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第五章 二元一次方程组
4 二元一次方程与一次函数
第1课时
一、教学目标
1.初步理解二元一次方程与一次函数的关系，能根据一次函数的图象求二元一次方程组的解.
2.能从“形”的角度理解二元一次方程和二元一次方程组，发展几何直观.
3.通过思考和操作，建立“数”与“形”之间的对应，培养学生初步的数形结合的意识和能力.
4.通过自主探索，揭示方程和图象之间的对应关系，培养学生严谨的科学态度和勇于探索的科学精神，进一步激发学生学习数学的兴趣.
二、教学重难点
重点：探索一次函数与二元一次方程的关系.
难点：建立数形结合意识.
三、教学过程设计
环节一：情景导入
思考：什么是二元一次方程的解？
预设答案：适合一个二元一次方程的一组未知数的值.
追问：解二元一次方程组的方法是什么？
预设答案：消元法，将“二元”变成“一元”.
思考：什么是函数的图象，一次函数的图象是什么形状？
预设答案：把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出相应的点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象.一次函数的图象是一条直线
设计意图：回顾旧知，为新知的学习做铺垫.
【思考】
问题1：一元一次方程x+2=0的解为 .
预设答案：x=－2
问题2：一次函数y=x+2图象与x轴的交点坐标为 .
预设答案：(－2，0)
教师活动：一次函数y=kx+b的图象与x轴交点的横坐标就是一元一次方程kx+b=0的解.
二元一次方程kx+y=b与一次函数y=－kx+b有什么联系呢？
设计意图：借助小练习顺利引出最后思考：二元一次方程kx+y=b与一次函数y=－kx+b有什么联系呢？为探究新知做铺垫．
环节二：探究新知
探究：x+y=5是什么？
预设答案：二元一次方程；一次函数.
　　　　　　
教师活动：这是怎么回事？为什么有两种回答呢？
探究：方程x+y=5的解有多少个？写出其中的几个.
预设答案：无数个. 例如： ……
追问：等式x+y=5还可以看成是一个一次函数，把它变成y=kx+b的形式是_________.
预设答案：y=－x+5.
问题3. 画出y=－x+5的图象.
预设答案：
　　
追问①：以方程x+y=5的解为坐标的点都在一次函数y=－x+5的图象上吗？
预设答案：都在.
追问②：在一次函数y=－x+5的图象上任取一点，点的坐标适合方程x+y=5吗？
预设答案：都适合.
追问③：以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y=－x+5的图象相同吗？
方程x＋y＝5的解有无数个．
以方程x＋y＝5的解为坐标的点组成的图象与一次函数y＝5－x的图象相同，是同一条直线.
教师活动：x＋y＝5与y＝5－x表示的关系相同．
教师活动：根据以上问题思考方程与一次函数的关系.
　　
一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是一条直线.
教师活动：任意一个二元一次方程都可以转化为y＝kx＋b的形式.
　　
设计意图：设置问题情景，让学生感受方程x+y=5和一次函数y=－x+5相互转化，力图揭示二元一次方程与一次函数之间的联系，建立起二元一次方程与一次函数图象（直线）之间的对应关系，发展学生的几何直观. 启发引导学生探索知识的形成过程，培养了学生数学转化的思想意识.
做一做：在同一直角坐标系内分别画出一次函数y = 5－x和y=2x－1的图象(如图)，这两个图象有交点吗？交点的坐标与方程组的解有什么关系？
一次函数y = 5－x与y=2x－1图象的交点为A(2，3)，而就是方程组 的解.
一般地，从图形的角度看，确定两条直线交点的坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解；
解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线交点的坐标.
　　
设计意图：通过一个具体例子，探讨二元一次方程组的解与相应两条直线交点坐标之间的关系，进一步体会二元一次方程与一次函数之间的联系.
教师活动：用图象法解二元一次方程组的步骤是什么？
①将方程组中每个方程分别转化成一次函数表达式．
②在同一坐标系中分别画出转化后的两个一次函数的图象．
③根据两个函数图象的交点坐标写出方程组的解．
设计意图：引导学生探讨二元一次方程组无解的几何意义.学生从“形”上易于发现相应的函数图象（直线）相互平行，而从“数”的方面也可以发现没有一组数同时适合这两个方程.
想一想：在同一直角坐标系内，一次函数y=x+1 和 y=x－2 的图象有怎样的位置关系？
　　
预设答案：两直线平行.
方程组解的情况如何？
预设答案：此方程组无解
教师活动：你发现了什么？
k1≠k2
　　
k1=k2
　　
总结：有解，有交点；无解，无交点．
环节三：应用新知
教师提出问题，学生先独立思考，然后再在小组内交流探讨.教师板书一道例题书写过程，其余题目可由学生代表板书完成，最终教师展示答题过程.
【例1】已知一次函数y=3x－1与y=2x图象的交点的坐标是(1，2)，求方程组的解.
【分析】根据一次函数和二元一次方程组的关系求解.
解：可以把方程组转变为
∵一次函数y=3x－1与y=2x图象的交点的坐标是(1，2)，
∴方程组的解就是
即 方程组的解就是
【例2】有一组数同时适合方程x+y=2和x+y=5吗？直线y=2－x与y=5－x之间有什么关系？
【分析】k相同，图平行.
解：∵x+y=2和x+y=5不能同时成立，
∴没有一组数同时适合方程x+y=2和x+y=5.
∵一次函数y=2－x与y=5－x的图象是两条直线，
且他们的k值都是－1，
∴这两条直线互相平行.
设计意图：通过例题的探究，让学生理解线段的垂直平分线的性质定理和判定定理的综合应用，培养应用意识.此例的结论十分重要，要求学生能够理解和熟练掌握.
环节四：课堂练习
教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.
1.把方程x+y=2的两组解和组成有序数对(1，1)，( 0，2 )，过这两点画直线l，下列各点不在直线l上( )
A.( 4，－2) B.( 2，1) C.(－2，4) D.(－4，6)
答案：B
2.若一次函数y＝k1x＋b1与y＝k2x＋b2的图象没有交点，则方程组的解的情况是(　 )
A．有无数个解 B．有两个解 C．只有一个解 D．没有解
答案：D
3.一次函数y=5－x与y=2x－1图象的交点为(2，3)，则方程组的解为 .
答案：
4.若二元一次方程组无解，则函数y=－2x+5与y=－2x+8的图象位置关系为______．
答案：平行
5.以方程3x+y=2的解为坐标的点都在一次函数 的图象上.
答案：y=－3x+2
6.若一次函数y=3x与y=－2x+b的图象交点恰好在一次函数y=2x－2的图象上，求方程组的解.
【分析】将已知函数关系式建立方程组，然后根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解可得.
解：由解得
∴一次函数y=3x与一次函数y=－2x+b的交点坐标为( –2, –6)
∴方程组的解为
设计意图：通过本环节的练习，让学生梳理并巩固所学知识，提高学生解决问题的能力，并进一步加强了学生对本节内容的掌握程度，拓展了学生的思维.
环节五：总结归纳
思维导图的形式呈现本节课的主要内容：
　　
设计意图：通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.

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