比大小，熟练掌握无理数的估算和分数比大小是解题的关键，同分母分数比大小，通过比较两个分数的分子大小即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：
6.（25-26八年级上·上海闵行·期中）如图，点B，C在数轴上表示的数分别是4，，若点C关于点B的对称点为A，则数轴上点A表示的数是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了实数与数轴，数轴上两点之间的距离，以及对称性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识．
根据数轴上两点之间的距离和对称性质，得到，进而求出数轴上点A表示的数即可．
【详解】解：点B，C在数轴上表示的数分别是4，，
，
点C关于点B的对称点为A，
，
数轴上点A表示的数是；
故答案为：．
7．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）如图，面积为3的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，观察作图痕迹得点所表示的数为 .
【答案】/
【分析】本题考查了实数与数轴，算术平方根的求解，解题的关键是掌握实数与数轴的关系以及求解算术平方根．
先求出面积为3的正方形的边长，根据点表示的数以及点、点的位置，求解即可．
【详解】解：设面积为3的正方形的边长为，则，
由算术平方根的性质可得，，
由题意可得，，
由点在数轴上表示的数为1，点在点的左边，
则点所表示的数为，
故答案为：．
8．（25-26八年级上·上海闵行·期中）如图①，由8个同样大小的正方体组成一个“二阶魔方”，整个魔方的体积为．图①中阴影部分是一个正方形，它的面积是魔方侧面面积的一半，若把正方形放到数轴上，如图②．使得点与重合．若以点为圆心，的长为半径画圆，与数轴交于点，那么点在数轴上表示的数为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查实数与数轴、立方根的综合应用，解决此题的关键是能求出正方形的边长．
先用立方体的体积公式求出魔方的棱长，然后再求出侧面的面积，进而可求出的边长，进而可求出点代表的数．
【详解】解：∵魔方的体积为，
∴魔方的棱长为：，
∴侧面面积为：，
∴正方形的面积为：，
∴正方形的边长为：，
∴点与重合．若以点为圆心，的长为半径画圆，与数轴交于点，点在数轴上表示的数为，
故答案为： ．
9．（25-26八年级上·上海·期中）点是数轴上的三个点，点所对应的数分别为、，点到点的距离是它到点B距离的2倍，则点C表示的数是 ．
【答案】或
【分析】本题考查实数与数轴，一元一次方程，两点间的距离，分类讨论，根据点到点的距离是它到点距离的2倍，列出方程是解题关键．
分两种情况进行讨论，点C在点A，点B之间和点C在点B右侧时，分别根据点到点的距离是它到点距离的2倍，列出方程即可解答．
【详解】解：∵点C到点A的距离是它到点B距离的2倍，
∴点C不可能在点A左侧，
设C表示的数为a，
分两种情况：①当点C在点A和点B之间时，
则，，
∴，
解得：；
②当点C在点B右侧时，
则，，
∴，
解得： ．
综上，点C表示的数是或．
故答案为：或．
1.实数的混合运算顺序
实数之间不仅可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且正数和0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.
同级运算：先乘方、开方，再乘除，后加减；有括号的先算括号内的.
2.运算律——同有理数的运算律
3.有关无理数的运算
对于涉及无理数的实数运算，如果没有指明运算结果保留几位小数，那么通常是利用实数的运算法则和运算律对算式进行化简，其结果可能是一个化简了的含无理数的算式.
如：2+仍等于2+、2×=2.
例1（25-26八年级上·全国·期末）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握实数的混合运算是解题的关键．
（1）先计算立方根、算术平方根和乘方运算，再求和即可；
（2）先计算乘方运算，立方根，算术平方根和化简绝对值，再进行加减运算即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式
．
例2（20-21八年级上·辽宁沈阳·期末）按如图所示的程序计算，若开始输入的值为9，则最后输出的y值是（ ）

A． B． C．3 D．
【答案】B
【分析】本题考查实数的分类及运算，判断每步计算结果是否为无理数是解题的关键．
根据已知判断每一步输出结果即可得到答案．
【详解】解：由所示的程序可得：9的算术平方根是3，3是有理数，3的平方根是，是无理数，输出为y，
∴开始输入的x值为9，则最后输出的y值是．
故选：B．
1．（25-26八年级上·上海·月考）计算：
【答案】
【分析】本题主要考查了实数混合运算，属于基础题，熟练掌握相关的运算法则，是解题的关键．根据零指数幂和负整数指数幂运算法则，算术平方根定义，绝对值意义，进行计算即可．
【详解】解：
．
2．（25-26八年级上·湖南长沙·开学考试）（1）计算：；
（2）解方程：．
【答案】（1）；（2），．
【分析】本题考查了实数的混合运算，平方根解方程．
（1）先计算绝对值，算术平方根，立方根，平方，再计算乘法，最后计算加减即可；
（2）先移项，再开平方即可．
【详解】解：（1）
；
（2），
，
，
，．
3．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）计算：
【答案】0
【分析】本题主要考查了算术平方根、立方根、绝对值的运算以及有理数的加减运算，熟练掌握算术平方根、立方根的定义和绝对值的性质是解题的关键．先将带分数化为假分数，再分别计算算术平方根、立方根以及绝对值，最后进行有理数的加减运算．
【详解】解：原式=
．
4．（24-25八年级上·全国·期末）（1）解方程：；
（2）解方程：；
（3）计算：．
【答案】（1）；（2）或；（3）0
【分析】此题考查了利用平方根解方程、实数的运算，熟练掌握各个运算法则是解题关键．
（1）先变形为，再利用平方根解方程即可；
（2）先变形为，再利用平方根解方程即可；
（3）先利用算术平方根，乘方，绝对值化简，再进行加减即可．
【详解】解：（1），
得，
开平方，得；
（2），
得，
得，
开平方，得，
则或；
（3）
．
5.（25-26八年级上·江苏无锡·期中）计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查了实数的运算，熟知实数的运算法则是解题的关键．
先计算立方根和算术平方根，乘方和绝对值，最后计算加减法即可得到答案．
【详解】解原式
．
6．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）计算：．
【答案】
【分析】本题考查实数的混合运算，涉及算术平方根，立方根，实数的性质，熟练掌握相关运算法则是解题的关键，先利用乘方，算术平方根，立方根，实数的性质进行化简，再进行加减即可．
【详解】解：
．
7.（25-26八年级上·上海闵行·期中）如图是一个数值转换器（），其工作原理如图所示．
若输出的值是，则负整数的值为 ．
【答案】或
【分析】本题考查程序流程图与实数的计算，根据流程图且运用分类讨论思想，进行分析，列式计算，求解即可．
【详解】解：∵输出的值是，
∴，
∴或，
解得或，
∵为负整数，
∴，
或，
则或，
解得或
∵，
∴，
故答案为：或．
把一个数表示成a×1(1≤|a|<10,a是整数或小数，n是整数)的形式，这种记数方法叫作科学记数法.当a=1或a=-1时，“1”常省略不写，如0.000000001=1,-1000000=-10
例1（25-26八年级上·上海奉贤·期中）为满足高速通信需求，我国某企业成功开发出一款基站芯片，其处理一个基本数据单元仅需纳秒，已知一纳秒等于秒，则该芯片一秒可以处理 个基本数据单元．（用科学记数法表示）
【答案】
【分析】本题考查了科学记数法．根据芯片处理一个基本数据单元的时间，计算一秒内处理的数量，需用总时间除以每个单元的时间，并将结果用科学记数法表示，即可作答．
【详解】解：∵处理一个基本数据单元的时间为纳秒，已知一纳秒等于秒，
因此处理一个单元的时间为秒，
设一秒内处理的基本数据单元个数为n，
则．
故答案为：．
例2（25-26八年级上·上海宝山·期中）我国的嫦娥六号探测器成功执行了月球背面采样返回任务，这是人类首次从月球背面采集样品并带回地球．月球距离地球的平均距离为384000千米，数据384000用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法表示绝对值较大的数时，形式为，其中，为整数．
根据科学记数法的表示方法作答即可．
【详解】解：．
故答案为：．
例3（25-26八年级上·上海·期中）用科学记数法表示的数有 个整数位．
【答案】7
【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法表示的数的整数位数比指数多1，据此求解即可．
【详解】解：用科学记数法表示的数的原数的整数位数是位．
故答案为：7．
1.（25-26七年级上·上海浦东新·期中）用科学记数法表示数，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，解题的关键是确定的值以及的值．
根据科学记数法的表示方法，对于，将小数点左移位得到，，即可求解．
【详解】解：；
故选： A．
2．（25-26七年级上·上海·课后作业）计算，结果用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了科学记数法表示绝对值大于1的数，同底数幂乘法的逆用，
将两项统一为相同的指数形式后相减系数，再将结果转换为科学记数法即可．
【详解】解：原式 ．
故选：B．
3.（19-20七年级上·四川乐山·期中）下列各式中，精确度相同的是（ ）
A．300万与3百万 B．与万
C．与3450 D．与
【答案】B
【分析】本题主要考查了近似数的精确度概念，熟记概念是解题的关键．近似数的精确度由其最后一位有效数字所在的数位决定，有效数字就是从数的左边第一个不为零的数起，后面的所有数字都是这个数的有效数字．
【详解】解：A．300万精确到万位，3百万精确到百万位，300万与3百万精确度不同，故A不符合题意；
B．精确到百位，万精确到百位，与万精确度相同，故B符合题意；
C．精确到十位，3450精确到个位，与3450精确度不同，故C不符合题意；
D．精确到千分位，精确到百分位，与精确度不同，故D不符合题意．
故选：B．
4．（19-20七年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（ ）
A．近似数与的精确度一样
B．近似数与2000的意义完全一样
C．精确到万分位
D．万与的精确度不同
【答案】C
【分析】此题考查了近似数，解答此题应掌握数的精确度的知识，最后一位所在的位置就是精确度．
根据最后一位所在的位置就是精确度，即可得出答案．
【详解】解：A、精确到百分位，精确到十分位，精确度不一样，故本选项不符合题意；
B、近似数精确到百位，2000精确到个位，意义不一样，故本选项不符合题意；
C、精确到万分位，故本选项符合题意；
D、万与的精确度相同，都是精确到百位，故本选项不符合题意；
故选：C．
5.（25-26八年级上·上海闵行·期中）若一个整数用科学记数法表示为，则原数中“0”有 个．
【答案】7
【分析】本题考查了科学记数法，将科学记数法表示的数还原为原数，然后数出其中“0”的个数．
【详解】解：因为科学记数法表示为，所以原数为．其中“0”有7个．
故答案为：7．
6．（24-25七年级上·湖北恩施·月考）近似数精确到 位．
【答案】百
【分析】本题主要考查了精确度和科学记数法，根据科学记数法的表示方法判断出中数字0所在的位即可得到答案．
【详解】解：由题意得，近似数精确到百位，
故答案为：百．
7．（25-26八年级上·上海·阶段练习）的小数点与左起第一个非零数字之间有 个0．
【答案】5
【分析】本题考查科学记数法表示较小的数，将科学记数法表示的较小的数还原，即可得出答案．
【详解】解：，
∴的小数点与左起第一个非零数字之间有5个0．
故答案为：5．
8.（25-26八年级上·上海·月考）近似数精确到 位．
【答案】千
【分析】本题考查了科学记数法和有效数字，注意精确到哪一位，即对下一位的数字进行四舍五入．根据近似数的精确度求解即可．
【详解】解：近似数精确到千位．
故答案为：千．

展开更多......

收起↑