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2025年八上数学第16周《数形结合在函数中的应用》
【重点题型】一次函数是初中数学的重要内容，以下是其重难点题型及解题思路的总结：
1. 函数与一次函数的识别
2. 函数象限与参数范围
3. 坐标轴交点问题：x 轴交点为 ，y 轴交点为 。
4. 图像平移规律：左加右减（仅变 x 项），上加下减（直接变整体）。
5. 不等式解集：y>kx+b 对应直线上方区域；y6. 增减性判断： 的符号决定增减性， >0 时 y 随 x 增大而增大， <0 时 y 随 x 增大而减小。
7. 解析式求解：待定系数法：设 y=kx+b，代入两点坐标解方程组。
8. 几何综合题
与三角形结合：求顶点坐标或面积（如直线与坐标轴围成三角形）。
与对称结合：求关于 x 轴 /y 轴对称的直线解析式。
动点问题：常见三角形存在性问题，需结合坐标、线段长度、面积等列方程求解。
9. 两直线夹角问题
10. 分类讨论问题：涉及多个直线或动点时，需考虑不同情况，如点的位置、图形的形状等，避免漏解。
11.两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），两点距离公式：.
中点坐标公式：
【课前热身】
1．（2023秋 江宁区校级月考）如图1，在矩形MNPO中，动点R从点N出发，沿N→P→O→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形MNPO的周长是（　　）
A．11 B．15 C．16 D．24
2．（2024秋 鼓楼区校级月考）已知点A（﹣2，2），B（2，3），直线y＝kx﹣k经过点P（1，0）．当该直线与线段AB有交点时，k的取值范围是（　　）
A．0＜k≤3或 B．且k≠0
C．k≥3或 D．或k≥3
3．（2024秋 玄武区校级月考）已知点A（3，3），点B为x轴负半轴上一点，直线BA绕点A顺时针旋转45°交y轴于点C，当BC＝BO+2时，则点B坐标为（　　）
A．（﹣12，0） B．（﹣9，0） C．（﹣6，0） D．（﹣3，0）
4．（2024秋 鼓楼区校级月考）如图，过点A的直线L∥x轴，点B在x轴的正半轴上，OC平分∠AOB交l于点C（2，4），则A的坐标是 　 　 ．
5．（2023秋 鼓楼区校级月考）一次函数y＝kx+3与y轴的所夹的锐角小于30°，则k的取值范围是 　 　 ．
6．（2024秋 玄武区校级月考）无论m取什么实数，点A（m+1，2m﹣2）都在直线l上，若点B（a，b）是直线l上的动点，则（2a﹣b﹣6）3的值等于　 　 ．
7．（2023秋 秦淮区校级月考）已知一次函数y1＝2x+m（m为常数）和y2＝﹣x+1．当x＞1时，y1＞y2；当x＜1时，y1≤y2，则m的值为 　 　 ．
8．（2024秋 鼓楼区校级月考）如图，边长为2的正方形OABC，OC、OA分别在x轴、y轴上，D为BC中点，过点O的直线y＝kx交边AB于点E（不与A、B重合），连接DE，当EO平分∠AED时，则k的值为 　 　 ．
9．（2023秋 鼓楼区校级月考）如图，直线l与y轴交于点坐标为（0，5），过点（m，n+3），（m+2，n），直线l对应的函数表达式为 　 　 ．
10．（2024秋 玄武区校级月考）若直线l1：y＝ax+b（a≠0）与直线l2：y＝mx+n（m≠0）的交点坐标为（﹣2，1），则直线l3：y＝a（x﹣3）+b+2（a≠0）与直线l4：y＝m（x﹣3）+n+2（m≠0）的交点坐标为 　 　 ．
11．（2024秋 鼓楼区校级月考）
（1）已知点M（2，﹣1），N（﹣3，5），P（3，10），判断△PMN的形状并说明理由；
（2）请直接写出以点A（2，2），B（﹣2，0），C（3，﹣1），D为顶点的平行四边形顶点D的坐标（平行四边形对角线互相平分）．
12．（2024秋 秦淮区校级月考）求证：在同一平面直角坐标系内，A（1，2）、B（﹣1，0）、C（﹣2，﹣1）三点共线．请建立一次函数关系解决上述问题．
13．（2024秋 秦淮区校级月考）已知一次函数y1＝﹣x+m﹣3（m为常数）和y2＝2x﹣6．
（1）若一次函数y1＝﹣x+m﹣3的图象与x轴的交点在y轴右侧，求m的取值范围；
（2）当x＜3时，y1＞y2，结合图象，直接写出m的取值范围．
【典型例题】
14．（2024秋 南京月考）在平面直角坐标系xOy中，对于P、Q两点给出如下定于：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P、Q两点为“等距点”．
（1）已知点A的坐标为（﹣3，1）．
①在点E（0，3），F（﹣2，﹣3），G（2，﹣5）中，为点A的“等距点”的是 　 　 ；
②若点B的坐标B（m，m+6）且A、B两点为“等距点”，则点B的坐标为 　 　 ；
（2）若T1（﹣1，﹣k﹣3），T2（4，4k﹣3）两点为“等距点”，求k的值．
15．（2024秋 鼓楼区校级月考）点P是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点P向x轴，y轴作垂线段，若垂线段的长度的和为4，则点P叫做“垂距点”，例如：如图中的P（1，3）是“垂距点”．
（1）在点A（2，2），B（，），C（﹣1，5），是“垂距点”的为 　 　 ；
（2）若D（m，m）为“垂距点”，求m的值；
（3）若过点（2，3）的一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象上存在“垂距点”，则k的取值范围是 ．
16．（2024秋 鼓楼区校级月考）已知一次函数y＝kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象如图所示，请你在平面直角坐标系中分别作一次函数的图象，并有必要的标注与文字说明．
（1）y＝kx； （2）y＝﹣2kx+2b； （3）y＝kx﹣2b．
17．（2024秋 玄武区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx﹣1与直线交于点A（m，1）．
（1）求m的值和直线l1的函数表达式；
（2）设直线l1，l2分别与y轴交于点B，C，求△ABC的面积；
（3）结合图象，直接写出不等式组的解集为 　 　 ．
18．（2023秋 江宁区校级月考）模型探究：
（1）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．求证：BE＝CD；
模型应用：
（2）已知直线l1：y＝2x+4与坐标轴交于点A、B，将直线l1绕点A逆时针旋转90°至直线l2，如图2，求直线l2的函数表达式；
（3）如图3，已知点A、B在直线yx+4上，且AB＝4．若直线与y轴的交点为M，M为AB中点．试判断在x轴上是否存在一点C，使得△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形．
19．（2024秋 鼓楼区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A、B、C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值（如图），则“矩面积”S＝ah．
例如：三点坐标分别为A（1，2），B（﹣3，1），C（2，﹣2），则“水平底”a＝5，“铅垂高”h＝4，“矩面积”S＝ah＝20．
（1）已知点A（1，2），B（﹣3，1），P（0，t）．
①若A、B、P三点的“矩面积”为16，则点P的坐标为 　 　 ；
②A、B、P三点的“矩面积”的最小值为 　 　 ；
（2）已知点E（4，0），F（0，2），M（m，4m），其中m＞0．若E、F、M三点的“矩面积”为8，求m的取值范围．
【巩固练习】
20．（2024秋 玄武区校级月考）已知方程组的解为，则一次函数y＝2x+3与y＝ax+c的图象的交点坐标是（　　）
A．（﹣1，1） B．（1，﹣1） C．（2，﹣2） D．（﹣2，2）
21．（2023秋 秦淮区期末）如图，一次函数的图象与y＝kx+b的图象相交于点P（﹣2，n），则关于x，y的方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
（2024秋 江宁区月考）如图，已知直线l1：y＝﹣3x+b与直线l2：y＝﹣kx﹣4在同一坐标系中的图象交于点（1，﹣2），那么方程组的解是 　 　 ．
（2024秋 鼓楼区校级月考）如图，一束光线从点O射出，照在经过A（1，0）、B（0，1）的镜面上的点D，经AB反射后，反射光线又照到竖立在y轴位置的镜面，经y轴再反射的光线恰好通过点A，则点D的坐标为　 　 ．
（2024秋 秦淮区校级月考）如图在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，将直线AB绕点P（0，2）顺时针旋转90°，则旋转后的直线函数表达式为 　 　 ．
25．（2023秋 鼓楼区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABC的边BC在x轴上，A、C两点的坐标分别为A（0，m）、C（n，0），B（﹣5，0），且，点P从B出发以每秒2个单位的速度沿射线BO匀速运动，设点P运动时间为t秒．
（1）求A、C两点的坐标；
（2）连接PA，当△POA的面积是2，求t的值？
（3）当P在线段BO上运动时，是否存在一点P，使△PAC是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的所有P点的坐标．
∵A（3，3），CG⊥GH，GH⊥x轴，
∴AH＝OH＝CG＝3，∠CGA＝∠AHF＝90°，
∵AF⊥AC，
∴∠CAG+∠ACG＝∠CAG+∠FAH＝90°，
∴∠ACG＝∠FAH，
∴△ACG≌△FAH（ASA），
∴AG＝FH，AC＝AF，
∵∠CAB＝45°，
∴∠FAB＝90°﹣∠CAB＝45°，
∴∠FAB＝∠CAB，
∵AB＝AB，AG＝FH，
∴△ACB≌△AFB（SAS），
∴BC＝BF，
∵BC＝BO+2，BC＝BO+OF，
∴OF＝2，
∴FH＝AG＝1，
∴HG＝4，即C（0，4），
∴OC＝4，
设BO＝x，则BC＝x+2，
在Rt△BOC中，有BO2＝BC2﹣OC2，即x2＝（x+2）2﹣42，
∴x＝3，
∴B（﹣3，0），
故选：D．
4．（2024秋 鼓楼区校级月考）如图，过点A的直线L∥x轴，点B在x轴的正半轴上，OC平分∠AOB交l于点C（2，4），则A的坐标是 　（﹣3，4）　 ．
【解答】解：令直线l与y轴的交点为M，
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOC．
∵直线l∥x轴，
∴∠ACO＝∠BOC，
∴∠AOC＝∠BCO，
∴AO＝AC．
∵点C的坐标为（2，4），
∴MC＝2，OM＝4，
∴AO＝AC＝AM+2．
在Rt△AMO中，
AO2＝AM2+MO2，
∴（AM+2）2＝AM2+42，
解得AM＝3，
又∵直线l∥x轴，
∴点A的坐标为（﹣3，4）．
故答案为：（﹣3，4）．
5．（2024秋 鼓楼区校级月考）如图，边长为2的正方形OABC，OC、OA分别在x轴、y轴上，D为BC中点，过点O的直线y＝kx交边AB于点E（不与A、B重合），连接DE，当EO平分∠AED时，则k的值为 　﹣3　 ．
【解答】解：过点O作OF⊥ED于F，连接OD，如图所示：
∵四边形OABC为正方形，且边长为2，
∴OA＝OC＝AB＝BC＝2，∠OAB＝∠B＝∠OCB＝90°，
∵点D为BC的中点，
∴CD＝BD＝1，
∵EO平分∠AED，OF⊥ED，∠OAB＝90°，
∴∠OEF＝∠OEA，∠OFE＝∠OAE＝90°，
在△OEF和△OEA中，
，
∴△OEF≌△OEA（ASA），
∴OF＝OA＝2，EF＝AE，
在Rt△OCD中，OC＝2，CD＝1，
由勾股定理得：OD，
在Rt△ODF中，OD，OF＝2，
由勾股定理得：DF1，
∴DE＝DF+EF＝1+AE，
在Rt△BDE中，BD＝1，BE＝AB﹣AE＝2﹣AE，DE＝1+AE，
由勾股定理得：BD2+BE2＝DE2，
∴12+（2﹣AE）2＝（1+AE）2，
解得：AE，
∴点E的坐标为，
直线y＝kx经过点E，
∴，
解得：k＝﹣3．
故答案为：﹣3．
6．（2023秋 鼓楼区校级月考）一次函数y＝kx+3与y轴的所夹的锐角小于30°，则k的取值范围是 k或k　 ．
【解答】解：当一次函数与y轴所夹锐角为30°，且在y轴左侧时，
如图所示，
当x＝0时，y＝3，
所以A点坐标为（0，3），
则OA＝3．
在Rt△AOB中，
tan∠BAO，
即，
所以BO，
则点B坐标为（，0）．
将点B坐标代入函数解析式得，
，
解得k，
所以k．
当一次函数与y轴所夹锐角为30°，且在y轴右侧时，
【解答】解：如果y1＞y2，则2x+m＞﹣x+1，
解得，
如果y1＜y2，则2x+m＜﹣x+1，
解得，
∵当x＞1时，y1＞y2；当x＜1时，y1＜y2，
∴，
解得m＝﹣2，
故答案为：﹣2．
10．（2024秋 玄武区校级月考）若直线l1：y＝ax+b（a≠0）与直线l2：y＝mx+n（m≠0）的交点坐标为（﹣2，1），则直线l3：y＝a（x﹣3）+b+2（a≠0）与直线l4：y＝m（x﹣3）+n+2（m≠0）的交点坐标为 　（1，3）　 ．
【解答】解：把（﹣2，1）分别代入y＝ax+b、y＝mx+n得﹣2a+b＝1，﹣2m+n＝1，
∴2（a﹣m）＝b﹣n，
解
①﹣②得（a﹣m）（x﹣3）+（b﹣n）＝0，
∴x﹣3＝﹣2，
∴x＝1，
把x＝1代入y＝a（x﹣3）+b+2得y＝﹣2a+b+2＝1+2＝3，
∴直线l3：y＝a（x﹣3）+b+2（a≠0）与直线l4：y＝m（x﹣3）+n+2（m≠0）的交点坐标为（1，3），
故答案为（1，3）．
11．（2024秋 鼓楼区校级月考）探究：小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），可通过构造直角三角形得到结论：.他还证明了线段P1P2的中点P（x，y）的坐标公式：．
（1）已知点M（2，﹣1），N（﹣3，5），P（3，10），判断△PMN的形状并说明理由；
（2）请直接写出以点A（2，2），B（﹣2，0），C（3，﹣1），D为顶点的平行四边形顶点D的坐标（平行四边形对角线互相平分）．
【解答】解：（1）△PMN是等腰直角三角形，理由如下：
将点M（2，﹣1），N（﹣3，5）代入中，
MN，PM，PN，
∴MN＝PN，MN2+PN2＝PM2，
∴△PMN是等腰直角三角形；
（2）∵A（2，2），B（﹣2，0），C（3，﹣1），
∴当AB为平行四边形的对角线时，其对称中心的坐标为（0，1），
设D（x，y），
则0，1，
解得：x＝﹣3，y＝3，
∴此时D点坐标为（﹣3，3）；
当AC为对角线时，同理可求得D点坐标为（7，1）；
当BC为对角线时，同理可求得D点坐标为（﹣1，﹣3）；
综上可知，D点坐标为（﹣3，3）或（7，1）或（﹣1，﹣3）．
12．（2024秋 秦淮区校级月考）求证：在同一平面直角坐标系内，A（1，2）、B（﹣1，0）、C（﹣2，﹣1）三点共线．请建立一次函数关系解决上述问题．
【解答】证明：设直线AB的解析式为y＝kx+b，
把A（1，2）、B（﹣1，0）代入y＝kx+b得，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝x+1，
当x＝﹣2时，y＝﹣2+1＝﹣1，
∴C（﹣2，﹣1）在直线AB上，
∴在同一平面直角坐标系内，A（1，2）、B（﹣1，0）、C（﹣2，﹣1）三点共线．
13．（2024秋 秦淮区校级月考）已知一次函数y1＝﹣x+m﹣3（m为常数）和y2＝2x﹣6．
（1）若一次函数y1＝﹣x+m﹣3的图象与x轴的交点在y轴右侧，求m的取值范围；
（2）当x＜3时，y1＞y2，结合图象，直接写出m的取值范围．
【解答】解：（1）∵y1＝﹣x+m﹣3中，k＝﹣1，且一次函数y1＝﹣x+m﹣3的图象与x轴的交点在y轴右侧，
∴b＝m﹣3＞0，
∴m＞3；
（2）∵y1＞y2，
∴﹣x+m﹣3＞2x﹣6，
∴x，
∵当x＜3时，y1＞y2，
∴3，
∴m≥6，
14．（2024秋 南京月考）在平面直角坐标系xOy中，对于P、Q两点给出如下定于：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P、Q两点为“等距点”．
（1）已知点A的坐标为（﹣3，1）．
①在点E（0，3），F（﹣2，﹣3），G（2，﹣5）中，为点A的“等距点”的是 E、F ；
②若点B的坐标B（m，m+6）且A、B两点为“等距点”，则点B的坐标为 　（﹣3，3）　 ；
（2）若T1（﹣1，﹣k﹣3），T2（4，4k﹣3）两点为“等距点”，求k的值．
【解答】解：（1）①∵点A到x、y轴的距离中的最大值等于3，
点E到x、y轴的距离中的最大值等于3，
点F到x、y轴的距离中的最大值等于3，
点G到x、y轴的距离中的最大值等于5，
∴点A的“等距点”的是E、F，
故答案为：E、F；
②若m＜m+6≤0，则﹣m＝3，解得：m＝﹣3（不合题意，舍去）；
若0≤m＜m+6，则m+6＝3，解得：m＝﹣3（不合题意，舍去）；
若m＜0＜m+6，当|m|≥m+6时，﹣m＝3，解得：m＝﹣3，此时B（﹣3，3）；
当|m|＜m+6时，m+6＝3，解得：m＝﹣3（不合题意，舍去），
故答案为：（﹣3，3）；
（2）当|4k﹣3|≤4时，则|﹣k﹣3|＝4，
解得k＝﹣7（舍），k＝1，
当|4k﹣3|＞4，则|4k﹣3|＝|﹣k﹣3|
解得k＝2，k＝0（舍），
∴k的值为1或2．
15．（2024秋 鼓楼区校级月考）点P是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点P向x轴，y轴作垂线段，若垂线段的长度的和为4，则点P叫做“垂距点”，例如：如图中的P（1，3）是“垂距点”．
（1）在点A（2，2），B（，），C（﹣1，5），是“垂距点”的为 A和B ；
（2）若D（m，m）为“垂距点”，求m的值；
（3）若过点（2，3）的一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象上存在“垂距点”，则k的取值范围是 k或k且k≠0　 ．
【解答】解：（1）根据题意，对于点A而言，|2|+|2|＝4，
A是“垂距点”，
对于点B而言，||+||＝4，
B是“垂距点”，
对于点C而言，|﹣1|+|5|＝6≠4，
所以C不是“垂距点”，
故答案为A和B．
（2）根据题意得|m|+||＝4
①当m＞0时，则2m＝4，
解得m＝2，
②当m＜0时，则﹣2m＝4，
解得m＝﹣2，
故m的值为±2．
（3）如图，取E（0，4），F（4，0），G（﹣4，0）．连接EF，EG，在EF上取一点P，作PM⊥OE于M，PN⊥OF于N．
则有四边形PMON是矩形，可得PN＝OM，
∵OE＝OF，
∴∠OEF＝45°
∴PM＝EM，
∴PM+PN＝OM+EM＝4，
∴线段EF或线段EG上的点（不包括端点E，F，G）是“垂距点”，当直线y＝kx+b与线段EF或线段EG有交点时，直线y＝kx+b上存在“垂距点”，
∵直线y＝kx+b，经过点（2，3），
∴3＝2k+b，
∴b＝3﹣2k，
∴直线y＝kx+3﹣2k，
当直线经过E（0，4）时，k，
当直线经过F（4，0）时，k，
观察图象可知满足条件的k的值为k或k且k≠0．
故答案为：k或k且k≠0．
16．（2024秋 鼓楼区校级月考）已知一次函数y＝kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象如图所示，请你在平面直角坐标系中分别作一次函数的图象，并有必要的标注与文字说明．
（1）y＝kx；
（2）y＝﹣2kx+2b；
（3）y＝kx﹣2b．
【解答】解：（1）∵y＝kx的图象与y＝kx+b的图象平行，且过坐标原点，
∴函数y＝kx的图象如图1所示：
（2）根据函数y＝kx+b的图象在坐标系中位置可知：k＜0，b＞0，
与y轴的交点坐标为（0，b），与x轴的交点坐标为（，0），
∴﹣2k＞0，2b＞0，
∴函数y＝﹣2kx+2b经过第一，二，三象限，
与y轴的交点坐标为（0，2b），与x轴的交点坐标为（，0），
∴函数y＝﹣2kx+2b的图象如图2所示：
（3）根据函数y＝kx+b的图象在坐标系中位置可知：k＜0，b＞0，
与y轴的交点坐标为（0，b），与x轴的交点坐标为（，0），
∴﹣2b＜0，
∴函数y＝kx﹣2b经过第二，三，四象限，与直线y＝kx+b平行，且与y轴交于点（0，﹣2b），
∴函数y＝kx﹣2b的图象如图3所示：．
17．（2024秋 玄武区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx﹣1与直线交于点A（m，1）．
（1）求m的值和直线l1的函数表达式；
（2）设直线l1，l2分别与y轴交于点B，C，求△ABC的面积；
（3）结合图象，直接写出不等式组的解集为 　﹣2＜x≤﹣1　 ．
【解答】解：（1）由题知，
将点A坐标代入直线l2的函数解析式得，
，
解得m＝﹣2，
所以点A坐标为（﹣2，1）．
将点A坐标代入直线l1的函数解析式得，
﹣2k﹣1＝1，
解得k＝﹣1，
所以直线l1的函数解析式为y＝﹣x﹣1．
（2）将x＝0代入y＝﹣x﹣1得，
y＝﹣1，
所以点B的坐标为（0，﹣1）．
将x＝0代入y得，
y＝2，
所以点C的坐标为（0，2），
所以．
（3）由函数图象可知，
将y＝0代入y＝﹣x﹣1得，
x＝﹣1，
直线l1与x轴的交点坐标为（﹣1，0），
则当﹣2＜x≤﹣1时，函数y＝﹣x﹣1的图象不在x轴下方，且在函数y图象的下方，
所以不等式组的解集为：﹣2＜x≤﹣1．
故答案为：﹣2＜x≤﹣1．
18．（2023秋 江宁区校级月考）模型探究：
（1）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．求证：BE＝CD；
模型应用：
（2）已知直线l1：y＝2x+4与坐标轴交于点A、B，将直线l1绕点A逆时针旋转90°至直线l2，如图2，求直线l2的函数表达式；
（3）如图3，已知点A、B在直线yx+4上，且AB＝4．若直线与y轴的交点为M，M为AB中点．试判断在x轴上是否存在一点C，使得△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形．
【解答】（1）证明：∵△ABC为等腰直角三角形，
∴CB＝CA，
又∵AD⊥ED，BE⊥ED，
∴∠D＝∠E＝90°，
∠ACD+∠BCE＝180°﹣90°＝90°，
又∵∠EBC+∠BCE＝90°，
∴∠ACD＝∠EBC，
在△ACD与△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴CD＝BE；
（2）设点B绕点A逆时针旋转90°到点C，过点C作CD⊥x 轴于点D，
由（1）可知：△ACD≌△BAO，
∴CD＝AO，AD＝OB，
∵l1：y＝2x+4，
当x＝0时，y＝4，
∴点B（0，4），
当y＝0时，2x+4＝0，x＝﹣2，
∴点A（﹣2，0），
∴CD＝AO＝2，AD＝OB＝4，
∴OD＝OA+AD＝6，
∴C（﹣6，2），
设l2的解析式为y＝kx+b，把A、C两点坐标代入，求得
l2的解析式：yx﹣1；
（3）不存在．
理由：当x＝0时，y＝4，
∴点M（0，4），
∴OM＝4，
假设存在这样的点C，
∵△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形，
∴点C在AB的垂直平分线与x轴的交点处，∠ACB＝90°，
又∵MA＝MB，
∴MCAB＝24（与“垂线段最短”矛盾）
∴假设不成立，即不存在这样的点C．
19．（2024秋 鼓楼区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A、B、C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值（如图），则“矩面积”S＝ah．
例如：三点坐标分别为A（1，2），B（﹣3，1），C（2，﹣2），则“水平底”a＝5，“铅垂高”h＝4，“矩面积”S＝ah＝20．
（1）已知点A（1，2），B（﹣3，1），P（0，t）．
①若A、B、P三点的“矩面积”为16，则点P的坐标为 　（0，5）或（0，﹣2）　 ；
②A、B、P三点的“矩面积”的最小值为 　4　 ；
（2）已知点E（4，0），F（0，2），M（m，4m），其中m＞0．若E、F、M三点的“矩面积”为8，求m的取值范围．
【解答】解：（1）（1）①由题意：a＝4．
当t＞2时，h＝t﹣1，
则4（t﹣1）＝16，可得t＝5，故点P的坐标为（0，5）．
当t＜1时，h＝2﹣t，
则4（2﹣t）＝16，可得t＝﹣2，故点P的坐标为（0，﹣2）．
综上所述，满足条件的点P的坐标为（0，5）或（0，﹣2）．
故答案为：（0，5）或（0，﹣2）；
②∵根据题意得：h的最小值为：1，
∴A，B，P三点的“矩面积”的最小值为4．
故答案为：4；
（2）∵E，F，M三点的“矩面积”为8，
∴a＝4，h＝2，
∴．
∴．
∵m＞0，
∴．
20．（2024秋 玄武区校级月考）已知方程组的解为，则一次函数y＝2x+3与y＝ax+c的图象的交点坐标是（　　）
A．（﹣1，1） B．（1，﹣1） C．（2，﹣2） D．（﹣2，2）
【解答】解：∵方程组的解为，
∴一次函数y＝2x+3与y＝ax+c的图象的交点坐标是（﹣1，1），
故选：A．
21．（2023秋 秦淮区期末）如图，一次函数的图象与y＝kx+b的图象相交于点P（﹣2，n），则关于x，y的方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：把点P（﹣2，n）代入得，n（﹣2）3，
∴P（﹣2，3），
∵一次函数的图象与y＝kx+b的图象相交于点P（﹣2，3），
∴关于x，y的方程组的解是，
故选：B．
22．（2024秋 江宁区月考）如图，已知直线l1：y＝﹣3x+b与直线l2：y＝﹣kx﹣4在同一坐标系中的图象交于点（1，﹣2），那么方程组的解是 　　 ．
【解答】解：∵直线l1：y＝﹣3x+b与直线l2：y＝﹣kx+4在同一坐标系中的图象交于点（1，﹣2），
∴么方程组的解是．
故答案为：．
23．（2024秋 鼓楼区校级月考）如图，一束光线从点O射出，照在经过A（1，0）、B（0，1）的镜面上的点D，经AB反射后，反射光线又照到竖立在y轴位置的镜面，经y轴再反射的光线恰好通过点A，则点D的坐标为　（，）　 ．
当y＝0时，﹣2x+4＝0，解得x＝2，
∴A（2，0），
∴AO＝2，
当x＝0时，y＝4，
∴B（0，4），
∵P（0，2），
∴BP＝4﹣2＝2，PO＝2，
∵旋转，
∴∠BPB1＝90°，∠APA1＝90°，B1P＝BP＝2，PA＝PA1，
∴B1（2，2），∠PAA1＝45°，
∵AO＝PO＝2，∠AOB＝90°，
∴∠PAO＝45°，
∴A1，O，A三点共线，
∴A1（﹣2，0），
设直线A1B1的表达式为y＝kx+b，
则，
解得，
∴，
即旋转后的直线函数表达式为，
故答案为：．
25．（2023秋 鼓楼区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABC的边BC在x轴上，A、C两点的坐标分别为A（0，m）、C（n，0），B（﹣5，0），且，点P从B出发以每秒2个单位的速度沿射线BO匀速运动，设点P运动时间为t秒．
（1）求A、C两点的坐标；
（2）连接PA，当△POA的面积是2，求t的值？
（3）当P在线段BO上运动时，是否存在一点P，使△PAC是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的所有P点的坐标．
【解答】解：（1）∵，
∴n﹣3＝0，3m﹣12＝0，
∴n＝3，m＝4，
∴A的坐标是（0，4），C的坐标是（3，0）；
（2）∵，
∴OP＝1，
当P到O的左边时，则BP＝OB﹣OP＝5﹣1＝4，
∴2t＝4，
解得：t＝2，
当P到O的右边时，则BP＝OB+OP＝5+1＝6，
∴2t＝6，
解得：t＝3，
故当△POA的面积是2，t的值为2或3；
（3）解：如图，当AP＝AC＝5时，△PAC为等腰三角形，
设P（x，0），则，
解得：x1＝﹣3，x2＝3（舍去），
故P（﹣3，0）；
当PC＝AC＝5时，△PAC为等腰三角形，如备用图1：
设P（x，0），则|3﹣x|＝5，
解得：x1＝﹣2，x2＝8（舍去），
故P（﹣2，0）；
当AP＝PC时，△PAC为等腰三角形，如备用图2：
设P（x，0），则，
解得：，
故；
满足条件的P点的坐标为（﹣3，0），（﹣2，0），．

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