资源简介

教学设计
课程基本信息
学科 数学 年级 八年级 学期 秋季
课题 与三角形有关的线段
教科书 书 名：数学 教材 出版社：人民教育出版社 出版日期：2024年 7 月
教学目标
1.直观想象：能通过观察、操作和画图，抽象出三角形的三边关系，并能够想象和构建三角形的中线、角平分线和高，特别是在钝角三角形中高线的位置关系。 2. 逻辑推理：能运用“两点之间，线段最短”的定律，逻辑严密地推导并证明“三角形两边的和大于第三边”的性质。能根据三边关系定理逆向推理，判断三条线段能否组成三角形。 3. 数学运算：能利用三边关系建立一元一次方程，求解等腰三角形的边长或周长问题，并在运算过程中体现分类讨论思想。 4. 数学抽象：能从大量的生活实例中抽象出三角形的几何模型，理解“三角形稳定性”这一数学特性，并将其应用于解释和解决实际问题。 5. 数学建模：能将实际问题转化为数学问题，并用数学结论解释现实现象。
教学内容
教学重点： 1.三角形三边关系的探究、证明及应用。 2.三角形的中线、角平分线、高的定义、画法及性质。 3.三角形的稳定性及其生活应用。 教学难点： 1.从“两点之间，线段最短”到“三角形两边之和大于第三边”的推理证明过程。 2.特别是钝角三角形的高线，其垂足落在对边的延长线上，需要较强的空间想象能力。 3.在解决等腰三角形边长问题时，分类讨论思想的运用以及使用三边关系进行检验。
教学过程
师：亲爱的同学们大家好！欢迎来到今天的数学课堂。今天，我们一起探索第十三章《三角形》的第二节——与三角形有关的线段。 环节一、情景导入 (画面切换：快速展示一组精美的图片——埃及金字塔、自行车大梁、户外帐篷、大型起重机) 师：首先，老师请大家来看一组图片。古老的金字塔、现代化的起重机、我们骑的自行车、野营用的帐篷...同学们，这些形态各异、跨越古今的物体，有什么共同的几何特征呢？
(短暂停顿，给予思考时间)
师：没错，他们都包含了三角形！
师：一个如此简单的图形，为何被广泛应用？它的身上到底隐藏着哪些不为人知的“秘密”呢？今天，就让我们化身数学侦探，一起来揭开这些秘密。我们的侦查对象就是——与三角形有关的线段。 环节二、探究新知 1. 三角形的边 (画面切换：动画演示一个标准的△ABC，点B和点C高亮显示) 师：第一个秘密，就藏在三角形的“边”里。请看屏幕，这是一个三角形ABC。现在，请大家思考一个问题：从点B出发到点C，有几种路线可以选择？
（模拟学生回答：有两条）
师：对啦，有两条。一条是“直达高速”BC，另一条是“省道”BA加上“国道”AC。那么，哪条路更短呢？
(动画演示：两条路线分别以不同颜色的光点移动演示，并最终显示出长度比较：BA + AC > BC)
师：通过对比我们可以发现，BA + AC > BC。这其实就是我们小学就知道的：三角形两边的和大于第三边。
师：但是，作为一名合格的侦探，我们不能只凭感觉，还要有严密的推理。这个结论的依据是什么呢？
(画面显示：“两点之间，线段最短”这一公理)
师：对！就是“两点之间，线段最短”。我们把B、C看作两个定点，那么从B到C的最短路径就是线段BC。而路径B--A--C显然比BC要长，所以BA + AC > BC。 用同样的方法，我们完全可以推理出：AC + BC > AB, AB + BC > AC。
师：不仅如此，我们通过不等式的移项还能推导出另一个结论：三角形两边的差小于第三边。 BC > AB - AC , BC > AC - AB。 师：这三个不等式，就是三角形三边关系的核心秘密。
师：那么，反过来，如果任意给你三条线段，你如何判断它们能否首尾相连组成一个三角形呢？
师：结论是：只要满足任意两条线段之和大于第三条线段，它们就能形成三角形；反之，如 果存在两条线段之和不大于第三边，那就没办法组成三角形。 师：光有理论还不够，我们应该能够运用它们。 下面请大家来看这道经典的例题：用一条18厘米长的细绳围成一个等腰三角形。
(1)如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少 (2)能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗 为什么 师：第一问很简单。设底边为x厘米，腰是它的2倍，就是2x。 根据周长公式：x + 2x + 2x = 18，解方程，x=3.6。 所以三边分别是3.6cm, 7.2cm, 7.2cm。
师：重点看第二问：能围成一边长为4厘米的等腰三角形吗？ 这里的陷阱是：这4厘米，可能是腰，也可能是底边。在情况不确定时，我们就要分类讨论。
情况一：如果4cm是底边。设腰长为x，方程是4 + 2x = 18，解得x=7。 三边是4, 7, 7。 我们来检验一下：4+7>7，7+7>4，都成立，所以这个三角形是存在的。
情况二：如果4cm是腰。设底边为y，方程是4+4+y=18，解得y=10。 三边是4, 4, 10。 现在检验：4 + 4 = 8，8 < 10！这就违反了“两边之和大于第三边”的定理。 所以，这三条线段根本围不成三角形。
因此，最终结论是：只能围成底边为4cm的等腰三角形。 师：大家看，最后的检验环节至关重要，这就是数学的严谨性！ 2.三角形的稳定性 (画面切换：一只手扭动一个三角形木架，它纹丝不动；再扭动一个四边形木架，它轻易变形) 师：探索完边的秘密，下面我们来看三角形的第二个神奇特性。 大家看这个实验：三角形木架无论怎么用力，它的形状都不会改变；而四边形木架轻轻一推，就容易变形。这种性质，我们就叫做三角形的稳定性。
(画面切换回导入时的起重机、屋顶等图片)
师：现在，大家能解开课堂一开始的谜题了吗？为什么金字塔历经千年不倒？为什么起重机要设计成三角结构？答案就是利用了三角形的稳定性，使得结构更加坚固、可靠。 3.三角形的重要线段 师：最后，我们来认识一下三角形中的三位“重要人物”：中线、角平分线和高。
师：第一位，中线。（动画演示：连接顶点A和对边BC的中点D，线段AD闪烁） 定义：连接一个顶点和它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。 师：一个三角形有几条中线呢？ （预设学生回答：有三条中线） 师：那这三条中线它们会有什么关系？
(动画演示：画出三条中线，它们交于一点) 师：没错，它们交于一点，我们把这一点叫做三角形的重心。
师：第二位，角平分线。（动画演示：作出∠A的平分线，交BC于点D，线段AD闪烁） 定义：三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个顶点和交点之间的线段，叫做这个三角形的角平分线。 师：三角形的三条角平分线也会交于一点，我们称这一点为三角形的内心。
师：第三位，高线。（动画演示：从点A向BC作垂线，垂足为D，线段AD闪烁） 定义：从三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段，叫做三角形的高。 师：高是最特别的，因为它的位置会“变脸”。
(画面分屏：左侧锐角三角形，高在内部；中间直角三角形，两条高就是直角边；右侧钝角三角形)
师：看这个钝角三角形ABC，现在要从顶点A向它对边BC画高。我们发现，BC不够长，垂足落哪里了？
(动画演示：延长BC，再从A作垂线，垂足D落在BC的延长线上) 对！垂足落在了边的延长线上。所以钝角三角形有两条高会跑到三角形的外面去。这一点大家一定要特别注意，画高的时候先要判断三角形的形状。 环节三：练习巩固 师：通过刚刚的学习，让我们一起来做一道练习题。 1.三角形的三边长分别为2，7，a，则a的取值范围是________ 师： 这道题直接考查我们今天学习的核心知识点——三角形的三边关系定理。这个定理告诉我们，对于任意一个三角形，它的三条边必须同时满足三个不等式： 两边之和大于第三边 两边之差小于第三边 师：现在，已知两条边是2和7，第三条边是未知的a。那么，这个a必须同时满足以下三个条件，才能与2和7组成一个三角形： 条件一： 2+7>a -> 9>a，也就是a<9 条件二： 2+a>7 -> a>5 条件三： 7+a>2 -> a> 5 (这个条件显然成立，因为边长a一定是正数，所以这个条件我们可以忽略) 师：所以，真正对a有限制作用的是前两个条件。我们把它们组合起来： 根据条件二：a>5 根据条件一：a<9 师：因此，未知边a的取值范围必须同时大于5且小于9。我们可以把它写成一个连续的范围。最终答案：5（关键词“三边关系”高亮）
我们不仅通过动画直观地看到了“两边之和大于第三边”，更像数学家一样，从“两点之间，线段最短”这个基本事实出发，进行了严密的逻辑推理，证明了这一结论。更重要的是，我们学会了如何逆向运用它，作为一把尺子，去判断三条线段能否组成三角形。在解决等腰三角形周长的问题时，我们更是运用了分类讨论这一重要的数学思想，并且牢记最后一定要用三边关系这把尺子进行检验，体现了数学不可或缺的严谨性。 （关键词“稳定性”高亮）
接着，我们动手验证了三角形一个闻名遐迩的特性——稳定性。
通过简单的小实验，我们看到三角形结构“我自岿然不动”的魅力。我们不再是死记硬背这个结论，而是能真正理解它，并能用它作为一个设计原理，去解释金字塔的千年不倒、起重机的力大无穷。数学从此不再是书本上的公式，而是连接现实世界的一座桥梁。 （关键词“三条线段”高亮，并分支展开“中线”、“角平分线”、“高”）
最后，我们深入三角形内部，结识了三位至关重要的“家庭成员”。
我们认识了中线，它连接顶点和对边中点，三条中线的交汇点叫“重心”，它仿佛是整个三角形的平衡支点。
我们认识了角平分线，它公平地平分一个内角，是三角形里的“公正官”。
我们还认识了最变幻多端的高，它从顶点垂直指向对边。我们发现了它的“变脸术”：在锐角三角形内部，在直角三角形边上，在钝角三角形外部。尤其是钝角三角形的高，需要我们“延长底边，再作垂线”，这极大地锻炼了我们的空间想象能力。 师：所以，今天这堂课，我们收获的不仅仅是三个知识点，更是一套数学的“工具箱”：推理的工具——证明三边关系、判断的工具——判定能否构成三角形、思想的工具——分类讨论思想、以及应用的工具——用稳定性解释生活。
希望大家带着这些工具，继续去发现几何世界中更多、更美的风景。 师：请大家课下完成相应的课后作业 基础练习：教材习题13.2–2，3，4题 提升作业：教材习题13.2–6，7题 师：今天的课程到这里就结束了，同学们再见！

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