资源简介

7.3　频率与概率 （1）
【学习目标】
1．理解随机事件发生的可能性有大有小，概率的定义；
2．概率是随机事件自身的属性，它反映随机事件发生的可能性大小；
3．在多次重复试验中，体会频率的稳定性．
【教学重点】
随机事件发生的频率可以作为其概率的估计值.
【教学难点】
频率与概率之间的区别与联系
【教学过程】
一、情境引入
问题：足球比赛开场时，常用抛硬币决定谁先发球，大家相信正面朝上和反面朝上的可能性相同。为什么大家相信这一点呢？
二、探究活动
活动一　做“抛掷质地均匀的硬币试验”，每人10次．
分别汇总5人、10人、15人、…、50人……的试验结果，并将试验数据汇总填入下表：
抛掷次数n 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 …
正面朝上的频数m 27 53 80 103 128 154 178 198 226 254
正面朝上的频率 0.540 0.530 0.533 0.515 0.512 0.513 0.509 0.495 0.502 0.508
在下面的坐标系中画出折线统计图
观察课本折线统计图，当抛掷硬币次数很大时，正面朝上的频率是否比较稳定？
下表是自18世纪以来一些统计学家进行抛硬币试验所得的数据．
试验者 试验次数n 正面朝上的频数m 正面朝上的频率
德.摩根（A。De Morgan, 1806-1871) 2048 1061 0.5181
蒲丰（G-L.L.Buffon, 1707-1788) 4040 2048 0.5069
皮尔逊(K.Peason.1857-1936) 12000 6019 0.5016
皮尔逊 24000 12012 0.5005
观察此表，你发现了什么？
从表格中可以看出，大量重复的试验结果都表明：“抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上”的频率在0.5附近摆动。
像这样，在大量重复的试验中，一个随机事件发生的频率在某一个常数附近摆动，并趋于稳定，我们把这种现象称为频率的稳定性，并且用这个频率的稳定值作为该随机事件的概率。随机事件“抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上”的概率是0.5。这与我们的生活经验是一致的。
注意：1.用频率估计概率是针对大量重复试验而言的，大量重复试验中反映的规律并不意味着在每一次的试验中一定出现.
通过试验、活动体会频率与概率之间的联系，知道在一定条件下进行大量重复试验时，事件发生的频率可以作为其概率的估计值.
活动二、例题教学
例1．某店举办“盲盒抽奖”活动，在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共30个，这些球除颜色外其余完全相同，每次摸奖，店员将球搅匀后，顾客从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，店员记录了抽奖数据如下：
摸球的次数n 50 100 300 500 800 1000 2000
摸到红球的次数m 14 33 95 155 241 298 598
摸到红球的频率 x 0.33 0.317 0.31 0.301 0.298 0.299
（1）如表中的x＝　 　 ；
（2）通过以上摸奖数据，摸到红球的概率估计为　 　 （结果精确到0.01）；
（3）若先从袋子中取出y个红球，不放回，再从袋子中随机摸出1个球，此时“摸出黑球”为必然事件，则y＝　 　 ；
（4）若先从袋子中取出b个红球，再放入b个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个红球的概率为，求b的值．
练习 1.研究女婴出生率，对人口统计很重要。统计学家克拉梅得到瑞典1935年的婴儿出生数据如下
时间范围 前2月 前4月 前6月 前8月 前10月 全年
出生婴儿数/人 14237 30004 45505 60483 74589 88273
出生女婴数/人 6944 14521 21961 29178 36060 42591
女婴出生的频率
填写表中的空格；
画出女婴出生频率的拆线图；
你认为女婴的出生频率稳定吗？由此可以估计女婴出生的概率吗？
课堂小结
1. 当试验次数足够大时，频率无限接近于概率；
2. 随机事件发生的频率与试验的次数有关；
3. 随机事件发生的概率与试验的次数无关，它是一个固定的值。
【当堂反馈】
1．在一个不透明的口袋中装有红球和白球共10个，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在40%附近，则口袋中红球可能有（　　）
A．1个 B．2个 C．4个 D．6个
2．某商场为吸引顾客，举办“抽盲盒赢优惠券”活动，盲盒中只有“有券”和“无券”两种结果，且每次抽盲盒的结果相互独立．工作人员记录了不同抽盒次数下“抽到有券”的频率，数据如下表：
抽盒总次数 50 100 300 500 1000
抽到有券的次数 12 23 61 98 202
抽到有券的频率 0.24 0.23 0.203 0.196 0.202
据此估计，顾客单次抽盲盒“抽到有券”的概率最接近（　　）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
3．一个不透明的口袋里装有15个不同颜色的小球（除颜色外其余均相同），其中有n个红球．每次摸出一个球记录下颜色后再放回，统计每次实验红球出现的频率如图，则n的值最可能是（　　）
A．6 B．8 C．9 D．10
4．在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的9个白球和若干个黑球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为0.6，估计袋中黑球有　 　 个．
5．如图（1），在面积为64cm2的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图（2）所示．小亮由此估计阴影部分面积约为 　 　 cm2．
6．在一个不透明的口袋中有红色、黄色和绿色球共60个，它们除颜色外，其余完全相同．在不倒出球的情况下，要估计袋中各种颜色球的个数．同学们通过大量的摸球试验后，发现摸到红球、黄球和绿球的频率分别稳定在20%，40%和40%．由此，推测口袋中黄色球的个数有　 　 ．
7．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数m 58 96 b 295 484 601
摸到白球的频率 a 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601
（1）求出表中a＝　 　 ，b＝　 　 ．
（2）估计当n很大时，摸到白球的频率将会接近　 　 （精确到0.1），此口袋里白球有　 　 只；
（3）若从口袋里再拿出去a个白球，这时从口袋里任意摸出一球是白球的概率为，求a的值．
8．在一个不透明袋子中装有颜色不同的黑、白两种球共40个球，嘉嘉做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．如图是“摸到白球”的频率折线统计图．
（1）根据统计图，估算盒子里黑、白两种颜色的球各多少个？
（2）如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？
例1的答案与解析
例1．某店举办“盲盒抽奖”活动，在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共30个，这些球除颜色外其余完全相同，每次摸奖，店员将球搅匀后，顾客从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，店员记录了抽奖数据如下：
摸球的次数n 50 100 300 500 800 1000 2000
摸到红球的次数m 14 33 95 155 241 298 598
摸到红球的频率 x 0.33 0.317 0.31 0.301 0.298 0.299
（1）如表中的x＝　0.28　 ；
（2）通过以上摸奖数据，摸到红球的概率估计为　0.30　 （结果精确到0.01）；
（3）若先从袋子中取出y个红球，不放回，再从袋子中随机摸出1个球，此时“摸出黑球”为必然事件，则y＝　9　 ；
（4）若先从袋子中取出b个红球，再放入b个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个红球的概率为，求b的值．
解：（1）x0.28．
（2）通过以上实验，摸到红球的概率估计为0.30，
（3）∵摸到红球的概率估计为0.3，
∴盒子里红球的数量为30×0.3＝9（个）
∵“摸出黑球”为必然事件，
∴y＝9．
（4）由（3）知红球9个，黑球21个，根据题意得：
，
解得：b＝3，
【当堂反馈】--答案与解析
1．在一个不透明的口袋中装有红球和白球共10个，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在40%附近，则口袋中红球可能有（　C　）
A．1个 B．2个 C．4个 D．6个
2．某商场为吸引顾客，举办“抽盲盒赢优惠券”活动，盲盒中只有“有券”和“无券”两种结果，且每次抽盲盒的结果相互独立．工作人员记录了不同抽盒次数下“抽到有券”的频率，数据如下表：
抽盒总次数 50 100 300 500 1000
抽到有券的次数 12 23 61 98 202
抽到有券的频率 0.24 0.23 0.203 0.196 0.202
据此估计，顾客单次抽盲盒“抽到有券”的概率最接近（　B　）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
3．一个不透明的口袋里装有15个不同颜色的小球（除颜色外其余均相同），其中有n个红球．每次摸出一个球记录下颜色后再放回，统计每次实验红球出现的频率如图，则n的值最可能是（　C　）
A．6 B．8 C．9 D．10
4．在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的9个白球和若干个黑球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为0.6，估计袋中黑球有　6　 个．
5．如图（1），在面积为64cm2的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图（2）所示．小亮由此估计阴影部分面积约为 　22.4　 cm2．
6．在一个不透明的口袋中有红色、黄色和绿色球共60个，它们除颜色外，其余完全相同．在不倒出球的情况下，要估计袋中各种颜色球的个数．同学们通过大量的摸球试验后，发现摸到红球、黄球和绿球的频率分别稳定在20%，40%和40%．由此，推测口袋中黄色球的个数有　24　 ．
7．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数m 58 96 b 295 484 601
摸到白球的频率 a 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601
（1）求出表中a＝　0.58　 ，b＝　116　 ．
（2）估计当n很大时，摸到白球的频率将会接近　0.6　 （精确到0.1），此口袋里白球有　12　 只；
（3）若从口袋里再拿出去a个白球，这时从口袋里任意摸出一球是白球的概率为，求a的值．
解：（1），b＝200×0.58＝116，
（2）当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6，
此口袋里白球有20×0.6＝12只，
（3）由题意可得，
解得a＝8，
8．在一个不透明袋子中装有颜色不同的黑、白两种球共40个球，嘉嘉做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．如图是“摸到白球”的频率折线统计图．
（1）根据统计图，估算盒子里黑、白两种颜色的球各多少个？
（2）如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？
解：（1）当摸球次数很大时，摸到白球的概率将会接近0.50，所以摸到白球的概率为0.50，
∴白球的个数：40×0.5＝20（个），
黑球的个数：40﹣20＝20（个）；
（2）设需要往盒子里再放x个白球，
由题意，得：，
解得x＝10，
答：需要再往盒子里放入10个白球．

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